新年将至，提前给各位坛友们拜个早年

祝各位新春愉快，事事如意

"现在就来说摩擦问题，假定摩擦只影响章动，每一个章动周期都比上一个要短，幅度要小。而进动的启动刹车周期完全依赖章动，因此，进动也是越来越慢，当章动完全消失的时候，那个周期已经刹车的进动由于没有章动来为它加速，所以进动将停止。"
这一段完全不正确.
我愿您先把弹簧振子的振动搞清楚,然后再对比陀螺的运动.
也就是说,那您的问题先在弹簧振子模型中应该怎样分析搞清了再分析陀螺.
我还是那几个问题:
1.不考虑因果关系只从物理量之间的等量关系是不能运动的规律的.
2.只有因果关系的定性分析也还不能确定运动规律.
3.只有在定性分析的基础上再进行定量的计算才能确定运动规律.
您总拿一些没有定量关系的定性分析来试图确定运动规律是不行的.所以还请您先把弹簧振子分析清楚.不能只停留在"增大""减小"的水平上.要了解无阻尼的振动至少达到"正弦函数",余弦函数"的水平吧.如果再考虑有阻尼的情况恐怕要求还应该高一些吧.要分析陀螺的运动则更复杂.我上次画的两个过程您都仔细看了吗?
重力=加速度⑴—→（时间积累）—速度⑵—→（时间积累）—→形变=回复力⑶。
把他数学化便得出弹簧的振动方程。您应该知道如果没有阻力则弹簧将不停地振动下去，如果有阻力则最终将在某一形变处达到稳定。
那么陀螺运动的因果关系如何呢？通过天涯的分析可粗略地表示如下：
重力矩=章动加速度⑴—→（时间积累）—→章动速度=进动加速度⑵—→（时间积累）—→进动速度=回转力矩⑶。
首先是弹簧的振动过程!

我说过已经离开学校多年，动手操练方程的能力已经严重退化，就是由v(t)=ΩRsin(ωt)推出a(t)=-2ΩωRcos(ωt)都要依赖您和已经和我闹翻了的拉普拉斯等网友，我最初的结果只是想当然的
a(t)=ΩωRcos(ωt)
，呵呵，见笑了……
（……我可不想再和任何人闹翻，有什么言语不周之处，还请指出并海涵）
既然您一再要求我进入实战，我只得勉力为之，有何不妥之处请即刻指出来


对您的上述论断，我怎能不屑一顾？只是由于前面的原因，又由于加入了电学，所以不能就具体细节讨教，而且我彻底相信您的推导能力，故此对您的推论过程未予评价
如果结论有问题，只能出在的基础上，而不是过程
比如（我前面也说过），您的最终结论，章动幅度与自转角速度成反比，两者不可能同时加大会减小。摩擦不可能只影响章动而不影响自转，随着自转速度受阻尼降低，对章动的影响应该是加强，尽管摩擦也在消减章动幅度（作用机制尚不明确），但是我感觉着总是个矛盾
（从公式看出，gLR基本都为常量，摩擦只能影响章动幅度和自转角速度，因此只有这两个变量，而且他们的积恒定，一个变小，另一个必然变大）
下面来具体分析
由重力矩引起章动，章动角速度引发进动加速度，进动加速度时间累计为进动速度，进动速度又导致与重力矩反方向的回转力矩，逐渐抵抗倾倒趋势制止向下章动并使之抬头，升至初始高度即最高点
以弹簧作比，重力矩开始作用于陀螺=弹簧振子在回复力作用下从一端开始加速运动
然后陀螺章动加速并出现
加速进动
（回转力矩出现）=弹簧
振子继续加速
运动
先看这一步理解是否有问题？

