设p为1的实数，则函数f(x)= xp + (1 - x)p在区间[0, 1]上最小值是（  ）
A. 1  B.2  C. 1/(2p-1)  D. 1/2p

用琴生不等式,C

什么琴生不等式，高中阶段没学过啊

nicky_zhaowj 于 2005-01-27 21:04 在大作中提到：

什么琴生不等式，高中阶段没学过啊

跟老师教怎么能这么写啊，有没有我们高中阶段学过的方法？？

[tr]
[td]nicky_zhaowj 于 2005-01-27 20:47 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]设p为1的实数，则函数f(x)= xp + (1 - x)p在区间[0, 1]上最小值是（  ）
A. 1  B.2  C. 1/(2p-1)  D. 1/2p[/tr]
求导(别告诉我这不是高中知识)

求导怎么解，我就用这个方法，不会做啊

[tr]
[td]nicky_zhaowj 于 2005-01-27 20:47 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]设
p为1的实数
，则函数f(x)= xp + (1 - x)p在区间[0, 1]上最小值是（  ）
A. 1  B.2  C. 1/(2p-1)  D. 1/2p[/tr]
p为1的实数应为p>1吧
f'(x)=xp-1-(1-x)p-1
当x>0.5时
f'(x)>0
当x=0.5时
f'(x)=0
当x
f'(x)
……

主要是利用指数函数单调性。

引用：

主要是利用指数函数单调性

说说？
我的方法：在[0，1]上，xp＋（1－x）p≥2√[x（1－x）]p≥1/2p－1
同时注意到这两个不等式的等号同在x＝1/2时取到，因此xp＋（1－x）p≥1/2p－1的等号可以取到

你把第二个不等式的方向搞错了
这个题目确实不好弄啊,如果p是整数的话,还可以用二项式定理或者数学归纳法
想不出好办法

弄错了……原题意是指p为大于1的实数吧？
暂时也只有想到求导……

由对称性可以看出X=1/2时取到最小值，大家要注意这是小题目。

shaojianbo 于 2005-01-28 09:38 在大作中提到：

由对称性可以看出X=1/2时取到最小值，大家要注意这是小题目。

对称没问题，可是为什么最小?

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[td]潜龙勿用 于 2005-01-27 22:55 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]你把第二个不等式的方向搞错了
这个题目确实不好弄啊,如果p是整数的话,还可以用二项式定理或者数学归纳法
想不出好办法[/tr]
在考场上做，就用特殊值法.
要是严格的证明,这个问题看起来很简单，或许有巧法.

[tr]
[td]潜龙勿用 于 2005-01-27 22:55 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]你把第二个不等式的方向搞错了
这个题目确实不好弄啊,如果p是整数的话,还可以用二项式定理或者数学归纳法
想不出好办法[/tr]
如果p是正整数,用二项式定理确实很简单.做变换x=$1/2+t,t>=0$
原式=$(1/2+t)^p+(1/2-t)^p=(1/2)^p+C(p,1)(1/2)^(p-1)t+...+(1/2)^p-C(p,1)(1/2)^(p-1)t+...
=$2[(1/2)^p+C(p,2)t^(p-2)+..]$$>=2(1/2)^p$

用均值不等式可以吗？r次方平均值不小于算术平均值的公式。

iceberg 于 2006-04-22 01:45 在大作中提到：

用均值不等式可以吗？r次方平均值不小于算术平均值的公式。

这个不等式怎么证?

作幂函数g(x)=x^p(p>1)的图像，在[0，1]上，x与1-x关于x=1/2对称，联结（x,g(x))与（1-x,g(1-x))的直线与x=1/2相交，交点的纵坐标为[g(x)+g(1-x)]/2，易见
　g（1/2）
　2g（1/2）
当x趋于1/2或趋于两端点时，上式的不等号取等号
从而f(x)的最小值为2g(1/2)=1/2^(p-1)

安分的心 于 2006-04-22 23:04 在大作中提到：

[tr]iceberg 于 2006-04-22 01:45 在大作中提到：

用均值不等式可以吗？r次方平均值不小于算术平均值的公式。

这个不等式怎么证?
[/tr]
证明方法……好像也是用到了求导的方法，但是我们老师说高中可以当公式用的

[tr]
[td]白马秋风塞上 于 2006-04-29 21:37 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]易见
　g（1/2）
[/tr]
利用凸凹性?
你怎么知道g(x)的凸凹性的?画图是不严格的.

[tr]
[td]安分的心 于 2006-05-03 23:30 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]
[td][tr]白马秋风塞上 于 2006-04-29 21:37 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]易见
　g（1/2）
[/tr]
利用凸凹性?
你怎么知道g(x)的凸凹性的?画图是不严格的.[/tr]
g(x)=x^p是常规的初等函数，对已学微积分的高中生，其凹凸性还不能作为已知结论来引用吗？
不用画图也可以，通过求二阶导数，可知g(x)导函数是增函数，所以有
[(1-x)^p-(1/2)^p]/(1-x-1/2)>[(1/2)^p-x^p]/(1/2-x)
(1-x)^p-(1/2)^p>(1/2)^p-x^p
x^p+(1-x)^p>2*(1/2)^p
x趋于1/2时取等号

[tr]
[td]白马秋风塞上 于 2006-05-04 18:38 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]
[td][tr]安分的心 于 2006-05-03 23:30 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]
[td][tr]白马秋风塞上 于 2006-04-29 21:37 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]易见
　g（1/2）
[/tr]
利用凸凹性?
你怎么知道g(x)的凸凹性的?画图是不严格的.[/tr]
g(x)=x^p是常规的初等函数，对已学微积分的高中生，其凹凸性还不能作为已知结论来引用吗？
[/tr]
高中生已经学微积分了吗?据我所知,他们只学了极限和导数,还是很肤浅的那种层次,还没有深入到二阶导数和凸凹性的概念.