当外力矩作用于陀螺以后,陀螺面各点相对于惯性系是要有加速度的,如果没有加速度,那么这个力矩的效果何在?(但是请注意,在这个加速度分布的基础上完全可以再叠加另一个与此垂直的加速度分布,这两个加速度分布的宏观效果互相垂直,因此互相独立.所以真实的加速度分布可能并不如你所计算的那样,只不过在与外力矩同方向上,加速度才如你所计算).
我们先是假设已经规则进动了,那么推出陀螺上各质点确实存在这样的加速度,所以陀螺可以继续规则进动下去,因为一切都不变.但是如果陀螺原来就没有这样的规则进动,没有这样的规则进动角速度,那么这个加速度也必须有,但是这样的加速度就只能产生加速章动了.
懂吗?不止是规则进动可以产生这样的加速度分布,加速章动同样可以产生这样的加速度分布.这才是最最关键的地方,你懂吗?
请注意它们的差别,一个是向右进动的角速度,一个是向下章动的角加速度,都可以产生这样的加速度分布.

雪映,关于加速度是否一定要和速度对应的问题.严格说来,是可以对应的,只不过每个速度除了大小改变时要产生一个加速度以外,方向改变时也要产生一个加速度,所以每个速度的变化会产生两个加速度,前者与速度同方向,后者与速度垂直.
用公式表示为(粗体表示矢量):v=vi,其中v表示速度的大小,i为速度方向上的单位矢量,也就是说表示速度的方向.
加速度为速度对时间的导数,a=dv/dt=d{vi}/dt=(dv/dt)i+vdi/dt
你求垂直于陀螺面的加速度,除了垂直于陀螺面的速度的大小变化产生的加速度以外,还有平行于陀螺面的速度的方向变化产生的加速度.你拚命地强调前者与加速度a的关系,而忽略了后者.

再用这张图来说明一下:

假如一只正在逆时针自转的陀螺,那么P点的速度是多少?是V1=ωr,这个速度是位于陀螺面以内的,如果陀螺同时向下章动,就是上半部分转向纸外,下半部分转向纸里,那么P点还具有垂直于陀螺面的速度,这个速度是V2=rcos(ωt+Φ)Ω.其中Ω是章动角速度.
我们当时计算了P点的加速度,为2Ωωrsin(ωt+Φ),此加速度在陀螺左半部分是向里的,右半部分是向外的.这就是所谓的科氏加速度.
但是在计算的时候我们假设章动角速度Ω是恒定的,可是如果Ω是变化的,也就是说有章动角加速度.其值为dΩ/dt,那么又会产生一个加速度分布,此加速度在陀螺上半部分是向外的,下半部分是向里的(当然我们假设Ω是增大的).
可见,章动角速度导致了一个左右相反的加速度分布,章动角加速度导致了一个上下相反的加速度分布.同理,进动角速度会产生一个上下相反的加速度分布,进动角加速度会产生一个左右相反的加速度分布.
反过来,如果有一个上下相反的加速度分布,那么它可能是由进动角速度造成的,也可能是章动角加速度造成的.还可能是两者的线性组合造成的.
当外力矩作用于陀螺时,外力矩的方向是使陀螺向下章动的,所以必然会产生一个上下相反的加速度分布,如果此时有进动角速度,而且角速度大小恰好使得其产生的加速度分布与外力矩要求的相同,于是就发生规则进动.可是如果没有进动角速度,或者进动角速度不够,那么就只能产生一个章动角加速度,与或者没有或者不够的进动角速度产生加速度分布加起来,形成满足外力矩要求的加速度分布.
另:章动角速度会产生一个左右相反的加速度分布,叠加在章动角加速度或者进动角速度所形成的上下相反的加速度分布上面,这说明总的加速度的分布是很复杂的,并不是外力矩就一定产生这样的加速度分布,我们只能说在陀螺面所有的加速度分布中,上下相反的部分一定和外力矩形成的相同.但左右相反的部分则与此毫无关系.
雪映,以上所述你懂了吗?
参禅是需要慧根的,没有慧根,再勤修苦练也是枉然,你能不能勘破其中玄机,就看你有没有慧根了~~~

