以上一段可能有点罗嗦，但主要是为了理解为什么受到外力矩以后，进动不可能立即产生。
既然受到外力矩以后，陀螺沿外力矩方向产生一个角加速度，于是逐渐产生一个角速度，这个角速度实际上就是“倒下”的角速度，换句话说：陀螺沿“倒下”方向转动了。这时候出现一个问题：如果把一个坐标系固定在陀螺上，不随陀螺自转，但随陀螺“进动”和“倒下”，那么由于陀螺的“倒下”，它相对于静止的坐标系是一个旋转的坐标系，而且陀螺的各质点相对于这个坐标系还在运动（原因是陀螺在自转，我们先前假定这个坐标系不随陀螺自转），所以各质点都会存在利里奥利加速度，容易判断：陀螺左半部分加速度向里，右半部分的加速度向外，同时各质点就会受到科里奥利力，方向与科里奥里加速度相反，右半部分向里，左半部分向外。
正是这个力矩使陀螺产生了进动！
这个力矩产生以后，就产生了进动角加速度，并逐渐产生了进动角速度，也就是说真正开始了进动，进动产生以后，又一个问题出现了：进动是另一个方向的旋转运动，与“倒下”方向垂直，这会带来另一个科里奥利加速度，会使陀螺受到另一个科里奥利力，这个科里奥利力，在陀螺上半部分是向里的，下半部分是向外的，这个力矩与最初使陀螺“倒下”的外力矩方向相反，所以它起到阻止陀螺倒下的作用。当这个力矩增大到比外力矩还大的时候，陀螺“倒下”的角速度开始减小了，并最终停止。
当陀螺“倒下”的角速度等于零的时候，也就是最终停止“倒下”，或者说倒到最低点的时候，这时候进动角速度已经很大了，它所引起的科里奥利力的力矩早已大于外力矩，这里陀螺开始“倒下”的逆运动，就是“站起”。
继续推导下去可以发现：陀螺在进动的同时不断地“倒下”和“站起”，就是“点头”，这不就是章动吗？
还可以发现，这非常类似于简谐振动，当陀螺刚开始运动时，处在最高点，“倒下”方向的角速度等于零，“进动”方向的角速度也等于零。当陀螺达到最低点里，进动角速度最大，然后陀螺又返回最高点后，“倒下”方向的角速度还原到零，同时进动角速度也还原到零。这时，它完成了一个周期，仔细研究这个周期的“倒下”方向和“进动”方向的角速度，可以发现它的轨迹是划了一个半圆弧。
如果没有摩擦，它将一个半圆弧一个半圆弧地划下去，也就是说在进动的同时不断地章动，可是由于摩擦，章动逐渐减弱，于是最终转化为规则进动。

