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[求助求解]容易犯错的一个问题及其猜想

[i][size=5][原题]互不相等的实数a,b,c,d满足a+1/b=b+1/c=c+1/d=d+1/a,则abcd=(     )[/size][/i]
[i][size=5]A -1             B1       C    +-1         D  sqrt(2)[/size][/i]
[i][size=5][/size][/i]
[i][size=5]最近发现很多书都有这样一个题：[/size][/i]
[i][size=5]互不相等的正实数a,b,c满足a+1/b=b+1/c=c+1/a,[/size][/i]
[i][size=5]则abc=()[/size][/i]
[i][size=5]这实际是一个错题！[/size][/i]
[i][size=5]看讨论的情况，笔者将给出本题另一个推广的猜想！[/size][/i]

[[i] 本帖最后由 bluelee618 于 2008-10-8 12:53 编辑 [/i]]

希望高人能探讨一下

$a_1$、$a_2$、$a_3$、…、$a_n$两两不相等，$a_1+1/a_2=a_2+1/a_3=...=a_n+1/a_1=t$，那么就有$(a_1a_2a_3...a_n)^2=1$，$t$可能的值是$2cos((kpi)/n)$，其中$k$是整数，$0<k<n$，$k$和$n$互素。

看样子这个问题已有人研究过了
不过（a1a2...an）^2=1却还有待进一步，n为偶数，a1a2...an=-1
而且对于任何n>=3,a1,a2,.....an都不能同号！！
证明它或否定它

任何情况下积都是-1，包括在复数的情况下都是这样。

斑竹搞错了，n=3时可以等于1，我求出了他的通解

是搞错了，$n$是偶数时积只能为-1，$n$为奇数时1和-1都可以。
$a_1a_2...a_n=(-1)^k$，其中$k$就是3楼所提到的。

这个问题好象《中数参》上罗增儒教授讨论过。