[tr]
[td]雪映刀锋寒 于 2006-12-29 19:43 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]圆盘在竖直两力组成的力偶作用下，边缘本就存在余弦形式的线加速度a(t)=QRcos(ωt)/I
正是这个加速度迫使作圆周运动的质点出现v(t)=Vsin(ωt)形式的运动，因此圆盘整体体现出水平方向的运动
[/tr]
你说的力偶是不是指的使陀螺倒下的外力矩？如果是，陀螺在这个力偶的作用下，边缘是要出现那样的加速度，可是这个加速度只会使陀螺倒下（这才是沿着外力矩的方向，即使陀螺在高速自转也是如此），凭什么会使陀螺产生水平的进动？没有道理嘛~~

呵呵，首先陀螺就是这样没道理，失去平衡到下就完了，偏要不倒，反而水平运动……因此西方人称陀螺为“智多星”，大概是赞颂他有自己的思想
我就是想破解这个没有道理的道理何在
质点在自转一周的过程中，见经历一个完整的余弦变化的加速度a(t)=QRcos(ωt)/I
因此体现出正弦变化的速度v(t)=Vsin(ωt)
想一想简谐单摆的a-v关系，你就会明白

可是你始终没有回答一旦外力矩存在，马上就产生进动速度，从而产生了角动量的突变（向右进动，意味着进动角速度向上，新增的角动量方向向上），这个矛盾怎么办？

还有，按照你这个方法，也无法解释为什么陀螺转动速度慢下来以后，就倒下了。
书上只是说高速转动的陀螺，并不按外力矩的“意志”行事，那么低速转动的陀螺是不是就按照外力矩的“意志”行事了呢？而且，速度多大算高速？
按照我的方法可以很容易理解这一问题，正在自转的陀螺，受到外力矩的时候，还是按外力矩的“意志”行事了，也就是还是沿着外力矩的方向转动了，只不过转动过程中，由于科里奥利力，使陀螺逐渐开始向与此垂直的方向进动而已，而进动产生以后，又产生一个新的力矩，阻止陀螺继续按照外力矩的“意志”行事。
也就是说这是有一个过程的，越是高速的陀螺，这个过程越短，越不容易看出来，越是低速，这个过程越长，速度低到一定的程度，这个过程几乎观察不到，所以陀螺就按照外力矩的“意志”行事了。
还有，按照我的方法，可以推出这一结论，当外力矩作用在陀螺上以后，只要再施加一个力矩阻止它的进动，那么陀螺就乖乖地按照外力矩的意思行事了。

[tr]
[td]老武 于 2006-12-29 09:59 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]
[td][tr]TonyDeng 于 2006-12-28 23:00 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]看见一本正经地在用数学运算进行解释就好笑。在楼主写了这样一篇文章之后还用这样的思路，啧啧～实际上顶头那一大篇说的是什么意思，看懂了么，楼主自己在后来也解释的很清楚，还一个劲往这上面钻。
用数学解释物理问题，首先有一个前提条件，就是某个物理量或物理概念为什么适用某个数学法则。这里为什么适用或不适用，正是先决的，不首先搞清楚这一点就死套数学去解释，那就像小孩子问“天上为什么会下雨”，大人答“因为天是会下雨的”，一样的性质。举个例子，数学上有加法交换律，在数学狂们看来这是天经地义的，他们会气势汹汹地告诉你加法交换律就是对的，两个物理量相加可以交换顺序是因为它们可以用数学上的加法交换律来解释。但事实是怎样的呢？很多现象固然确实有加法交换律，比如甲先给你10元钱，乙再给你10元钱，加起来得到20元钱，反过来乙先给甲后给，结果是一样的，这样的现象就满足加法交换律；但不是什么现象都是这样的，比如硫酸和水相加，就不满足加法交换律，先加什么后加什么的结果差得远了。这表明，是我们首先
确实知道
什么东西是满足什么法则的，才这样告诉别人，而一旦别人要穷根究底追问为什么满足这种法则的时候，你再用这种法则去解释就等于没有解答。这个时候，做再多的数学运算都是白搭！
用角动量来解释陀螺问题，最根本的一问就是角动量凭什么能用矢量来描述、并且它的方向要是这样规定出来？你不先解释清楚这个为什么，就去做数学运算，白做！比如：
角位移不是矢量，凭什么角速度要是矢量？
而且角速度的矢量方向又不在转动平面上，这不是你人为的么？你要说换个方向比如用左手定则也行，不错，是行（比如电磁感应中的左手定则实质是矢量叉乘的右手螺旋法则），但你换了方向之后提出的数学运算法则必须凑合事实才成（相当于当用左手时怎么解读方向），这样，是你的数学去凑事实，不是用数学去解释事实，次序颠倒是不能解释问题的。[/tr]
"角位移不是矢量，凭什么角速度要是矢量？"
有限角位移不是矢量，但无限小角位移是能够运用矢量运算法则进行运算的，所以，无限小角位移是矢量。因而角速度是矢量。[/tr]
就算你说的角位移可以是矢量，这个矢量在转动平面上，那为什么角速度要垂直于这个平面并指向右手螺旋方向？

