可以看出，陀螺大致在一个水平面上作圆周运动，我们把这叫作“进动”，同时还在不断地上下“点头”，也就是在上下方向上作往复运动，我们把这叫作“章动”。
所以进动是水平面内的旋转运动，章动是竖直面内的旋转运动，实际上由于陀螺的固定点位于离陀螺很远的轴上，所以陀螺的进动和章动除了旋转运动（转动）以外，还叠加了一个平动，所以有“向右进动”，“向下章动”之类的说法，现在具体规定如下：

我们现在讨论一种章动幅度不太大的运动，为了满足这一条件，可假设自转速度很大。这样放手以后，陀螺受到重力矩的作用，开始下落，也就是说开始“向下章动”，在向下章动的过程中，如果没有进动，那么我们考虑一下：把一个参照系固着在陀螺上，随陀螺章动而不随陀螺自转，那么这个参照系相对静止的参照系是转动的，转动角速度就是章动角速度，且由于此参照系不随陀螺自转，因为陀螺内的质点相对于此参照系也是运动的，这样就会产生一个科里奥利加速度，此加速度a=2ω×V'，其中ω是章动角速度，V'是陀螺质点相对于动参照系的速度，就是自转线速度。容易判断出，在陀螺右半部分，此加速度均向外，在陀螺左半部分，此加速度均向里，这样陀螺会受到一个力矩的作用，雪映刀锋寒给的教材中把这个叫“章动回转力矩”，好！我们就称它章动回转力矩，这个力矩如图所示：

正是这个力矩使陀螺发生的进动！
所以陀螺的特性并没有什么太奇怪的，它也和普通的物体一样，在受到外力矩时，沿着外力矩的方向运动，只不过由于本身是自转的，在沿外力矩方向运动的过程中，会产生一个“回转力矩”，这个力矩使它沿着垂直于原来方向的方向运动。
所以，本说法否定了陀螺一受外力矩，进动速度立即产生的说法，所有的运动都具有惯性，陀螺也不例外。即使物体受到一个理论上的“冲量”而突然发生的运动，实际上也是有作用时间的，速度的突变意味着无穷大的加速度，同时也意味着无穷大的外力。而这是不可能的
其实，即使是陀螺沿外力矩的方向运动，角速度也不是立即产生的，也只是产生一个角加速度，然后随着时间的延续速度才逐渐增大。

好的，由于陀螺“向下章动”，产生一个“章动回转力矩”，使陀螺产生的进动，而进动产生以后，由于同样的原因，要产生一个“进动回转力矩”，容易判断，向右进动产生的回转力矩如下图所示：

我们不妨把这个力矩叫作“进动回转力矩”，它的方向与外力矩相反，正是这个力矩阻止了陀螺的倒下！
随着进动角速度的逐渐增大，这个力矩也逐渐增大，当它增大到比外力矩还要大的时候，这里陀螺的章动已经开始减速了，等到章动速度为零的时候，也就是章动到最低处的时候，进动角速度最大，并远大于外力矩，此后陀螺开始“向上章动”，当返回到最高处的时候，进动角速度减小到零。
可以看出，一次“向下章动”和“向上章动”，就完成一次“点头”，同时向右进动一定的角度。在此过程中陀螺轴的轨迹大致是划了一个半圆弧，此后一个半圆弧一个半圆弧地划下去，在水平方向是忽快忽慢的进动，而竖直方向是周期性的往复章动。

更详细地分析还可以发现这样的结论，在章动幅度不太大的情况下，重力矩近似可以看作是恒力矩。陀螺的运动可以看成是向右匀速的进动和向绕此进动轴作圆周运动的章动组成的，这个结论，老武网友在前面早就指出了。
我的分析暂时到此为止，我现在有事，不能马上跟你讨论你的方法。如果晚上有空，我再来看看。

你的问题我已经说过了，无奈你一直在回避
1、自转速度无穷大，进动速度为0，你的陀螺将到下来。你准备不理睬这个悖论吗？还是就这么接受？
2、下面的陀螺受到了力矩，出现水平进动。如果陀螺不转，必然要斜下来，那么同等的力矩下，必然存在一个能出现水平进动的最低自转速度，高于这个速度就能水平进动，低于此速度则不能。你知道这个最低自转速度是多少吗？