[tr]
[td]雪映刀锋寒 于 2007-02-08 11:47 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]我说过已经离开学校多年，动手操练方程的能力已经严重退化，就是由v(t)=ΩRsin(ωt)推出a(t)=-2ΩωRcos(ωt)都要依赖您和已经和我闹翻了的拉普拉斯等网友，我最初的结果只是想当然的
a(t)=ΩωRcos(ωt)
，呵呵，见笑了……
（……我可不想再和任何人闹翻，有什么言语不周之处，还请指出并海涵）
既然您一再要求我进入实战，我只得勉力为之，有何不妥之处请即刻指出来
对您的上述论断，我怎能不屑一顾？只是由于前面的原因，又由于加入了电学，所以不能就具体细节讨教，而且我彻底相信您的推导能力，故此对您的推论过程未予评价
如果结论有问题，只能出在的基础上，而不是过程
比如（我前面也说过），您的最终结论，章动幅度与自转角速度成反比，两者不可能同时加大会减小。摩擦不可能只影响章动而不影响自转，随着自转速度受阻尼降低，对章动的影响应该是加强，尽管摩擦也在消减章动幅度（作用机制尚不明确），但是我感觉着总是个矛盾
（从公式看出，gLR基本都为常量，摩擦只能影响章动幅度和自转角速度，因此只有这两个变量，而且他们的积恒定，一个变小，另一个必然变大）
下面来具体分析
由重力矩引起章动，章动角速度引发进动加速度，进动加速度时间累计为进动速度，进动速度又导致与重力矩反方向的回转力矩，逐渐抵抗倾倒趋势制止向下章动并使之抬头，升至初始高度即最高点
以弹簧作比，
重力矩开始作用于陀螺=弹簧振子在回复力作用下从一端开始加速运动
然后陀螺章动加速并出现
加速进动
（回转力矩出现）=弹簧
振子继续加速
运动
先看这一步理解是否有问题？[/tr]
由于摩擦的作用章动可能早已消失,如果未消失,当然回加强章动,即使章动已经消失,他也会靠不断倒下来补偿所需要的进动速度.也就是说一定的倒下的速度来补偿所需要的进动速度..
重力矩开始作用于陀螺=重力开始作用于弹簧.陀螺开始出现章动速度=弹簧开始出现速度.陀螺开始出现进动速度=弹簧出现形变.

[tr]
[td]雪映刀锋寒 于 2007-02-07 19:46 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]紫藤萝兰   

雪鹰，现在的任务是先把对陀螺本身的一些问题搞清楚，然后再来评价你、我以及其它人对陀螺的理解方式

应该，至少要先将事实弄清楚
在普通教材中，一般根据ω>>Ω而忽略进动角动量，近似地认为L=Jω
http://www.xauat.edu.cn/ex/tsinghua/software/08/01/001/01/00001/bj/ch13/bj13_06.htm
你所深究的，正是被忽略掉的这部分
在外力矩作用下，陀螺出现进动。以外力矩不做功、角动量守恒为前提，陀螺纯粹自转的角动量的确应该有所降低，那只能是ω小一些了，你说的有道理
当外力矩撤除，陀螺立即停止进动，我认为这部分进动角动量应该是又还给了陀螺的自转，理想条件下，陀螺自转角速度又恢复原大小[/tr]
雪鹰
陀螺进动时自旋角速度ω减小，你对这个问题的理解和我是一样的，正如你所说，在外力矩撤掉，陀螺停止进动时，陀螺角速度又将恢复原来大小。
但这个问题在我们的研究中不能忽略，因为它正是分析规则进动破坏的关键所在

紫藤萝兰 于 2007-02-06 22:05 在大作中提到：

推导可能有错，我谈谈，你看看是不是有错。
你前3个式子是陀螺绕3-9为轴转动，也就是讨论的章动。其dθ是章动转过的角度。
第4个式子Ω = dθ/dt是陀螺绕12-6为轴转动，也就是讨论的进动。其dθ是进动转过的角度。
这两个dθ相等？如果相等，为什么相等？