TonyDeng 于 2006-12-29 23:33 在大作中提到：

[tr]老武 于 2006-12-29 09:59 在大作中提到：

有限角位移不是矢量，但无限小角位移是能够运用矢量运算法则进行运算的，所以，无限小角位移是矢量。因而角速度是矢量。

就算你说的角位移可以是矢量，这个矢量在转动平面上，那为什么角速度要垂直于这个平面并指向右手螺旋方向？
[/tr]
我是说有限角位移不是矢量，无限小角位移才是矢量。而无限小角位移矢量的方向是垂直于这个角位移平面的，并指向右手螺旋的方向。这个方向是人为规定的。当然你也可以用左手螺旋来规定无限小角位移的方向，这没什么不可以。

一个陀螺，把我们都转进来了。
雪鹰对陀螺做了那么多探索，使我受益非浅。这是探究这个问题的一个很有意义的方向，但这个方向偏离了“刀锋寒”的原题。我想就“刀锋寒”原题说一点看法。
“雪鹰注视着眼前的陀螺，见到陀螺失去平衡却不倒下，颇为不解”，
————好奇心，是最可贵的心灵品质，是科学发展的原动力
智者用角动量定理解释了陀螺进动的原因，完成了任务。
“雪鹰听了一头雾水，一句角动量随时间的变化率dL/dt等于外力矩M，就算说完了？为什么啊？”
————对智者说来，这个解释是天经地义无可怀疑的
        对雪鹰而言，这个解释没有使他得到满足。显然，解释与他内心的认知模式冲突，没有破解他的疑惑。
破解这个疑惑，雪鹰有两个前进方向
一个方向是继续追问隐藏在智者解释后面的更深层的本质，理清科学理论之网的线索，看理论在哪一层次上能与自己的认知谐和，破解自己的疑惑，从而进而改进说理方式，建立理论与现象间的直通车。
一个方向是掀掉罩在问题上的理论网，自己走一条新路。
当初爱因斯坦对相对论的形成曾说过：“正常成年人是不会为时间伤脑筋的……相反我的智力发展比较晚，成年后还想弄清时间和空间问题，当然这就比儿童想得深些。”
的确，在牛顿理论的前提观念上，他纠正了人们在时间和空间上的偏见，创造出相对论。
然而在掀掉理论网时，我们却要十分地小心。因为理论网是一个逻辑系统，它一层又一层地围绕在基本前提之外。比如角动量定理是从刚体力学理论推出来的，而刚体力学又以质点力学为基础，质点力学的理论基础就是牛顿三定律。如果不是像爱因斯坦那样，看出基本前提中的问题，我们还是不要轻言掀掉理论网。
理论的基本前提非常简单，所以理论的适用性就非常广泛。理论是解决一类问题的，当我们遇到一个具体问题时，采用我们认可的理论语言来分析这个问题，应当说是很正常，也很合理的。如果理论不能使我们明白，那多半是我们自己的问题，自己认知结构存在的某种缺陷，而非理论的问题
我看雪鹰走的是第一条路，他采用了牛顿力学的语言，试图在质点动力学的层次上更简单直观地解释陀螺现象。也许他在解释了这个现象之后，还会上升到理论高度来概括这一类现象，也许他还会采取角动量定理来解释这类现象。当然，这不是单纯的回归，而是上升螺旋在更高层次的回归。
我很欣赏雪鹰对问题的执着和认真，以及他在陀螺问题上带给我们的知识和快乐。谢谢“刀锋寒”。
或许我的下一个帖子也要站上雪鹰的陀螺，在他的“定点”上转了。