当然这两个问题不应该只问你一个人，而是要问整个经典刚体转动理论，你是赶上了……

[tr]
[td]雪映刀锋寒 于 2007-01-16 01:28 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]好，终于要听听我怎么说了……
首先要明确一点，我并没有说不需要章动过程，按我的分析也会出现章动，但是我向来实话实说，我从没有观察到过章动，我像是因为我的陀螺太小，章动效果不明显
既然要听我说，我就从头道来
从自由圆盘开始
在a(t)=[QR/I]cos(ωt)的作用下，质点
有可能
出现了v(t)=Vsin(ωt)形式的运动，
只要质点出现了这个运动，圆盘就不会绕3-9轴翻转（不倒），并绕12-6轴翻转（进动）

根据前面的分析，a(t)=[QR/I]cos(ωt)只有一半发挥了作用（……）
因此只考察在
a(t)=[QR/2I]cos(ωt)
的作用下，质点的运动规律即可
下面分几种情况讨论
1、假定在这个周期力的作用下，质点已经在做简谐运动，速度表达式为v(t)=[QR/2Iω]sin(ωt)
这是任意时刻质点垂直于盘面方向的速度，与该时刻该质点到12-6轴距离的比值就是圆盘绕12-6轴进动的角速度
Ω=[QR/2I]sin(ωt)/Rsin(ωt)=Q/2Iω=Q/Jω
2、在上述周期力的作用下，质点实际运动规律是什么？这就需要引入受迫单摆的概念
在单摆受周期力作用时，将表现出复杂的行为特征

“上式是振动系统的振动特性与驱动力间的关系式，称为频率特性。注意到其第一项是随时间衰减的，在经过一段时间之后这一项将衰减到可以忽略的程度，这个衰减过程常称为系统的过渡过程，最后仅剩下第二部分。因此我们也可只讨论第二部分的特性。”
他的意义就是，即使在周期驱动力的作用下，单摆最终能够进入简谐运动状态，也必须经过这个过渡过程。针对圆盘上的质点而言，
这个过渡过程，就引起了圆盘最初受到力矩时的章动

……
先看这些吧，多了容易乱，有什么问题请提出来[/tr]
紫藤萝兰网友，你对我的
陀螺进动来源于外力矩的观念
展开了批判，然而事实证明我说得不错，你设计的实验最终也验证了我的预言。因此你对我第一次实质性批判应该说已经无疾而终。
现在我又抛出了上面一系列谬论，请继续展开批判或者商榷

[tr]
[td]雪映刀锋寒 于 2007-01-16 05:21 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]你的问题我已经说过了，无奈你一直在回避
1、自转速度无穷大，进动速度为0，你的陀螺将到下来。你准备不理睬这个悖论吗？还是就这么接受？
2、下面的陀螺受到了力矩，出现水平进动。如果陀螺不转，必然要斜下来，那么同等的力矩下，必然存在一个能出现水平进动的最低自转速度，高于这个速度就能水平进动，低于此速度则不能。你知道这个最低自转速度是多少吗？

当然这两个问题不应该只问你一个人，而是要问整个经典刚体转动理论，你是赶上了……[/tr]
夏梦网友，并且应用你的思想，不能进行定量分析，建立进动角速度Ω、自转角速度ω、外力矩M、陀螺自身惯量J的关系，你还是要用到dL=Mdt，既然要用这个，那么
dL就是要与外力垂直
的，只这一条就足以说明陀螺不倒并进动了
关于章动，这个现象虽然重要，但最终他是要消失的，这也是教材以及文献上多次强调的，所以教材上均以规则进动为对象加以讨论，比如角动量定理、动量矩定理、赖柴定理等，均不涉及章动。
因此没必要死盯住“章动”不放，在规则进动时，他已经消失了，何必还非要讨论它？
既然有更简洁的规则进动现象，完全可以就此展开