紫藤不是说有事情要办吗？提前完成了？
关于外力矩撤除，陀螺进动形成的转动能量的去向问题，我也在很多地方求教过，都不得要领
我思来想去，只能认为还给了陀螺，作用机制类似天涯的思路，进动惯性导致抬头，抬头导致反方向进动，反方向进动导致陀螺点头，点头又导致进动
周而复始，自转轴以极高的频率原地画微小的正方形，小到只是个趋势，相当于自转速度恢复
思路怪诞，从没有人认同过，你是第一个对此结果表示赞同的人，对过程还未必同意。我也很少与人说起
先审查事实吧，不弄清事实，总会出偏差

敲玉你可来了
我凭直觉认为好像你对我的思路并没有完全否定……
现在我的问题似乎进入到了一个惯性定律用于非惯性系得出正确结果的地步，真是步履维艰

[tr]
[td]廖老头 于 2007-02-08 00:31 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]……由于摩擦的作用章动可能早已消失,如果未消失,当然回加强章动,即使章动已经消失,
他也会靠不断倒下来补偿所需要的进动速度.也就是说一定的倒下的速度来补偿所需要的进动速度
..
重力矩开始作用于陀螺=重力开始作用于弹簧.陀螺开始出现章动速度=
弹簧开始出现速度
.陀螺开始出现进动速度=
弹簧出现形变
.[/tr]
我们在红字部分出现了分歧，廖老是否认为理想规则进动（严格在水平面内）不存在？
再有，陀螺要维持匀速进动，是否需要能量输入？就是说匀速进动要消耗势能？
关于弹簧：
章动在铅直方向振荡，进动在水平方向“启动（加速）-刹车（减速）”一步步前进，两者互相垂直，都符合弹簧运动规律
您说的弹簧指的是哪一根？
或者是将章动+进动周期综合理解为一根弹簧？
请确认一下

[tr]
[td]雪映刀锋寒 于 2007-02-08 03:19 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]敲玉你可来了
我凭直觉认为好像你对我的思路并没有完全否定……
现在我的问题似乎进入到了一个惯性定律由于非惯性系得出正确结果的地步，真是困难[/tr]
你第1页第2贴的推导，我看基本上是对的。
谈谈一些想法：
1、不要用v(t)=RΩsin(ωt)推a(t)=2RΩωcos(ωt)，而应用拉普拉斯的推导。
2、拉普拉斯说不能用a = αr，我想了想，可以用，你那只是章动方向的大小关系。他说不能用的原因是因为他的坐标系与你不一样，所以他用叉乘，再来求导数。其实你们都是对的，只是没有看懂对方的意思。
3、我现在没想清楚的是：在这里角动量定律能不能用？
我这没有陀螺，请你帮我做个实验：在陀螺不转或转速极低的时候，把它拿在手中，让转轴转动，也就是让它向一个方向章动，但不要进动，不知我说清没有，就是让它的转轴只能在同一个圆上运动。然后在陀螺转速极高的时候再做一次。你用手上的感觉比较一下，两次的力矩是一样大的吗？我认为会有极大的差别。
其实也常在看这个贴子，只是说得少。

敲玉余韵 于 2007-02-08 02:49 在大作中提到：

[tr]紫藤萝兰 于 2007-02-06 22:05 在大作中提到：

推导可能有错，我谈谈，你看看是不是有错。
你前3个式子是陀螺绕3-9为轴转动，也就是讨论的章动。其dθ是章动转过的角度。
第4个式子Ω = dθ/dt是陀螺绕12-6为轴转动，也就是讨论的进动。其dθ是进动转过的角度。
这两个dθ相等？如果相等，为什么相等？[/tr]
敲玉，
到现在为止，我的讨论还未涉及章动