老武 于 2006-12-30 08:18 在大作中提到：

[tr]TonyDeng 于 2006-12-29 23:33 在大作中提到：

[tr]老武 于 2006-12-29 09:59 在大作中提到：

有限角位移不是矢量，但无限小角位移是能够运用矢量运算法则进行运算的，所以，无限小角位移是矢量。因而角速度是矢量。

就算你说的角位移可以是矢量，这个矢量在转动平面上，那为什么角速度要垂直于这个平面并指向右手螺旋方向？
[/tr]
我是说有限角位移不是矢量，无限小角位移才是矢量。
而无限小角位移矢量的方向是垂直于这个角位移平面的，并指向右手螺旋的方向。这个方向是人为规定的。
当然你也可以用左手螺旋来规定无限小角位移的方向，这没什么不可以。[/tr]
呵，呵呵，呵呵呵～

首先祝各位新年快乐！
欢迎紫藤萝兰网友！这个话题能够引起朋友们的兴趣，我就很知足了，谢谢
尽管经典理论对“陀螺为什么不倒”没有做出深刻的解释（我没查到），但是显然这个问题完全可以在牛顿力学框架内解决，这一点朋友说得不错
如果有幸能够获得朋友的支持，那我真是太高兴了。长久以来，只有我一个人孤独地行走在这条路上，几乎所有人先是质疑，然后就是沉默，没有一个人站出来支持我，也没有人能够驳倒我，呵呵，现状就是如此
我说过，一旦我的思路成立，还有很多的事情要做，比如解微分方程，精确量化外力矩一定时陀螺维持规则进动的最小自转角速度等等，从而避免经典理论保证规则进动的先决条件Ω
我需要朋友们的支持，我希望建立一个团队，协力深入追查陀螺问题，力争彻底解决它。
谢谢关注，欢迎参与讨论，谢谢

雪映刀锋寒网友，这个问题是你提出的，可是我觉得你可能对陀螺现象有一定的误解。比如你认为一旦外力矩存在以后，进动马上就产生，而且进动角速度与外力矩成正比，这个肯定是不对的。
你想一想，在刚体力学中，有一条最基本的定律，就是刚体角动量的变化率等于外力矩，用公式表达就是dJ/dt=M，其中J是角动量，M是外力矩。当陀螺不受到外力矩的时候，角动量不改变，为一个恒矢量，大小和方向均不变。如果此时角速度方向指向陀螺的对称轴的话，那么角速度的方向也不会变，也是一个恒矢量。现在突然施加一个外力矩，那么刚体的角动量开始变化，但是不能突变，如果按照你说的进动立即产生，那岂不是立即产生一个与原来角速度方向垂直的角速度？总的角速度方向以及角动量岂不是突变了？
所以，你一定是搞错了，你说书上和你的实际实验都是如此，我觉得你的实验不一定可靠，你用肉眼观察，那些快速的变化过程你不一定能看到。至于书本上说的，我觉得你可能是误解了书上的意思。书上说外力矩存在以后，进动速度立即就产生了吗？或者明确地说过两者同步变化，且成正比（当然是对于同一个陀螺）？
我的方法，实际上就是从质点动力学的角度来理解这个问题的，我认为已经搞清楚了，反正我自己是能够理解的。
感谢雪映刀锋寒网友，促使我思考并最终理解了这一问题，同时对欧拉动力学方程有了更深的了解。