难啊，燕子们都飞了……
老托尼呢？怎么好久不说话了？

〔先回一个关于实验的帖子〕
燕子：雪鹰好厉害哟
我：是啊
燕子：他一下子就找到常平架回转仪实验的例证
我：这个例证很有说服力
燕子：那么你所说的陀螺摇头是错误的了
我：不，不要这样下结论
不过，我先前说的话里有一个错误，就是“轻轻一按”
燕子：那为什么呢？
我：在“轻轻一按”时，陀螺只可能产生“规则进动”，按力撤掉时，进动就马上停止，不可能产生摇头
燕子：噢，我知道了。那怎么办呢？
我：我的意思是，给陀螺一个强力的作用，使陀螺在外力撤掉后，仍然获有一个垂直于自转轴的平动速度，此时陀螺就会出现“摇头”
燕子：会出现这样的情况吗？
我：会的。
设想极限情况，如果陀螺不转，在外力矩的作用下，陀螺必然获得一个力方向上（垂直于自转轴方向）的加速度和平动速度
如果陀螺微微自转，那么陀螺就会产生垂直于力方向（力矩方向）的进动，同时产生力方向上的平动加速度和平动速度。
就会出现摇头
燕子：噢，那么出现摇头现象的条件就是，陀螺的自转角速度较小，且外力（矩）较大，
迫使陀螺产生一个沿外力方向的平动速度
我：是的
燕子：你说的“陀螺摇头”有待验证，但我觉得它与一开始讨论的“陀螺为什么不倒？”离题太远了。
我：不是这样的。
关于本题“陀螺不倒”，我已初步想到了解释它的根据和方法。但是根据之作为根据，是根据的普遍性。就是这个根据不但能解释“陀螺不倒”，同样也能解释与陀螺有关的其它现象，如“陀螺摇头”，“陀螺点头——章动”等等。
燕子：就是说，雪鹰也应该由自己的根据，对你说的现象做出表态和解释了。
我：是的，正是这样
我：我也应进一步用自己的根据，对陀螺摇头做出预测，预测“陀螺摇头”是否存在？摇头自转轴位向，摇头角速度多大？这对于验证根据是十分重要的。
“陀螺摇头”时不受外力矩的作用，现象单纯，有利于与其它陀螺现象比较，是一个很好的研究出发点，
是揭开“陀螺不倒”奥秘的第一个台阶
我希望雪鹰和夏梦对“陀螺摇头”提出批判
燕子：欢迎雪鹰和夏梦提出批判

〈致夏梦〉
燕子：夏梦叔叔，您好
我：夏梦对进动现象的解释引入惯性，我很欣赏
燕子：是啊，紫藤萝兰一直坚持只有同时用力（矩）和惯性两个概念解释“陀螺不倒”现象，才能说得通
我：但是夏梦把惯性用在了进动速度上，似不妥
燕子：为什么？没加外力矩时，进动速度为零，加上外力矩时，就有了进动速度，从没有速度到有速度，总有一个时间过程吧
我：不，不，我怎样对你解释呢？咱们先从速度变化和角速度变化谈起吧
燕子：好
我：质点速度变化需要一定时间，这是没有问题的。
燕子：质点速度变化当然需要一定时间。根据动量定理 F t =△mv ,质点速度变化当然需要一定时间
我：这与质点的惯性有关。
燕子：是啊，质点的质量越大，产生同样速度变化所用时间就越长
我：但是角速度的变化就不同了
燕子：难道角速度的变化不需要时间？
我：某些情况下确是如此。
如果角速度的变化是因质点速度大小变化引起的，这当然需要时间。
燕子：当然是了。譬如质点做匀速圆周运动，线速度增加，角速度也随之增加。线速度增加需要一定时间，角速度变化当然也需要一定时间
我：这也可以从能量变化的角度来认识。质点速度增加意味着动能增加，需要外力做功，这当然需要一定时间
燕子：还用说嘛，外力做功伴随位移过程，当然需要时间啦
我：但是角速度变化却不一定需要时间
燕子：哈哈，还有此说！怎么讲？
我：我举一个例子吧。在水平面上，一个质点沿光滑轨道从直线轨道进入圆形轨道，它的角速度突然从无到有……
燕子：咦？还真是如此，不需要时间！
我：从能量的角度来看，这个过程必然没有动能的变化
燕子：有动能的变化就需要时间了，真有意思。还能再举一个例子吗？
我：用线挂一个小球，把小球拉至水平，放手，小球下落，当小球落至悬点正下方时，悬线遇一钉子，小球运动半径突然变小，圆运动角速度突然变大。
燕子：噢，我懂了。不过，这与陀螺进动有什么关系呢？
我：你看章动的陀螺，它同时参与重力方向的点头与水平方向的进动，它同时有向下的速度变化和水平方向的进动速度变化。但这两个方向的速度变化本质不同。
燕子：怎样不同呢？
我：竖直方向的速度变化是实实在在速度大小的变化，是平动速度的变化，是重力（矩）做功引起的动能的变化，陀螺上各个质点在这个方向的速度都增加了。
燕子：这又怎样呢？
我：进动速度的变化是一种“虚”变化。
燕子：怎么是一种“虚”变化呢？
我：你看，当施加重力矩时，重力做不做功啊？
燕子：进动是水平方向，重力竖直向下，当然不做功
我：如果现在陀螺处于规则进动状态，那么，从不动到进动，这个过程中陀螺的动能变不变啊
燕子：当然不变了，质点的速度也不变了
我：严格说来，是质点的方均根速度不变
燕子：啊哈，是这样的，所以你说它是“虚”变化了吧？这真是有意思
我：嗨嗨，从本质上说，陀螺从不进动到进动是因为重力矩引起的沿竖直轴方向角速度的变化，这不需要时间
燕子：怎样理解陀螺进动时，是陀螺的转动与一个水平方向运动的叠加呢？
我：不，不，你说得有点问题。陀螺进动时，是陀螺自转与一个以竖直转轴为圆心的陀螺大圆运动的叠加。
燕子：这真难以理解啊