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[td]雪映刀锋寒 于 2007-02-03 11:59 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]问题仍然出在这里，请看下图
若要质点简谐运动v(t)=ΩRsin(ωt)，圆周上必须有下图所示的加速度a(t)=2ΩωRcos(ωt)
这个加速度只能由M提供，a(θ)=[M/I]Rcos(θ)
针对选定的质点，a(t)=[M/I]Rcos(ωt)=2ΩωRcos(ωt)
对此，你们都确认过……

……不知说清了没有……[/tr]
但是,反过来从a(t)积分出来的如果是角速度那么合理的解释也应该是沿章动方向的而非进动方向的.因为重力的力矩是沿章动方向的嘛.

刚好要等一会才上课，上来看看。本想接着前面的内容谈谈，看雪映刀锋寒说到与拉普拉斯要闹翻了，就说说a(t)=[M/I]rcos(ωt+Φ)
先表明态度，这个式子是对的！其实就是角动量定律。
引用：“拉普拉斯就是不承认，他说只要圆盘自转，红圈上就没有这个加速度。规则进动时，圆盘没有绕水平直径翻转，所以不存在对此轴的角加速度”
你说的论坛我没去看，但如果真是这样，拉普拉斯上面的看法是错的。
先把问题简单化：
如下图，粗糙水平面上挂质量为M的物体A，受到水平向右的力F1保持静止，则F1产生的水平向右的加速度为a1=F1/M，这个a1相当于a(t)=[M/I]rcos(ωt+Φ)。

更改前面的引用内容：“拉普拉斯就是不承认，他说只要物体静止，物体就没有这个加速度。保持静止时，物体没有向右加速，所以不存在向右的加速度”
其实在上图中，物体A还受到了一个水平向左的静摩擦力F2，F2产生的水平向左的加速度为a2=F2/M，至于这个加速度相当于陀螺中的哪一个加速度，以后再谈，但它的大小等于a(t)=2ΩωRcos(ωt)。
a1与a2大小相等方向相反。
拉普拉斯认为没有a1，但根据分析的观点和看法不一样，也可以认为既有a1也有a2。
不知以上分析对雪映刀锋寒与拉普拉斯的讨论是否有用。

（再次感谢朋友们参与，我真的希望在你们的帮助下彻底弄清楚它，基本上是否定自己）
拉普拉斯又矢口否认了……哈哈，可能是这个简单的旋转的刚体太难伺候了吧
引用 (拉普拉斯 @ 2007年02月02日 15时53分)

你也知道说成是“企图翻转”？事实上绕3-9轴翻转了吗？没有绕3-9轴翻转，哪来的角加速度？
引用 (拉普拉斯 @ 2007年02月03日 15时10分)

唉，真是笨的家了，我从来都没有说过圆盘对3-9轴没有角加速度
我仍然在与他混战，恐怕不会有什么结果……
下面是拉普拉斯心情愉快地找到的我的死穴，你们谁能看懂？
这个话题最吸引我的，归根结底还是因为一直没找到你的死穴对我造成的困惑，自从上星期找到之后，心情不错
这个周末闲来无事，我花了些时间对你的整个推导过程仔细审查了一遍，发现了问题的所在。
由线加速度到角加速度，你简单的用了一个a=alpha*r，这是错误的，只有对半径固定的情况下，才有这个关系，在这里，半径显然是变化的，那么，一般的：
v(t)=omega(t)*r(t)
对时间求导：
a(t)=alpha*r(t)+omega(t)*r'(t)
r(t)不是常量，r'(t)就不是0，于是就多出这一项：omega(t)*r'(t)
这里出现了错误，之后的推导也就都没有意义了。