[tr]
[td]天涯(原夏梦) 于 2006-12-29 07:21 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]可是你始终没有回答一旦外力矩存在，马上就产生进动速度，从而产生了角动量的突变（向右进动，意味着进动角速度向上，新增的角动量方向向上），这个矛盾怎么办？
[/tr]
夏梦网友，我们应该是同一类人，只要认准目标，不达目的誓不罢休，呵呵……
关于陀螺问题，我思考了很多，尝试过无数条道路，甚至一度追踪到粒子之间的相互作用；查阅过许多资料，一步一个跟头走到了今天，再也走不动了，因为我的数学功底限制了我继续前进。我可以提出问题，甚至建立数学模型，比如质点受周期力作用的非线性微分方程，但是我却不能解决他
说句大话，你们的思路基本上我都有过，最后才确定了开篇中的思路
关于你提出的问题，我会逐步给出具体分析，届时还要请朋友帮忙审查，现在首先是要确认这个现象，也就是外力矩一旦开始作用，陀螺进动立即开始，这是事实。
下面是取自另一部《陀螺力学》的内容，论述“赖柴定理”的过程，我们知道，赖柴定理与角动量定理、动量矩定理完全等效

呵呵，我还是慢了一步
请看上图，赖柴定理中的矢端速度，应该指的就是动量矩矢量端点的速度（可以理解为旋转刚体的自转轴水平变化的角速度）

TonyDeng 于 2006-12-31 08:08 在大作中提到：

呵，呵呵，呵呵呵～

呵呵呵……
我觉得两位是站在两个世界对话……
老武的立场是经典理论概念，可以说这个概念并没有错，但是只能描述运动过程却不能揭示运动的起源。
比如问：他为什么到了北京？（这已经是事实）
答：他几点出发，走的是107国道，在几点几分经过了哪个城市，并且于什么时刻到达。
以上回答确实都实事求是，一点没错，但是仍然不知道那个人为什么来北京
而托尼希望知道的是“这是为什么”，呵呵，以上比喻不知是否恰当

唉！朋友，还是你误解了啊！你想一想，一个正在自转的陀螺，如果突然受到使其翻倒的外力矩，向右进动，是可以改变角动量以符合外力矩的方向，可以向下翻倒又何尝不能呢？
所以，当外力矩突然作用于陀螺以后，由于外力矩的方向是向右的，所以它的角动量必然向右变，这是肯定的。但是角动量向右变可以有多种方式啊，突然获得一个向右进动的速度可以，突然获得一个向下（翻倒）的加速度不同样也可以吗？
请注意：一个是进动速度，一个是翻倒加速度，不一样的。
那么陀螺会采取哪种方式？当然是后者，因为如果是前者，向右进动的同时意味着获得了一个向上的角速度，同时也获得了一个向上的角动量。这个角动量凭什么突然产生？
而获得一个向下翻倒的加速度同样可以满足角动量的改变方向，而不存在其他的矛盾，当然随着时间的推移，加速度的时间累积效应产生速度以后，就会产生一个向右进动的力矩，而向右进动的速度产生以后，又产生了一个阻止翻倒的力矩。
所以，你上面列出的书上的这一段话，当然没有错，但是它只是说外力矩产生以后，角动量的变化率立即产生，也就是立即开始向右变化，但可没有说立即向右进动。

再次祝朋友们新年快乐，希望我们（如果没有别人，那就是希望我自己）在新的一年里能够取得进展
谢谢关注，欢迎参与

你所说的赖柴定理，名字我以前没有听说过，但是其内容可是烂熟于胸，这不就是角动量定理嘛？只不过用几何的形式表述出来而已。
它说的“当外力矩M产生或消失时，E点立即产生或丧失速度。这个E点指的是角动量矢量的末端，而速度也指的是角动量的变化速度。
是的，外力矩产生后，角动量的变化率立即产生，但并不意味着进动立即产生啊~~~