哈哈，又飞回来了，欢迎
这样吧，我先让陀螺倾斜着进动，然后我强迫它明显再倾斜一些，也就是外力矩引起了破坏性章动。
这时看他除了继续进动外，是否点头或摇头，可以吗？这个实验我可以做
如果他点头或摇头了，说明你的预测正确，我们就沿着你的思路讨论；如果没有，说明我的思路正确，仍然请你继续批判我的思想，如何？请表态
这里的朋友们一定有在学校的了，不管是教师还是学生，有谁能接触到常平架回转仪吗？就是这个

如果有，请费心作一下紫藤萝兰设计的实验好吗？然后公布结果，最好有视频，先谢谢了
（再有，K12的论坛设置好像有问题，每次都要刷新一大堆东西，浪费时间，影响速度，换了服务器，也经常打不开……）

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[td]雪映刀锋寒 于 2007-01-16 18:21 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]你的问题我已经说过了，无奈你一直在回避
1、自转速度无穷大，进动速度为0，你的陀螺将到下来。你准备不理睬这个悖论吗？还是就这么接受？
2、下面的陀螺受到了力矩，出现水平进动。如果陀螺不转，必然要斜下来，那么同等的力矩下，必然存在一个能出现水平进动的最低自转速度，高于这个速度就能水平进动，低于此速度则不能。你知道这个最低自转速度是多少吗？

当然这两个问题不应该只问你一个人，而是要问整个经典刚体转动理论，你是赶上了……[/tr]
第二个问题没看懂，我先回答第一个问题：你这是诡辩（请注意，这不是攻击）。你的逻辑是：自转速度如果无穷大，那么算出来的进动速度为0，既然进速度为0，就不会产生阻止其倒下的力矩，所以陀螺就会倒下！
我早就说过了，自转速度无穷大这种情况是不存在的，所谓无穷大只是一种极限情形。当自转速度趋近于无穷大的时候，进动速度趋近于0，但根据两者算出的力矩却为恒定的，都可以抵消外力矩，从而阻止陀螺倒下。我们是以这个作为前提来计算进动速度的。所以不会出现没有力矩的情况。
你的逻辑其实是一种诡辩术，古希腊有个诡辩家叫芝诺，曾用诡辩术证明运动的箭不在运动。他的逻辑是：1.箭的运动的时间是由无数个时刻组成的。2.在每个时刻，箭都是静止的。3.静止的总和不能构成运动。所以运动的箭不在运动。
你的逻辑其实是相似的，照这种逻辑，我还可以证明动量定理是错误的，所谓动量定理，就是外力的冲量等于物体动量的改变量。假如有一个物体质量为m，受到力F，作用时间为t，物体速度改变量是Δv，则Ft=mΔv
现设物体的质量为无穷大，则物体受到冲量Ft的情况下，速度的改变量Δv=0,既然速度的改变量为0，那动量的改变量也为0，所以Ft≠mΔv
是吗？