紫藤萝兰 于 2007-02-08 07:26 在大作中提到：

[tr]敲玉余韵 于 2007-02-08 02:49 在大作中提到：

[tr]紫藤萝兰 于 2007-02-06 22:05 在大作中提到：

推导可能有错，我谈谈，你看看是不是有错。
你前3个式子是陀螺绕3-9为轴转动，也就是讨论的章动。其dθ是章动转过的角度。
第4个式子Ω = dθ/dt是陀螺绕12-6为轴转动，也就是讨论的进动。其dθ是进动转过的角度。
这两个dθ相等？如果相等，为什么相等？[/tr]
敲玉，
到现在为止，我的讨论还未涉及章动[/tr]
刚好在网上找到一个证明式子与你一样的，文字说明比你的多，你看看是不是你的那种证法？
http://www.wljx.sdu.edu.cn/wlwz/reading/r_xuanjin/xuanjin1.htm

[/img]

敲玉余韵 于 2007-02-08 11:46 在大作中提到：

推导可能有错，我谈谈，你看看是不是有错。
你前3个式子是陀螺绕3-9为轴转动，也就是讨论的章动。其dθ是章动转过的角度。
第4个式子Ω = dθ/dt是陀螺绕12-6为轴转动，也就是讨论的进动。其dθ是进动转过的角度。
这两个dθ相等？如果相等，为什么相等？[/quote]
敲玉，
到现在为止，我的讨论还未涉及章动[/quote]
刚好在网上找到一个证明式子与你一样的，文字说明比你的多，你看看是不是你的那种证法？
http://www.wljx.sdu.edu.cn/wlwz/reading/r_xuanjin/xuanjin1.htm
[/quote]
敲玉：
你提供的这个材料和我的那个证明一样，区别是我原来的那个证明是在自由陀螺（即支点在质心上）的情况下得出的，而你提供的证明是关于定点陀螺的（即支点不通过质心）。证明方法是一样的。我正要从第一种陀螺转入第二种的讨论，谢谢你提供的证明。
理解这个证明的要点是从上面俯视下去，看陀螺的
旋转方向变化
（上图）
你可以与做圆周运动质点的平动方向变化时（下图）产生的角速度（
平动方向变化
）相比较
我希望你和我一起从中领会从P26页开始的，关于平动和转动
两种基本运动方式思想
的比较和理解

我：从现在开始，我们将进入章动的讨论
燕子：好的
我：为便于理解，我们研讨的模型由自由陀螺转为定点陀螺
燕子：就是那种可以摇头的陀螺吗？
我：是的
看到上面敲玉提到的证明了吗？
燕子：看到了，自由陀螺与定点陀螺的进动角速度有相同的证明方法
我：不仅进动角速度相似，前面关于进动时引起自转角速度变化的论证，对于定点陀螺也是适用的
燕子：就是说，在施加外力矩时，定点陀螺的角速度也会变小。
我：是的

[tr]
[td]雪映刀锋寒 于 2007-02-08 16:33 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]
[td][tr]廖老头 于 2007-02-08 00:31 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]……由于摩擦的作用章动可能早已消失,如果未消失,当然回加强章动,即使章动已经消失,
他也会靠不断倒下来补偿所需要的进动速度.也就是说一定的倒下的速度来补偿所需要的进动速度
..
重力矩开始作用于陀螺=重力开始作用于弹簧.陀螺开始出现章动速度=
弹簧开始出现速度
.陀螺开始出现进动速度=
弹簧出现形变
.[/tr]
我们在红字部分出现了分歧，廖老是否认为理想规则进动（严格在水平面内）不存在？
再有，陀螺要维持匀速进动，是否需要能量输入？就是说匀速进动要消耗势能？
关于弹簧：
章动在铅直方向振荡，进动在水平方向“启动（加速）-刹车（减速）”一步步前进，两者互相垂直，都符合弹簧运动规律
您说的弹簧指的是哪一根？
或者是将章动+进动周期综合理解为一根弹簧？
请确认一下[/tr]
我们在红字部分出现了分歧，廖老是否认为理想规则进动（严格在水平面内）不存在？
在进动方向有阻力的时候是不存在的.如果进动方向无阻力而只在章动方向有阻力则可以存在.
陀螺要维持匀速进动，是否需要能量输入？就是说匀速进动要消耗势能？
只要有阻力就需要.
我是把陀螺的运动与弹簧的振动做对比.陀螺就是陀螺其中没有弹簧.弹簧指的就是竖直悬挂的弹簧振子.没有"哪一根".
我的意思是陀螺的运动规律(包括章动和进动)总体来说,与竖直悬挂的弹簧振动的规律相同.因此可以用对比的方法来理解.也就是说如果把弹簧的振动规律都掌握了,就可以这样对比来理解陀螺的运动.就好比我们理解了速度是单位时间内位置的改变量,加速度是单位时间内速度的改变量,这样就可以根据速度与位置的关系来理解加速度与速度的关系.