天涯(原夏梦) 于 2007-02-03 01:50 在大作中提到：

……可见,章动角速度导致了一个左右相反的加速度分布,章动角加速度导致了一个上下相反的加速度分布.同理,进动角速度会产生一个上下相反的加速度分布,进动角加速度会产生一个左右相反的加速度分布.……

我承认自己不是很聪明，有没有慧根只有天知道
我一直希望你考虑规则进动情况，你却凡谈陀螺，必说章动……
章动过程必然存在，然而却是一个短时间的过程，文献上称为“瞬态反应”，而且复杂得不得了
要相信事实，相信教科书，规则进动是存在的，此时没有章动，只有平稳的进动，简洁明快，我们何不就此展开讨论呢？非要去说那个乱的一团麻的章动才能分析陀螺吗？
清简化你的论述，不要“章动”二字，我们共同来剖析一下这个平稳的进动是怎么回事，好吗？

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[td]廖老头 于 2007-02-03 02:42 在大作中提到：[/td]
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[td][tr]雪映刀锋寒 于 2007-02-03 11:59 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]问题仍然出在这里，请看下图
若要质点简谐运动v(t)=ΩRsin(ωt)，圆周上必须有下图所示的加速度a(t)=2ΩωRcos(ωt)
这个加速度只能由M提供，a(θ)=[M/I]Rcos(θ)
针对选定的质点，a(t)=[M/I]Rcos(ωt)=2ΩωRcos(ωt)
对此，你们都确认过……

……不知说清了没有……[/tr]
但是,反过来从a(t)积分出来的如果是角速度那么合理的解释也应该是沿章动方向的而非进动方向的.因为重力的力矩是沿章动方向的嘛.[/tr]
反过来从a(t)=[M/2I]Rcos(ωt)积分出来的是线速度v(t)=[M/2Iω]Rsin(ωt)
这个a(t)肯定是“章动（铅直）方向”，就如上图（余弦变化）
但是显然这个v(t)却是正弦变化，因此扭转了90度，到了水平方向

v(t)=[M/2Iω]Rsin(ωt)=ΩRsin(ωt)
请以单摆做比，加速最大时（12、6），速度为0……质点垂直于盘面方向无运动
加速度为0时（3、9），速度最大……此时质点绕12-6旋转线速度最大
因此，表盘
12-6连线空间位置静止（圆盘不以3-9轴翻转=不倒）
其余各点均绕12-6匀速旋转（圆盘整体绕12-6旋转=进动）

章动无法回避,当陀螺受到外力矩的时候,必须先沿外力矩方向转动,由此产生的回转力矩才导致了进动.如果我们回避了章动,就是回避了最关键的问题——陀螺的进动是如何发生的。
如果回避了章动，那就只有进动了，按照我上面贴子的论述，外力矩作用在陀螺上以后，视当时的进动角速度，陀螺会产生不同的章动角加速度，以使两者在陀螺面上产生的加速度分布之和与外力矩所产生的加速度分布相符。如果你不研究章动，那就只剩下进动了！那研究个什么？干脆承认它自动进动得了！