紫藤萝兰，角速度是不能突变的，你举的几个例子，都不能说明问题。比如一个物体从直轨道突然进入圆轨道，你认为角速度突然从0变成某个值，发生突变了。其实我们说的角速度，都是对某个点的角速度，物体在进入圆轨道之前，即在直线轨道上时，对那个点的角速度已经有了。所以并没有突变。
同理，物体从半径大的轨道突然转为半径小的轨道，你认为角速度发生突变，这也是不对的。角速度都是对某个点的角速度，只要那个点不变，角速度就不可能突变。你这里讲的是那个点突然改变了，角速度当然突变了。

雪映刀锋寒网友，在陀螺问题上，沿着我的思路，我能做的都做了。而沿着你的思路，我又看不懂，从这里就不懂了：
“在a(t)=[QR/I]cos(ωt)的作用下，质点有可能出现了v(t)=Vsin(ωt)形式的运动，只要质点出现了这个运动，圆盘就不会绕3-9轴翻转（不倒），并绕12-6轴翻转（进动）”
这一段读了几遍都没有看懂，怎么看怎么觉得别扭。我们是根据v(t)来计算a(t)的，也就是说假如有这样的v(t)，那么就会产生这样的a(t)，可是却被你倒过来：这样的a(t)会产生这样的v(t)~~~
我恐怕也无法沿着你的思路进行下去了~~~我想我对这个问题的讨论就到此为止吧？

1、这个结论不是诡辩，而是悖论。你不得不承认你的陀螺自转速度无穷大时，将会在重力作用下倒下来。
不是我找不到抵抗倾倒的力矩，而是你找不到。
2、这个问题很好理解。我们都知道，不是陀螺转多快都不会倒的，明明白白的事情，倾斜的陀螺不转，立刻就会倒下。如果初始自转速度较高，陀螺就可以不倒。
即：给定M、J，要保证陀螺不倒（规则进动），最小需要多大的自转角速度？
有一个陀螺，倾斜一定的角度，再给定自转速度，你不知道这个陀螺是不是会倒下来，当然这不怪你，拉格朗日也不知道
所以，这个问题你没有回答，而且不能回答
3、关于我的分析
你错了，这个a(t)=[QR/I]cos(ωt)直接来源于外力矩，没有外力矩，质点没有理由做v(t)=Vsin(ωt)形式的运动，他凭什么要这样运动？
你也说过，如果没有外力矩而陀螺仍然进动，他将会翻起来。又说翻起来的趋势会导致进动停下来，最终既不翻起来进动也停止了。这不就是证明吗？
你自己也这样说，我又做了那么多试验，看来是一点效果都没有，陀螺自己进动的错误概念怎么在你的头脑里就这么根深蒂固？
在a(t)=[QR/I]cos(ωt)的作用下，质点会怎样运动？
要知道，有加速度（真矢量），就是受到了力的作用，在力的作用下，质点的运动速度不受一点影响吗？
最后，陀螺的确太累人了。通过这段时间的讨论，我想也许大家都有了一点收获。你是一个思维严密，循规蹈矩优秀学生，但是你始终跳不出书本的圈子，书上没有的东西，你连想都不敢想。
这就是我的印象，希望没有伤到你。感谢多日来的讨论，希望我们以后还会有共同感兴趣的话题，谢谢

这样吧，我先让陀螺倾斜着进动，然后我强迫它明显再倾斜一些，也就是外力矩引起了破坏性章动。
这时看他除了继续进动外，是否点头或摇头，可以吗？这个实验我可以做
如果他点头或摇头了，说明你的预测正确，我们就沿着你的思路讨论；如果没有，说明我的思路正确，仍然请你继续批判我的思想，如何？请表态
紫藤萝兰网友，同意这个修改吗？

夏梦网友，走之前我再请教你一个问题，如方便请回答
根据质点运动速率v(t)=RΩsin(ωt)，你推出了相应的加速度（率）a(t)=-2RΩωcos(ωt)，这没有问题吧？
反过来，如果希望质点如此运动v(t)=RΩsin(ωt)，需要什么样的加速度？这个变速运动不需要加速度吗？
加速度是导致物体变速运动的“因”有问题吗？
这与陀螺无关了，希望回答，谢谢

