关于进动的解释，可以采用如下定性的说法：刚体绕轴自旋（轴的一端固定），当受到外力矩作用的时候，在趋势上它是要倒向外力方向的（陀螺要沿重力方向倒下去），这时，我们考察刚体转动的边缘，将倒下的速度叠加上去，就会出现一侧速率增加一侧速率减小的情况，这样就会使两侧的运动不平衡，刚体向速率慢的一侧偏移（好像是甩出去的样子）。显然，这是一种惯性现象。

视频我观看了。
今年回家在火车上的时候，列车员就拿了这个东西来表演，当转动时放在手指上，加上有光闪烁，还有音乐，女儿马上被吸引住了，就闹，要买。跟你那个一样的。
一次，我玩的时候，转动起来也放在手指上，不经意去碰了它一下，我以为要掉到地上去，结果没有，反而在碰到的瞬间（同时？）陀螺也对我的手指有一个力的作用。当时第一个想法是惯性：它总是反抗外力对它的改变！
又觉得有点儿像电学中的ＰＬＬ（锁相环），保持一个动态平衡。
关注你们的讨论。
　

[tr]
[td]雪映刀锋寒 于 2006-12-14 14:53 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]
[td][tr]雪映刀锋寒 于 2006-12-13 21:58 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]呵呵，我与廖老师有共同爱好，不但小时候，现在我手边就有“空竹”

先请来此看看陀螺视频

您爱玩空竹，陀螺现象不用我说您已经很清楚了，不过看看也不多余，各位朋友也都来看看
关系式的推导下一步给出[/tr]
圆盘在图示力偶的作用下，的确会出现绕12-6轴的翻转（进动），只要自转角速度ω和“力偶”的值Q不变，翻转的角速度Ω就不变
就以此为基础，讨论圆盘边缘某质点的速度变化
以下推导，请廖老师及各位朋友严加审查

俯视圆盘及质点运动

任意时刻，质点垂直于圆盘方向的速度变化规律为
v(t)=RΩsin(ωt)
这一步是否有问题？
实际上就是拿起手表让表盘正对自己，以12-6为轴旋转手表，观察秒针尖端垂直于表盘方向的速度
没问题吧？对这个事实我都有些不相信了

[/tr]
请您继续说.

另外关于空竹我还有一个重要的问题想问一问。就是：各个地区抖空竹的方式略有不同，南京的方式是：小头朝里（指向胸前）大头朝外，绳子两段交叉如果夹角为90°则其与轴的包角为270°。如果紧张绳在内侧（在小头一侧）松弛绳在外侧（在大头一侧）则空竹的进动过程中能保持旋转轴的水平状态。反之如果紧张绳在外侧（在大头一侧）则空竹的旋转轴不能保持水平而出现大头一侧逐渐下垂。这是何故？起先我想是紧张绳与轴的侧面产生的压力的结果，但是当大头下垂以后这种压力应该不再存在，但是仍然不能制止大头的继续下垂。

[tr]
[td]老武 于 2006-12-14 02:41 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]这要看你认为那个红色箭头是怎么运动的


（我点击“将此图片显示在文章中”怎么没用？表情符号有时也点不上去。郁闷！！）
[/tr]
怎么可能？在本论坛你是元老级啊，还摆不平一张图？
我要认为红色箭头怎样运动，才可以用v(t)=RΩsin(ωt)来描述他？

TonyDeng 于 2006-12-14 04:21 在大作中提到：

关于进动的解释，可以采用如下定性的说法：刚体绕轴自旋（轴的一端固定），当受到外力矩作用的时候，在趋势上它是要倒向外力方向的（陀螺要沿重力方向倒下去），这时，我们考察刚体转动的边缘，将倒下的速度叠加上去，就会出现一侧速率增加一侧速率减小的情况，这样就会使两侧的运动不平衡，刚体向速率慢的一侧偏移（好像是甩出去的样子）。显然，这是一种惯性现象。