燕子与我的对话（2）
燕子：我们再回到雪鹰的思路上好吗。
我：好的。
燕子：刚才你说到，雪鹰从垂直盘面方向的速度v(t)=RΩsin(ωt) 中一定悟到了什么，会是什么呢？
我：我猜想，他是感到了在这个方向上可以解除他的疑惑。而这种方法的本质是运动的合成和分解。如果能说明产生垂直盘面运动这个最明显事实的原因，问题就解决了。
燕子：噢，高中教材上研究抛体运动时，就是把复杂的曲线运动化为简单的两个方向直线运动研究的。
我：科学思维（别的思维不一定这样）总是从简单到复杂。先在最简单最纯粹的事物上建立信念，建立基本概念，再从这个确定无疑的前提出发，研究复杂的事物，把复杂事物分解为能够理解的简单事物，再把研究成果进行综合概括概念化，产生新层次上的知识，一层一层形成科学概念科学理论系统。
认识，理解也是这样的顺序。如果我们不能理解某一层次的科学知识，就要返回较低层次知识加以理顺
燕子：这样说来，雪鹰化复杂为简单，讨论陀螺边缘质点垂直于盘面的水平运动，是一种很有价值的思维方向了
我：我想是的。
我：你在运动的合成和分解里可以知道，两个分运动合成一个合运动是唯一的，一个运动分解为两个方向的分运动是多解的。因此，在运动的分解里两个的分运动是关联的。当我们确定一个方向的分运动时，另一个方向的分运动也就确定了。当我们确定一个方向运动的原因时，另一方向运动的原因也就确定了。
但是陀螺问题太复杂了，定点陀螺的质点同时参与三个方向的圆运动——陀螺自身转动、进动和章动，太复杂了。用质点动力学的方法同时讨论三个方向的运动变化原因，实在太难了。
燕子：我在想象质点的运动和三个方向的分运动时就很困难了，再分析三个方面相互关联的原因时就更无法想象了。
陀螺为什么不倒是因为人们根据经验只看到了重力对一个方向运动的影响而没有看到另外方向相关联因素对这个方向运动的影响而产生的吧
我：你说的非常对。
燕子：这么复杂的问题怎么化归为简单的问题研究呢？
我：采用合理的物理模型，可以限制某些运动，分解为几个小问题，使问题简化。
燕子：章动很难想象，能不能先只考虑转动和进动呢？
我：我想是可以的。我们来看一看雪鹰的陀螺。
雪鹰很聪明，他设计了一个转轴水平的平面自由陀螺，而且在垂直转轴的竖直方向加一个力矩。这样的陀螺就只有进动而没有章动了。
燕子：我明白了。他设计了一个看似能使陀螺倾倒的力矩，解释了陀螺为什么在这个力矩作用下产生进动，就解释了陀螺为什么在这个力矩作用下不倒
（燕子看了看同在不远处跋涉的天涯）
天涯的研究如果不考虑章动，先说明进动，会更有说服力吧。
我：我想是的。天涯同雪鹰一样，擅长物理的形象地直觉思维，研究只有进动的模型或许更有说服力
燕子：我总觉得进动是一回事，章动是一回事，陀螺可以只有进动而没有章动，却不可能有章动没有进动
我：是的。天涯或许考虑到进动的起因与章动有关。嗨，我们不是和他一样随着雪鹰在跋涉的路上吗
我们还是回到雪鹰的思路上来吧。

谢谢紫藤萝兰网友剥茧抽丝般的分析，雪鹰也是大开眼界，哈哈，好极了
夏梦网友的分析也是越来越精深，但是我想最终会回归简单的单摆运动规律，即余弦变化的加速度（力）对应正弦变化的速度
坦率地说，我的基础知识远不如你们，而且我的工作离物理专业也是十万八千里，之所以仍然如此执著，就是不满意智者的解答，并且自认为找到了出路，这条路是否正确，无疑需要朋友们严加考问
如果我们不能理解某一层次的科学知识，就要返回较低层次知识加以理顺
我认为，智者从没有返回较低层次知识来理顺陀螺问题，而是直接引入了叉乘概念，弄出一堆“伪矢量”，不但我不满意，现在看来很多人也不满意
在这条人迹罕至的荒芜的道路上，原本只有我一个人在摸索，现在有你们几位同行，真是令人高兴。还是那句话，也许我们共同努力，最终会走通这条路！
请紫藤萝兰网友继续

TonyDeng 于 2007-01-06 07:17 在大作中提到：

匀速圆周运动就是惯性运动，它也是永动机模型。以恒星和行星为系统，此系统如果不受外力作用则动量守恒和角动量守恒，系统质心不动，但每一个体均作变速运动（双星系统）。牛顿在讲行星公转运动是惯性运动时，是讲系统整体，确实就是如此。同样，对陀螺来说，也是讲整体，就算接触点光滑，陀螺也会绕 某一中心 作行星运动，如你的动画所示。

这个中心就是他自己的质心，因此它将变为恒星而不是行星
我不可能完全消除摩擦，所以实验中陀螺与底座互绕，如果真的没有摩擦，那就只有底座绕陀螺转了
水平方向还是有外界的摩擦力参与了，因此，如果水平方向绝对没有外力参与，并忽略底座质量，那么陀螺的质心只能是静止或者作匀速直线运动

天涯的分析实在太精辟了,他使我不仅知其然而且知其所以然.
真是太感谢了.