如果进动方向无阻力而只在章动方向有阻力则可以存在.
这是不可能的。
一般情况下，阻尼来自陀螺支点的摩擦以及空气对整体的摩擦，受阻尼影响最大的是陀螺自转，因为速度最快。阻尼如何影响进动和章动，作用机制仍然不明
我的意思是陀螺的运动规律(包括章动和进动)总体来说,与竖直悬挂的弹簧振动的规律相同
竖直悬挂的弹簧振动只有一个方向，而我们讨论的模型具有竖直（章动）和水平（进动）两个方向的振动，不能直接作比

能否这样，将圆周打开，以阻尼只对章动起作用为前提，建立一个水平运动的悬挂弹簧模型，当弹簧竖直方向的振动被阻尼耗尽静止后，只剩下水平运动，可以吗？

[tr]
[td]雪映刀锋寒 于 2007-02-09 11:36 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]
如果进动方向无阻力而只在章动方向有阻力则可以存在.
这是不可能的。
一般情况下，阻尼来自陀螺支点的摩擦以及空气对整体的摩擦，受阻尼影响最大的是陀螺自转，因为速度最快。阻尼如何影响进动和章动，作用机制仍然不明
我的意思是陀螺的运动规律(包括章动和进动)总体来说,与竖直悬挂的弹簧振动的规律相同
竖直悬挂的弹簧振动只有一个方向，而我们讨论的模型具有竖直（章动）和水平（进动）两个方向的振动，不能直接作比

能否这样，将圆周打开，以阻尼只对章动起作用为前提，建立一个水平运动的悬挂弹簧模型，当弹簧竖直方向的振动被阻尼耗尽静止后，只剩下水平运动，可以吗？[/tr]
这是不可能的。
研究问题要一步步来.中学讲弹簧振子不是也不计阻力吗?自由落体不也是不计阻力吗?先把无阻力的情况搞透,然后再考虑阻力也不迟.
不可以.
竖直悬挂的弹簧振动只有一个方向，而我们讨论的模型具有竖直（章动）和水平（进动）两个方向的振动，不能直接作比
我是比较他们的变化规律,又不是比较他们的运动方向.我还把他与点电荷在电磁场中的运动相比呢,那不是更离谱了吗.