一旦人们突然意识到经典理论对陀螺为什么不倒无能为力，都会想方设法尝试着去补救
Tony网友的这个思路，在“北京相对论联谊会论坛”、“天涯科技论坛”、“西路挑战相对论论坛”等都曾有人提出过，但是都因为两侧速度差引起的运动不平衡将会使圆盘水平平移，从而违反动量守恒而不得不放弃
Tony网友可以在深入一些，看看是不是这个结果

[tr]
[td]sprint 于 2006-12-14 10:26 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]视频我观看了。
今年回家在火车上的时候，列车员就拿了这个东西来表演，当转动时放在手指上，加上有光闪烁，还有音乐，女儿马上被吸引住了，就闹，要买。跟你那个一样的。
一次，我玩的时候，转动起来也放在手指上，不经意去碰了它一下，我以为要掉到地上去，结果没有，反而在碰到的瞬间（同时？）陀螺也对我的手指有一个力的作用。当时第一个想法是惯性：
它总是反抗外力对它的改变！
又觉得有点儿像电学中的ＰＬＬ（锁相环），保持一个动态平衡。
关注你们的讨论。
　[/tr]
谢谢朋友关注，欢迎加入讨论
事实就是如此。我们的目的就是要弄清楚“为什么”会这样。
是惯性没问题，惯性究竟怎样起的作用，不但反抗外力对他的改变，并且生出垂直于外力的运动，必须要深入探索他的作用机理

[tr]
[td]廖老头 于 2006-12-14 20:02 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]
请您继续说.[/tr]
根据v(t)=RΩsin(ωt)，推导其相应的线加速度
yulongjiang网友从矢量合成角度给出的分析结果

因此，与其相对应的线加速度为
a(t)=2RΩωcos(ωt)
（需要说明，因所选初相位不同，因此我改为了cos，意义不变）
按时间、位置、方向标注于圆盘，其形状则如下图

二、拉普拉斯网友从解析角度给出的证明
看题没看仔细，我以为Ω和ω是同一个值，所以我都写成了ω，所以答案中看不到Ω
如果Ω和ω不相等的话，那答案就比较复杂了。
重新来一遍，根据题意：
位移矢量：
r=Rsin(ωt)(cos(Ωt)i+sin(Ωt)j)
求导得速度：
v=ωRcos(ωt)(cos(Ωt)i+sin(Ωt)j) + ΩRsin(ωt)(-sin(Ωt)i+cos(Ωt)j)
再求导得加速度：
a=-ωωRsin(ωt)(cos(Ωt)i+sin(Ωt)j) + 2ΩωRcos(ωt)(-sin(Ωt)i+cos(Ωt)j) - ΩΩRsin(ωt)(cos(Ωt)i+sin(Ωt)j)
容易看出，第一，三项都是沿AB方向的，其实，第一项就是沿AB简谐振动的加速度，第三项就是向心加速度。
第二项是垂直于AB方向的，所以第二项的模即为所求：2ΩωRcos(ωt)
它和你算的答案的形式很接近，但差一个2，这是为什么呢？
是这样的，在垂直AB的方向上，你漏掉了一部分加速度。
前面所说的第二项，叫作科里奥利加速度，法国数学家科力奥利早已研究过这种运动了，并且给出科里奥利加速度的一个很简洁的形式：a=2ω×V （叉积又来了，呵呵）
其实直接套这个公式就能得到上面的答案，我一步步推导是为了让你更加信服。
你算出来的答案只是科里奥利加速度的一部分（很巧，正好是一半），你漏掉了另一半。
直观的说，你只考虑了半径变化引起的圆周运动线速度变化导致的加速度，没有考虑AB旋转时引起的沿AB的速度的方向的变化导致的加速度，要知道，这个加速度也是垂直于AB的，而且这个加速度也恰好等于你算得那个加速度（计算的过程就可以证明它们相等）。所以你正好少算了一半。
以上两位网友从不同的角度给出了相同的结果，形状都如上图所示
请继续审查