夏梦走了
燕子耐不住长期论战，也随夏梦一起飞走了
真有曲终人散的感觉
不管怎样，这场讨论都使我加深了对陀螺的了解，加深了对牛顿力学的理解。应该感谢雪鹰
你对我提出实验的理解是错误的，我讲的是陀螺产生了平动后才会“摇头”
摇头是必然出现的。因为，第一，在所设想的情况下，没有外力做功（特殊情况下），系统的动能不变，平动速度不变，故陀螺不会定向转动。第二，在所设想的情况下，外力矩为零，故系统角动量不变。在这两个前提下，陀螺必然摇头。
雪鹰，等我几天好吗？解决几个关键点，整理好思路后，我将回答你关于陀螺的所有问题

[tr]
[td]雪映刀锋寒 于 2007-01-17 22:17 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]夏梦网友，走之前我再请教你一个问题，如方便请回答
根据质点运动速率v(t)=RΩsin(ωt)，你推出了相应的加速度（率）a(t)=-2RΩωcos(ωt)，这没有问题吧？
反过来，如果希望质点如此运动v(t)=RΩsin(ωt)，需要什么样的加速度？这个变速运动不需要加速度吗？
加速度是导致物体变速运动的“因”有问题吗？
这与陀螺无关了，希望回答，谢谢[/tr]
你的问题本身就不完全正确。“根据质点运动速率v(t)=RΩsin(ωt)，你推出了相应的加速度（率）a(t)=-2RΩωcos(ωt)”，不对，是根据陀螺自转的角速度ω和进动角速度Ω推出了加速度a(t)=-2RΩωcos(ωt)，这个加速度包括两部分，一部分是垂直于陀螺面的速度的大小发生的变化导致的加速度，另一部分是平行于陀螺的速度的方向发生变化产生的加速度，两者均为RΩωcos(ωt)，方向相同，所以总和就是2RΩωcos(ωt)了，你给的v(t)=RΩsin(ωt)的大小变化产生的加速度只是前者。
所以，这个加速度严格地讲是这样产生的：如果陀螺以角速度ω在自转，且以角速度Ω在向右进动，那么相对于静止参照系，陀螺各质点的加速度垂直于陀螺面的分量为a(t)=-2RΩωcos(ωt)。所以，这个加速度与速度v(t)=RΩsin(ωt)并不存在因果关系。最多，v(t)=RΩsin(ωt)只是产生a(t)=-2RΩωcos(ωt)的一半原因。
既然因果关系本来就不严格地成立，即使v(t)大小的变化贡献了a(t)的一半，勉强算是有因果关系吧，那么也只能是v(t)是因，a(t)是果。而倒过来则不一定成立：当加速度为a(t)时，会形成这样的速度v(t)。
有的因和果之间关系很紧密，倒过来是可以成立的，比如物体受到的合外力F合和物体的加速度a的关系，有这样的F合必然产生这样的a，反过来有这样的a必然是这样的F合形成的。可是在这里不一定。规则进动可以产生这样的加速度，可是不进动而加速章动（与进动垂直方向的转动）何尝不能产生这样的加速度？

当外力矩作用于陀螺以后，陀螺上半部分垂直于陀螺面的加速度应该向外，而下半部分应该向内。我们刚才说进右进动可以产生这一加速度，设向右以角速度ω进动可以产生这一加速度，可是向下加速章动同时可以产生这一加速度，设以角加速度a向下加速章动可以产生这一加速度。
事实上，我们还可以推出这样的结论：以一定的向右进动角速度和一定的向下章动角加速度的线性组合都可以产生这一加速度，比如向右进动角速度xω,向下章动角加速度ya，只要x+y=1即可。
也就是说，为了满足这一加速度，向右进动的角速度越小，向下章动的角加速度就要越大，反之亦然。