[tr]
[td]敲玉余韵 于 2007-02-08 04:00 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]……你第1页第2贴的推导，我看基本上是对的。
谈谈一些想法：
1、不要用v(t)=RΩsin(ωt)推a(t)=2RΩωcos(ωt)，而应用拉普拉斯的推导。
2、拉普拉斯说不能用a = αr，我想了想，可以用，你那只是章动方向的大小关系。他说不能用的原因是因为他的坐标系与你不一样，所以他用叉乘，再来求导数。其实你们都是对的，只是没有看懂对方的意思。
3、我现在没想清楚的是：在这里角动量定律能不能用？
我这没有陀螺，请你帮我做个实验：在陀螺不转或转速极低的时候，把它拿在手中，让转轴转动，也就是让它向一个方向章动，但不要进动，不知我说清没有，就是让它的转轴只能在同一个圆上运动。然后在陀螺转速极高的时候再做一次。你用手上的感觉比较一下，两次的力矩是一样大的吗？我认为会有极大的差别。
其实也常在看这个贴子，只是说得少。[/tr]
谢谢肯定，我都快没信心了……
关于试验
陀螺不转或转速很慢，那在手里翻动与拿一块石头没有区别
如果陀螺转速很快，那感觉可就不一样了，首先陀螺将抵抗对他的翻动，力量超出我们想象，其次就是在手翻转的的垂直方向陀螺自己要翻转，所以不注意陀螺会从手里跑出来
另外我正在整理我的思路，届时还请指正为盼，谢谢

这是不可能的。

研究问题要一步步来.中学讲弹簧振子不是也不计阻力吗?自由落体不也是不计阻力吗?先把无阻力的情况搞透,然后再考虑阻力也不迟
.
竖直悬挂的弹簧振动只有一个方向，而我们讨论的模型具有竖直（章动）和水平（进动）两个方向的振动，不能直接作比

我是比较他们的变化规律,又不是比较他们的运动方向.我还把他与点电荷在电磁场中的运动相比呢,那不是更离谱了吗.

对一个运动系统，要考虑阻尼就要综合考虑，不然就都理想化，去除阻尼
回收卫星要同时考虑水平方向与垂直方向的空气阻力，才能计算出正确的轨道，只管其中一项，必将得出错误的结果
现摆着这个符合实际而又直观简单的水平运动+垂直振动的模型不用（将上面的圆周打开成直线），何必要另建模型呢？
为求能够尽量直观说明问题，模型越贴近实际越优先，这不是建立模型的基本原则吗？
再说，既然事实存在，采取哪个模型都将分析出相同的结果，我们就采用我说的模型如何？
如果没有意见，我将展开分析

紫藤萝兰 于 2007-02-08 07:26 在大作中提到：

[tr]敲玉余韵 于 2007-02-08 02:49 在大作中提到：

[tr]紫藤萝兰 于 2007-02-06 22:05 在大作中提到：

推导可能有错，我谈谈，你看看是不是有错。
你前3个式子是陀螺绕3-9为轴转动，也就是讨论的章动。其dθ是章动转过的角度。
第4个式子Ω = dθ/dt是陀螺绕12-6为轴转动，也就是讨论的进动。其dθ是进动转过的角度。
这两个dθ相等？如果相等，为什么相等？[/tr]
敲玉，
到现在为止，我的讨论还未涉及章动[/tr]
我再说说我的意思，你看看我有什么地方说错。
1、第1个式子与第2个式子是同一个式子，都是质点系角动量定律。其实也就是M=Iβ=dL/dt。（说明：β是角加速度，且这是一个矢量式）
2、M、β、dL是矢量，由上式可知它们方向相同，其方向用右手螺旋来分析M，分析的动作是对着我们现在看到的显示屏，大拇指向上，方向都是你图中的M方向（也许你认为我对你不敬，还要给你讲右手螺旋，但绝无此意，我只是希望你真的做一下）。
3、现在
最关键的是来分析β
的方向。由右手螺旋得出大拇指向上时，
角加速度β是让L垂直于显示屏向里加速转动
（你的图中无法画出来，这就是我前面说到的章动方向）。经过dt的时间，转过了dθ1的角度，由右手螺旋，方向也与你图中的M方向相同（真不知我说清楚没有）。
而是你图中的逆时方向转过的dθ，是进动转过的角度，就是你的第4式子那样，dθ=Ωdt，由右手螺旋，其方向垂直于显示屏向外。
至于你给我画的另一个物体做圆周运动的图，我不清楚你的意思，如果物体作匀速圆周运动，角动量的大小和方向都不变。