雪映刀锋寒网友，看了《博士论坛》那边的贴子，心中有一些想法，说出来你不要介意。
那边的拉普拉斯开始怀疑你是民科了，其实我也有同样的感觉，前面有个贴子，我当时说你“肯定是民科”，后来觉得语气过重，被我编辑掉了。看来这位拉普拉斯跟我的感觉相同：你一定是个民科。
民科本来不是贬义词，但是由于网络的流行，一些民科把他们的“理论”发到网络上，这些“理论”是如此的浅陋不堪，而他们的态度又是如此的傲慢，于是渐渐地，“民科”成为贬义词了。
本来民科不是坏事，业余时间研究研究科学，有什么坏处呢？尽管有那么多令人厌恶的民科，可是我依然期待一个好“民科”的出现。你如果算一个民科的话，那么有什么特点呢？
你的基础不扎实，这是肯定的，这一点和一般的民科相符。你研究的课题不是最高深的，这一点和一般的民科不符。你的口气很大，要推翻几百年来的陀螺理论，这一点又与民科相符，当然有时候你也谦虚谦虚，说你的目的只是要人们找出你的错误。所以你应该是一个介于踏实和浮躁之间的民科。
可是你最大的缺点是：听不进别人的意见，一味坚持自己的一套。
这个贴子之所以讨论了三十多页，其实有很多完全是重复劳动，你的错误人家早就给你指出了，可是你听不进，或许贴子根本就没看，看你下面发贴时，这些错误观点照常搬出来，似乎根本不受影响。
比如大家早就给你指出了，你所谓的a(t)和v(t)的关系根本不存在，拉普拉斯早就给你指出：“不要以为一个加速度必然对应一个速度”，说这些的时候你在K12的贴子好象还没发吧？可是你听进去了吗？你根本不为所动！依然把你的一套贴了过来。这里的人们也给你指出过多次，你依然我行我素地重复你的那一套：“这样的a(t)导致这样的v(t)”。怪不得拉普拉斯感叹道：“我甚至怀疑你是故意的装傻来浪费我的时间！”。
再比如你动不动搬出“自转角速度无穷大会导致陀螺倒下”的谬论来，我耐心地一遍又一遍地解释，告诉你无穷大不过是一个极限情况，又举例说如果按照你的逻辑，那动量定理也会不成立。不知道你有没有细心看过。如果看过了，怎么现在又搬出这一套陈词滥调来了？
以你现在的水平，是根本没有能力进行研究的，你最好的办法是好好学一学教材上的内容。不要用做研究不是坏事来作为晃子，做研究固然不是坏事，可是一点基础都没有的研究能出成果吗？对于你本人的益处有踏踏实实地学习一下教材的益处大吗？
不过还是应该感谢一下你的这个贴子，使大家大讨论中提高了很多，如果你象一般的民科那样来试图推翻相对论，那恐怕没有多少人会回贴。你的课题比较贴近实际，大家就帮你找找错了，在找错中大家也得到了提高。所以你与一般的民科还是有区别的。

雪网友您看了天涯的批评可能很不服气。究其根源我想您是不是看到了觉得用科里奥利加速度来分析陀螺的运动过程太复杂，或者您和我一样以前根本就没有用科里奥利加速度来分析过陀螺的运动过程。而您却已经从稳定进动时的各点的加速度与与重力矩所产生的加速度是吻合的（这一点我以前也是不知道的，只是在您的推导过程中偶然得出的）这一事实出发从而绕过科里奥利加速度的繁难的讨论而直接得出陀螺进动的理论。但是您却遇到了一个不能逾越的障碍，那就是章动出现。但是如果没有章动又会与能量守恒相矛盾。所以您提出了混沌的假说。但是我已经用科里奥利加速度的分析列出了近似的微分方程（即章动足够小的情况，从而把陀螺的球面运动简化为柱面运动），并且用对比的方法求地了他的解。您当时只是因为对电磁学已经不熟悉因而舍弃了我的讨论，还是觉得用科里奥利加速度进行分析根本就不正确。所以才对我的讨论不屑一顾？如果您仅仅是因为对电磁学已经不熟悉，那我可以进一步解出这组微分方程，并详细分析其运动过程。

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[td]天涯(原夏梦) 于 2007-02-03 05:17 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]章动无法回避,当陀螺受到外力矩的时候,必须先沿外力矩方向转动,由此产生的回转力矩才导致了进动.如果我们回避了章动,就是回避了最关键的问题——陀螺的进动是如何发生的。
如果回避了章动，那就只有进动了，按照我上面贴子的论述，外力矩作用在陀螺上以后，视当时的进动角速度，陀螺会产生不同的章动角加速度，以使两者在陀螺面上产生的加速度分布之和与外力矩所产生的加速度分布相符。如果你不研究章动，那就只剩下进动了！那研究个什么？干脆承认它自动进动得了！[/tr]
我不明白，难道你要否认规则进动吗？