经过这么长时间的讨论，我想我已经把握了雪鹰的思路：
雪鹰在理解陀螺不倒和进动的过程中，突然悟到了陀螺上质点在进动方向上有速度v(t)=RΩsin(ωt)，在此基础上建立了陀螺研究的点模型。
从点模型出发，
他一个方向是解释陀螺不倒的原因，如果这个问题解释通了，就说明他的点模型是成功的，
他的另一个方向就试图用这个模型来解释一切陀螺现象，包括雪鹰后来一直强调的那个问题。
第一个方向的问题是有价值的，因为人们习惯于从牛顿的质点动力学出发解释现象，如果现象能够解释通，人们就可以从这个方向联系自己的经验，理解陀螺。
第二方向的研究是无意义的，质点模型和刚体模型有点类似于量子力学中海森堡的矩阵和薛定谔的方程，它们是相通的，在量子力学建立时都起到了十分重要的作用。但雪鹰的点模型却不同。刚体模型和在这个模型基础发展起来的刚体力学是研究转动问题的最合理最简美的概念规律体系。而对同一问题的描述，点模型则要繁杂得多。
关于解释陀螺不倒的原因，雪鹰的思路大概是这样的（我加上了一些必要的补充和评语。用括号括起）：
在陀螺规则进动前提下（盘状自由陀螺）
一、 观察到陀螺上某质点有垂直于盘面的随时间变化的速度v(t)=RΩsin(ωt) （不规则进动，式子就不成立了）
二、 对应速度v(t)=RΩsin(ωt)，必然存在一个垂直盘面的加速度a(t)=2RΩωcos(ωt)  （速度和加速度间不是因果关系）
三、 这个加速度是因为盘面给该质点的力引起的 F = m a(t)（它们间是因果关系）
四、 （这个力可以分解为相等的两个力，一个力产生垂直于盘面方向的加速度a(t)1=RΩωcos(ωt)，从而使随盘面转动的质点产生垂直盘面方向的速度变化。表现为同一质点垂直盘的速度随时间，随质点位置变化而变化。另一个力产生垂直盘面的等大的加速度a(t)2=RΩωcos(ωt) ，使随盘面转动的质点产生垂直于盘面的速度方向的变化）
五、（作用于陀螺的外力矩引起了上面的力）
正过来，可以这样说，
作用于陀螺的外力矩，产生使陀螺旋转的作用。
由于各质点的惯性，瞬间在陀螺各处产生相应应力。
各处应力都可以分解为垂直盘面的力和沿盘面的力。
沿盘面的力由于对称互相抵消
垂直盘面的力F = m a(t) 产生a(t)=2RΩωcos(ωt)
这加速度使沿盘面旋转运动的质点产生了垂直盘面方向的速度变化
这速度变化，其一是速度大小的变化，即v(t)=RΩsin(ωt)，
其二是速度方向的变化，速度增量与上面速度相同
所以，陀螺只产生水平方向的角速度为Ω的进动，而没有倒下去的转动。
雪鹰，我这样说你的思路，你同意吗？
然而这个说理环中有一环是有问题的，那就是为什么在外力矩作用时，各处产生的应力恰好是那么大，恰好使各质点产生a(t)=2RΩωcos(ωt) 这么大的加速度
显然，外力矩足够大时，陀螺就要拿下去，各点的加速度就不是a(t)=2RΩωcos(ωt)，
所以雪鹰必须说明，什么条件下陀螺只有进动，什么情况下陀螺会在进动的同时，产生倒下的运动
说明了这一点，就真正说明了“进动”和“不倒”的原因，雪鹰的说理就完整了。

呵呵，夏梦
写帖子用了好长时间，写完后才看见你的帖子
看来你对这个问题也了然于心了
我们对这个有趣问题的收获都得益于雪鹰。
值！
我对这个问题还有一些有意思的大胆的思考，等大致想通了时再贴上来请你们批判
不过，你说的角速度概念我不太理解，
我正要找资料查一查
似乎质点在做曲线运动时的角速度，以质点运动轨迹的曲率中心为圆心，而不是你说的以任意确定点为圆心