我再说说我的意思，你看看我有什么地方说错。
1、第1个式子与第2个式子是同一个式子，都是质点系角动量定律。其实也就是M=Iβ=dL/dt。（说明：β是角加速度，且这是一个矢量式）
2、M、β、dL是矢量，由上式可知它们方向相同，其方向用右手螺旋来分析M，分析的动作是对着我们现在看到的显示屏，大拇指向上，方向都是你图中的M方向（也许你认为我对你不敬，还要给你讲右手螺旋，但绝无此意，我只是希望你真的做一下）。
3、现在最关键的是来分析β的方向。由右手螺旋得出大拇指向上时，
角加速度β是让L垂直于显示屏向里加速转动
（你的图中无法画出来，这就是我前面说到的章动方向）。经过dt的时间，转过了dθ1的角度，由右手螺旋，方向也与你图中的M方向相同（真不知我说清楚没有）。
而是你图中的逆时方向转过的dθ，是进动转过的角度，就是你的第4式子那样，dθ=Ωdt，由右手螺旋，其方向垂直于显示屏向外。
至于你给我画的另一个物体做圆周运动的图，我不清楚你的意思，如果物体作匀速圆周运动，角动量的大小和方向都不变。
________________________________________________________________
敲玉：
公式M=Iβ=dL/dt中M，β，dL都是矢量，
它们的方向一样
。我想我的原推导是没有问题的。这里理解的焦点是，我们讨论的是L或ω的方向即转轴方向的变化，而非盘缘质点的运动变化。你这一句“
角加速度β是让L垂直于显示屏向里加速转动
”是不对的吧。

至于这两个图，它们的物理意义是不一样的。
前者是陀螺的旋转运动在涡旋力（力矩）作用下的旋转方向变化情况，后者是质点的平动运动在向心力作用下的平动方向变化情况
。二者有相似的表述方式，但后者好理解，前者难想象。为什么会这样呢？就是因为我们大都是在“牛顿”平动环境培养下成长起来的“平动人”，而非在转动环境下培养的“转动人”
我还是希望你和我一起从中领会从前面网页P26页开始的，我关于平动和转动两种基本运动方式想法的比较和理解