廖老头 于 2007-02-04 03:31 在大作中提到：

雪网友您看了天涯的批评可能很不服气。…… 但是您却遇到了一个不能逾越的障碍，那就是章动出现 。但是如果没有章动又会与能量守恒相矛盾。所以您提出了混沌的假说。但是我已经用科里奥利加速度的分析列出了近似的微分方程（即章动足够小的情况，从而把陀螺的球面运动简化为柱面运动），并且用对比的方法求地了他的解。您当时只是因为对电磁学已经不熟悉因而舍弃了我的讨论，还是觉得用科里奥利加速度进行分析根本就不正确。所以才对我的讨论不屑一顾？如果您仅仅是因为对电磁学已经不熟悉，那我可以进一步解出这组微分方程，并详细分析其运动过程。

廖老明鉴，我并非对您和天涯夏梦的解释不屑一顾，相反，我很想弄清楚。但是有个问题，“科氏力”的出现依赖参考系，也就是我看着有，您看着也许没有，因为我们处在不同的参照系。用这样一个力来作为最终解释，我认为不妥。
更为严重的是，您根据“科氏力”结合“电学理论”，推出了“章动公式”，这个公式与“阻尼使章动消失”直接矛盾，我前面说过，可是您和天涯夏梦避而不谈，这个问题不解决，这个结论的基础就不能说牢固。
章动问题：点头、时效性。这两个现象我可以解释，并不是不可逾越的障碍。这需要在a(t)=[M/2I]Rcos(ωt)导致质点v(t)=[M/2Iω]Rsin(ωt)基础上，进行分析。我可以交代清楚

我发此帖的目的，主要是想就陀螺问题向朋友们请教交流，更重要的是希望朋友们就我的思路提出意见
和您的讨论已经到了对质点自转一周具有的a(t)=[M/2I]Rcos(ωt)进行积分得v(t)=[M/2Iω]Rsin(ωt)=ΩRsin(ωt)这一步
廖老认为有问题吗？

紫藤萝兰 于 2007-02-03 16:19 在大作中提到：

……

哈哈，好啊，原来是充电去了，你的小燕子已经被我派到仙女星系去了，离银河系不知多少光年，怎么你又找到她了？
我的思路
1、力矩M通过α=M/I使圆盘边缘出现a(t)=[M/I]Rcos(ωt)
2、自转的质点在a(t)作用下，出现同方向（垂直盘面）的运动v(t)=[M/2Iω]Rsin(ωt)=ΩRsin(ωt)
3、事实存在、教科书确认、欧拉拉格朗日确认的、《陀螺力学》作者承认的“规则进动”，即：天涯夏梦坚决否认的“无章动”平稳进动，圆盘边缘质点的运动规律就是第二步的结果v(t)=ΩRsin(ωt)，至此，对陀螺不倒及进动的起源分析完毕。
一共三步，目前正在遭受全面阻击，火力基本集中在前两步，你是第一个阻击第三步的人，继续……
（好惨哪……我说的话没一句正确……）

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[td]雪映刀锋寒 于 2007-02-01 03:36 在大作中提到：[/td]
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质点自转一周的过程中，将经历余弦形式的加速度a(t)=(M/I)rcos(ωt+Φ)刚好一个周期
质点在此加速度作用下，将会表现出复杂行为，也就是受迫单摆运动特性
在M一定时，自转速度的变化将对质点的运动产生直接影响，随着ω从0→∞
1、ω=0，质点作直线运动（陀螺直接倒下）
2、再增加，质点做张弛振动、混沌运动（陀螺逐渐倒下，运动无规律）
3、ω增加到某个值时，质点做规则运动（简谐运动V(t)=Ωrsin(ωt+Φ)），陀螺（圆盘）作规则进动
质点在进入简谐运动之前，还有一个逐渐消失的调整过程，这个过程称为
振动系统的过渡过程
，这就是力矩开始作用到陀螺规则进动前的章动
受力矩作用初始阶段，即使在理想条件下，也存在阻尼，这个阻尼产生于所有质点开始振动的惯性阻力，随着所有质点都进入简谐运动，阻尼消失
4、ω再增加，质点将维持简谐运动，只是振幅逐渐减小（陀螺进动变慢），直至自转速度增加到无穷大，振幅为0，进动停止。理论上再大的力矩也不能使自转轴变化方向，呵呵，无穷大除外。
以上仅从频率变化角度简要地介绍了受迫振动的运动过程，从直线运动→张弛振动→混沌运动→简谐运动→静止
每两个运动之间有明确的分水岭，比如混沌与简谐运动之间，就有明显的界限，超过这个界限就是简谐运动（陀螺规则进动），低于此界限则不能（也就找到了维持规则进动的最小自转角速度）