我们的分岐在于当正在自转的陀螺突然受到一个外力矩以后，是象你所说的那样立即产生进动呢？（这就意味着进动角速度发生的突变），还是象我所说的那样先是按照外力矩的“意志”，沿着外力矩的方向产生一个角加速度，然后积累产生角速度以后，才产生使其进动的力矩。
也就是说，你认为进动是立即产生的，我认为进动要经过一个复杂的过程，比你说的时间上延迟得多。

[tr]
[td]天涯(原夏梦) 于 2007-01-01 03:03 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]……外力矩产生以后，
角动量的变化率立即产生
，也就是立即开始向右变化，但可没有说立即向右进动。
[/tr]
角动量变化率就是dL，请重复进动角速度公式的推导过程，看看是不是有了dL就立即有了Ω
没了dL，也就没了Ω，同样不需要时间
不需要加速减速，呵呵，就是这样
再有请看

你要说是否在我放手的
同时
就开始进动，我不敢保证，因为“同时”这个概念好像更加说不清楚，但是我没见到先慢后快的加速过程，却是事实

[tr]
[td]天涯(原夏梦) 于 2007-01-01 03:15 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]我们的分岐在于当正在自转的陀螺突然受到一个外力矩以后，是象你所说的那样立即产生进动呢？（这就意味着进动角速度发生的突变），还是象我所说的那样先是按照外力矩的“意志”，沿着外力矩的方向产生一个角加速度，然后积累产生角速度以后，才产生使其进动的力矩。
也就是说，你认为进动是立即产生的，我认为进动要经过一个复杂的过程，比你说的时间上延迟得多。
[/tr]
呵呵，果然我们是一路人……
进动立即产生，同时伴有渐弱的章动，这个章动就是你所说的“复杂过程”

另外你可以看看教科书对章动的解释，说实话，更加莫名其妙，呵呵

哈哈，今天很痛快
新年第一天夏梦网友放弃休息，来此讨论，真得很执著，谢谢，希望我们在新的一年里有更多的交流
祝你新年愉快
并且你很内行，目光独到，没见过“赖柴定理”就一语道破天机，“赖柴定理”就是“动量矩定理”的几何解释，完全正确

[tr]
[td]雪映刀锋寒 于 2007-01-01 16:23 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]
[td][tr]天涯(原夏梦) 于 2007-01-01 03:03 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]……外力矩产生以后，
角动量的变化率立即产生
，也就是立即开始向右变化，但可没有说立即向右进动。
[/tr]
角动量变化率就是dL，请重复进动角速度公式的推导过程，看看是不是有了dL就立即有了Ω
没了dL，也就没了Ω，同样不需要时间
不需要加速减速，呵呵，就是这样
再有请看

你要说是否在我放手的
同时
就开始进动，我不敢保证，因为“同时”这个概念好像更加说不清楚，但是我没见到先慢后快的加速过程，却是事实[/tr]
dL是什么？
你和我用的教材可能不一样，对各种物理量的字母表示可能不一样。根据你的内容，我猜测L可能代表角动量，那么dL就是角动量的微分了，dL/dt才是角动量的变化率。
我认为角动量的变化率产生以后，并不意味着立即产生进动，可是不进动的话，角动量的变化率怎么办？可以沿倒下的方向（即与进动垂直的方向）产生一个角加速度嘛！也就是说：“加速翻倒”嘛！这完全符合角动量的变化率的要求。

[tr]
[td]雪映刀锋寒 于 2007-01-01 16:29 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]
[td][tr]天涯(原夏梦) 于 2007-01-01 03:15 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]我们的分岐在于当正在自转的陀螺突然受到一个外力矩以后，是象你所说的那样立即产生进动呢？（这就意味着进动角速度发生的突变），还是象我所说的那样先是按照外力矩的“意志”，沿着外力矩的方向产生一个角加速度，然后积累产生角速度以后，才产生使其进动的力矩。
也就是说，你认为进动是立即产生的，我认为进动要经过一个复杂的过程，比你说的时间上延迟得多。
[/tr]
呵呵，果然我们是一路人……
进动立即产生，同时伴有渐弱的章动，这个章动就是你所说的“复杂过程”