第1次看到雪映刀锋寒的第1和第2个贴子时，由于对陀螺不太了解，而且所用字母与我以前学习时一些字母不一样，当时未看懂，过了两天来K12时，页数已很多了，也就没看了。
这两天抽时间看了看这个贴子，谈点看法。由于大学内容是十多年前学的，而且书也没有了，所以只能定性分析，不对之处请指教。
第一、        雪映刀锋寒 的第1页第2贴。
1、引用：“他忽然发现，边缘上某质点运动很有规律，除去他自转速度，它垂直于盘面的速度竟然是v(t)=RΩsin(ωt) （这可是大实话）就在这摆着……”
上面这个式子没有错，但雪映刀锋寒好象不知道这是以哪个坐标系写的式子。
式子v(t)=RΩsin(ωt)的参考系是自然坐标系。从雪映刀锋寒的书写方式来看，是速率，而不是速度，且只描述了切向的速率。
举个例子，做匀速圆周运动的质点，在自然坐标系中，速率v=ds/dt ，写成雪映刀锋寒的形式，速率就是v(t)=rω，也就是大小不变。
2、引用：“经推导，此线加速度为a(t)=2RΩωcos(ωt)”
这个加速度是在惯性参考系中推出来的。也就是以地面为参考系推出来的。
在这个推导中，既要用你写的v(t)=RΩsin(ωt)，也要用到质点在绿线上的简谐运动，这个简谐运动是由于陀螺自转的俯视运动。

以地面为参考系，建立极坐标，则：
r(t)= Rsin(ωt)     (1)
θ=Ωt              (2)
由极坐标与直角坐标的关系得：
x= r(t)cos(θ)       (3)
y= r(t)sin(θ)       (4)
(说明：以上4个式子为标量式，只有大小关系)
则r(t)=xi+yj= Rsin(ωt)cos(Ωt)i+ Rsin(ωt)sin(Ωt)j
(说明：上式为矢量式，r(t)是矢量，加粗的i和j是x轴和y轴方向的单位矢量)
后面的推导就是网友拉普拉斯的推导。
这部分内容主要想说，推导过程中，(1)式是根据自转写的，(2)式是进动写的，则a(t)=2ΩωRcos(ωt)既与自转有关，也与进动有关。
3、引用：“实际上，圆盘在力偶作用下，在其边缘始终就存在如此形式的线加速度,a=α r=QRcos(θ)/I=QRcos(ωt)/I
α……角加速度
I……圆盘直径的转动惯量”
前面的第1、2的推导我没有发现错误。
但是
前面的推导是质点，而这里I是圆盘的转动惯量。
如果是圆环或圆盘，或是雪映刀锋寒手中的陀螺，转动惯量I是不变的。
如果是质点，则转动惯量I在自转一周的过程中，由于位置的变化，转动惯量I是变化的。
4、引用：“事实表明，a(t)=2RΩωcos(ωt)与a=QRcos(ωt)/I同为一体
因此QRcos(ωt)/I=2RΩωcos(ωt) ”
由于前面第3点还有待讨论清楚，暂不讨论第4点。
因为一直不清楚雪映刀锋寒发贴的目的，想请问雪映刀锋寒，你是不是想用质点动学讨论陀螺为什么不倒，而不想用刚体转动讨论?
我打字很慢，以上内容我打了近2小时。

“陀螺为什么不倒？”
这个问题真困惑人啊！
我看了“智者”的回答，其实这回答是很直率很合理的，这正是刚体力学的标准答案。深究起来，他什么也没有说。
雪鹰得到答案了吗？
没有，他的答案漏洞百出。
紫藤萝兰得到答案了吗，夏梦得到答案了吗？敲玉得到答案了吗？tony得到答案了吗？都没有
引入科利奥里力就解决问题了吗？那个解释总觉得使人心口堵得慌。
“拉普拉斯”网友给出的
质点
受力运动解析式令人恐怖，但剥去那层数学外壳看，它只告诉我们是这样的，并没有告诉我们为什么是这样的
为什么外力矩的那该死的使陀螺倒下的作用就没有了呢？
为什么会有进动作用，出现陀螺进动现象呢？
谁能告诉我们原因呢？
我发现，要解释“陀螺不倒”，先要解释一些更基本的问题，首先是下面问题：
第一个问题
不受外力矩的陀螺为什么会保持原来的转动方向不变？
解开了这个问题，我就能令人信服地说明陀螺为什么不倒。
这个问题看起来简单，回答起来并不简单，请诸位就这个问题发表一下看法，尤其请tony多谈些高论