尽管夏梦网友的论述获得了廖老师的支持，但是我仍然不能认同夏梦网友“不倒是由于进动”的思想
既然这个思想已经较为成熟，我就要给夏梦网友出题了
进动是另一个方向的旋转运动，与“倒下”方向垂直，这会带来
另一个科里奥利加速度
，会使陀螺受到另一个科里奥利力，这个科里奥利力，在陀螺上半部分是向里的，下半部分是向外的，这个力矩与最初使陀螺“倒下”的外力矩方向相反，
所以它起到阻止陀螺倒下的作用
。当这个力矩增大到比外力矩还大的时候，陀螺“倒下”的角速度开始减小了，并最终停止。
1、进行初步的定量分析，推导规则进动的角速度公式
2、根据Ω=Q/Jω可知，当自转角速度无穷大（夏梦网友原谅我无所不用其极）时，进动角速度为0，此时没有了
另一个科里奥利加速度
，自然也就没有力矩来阻止陀螺倒下了。
因此根据你的推论，自转速度无穷大的陀螺反而要倒下来，这怎么解释？

[tr]
[td]雪映刀锋寒 于 2007-01-08 15:57 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]
1、进行初步的定量分析，推导规则进动的角速度公式
2、根据Ω=Q/Jω可知，当自转角速度无穷大（夏梦网友原谅我无所不用其极）时，进动角速度为0，此时没有了
另一个科里奥利加速度
，自然也就没有力矩来阻止陀螺倒下了。
因此根据你的推论，自转速度无穷大的陀螺反而要倒下来，这怎么解释？[/tr]
1.这个问题我和你的推导是一样的，既然是规则进动，那么角动量的变化率应该等于外力矩，用陀螺自转的角速度乘以自转的转动惯量，就是角动量，再乘以进动角速度，即得变化率，这个变化率应该等于外力矩。根据这些关系即可解出进动角速度。
2.所谓无穷大其实是一种极限情况，当自转角速度趋近于无穷大的时候，进动角速度趋近于零，但是两者所产生的科里奥利力的力矩却一直等于外力矩，因为我们就是根据这个关系来计算进动角速度的。这样的话，虽然陀螺的自转角速度趋近于无穷大，仍然一直有与外力矩平衡的科里奥利力矩。

我们本来认为外力矩产生以后，进动立即产生，而且陀螺并不向外力矩方向有任何转动，我们几乎是把这当作前提来研究的。《理论力学》中也有这样一段话：“高速自转的陀螺会显示出奇妙的性质：当受到外力矩作用时，它并不按外力矩的“意志”行事”。可是现在我竟然推翻了这些结论，认为陀螺其实还是按外力矩的“意志”行事了，只不过在按照外力矩的“意志”行事的过程中，会逐渐产生一个阻止它的力矩。
推出这些结论以后，说实话我心底其实也是没底的，直到看到雪映刀锋寒网友的那张图，图中清晰显示了陀螺刚开始运动的时候，其自转轴先是向下运动，划出一个个半圆弧，我才肯定了我是正确的。
这么说来，陀螺的性质并没有那么神奇，它还是和普通的物体一样，受到外力矩时，沿外力矩的方向转动，只不过由于它本身的自转，后来显示出一些不同的性质而已。

夏梦网友，我们讨论的是纯理想化的模型，不能回避无穷大，我认为必须考虑进动角速度为0的情况，也就是你将找不到阻止陀螺倒下的力矩，这一点能否请廖老师表态？
我在前面一再说旋转的陀螺开始受到外力矩作用时，进动立即发生，并同时伴有渐弱的章动，这里的章动就是“点头”，我没有说过立即进入规则进动~~~
再有，
章动表象很复杂
，不光是画半圆