雪映刀锋寒 于 2006-12-15 16:32 在大作中提到：

[tr]TonyDeng 于 2006-12-14 04:21 在大作中提到：

关于进动的解释，可以采用如下定性的说法：刚体绕轴自旋（轴的一端固定），当受到外力矩作用的时候，在趋势上它是要倒向外力方向的（陀螺要沿重力方向倒下去），这时，我们考察刚体转动的边缘，将倒下的速度叠加上去，就会出现一侧速率增加一侧速率减小的情况，这样就会使两侧的运动不平衡，刚体向速率慢的一侧偏移（好像是甩出去的样子）。显然，这是一种惯性现象。

一旦人们突然意识到经典理论对陀螺为什么不倒无能为力，都会想方设法尝试着去补救
Tony网友的这个思路，在“北京相对论联谊会论坛”、“天涯科技论坛”、“西路挑战相对论论坛”等都曾有人提出过，但是都因为两侧速度差引起的运动不平衡将会使圆盘水平平移，从而违反动量守恒而不得不放弃
Tony网友可以在深入一些，看看是不是这个结果[/tr]
进动运动在这方面就是这样的，做实验可以证明确实在该方向上无外力会横移，动量守恒在这方面无能为力，是该对动量守恒的应用方法进行反思——这是刚体运动，整体的动量守恒不是这样看的。

[tr]
[td]老武 于 2006-12-14 02:41 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]
（我点击“将此图片显示在文章中”怎么没用？表情符号有时也点不上去。郁闷！！）
[/tr]
在点击“将图片显示在文章中”之前，请将光标放在你希望图片出现的位置试试看

TonyDeng 于 2006-12-15 06:15 在大作中提到：

进动运动在这方面就是这样的，做实验可以证明确实在该方向上无外力会横移，动量守恒在这方面无能为力，是该对动量守恒的应用方法进行反思——这是刚体运动，整体的动量守恒不是这样看的。

动量守恒是宇宙基本法则，陀螺做为质点系，无论转与不转，都必须遵守
实验表明，如果没有水平力（支撑面光滑），陀螺质心不会横移
请来看试验，重点看“
冰上陀螺
”
我没有条件作更精准的实验，但是那个“冰上陀螺”已经可以说明问题
如果不考虑支架质量以及任何摩擦力，陀螺必然会以自己的质心为圆心做水平旋转
因此，《陀螺力学》教材上的如下描述，就闹出了突破动量守恒的笑话

廖老师：
根据v(t)=RΩsin(ωt)

我预感存在如下形式的加速度a(t)=Acos(ωt)

曾想当然地推出a(t)=RΩωcos(ωt)
但是前述两位网友指出了我的错误，并给出了正确结果a(t)=
2
RΩωcos(ωt)
廖老师意下如何？
至于抖空竹时线的缠绕方法不同会有不同结果，我也注意到了。我想可能与主动手快速提升时线绳对转轴的作用方向有关，如果换左手为主动手（左撇子），可能就不会出现下垂的现象

[tr]
[td]雪映刀锋寒 于 2006-12-16 10:12 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]廖老师：
根据v(t)=RΩsin(ωt)

我预感存在如下形式的加速度a(t)=Acos(ωt)

曾想当然地推出a(t)=RΩωcos(ωt)
但是前述两位网友指出了我的错误，并给出了正确结果a(t)=
2
RΩωcos(ωt)
廖老师意下如何？
至于抖空竹时线的缠绕方法不同会有不同结果，我也注意到了。我想可能与主动手快速提升时线绳对转轴的作用方向有关，如果换左手为主动手（左撇子），可能就不会出现下垂的现象[/tr]
一开始我也感觉应该是a(t)=RΩcos(ωt)但是我想这里涉及转动因此情况应该复杂得多.您提供的资料我正在学习.
还有抖空竹的问题,我正是左撇子,不过是左右交换而已,效果是一样的.同样有大头下垂的现象.