这都可以用数学方法求解出来
，然而！！！！！！！
这是一门高深的数学知识，涉及混沌、共振等多门学科，我就受阻于此啊，已经阻止我多时了……不然我早就找到力矩一定时维持规则进动的最小自转角速度和自转速度一定时允许的最大力矩了
说得太多恐廖老一时难以适应，只要记住在条件适当的情况下，力矩导致的a(t)=(M/I)rcos(ωt+Φ)可以使圆盘上所有质点进入简谐运动V(t)=Ωrsin(ωt+Φ)≡陀螺不倒并进动就可以了，这才是陀螺不倒并进动根源！[/tr]
燕子：萝兰委托我发一信给雪鹰
关于模型
你在帖子中谈到“受迫单摆”运动
我想你的意思是指做简谐运动的单摆吧
你在别处论坛曾讨论过一只水平方向的振子（这振子的“轴”在水平方向转动）
我想这两个模型应该是一个模型吧，它们都做简谐振动。
在物理学中，为了研究简谐振动曾有一个奇妙的构想——单位圆
即在水平方向做简谐振动的振子的运动，可以看成是一个在竖直方向做匀速圆周运动质点在振子振动方向的投影
这使我们很容易确定振子的位置、速度、加速度随时间变化的情况。
这个转换反映了圆运动和振动之间的内在的深刻联系
你的说法实际上是把圆运动化成振动研究了。这也无可厚非，正向思维和逆向思维原本就是对称的。
如果你能把前人关于振动的研究成果带进圆运动来，并使问题得到简化和形象化，那也是很有意义的事
但我看不到这一点
一般说来，圆运动比振动更简单，直观，引进振动来说明圆运动，往往会使人们在圆运动中可以看清的问题，用振动观点来看却看不清了
你引入的“张弛振动”“混沌”概念，除了使大家更混沌以外，对我们的问题有什么用呢？
我认为，你的观点完全可以用圆运动自身来说明，你到目前为止也是这样做的。在我们的讨论中就不必出现振子或“受迫单摆”了，你意下如何呢？

我在前面开了句玩笑……为了活跃气氛
实际上我并不觉得“惨”，而是感到很荣幸。有这么多朋友关注并参与讨论，我是求之不得。
正如天涯夏梦所说，我比一般的“民科”强一些，他们对光子穷追不舍，对永动机情有独钟，说实话在我看来也都是胡扯。而我说的陀螺，话题比较实在，看得见摸得着，所以朋友们才肯帮我找错误，我衷心地谢谢你们！
关于“简谐运动”问题，我认为，只要承认质点作圆周运动的过程中，垂直于盘面的方向运动速度变化规律是v(t)=Vsin(ωt)，这个速率外观上很像简谐规律，那么它就在某个参照系里在做简谐运动，可惜我找不到这个参照系。
也就是敲玉所云，我到现在仍然没有建立坐标系。而坐标系又是我们讨论的基础，我们都习惯于在某个坐标系里分析问题。这个矛盾深深地困扰着我，我曾经力避参照系，但是避无可避。
没办法，我只得让你的小燕子去了仙女星系，在那里，这个质点在做实实在在的简谐运动。
我认为，陀螺现象是三个同周期、相互都垂直的简谐运动的组合，其中两个同振幅的简谐运动合成圆周运动，另一个自己单独作简谐运动。正是它导致陀螺不倒并进动，因此，受迫振动的概念不能舍弃，或者说这是我的思路的关键，一旦舍弃，我将无所适从。这个思想将立即宣判死刑
关于我的思路，目前的主要问题：
1、博士家园的拉普拉斯禁止我用α=M/I，并且不承认他亲手推出的a(t)=-2ΩωRcos(ωt)，在我的穷追之下，他不再强调这两个问题，转而又禁止我用a=rα，目前仍在乱战中；
2、天涯夏梦强行否认a(t)=[M/2I]Rcos(ωt)与v(t)=[M/2Iω]sin(ωt)=ΩRsin(ωt)的关系；
3、看你的意思，是要不承认v(t)=ΩRsin(ωt)，为什么？请说明理由
你们三大高手各把一关，这都是我不得不经过的关口，有一个我过不去，我的整个思想体系就是垃圾，不用各位说我自己也会消失。但是我恳请你们说清理由，至少让我嘴上服气