章动的含义
我：现在研究章动，以下讨论的模型不是自由陀螺，而是定点陀螺
燕子：好啊，终于开始章动研究了
我：这是一个步步陷井的雷区
燕子：有这么严重啊
我：离开了欧拉和拉格朗日的普遍性公式，采用一种简化的易于理解的方式解说陀螺，考虑不周，是很容易犯错误的
燕子：我知道了
我：咱们采用坚实的理论基础，同时请朋友们多多验证监督，也许会少犯错误
燕子：那就多请朋友们帮助了
我：我们先来考察什么是章动
燕子：章动也要考察吗？
我：是的。名不正则言不顺。你说一种章动，我说另一种章动，就说不到一起。也许，搞清楚了什么是章动，为什么会产生章动也就清楚了。
燕子：什么是章动？陀螺点头呗。
我：我们研究的是定点陀螺，点头是定点陀螺的一种现象，是一种章动现象。但这种说法不是现象的定义。陀螺点头是章动，但章动不一定就是陀螺点头啊
燕子：我明白了。下定义时要有概括性，要揭示出现象的本质。
我：是的
燕子：陀螺点头时，是因为受到了重力矩的作用。可以这样说吧，受到重力矩作用时陀螺的运动是章动。
我：这不是现象的本质。在前我们已经看到，受到重力矩时，陀螺可以只发生进动。
燕子：也许进动、章动本质上是一种运动形式，章动是进动的初期阶段。
我：不，不，在我看来，
进动和章动是陀螺的两种完全不同的运动方式。区别之大有如质点的直线运动和圆周运动。
燕子：那什么是章动呢？
我：你还记得前面我们曾讨论过的，物质有两种基本运动方式吗？
燕子：记得，记得。物体同时具有平动和转动两种运动方式
我：在不受外力时，陀螺处于怎样的运动状态？
燕子：既有平动又有转动呗
我：是的。陀螺在不受外力作用时，保持惯性运动状态。可以静止，也可以整体做匀速直线运动（平动），也可以保持自旋状态，也可以同时保持平动和转动状态不变。燕子，你能举例说明最后一种状态吗？
燕子：一只陀螺自由下落时，突然失去重力，它将边匀速下落（保持平动状态），边匀速转动（保持转动状态）
我：很好。这样的一只陀螺在受到外力作用时，会怎样运动？
燕子：这个问题前面我们已经讨论过了，如果受到单向力的作用，将只改变陀螺的平动运动状态，如自由下落的陀螺
我：陀螺受到力矩作用时呢？
燕子：陀螺将改变它的旋转运动。如果力矩方向与自旋方向相同，陀螺将加速旋转，如果力矩方向垂直于自旋方向，它将改变自转的方向同，即进动
我：好了，注意，如果陀螺受到向心力的作用呢？
燕子：陀螺将只改变它的平动运动的方向，做匀速圆周运动，不，不，平动方向变了，旋转方向也就变了，不，不，我的思维乱了。
我：我们讨论最简单的情况。一只连同柄（支点）的旋转陀螺在匀速下落过程中，如果支点突然挂住，陀螺将怎样运动？
燕子：这我知道，在柄的向心力作用下，陀螺将边旋转，边摇头。
我：对啊。摇头就是章动。
燕子：你的意思是说，
一只自旋的又有平动的定点陀螺，在受到（与平动方向垂直的）向心力作用时，就会发生章动。
我：完全正确。
燕子：这种情况就是你先前雪鹰所用一本书中的“自由规则进动”吧。
我：我看了这本书。书在后面称这种情况是“自由规则章动”，这个提法较好。
燕子：在重力矩作用下陀螺的点头章动也属于这种情况吗？
我：对，但这种情况比较复杂，它是进动和章动的叠加，是一种复杂的章动。
燕子：怎样理解呢？
我：你看。如果定点旋转的陀螺只受重力矩作用时，它将只有进动，没有章动。
燕子：这就是我们前面讨论的“规则进动”
我：对。
燕子：具有平动的旋转陀螺，在向心力作用下，它将产生“规则章动”，即摇头
我：对
燕子：陀螺在重力矩作用下的复杂章动是……
我：重力矩一方面使陀螺进动，同时重力矩做功，又产生平动，
平动的自旋陀螺在向心力作用下产生章动
，这是一种十分复杂的运动
燕子：
归根结底，章动是与平动和向心力联系在一起的
我：正是这样。在我看来，章动与进动有根本性的区别。
进动与“涡旋力”（力矩）联系在一起，是旋转运动在涡旋力作用下产生的现象，章动与过质心的“向心力”联系在一起，是（平动+转动）运动在有心力作用下产生的现象
燕子：噢，我渐渐明白你的意思了
我：这些想法希望得到朋友们的批判。
燕子：欢迎大家帮助，提批评意见
我：下一贴我们将详细讨论“陀螺摇头”——规则章动

嗯……继续，一旦被我寻到破绽，我也会像对付天涯和廖老一样穷追不舍

廖老并天涯，不应回避水平运动+垂直振动的模型，这个模型说是我提出的不切合实际，事实上正是您二位提出的这个模型
章动速度
产生进动加速度，进动加速度累积为
进动速度
，进动速度产生“回转力矩”（反向章动），抵抗重力矩并使陀螺抬头，抬头的过程中进动减速，至最高点，进动速度为0（进动停止）
然后进入下一个循环周期
因此，
陀螺轴端表现为，一下一上，水平方向一走一停

这不正是二位思路吗？
我说的模型，就是两位思路的具体体现，应该可以使用吧？