因为要考虑旋转，加速度是a(t)=2RΩωcos(ωt)无疑
有什么问题请及时交流
关于空竹，我曾经发现一旦大头开始下垂，无论怎样用力加快转速，都不能制止。对此我还无法解释，应该仍然与线绳和轴之间的作用有关，没认真想过
您发现大头开始下垂之后，是否试过等他进动半周朝向自己时再用力？熟练之后可以很快解开线绳缠绕，试过吗？

声明：
本贴讨论的问题，对在校学生的学业没有任何帮助，也许对深刻理解陀螺问题有些作用，但并不属于一般理科大学理论力学的主要内容
学生以学业为主，因此不建议在校学生介入讨论，以免浪费时间，甚至影响传统概念的确立
谢谢
继续欢迎喜欢深入探讨问题的诸位网友发表意见

[tr]
[td]雪映刀锋寒 于 2006-12-16 09:59 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]动量守恒是宇宙基本法则，陀螺做为质点系，无论转与不转，都必须遵守
实验表明，如果没有水平力（支撑面光滑），陀螺质心不会横移
[/tr]
在陀螺进动中刚体所绕轴定点受了外力，这里不存在什么动量守恒的条件，应用不上。你所说的话中红字部分，就否定了这个系统满足动量守恒的条件，它确实受到了外力作用，还说什么动量守恒呢。

进动最典型的例子，是那个旋转圆盘不坠并在水平面上转圈的实验。如果要用自己感官体验进动，可以用雨伞来做，那个实验可以通过手的用力方向来感知，横向力是很明显的，但在这个方向上没有任何外力作用，而你的手必须施加横向力才能使雨伞维持在原来的竖直面上。

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[td]TonyDeng 于 2006-12-16 10:37 在大作中提到：[/td]
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[td][tr]雪映刀锋寒 于 2006-12-16 09:59 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]动量守恒是宇宙基本法则，陀螺做为质点系，无论转与不转，都必须遵守
实验表明，如果没有水平力（支撑面光滑），陀螺质心不会横移
[/tr]
在陀螺进动中刚体所绕轴定点受了外力，这里不存在什么动量守恒的条件，应用不上。你所说的话中红字部分，就否定了这个系统满足动量守恒的条件，它确实受到了外力作用，还说什么动量守恒呢。[/tr]
请注意，教科书上的陀螺的确受到了外力的作用，但是这个外力只有
垂直向下的重力
，陀螺质心出现的是
水平位移
，这是不可能的
这是概念问题，应该弄清楚。我认为（实验也证实）光滑平面上的陀螺，只受到重力作用，陀螺质心不能有水平位移，只能以自己的质心为圆心做水平圆周运动。
因此，教科书自相矛盾，光滑平面上，接触点不可能是“定点”；如果是“定点”，平面就不光滑，存在水平力，此时“定点”必须是“铰接”。
请Tony网友明察

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[td]雪映刀锋寒 于 2006-12-17 09:37 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]请注意，教科书上的陀螺的确受到了外力的作用，但是这个外力只有
垂直向下的重力
，陀螺质心出现的是
水平位移
，这是不可能的
这是概念问题，应该弄清楚。我认为（实验也证实）光滑平面上的陀螺，只受到重力作用，陀螺质心不能有水平位移，只能以自己的质心为圆心做水平圆周运动。
因此，教科书自相矛盾，光滑平面上，接触点不可能是“定点”；如果是“定点”，平面就不光滑，存在水平力，此时“定点”必须是“铰接”。
请Tony网友明察[/tr]
教科书上讲进动时可不是仅举陀螺，这点也请你明察。我再前一个贴子看到没有？多做几个进动实验自然会理解这个问题。我从来不和你讨论什么光滑面上的陀螺运动，我说的是典型的进动运动。事实上，在实际的进动运动中，还有一种叫章动的运动。教科书上讲进动公式时多次强调近似考虑，这些字眼都是要注意的。