雪映刀锋寒 于 2007-02-04 20:41 在大作中提到：

[tr]廖老头 于 2007-02-04 03:31 在大作中提到：

雪网友您看了天涯的批评可能很不服气。…… 但是您却遇到了一个不能逾越的障碍，那就是章动出现 。但是如果没有章动又会与能量守恒相矛盾。所以您提出了混沌的假说。但是我已经用科里奥利加速度的分析列出了近似的微分方程（即章动足够小的情况，从而把陀螺的球面运动简化为柱面运动），并且用对比的方法求地了他的解。您当时只是因为对电磁学已经不熟悉因而舍弃了我的讨论，还是觉得用科里奥利加速度进行分析根本就不正确。所以才对我的讨论不屑一顾？如果您仅仅是因为对电磁学已经不熟悉，那我可以进一步解出这组微分方程，并详细分析其运动过程。

廖老明鉴，我并非对您和天涯夏梦的解释不屑一顾，相反，我很想弄清楚。但是有个问题，“科氏力”的出现依赖参考系，也就是我看着有，您看着也许没有，因为我们处在不同的参照系。用这样一个力来作为最终解释，我认为不妥。
更为严重的是，您根据“科氏力”结合“电学理论”，推出了“章动公式”，这个公式与“阻尼使章动消失”直接矛盾，我前面说过，可是您和天涯夏梦避而不谈，这个问题不解决，这个结论的基础就不能说牢固。
章动问题：点头、时效性。这两个现象我可以解释，并不是不可逾越的障碍。这需要在a(t)=[M/2I]Rcos(ωt)导致质点v(t)=[M/2Iω]Rsin(ωt)基础上，进行分析。我可以交代清楚

我发此帖的目的，主要是想就陀螺问题向朋友们请教交流，更重要的是希望朋友们就我的思路提出意见
和您的讨论已经到了对质点自转一周具有的a(t)=[M/2I]Rcos(ωt)进行积分得v(t)=[M/2Iω]Rsin(ωt)=ΩRsin(ωt)这一步
廖老认为有问题吗？[/tr]
首先，科氏加速度是在惯性系中推出的（是您和我共同推出的），只是其坐标系采用的是极坐标系（确切的说应该是柱面或球面坐标系）就如同平面的匀速圆周运动，如果我们没有极坐标的概念恐怕也很难把他表达为x=rcosωt和y=rsinωt,正是因为有了极坐标中的半径和角速度的概念我们才能正确地理解上面两个式子中的r和ω的物理意义否则他们只能表示两个常数，甚至于根本得不出上面两个式子。当然在此基础之上我们对他们求导则更可以求出他在x方向和y方向的速度和加速度：
vx=-rωsinωt,vy=rωcosωt。
ax=-rω2cosωt,ay=-rω2sinωt，
但是到此为止还没有表示出向心加速度意义。只有再把他们化成极坐标的表达式才能表达出法向加速度（向心加速度）为ar=rω2和切向加速度at=0。
关于章动消失的问题我上次已经说了，可能没说清楚。如果没有任何阻力则章动不可能消失（除非在释放陀螺时事先一个恰当的进动速度Ω）。那么在有阻力的情况下，无论是章动方向的还是进动方向的阻力最终都表现为对章动的阻尼。因为进动方向速度的减小可以通过向下倒（章动）来补偿。所以在有章动的情况下他只表现为对章动的阻尼，在章动已经消失以后也会通过不断地向下倒而及时得到补充。
至于说到重力矩积分出来的角速度也应该首先是向下倒的角速度。
下面我在举一个例子，您可能知道圆锥摆吧。当圆锥摆的角速度较大时，摆球做圆周运动，如果不断减小其角速度当达到某一值是摆球将在竖直方向原地转动，但是如果我们再加大其角速度，摆球将仍在其原地转动，只有在受到干扰以后才再次摆起。