另外你可以看看教科书对章动的解释，说实话，更加莫名其妙，呵呵[/tr]
哈哈！你这张图完全证实了我的推测！我想象中的陀螺突然受到外力矩后的运动，与这张图完全一致！即刚开始的时候划半圆弧（不是严格的半圆弧，因为重力矩不是恒量），这就是章动，后来由于摩擦，章动逐渐减弱，变得只有进动了。
请看这张图，陀螺在刚开始的时候，其转轴的运动方向是不是向下的？就和我的推测完全一致嘛！这就是陀螺沿外力矩方向加速度的铁证！而不是你所说的立即产生进动。
是的，我说进动的产生有个复杂的过程，在这个过程中，陀螺不断地在“倒下”和“站起”之间循环，同时进动角速度也不断在零和最大值之间循环。这个我所说的复杂过程，就是章动！
你的资料真多啊！这个图正是我想象中的陀螺运行图，完全一致！

感谢雪映刀锋寒网友！虽然我从理论上推出陀螺的运动轨迹应该是这样的，但是能够得到这张图的证实，还是非常令人兴奋的！这几天的功夫没有白花。

刀锋寒，你手头资料多，
能否介绍一下科学史上探究陀螺的历史进程？
我是想批判你的思路的

欢迎欢迎
实际上到现在我什么都没干，一直在陈述事实，到目前为止，我摆出了如下事实
1、就自由陀螺，简化为薄圆盘，其上任意质点（我选边缘，可以是任意位置），垂直于盘面方向的速率变化为v(t)=RΩsin(ωt)

2、在外力矩作用下，根据刚体转动基本定律角加速度α=Q/I，在圆盘边缘始终存在如下形式线加速度a=αr=QRcos(θ)/I=QRcos(ωt)/I

我认为，这两个事实有着深刻的内在联系，就先到此为止，我们一步步来。
请紫藤萝兰网友点评
关于陀螺的研究历史，由于我不是专业学者，掌握不全。就目前所知，陀螺的研究起源于欧拉创立动力学方程，后经拉格朗日提升为分析力学问题，几乎所有著名力学大师全都卷入其中，看《陀螺力学》中频繁出现的力学家、数学家的名字就可以窥其一斑，详细的历史我不清楚，应该说它是随刚体力学一起发展的，或者说就是刚体转动理论的发展史

[tr]
[td]天涯(原夏梦) 于 2007-01-01 04:14 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]感谢雪映刀锋寒网友！虽然我从理论上推出陀螺的运动轨迹应该是这样的，但是能够得到这张图的证实，还是非常令人兴奋的！这几天的功夫没有白花。
[/tr]
能够对夏梦网友提供些许帮助，我很欣慰
这个图只是示意图，实际的章动非常复杂，甚至会是螺旋状态，也就是某时刻，陀螺进动会反向，但不影响总的进动趋势，最终还是会归于规则进动
实话实说，这些效果凭我粗糙的实验难以表现，我也都是从资料上看到的
祝贺你短短几天就破解了对陀螺疑惑，可喜可贺。但是越是基本的问题，越容易出现偏差，我们的分歧依然存在，我依然坚持自己的观点，陀螺不倒不是因为进动
并且我认为，章动过程是系统在进入规则振动前的整理过程，熟悉单摆的朋友应该知道，这是一个必需的过程

TonyDeng 于 2006-12-27 08:35 在大作中提到：

你把图画出来就明白了。换个角度想吧：一根轻细杆，两端各栓一质量小球，用手握住细杆非质心处令系统旋转，然后放在光滑水平面上，你会发现什么现象？

不考虑摩擦，系统质心或者静止，或者作匀速直线运动