典型的进动运动，已经提前预设接触点为“定点”，这本无可厚非，因为讨论的就是旋转刚体的定点运动
下面的这页教材我已经贴了三次了，作者一方面认定接触点为
定点
，同时画蛇添足地表明这是
光滑平面上玩具陀螺的简化模型
现在的问题是，
在光滑平面上简化不出接触点为定点
首先请Tony网友审查一下，这页教材错没错？

拉格朗日-泊松解是刚体定点运动中三种能有精确解的情形之一，支点在光滑面上的情形不属于该解之内。

TonyDeng 于 2006-12-17 03:59 在大作中提到：

拉格朗日-泊松解是刚体定点运动中三种能有精确解的情形之一，支点在光滑面上的情形不属于该解之内。

呵呵，你怎么就是不肯说该教科书的作者概念有误？
你就说她错了，他也不敢怎么办你，因为他确实错了
这可是著书立说的专业学者啊，我们的大学生啊……

我都没看过这本书，不存在对作者如何的说法（事实上我不知道这个人是什么来头），只是就事论事。我看到的教材中没有像你贴的那样说的。

来头不小吧，尽管是以前的书，现在的学生们还在用
我举出这个例子，主要目的就是要说明
拉格朗日重陀螺名不副实，必须注明接触点
铰接
重陀螺，才能按他们的方法分析
直接灌输dL与重力垂直的概念，害人不浅，陀螺要进动，绝对不是这个原因
弄不清进动的起因，就连专业学者都难免出现概念混乱，更不要说学生了，我不点破，谁能看出来需要限制接触点？

为便于朋友们观看，我将实验做成了动画，手艺潮，各位多包涵
（我怎么总是在线啊，睡了一夜开机上来一看，还在线……）

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[td]雪映刀锋寒 于 2006-12-17 09:37 在大作中提到：[/td]
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[td][tr]TonyDeng 于 2006-12-16 10:37 在大作中提到：[/td]
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[td][tr]雪映刀锋寒 于 2006-12-16 09:59 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]动量守恒是宇宙基本法则，陀螺做为质点系，无论转与不转，都必须遵守
实验表明，如果没有水平力（支撑面光滑），陀螺质心不会横移
[/tr]
在陀螺进动中刚体所绕轴定点受了外力，这里不存在什么动量守恒的条件，应用不上。你所说的话中红字部分，就否定了这个系统满足动量守恒的条件，它确实受到了外力作用，还说什么动量守恒呢。[/tr]
请注意，教科书上的陀螺的确受到了外力的作用，但是这个外力只有
垂直向下的重力
，陀螺质心出现的是
水平位移
，这是不可能的
这是概念问题，应该弄清楚。我认为（实验也证实）光滑平面上的陀螺，只受到重力作用，陀螺质心不能有水平位移，只能以自己的质心为圆心做水平圆周运动。
因此，教科书自相矛盾，光滑平面上，接触点不可能是“定点”；如果是“定点”，平面就不光滑，存在水平力，此时“定点”必须是“铰接”。
请Tony网友明察[/tr]
光滑平面上的确不可能有水平力的作用，这种情况就比较复杂了。至少陀螺与水平面的接触点的运动就不能确定！而定点运动就要简单一些，但定点运动肯定是存在水平力的作用的。当然在这种情况下也不能考虑定点处产生的摩擦力矩，否则情况又要复杂了。

[tr]
[td]雪映刀锋寒 于 2006-12-15 16:23 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]
[td][tr]老武 于 2006-12-14 02:41 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]这要看你认为那个红色箭头是怎么运动的


（我点击“将此图片显示在文章中”怎么没用？表情符号有时也点不上去。郁闷！！）
[/tr]
怎么可能？在本论坛你是元老级啊，还摆不平一张图？
我要认为红色箭头怎样运动，才可以用v(t)=RΩsin(ωt)来描述他？[/tr]
那个红色箭头实际上是表示圆盘径向的速度分布。