说明一点，我不是要你禁用公式v(t)=RΩsin(ωt)，而是如何理解这个公式
尤其是式中的ω。这个ω是非进动时陀螺的自转角速度，还是进动时的自转角速度？
你如何回答我前面提出的问题：陀螺进动时能量的变化是怎么回事

廖老的论述我还要消化，但是请您和天涯夏梦相信，无章动的规则进动是存在的，书上称为强迫规则进动，并指出存在最小临界自转速度

但同时也指出存在欧拉-潘索的自由规则进动（无外力矩），对此我不敢说不认同，只是还没有理解。因为超出了我的所见所闻以及理解范围，当然，我无关紧要，但是天涯夏梦以及您尊崇的科氏力矩，将没有外力矩给与平衡，陀螺将有可能翻起来。

[tr]
[td]紫藤萝兰 于 2007-02-04 22:21 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]说明一点，我不是要你禁用公式v(t)=RΩsin(ωt)，而是如何理解这个公式
尤其是式中的ω。这个ω是非进动时陀螺的自转角速度，还是进动时的自转角速度？
你如何回答我前面提出的问题：陀螺进动时能量的变化是怎么回事[/tr]
陀螺这个坑太深了，我也逐渐感觉沉重。但是对我的思路这也禁止，那也否定，明明白白的积分关系，硬说没有，而不说出道理，我实在心有不服
你不禁止太好了，说明我们还可以就此交流
v(t)=RΩsin(ωt)中的ω，怎么说呢？他是陀螺的自转角速度，不管陀螺是在进动还是不进动，我们报告陀螺自转角速度时，应该都是ω吧？
比如，我们说地球每天自转一周，说这句话时不会考虑地轴是否在进动，他指向哪里，对吗？
关于能量问题：
圆盘的刚性不变，必须考虑整体性。一个质点的合成速度在增加时，与其水平对称的另一个质点的合成速度正在同幅度减小，比如2点的质点正在加速，同时10点的质点正在减速，总能量不变。

我上面所说的圆锥摆不是用绳悬挂的而是用铰链连接的.我的意思是圆锥摆在原地自转是第一性的,而摆起来则是第二性的是在受干扰以后才产生的,同样在陀螺受到重力矩的作用时产生倾倒的加速度是第一性的而产生进动的加速度则是第二性的，是在产生了倾倒的速度以后才发生的.

我明白您的意思，倾倒为因，进动为果，继续推论，进动为因，出现抵抗倾倒的科氏力矩为果
是这样吧？
但是我们不能否认“规则进动”，此时“无章动”，不再倾倒。重力矩持续作用，陀螺平稳进动，章动不存在了！
因果关系没有了……可以说科氏力矩依然存在，因为在进动。但是谁导致的进动呢？没有章动，没有“因”了，只好承认进动是靠惯性
既然是惯性，有没有重力矩无所谓了，他都将进动下去，即使撤掉重力矩，陀螺的进动也不会停止。
推论有问题吗？