[tr]
[td]雪映刀锋寒 于 2007-01-08 20:31 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]夏梦网友，我们讨论的是纯理想化的模型，不能回避无穷大，我认为必须考虑进动角速度为0的情况，也就是你将找不到阻止陀螺倒下的力矩，这一点能否请廖老师表态？
我在前面一再说旋转的陀螺开始受到外力矩作用时，进动立即发生，并同时伴有渐弱的章动，这里的章动就是“点头”，我没有说过立即进入规则进动~~~
再有，
章动表象很复杂
，不光是画半圆

[/tr]
你这几种章动方式，都可以用那种方法理解，如果刚开始的时候陀螺除了自转以外，没有其他转动，这时突然受到一个外力矩，就会表现为中间一种章动方式。
如果刚开始的时候已经具有一个向右进动的角速度，那么受到外力矩以后，就会表现为第三种章动方式，如果刚开始有一个向左进动的角速度，那么就会是第一种。
不同的初始状态就表呈现出不动的章动方式（其实章动是一样的，就是进动角速度不同罢了）

[tr]
[td]天涯(原夏梦) 于 2007-01-08 06:43 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]
[td][tr]雪映刀锋寒 于 2007-01-08 15:57 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]
1、进行初步的定量分析，推导规则进动的角速度公式
2、根据Ω=Q/Jω可知，当自转角速度无穷大（夏梦网友原谅我无所不用其极）时，进动角速度为0，此时没有了
另一个科里奥利加速度
，自然也就没有力矩来阻止陀螺倒下了。
因此根据你的推论，自转速度无穷大的陀螺反而要倒下来，这怎么解释？[/tr]
1.这个问题我和你的推导是一样的，既然是规则进动，那么角动量的变化率应该等于外力矩，用陀螺自转的角速度乘以自转的转动惯量，就是角动量，再乘以进动角速度，即得变化率，这个变化率应该等于外力矩。根据这些关系即可解出进动角速度。
2.所谓无穷大其实是一种极限情况，当自转角速度趋近于无穷大的时候，进动角速度趋近于零，但是两者所产生的科里奥利力的力矩却一直等于外力矩，因为我们就是根据这个关系来计算进动角速度的。这样的话，虽然陀螺的自转角速度趋近于无穷大，仍然一直有与外力矩平衡的科里奥利力矩。
[/tr]
夏梦网友，我们追根究底的目的就是要尽量少用“应该”等词汇
关于第一个问题，你的推导仍然离不开“角动量的变化率dL/dt”这个概念，既然如此，倒不如直接使用dL=Mdt更简单。
我推导进动角速度公式是不用角动量概念的，这一点廖老师有体会
关于第二个问题，当自转角速度趋近于无穷大的时候，进动角速度趋近于零，但是两者所产生的科里奥利力的力矩却一直等于外力矩，这句话怎么理解？
你的意思是尽管趋近于0，但是还有进动，对吗？
就考虑极限情况，自转速度真的无穷大了，那么进动速度没问题等于0了，这时陀螺将会倒下来，没问题吧？

紫藤萝兰网友和她的燕子还没飞回来吗？
实际上我引以为自豪的不是v(t)=RΩsin(ωt)，而是将它与a(t)=QRcos(ωt)/I放在一起
这是两个就在眼前的事实，遗憾的是你们只接受前面的一个，而拒绝接受第二个，更拒绝将他们这本来棒打不散的一对冤家放在一起
只要跟进一步，承认他们两个的夫妻关系，解释陀螺现象还用如此费劲吗？还有什么说不清楚的？
这个a(t)=QRcos(ωt)/I已经被人们遗忘了300年之久，也应该给他恢复名誉了

燕子与我的对话（3）
我：你瞧，雪鹰在前面叫了，我们沿着雪鹰鹰的思路往前赶吧。
燕子：好的。
燕子：雪鹰的论述有个特点，就是决不用×乘。
我：是的，他总是尽量用能与直接经验挂钩的根据述说问题
燕子：雪鹰是怎样从a(t)=2RΩωcos(ωt)出发得出陀螺进动不倒的结论呢？
我：
雪鹰说“事实表明，与a=QRcos(ωt)/I同为一体
因此QRcos(ωt)/I=2RΩωcos(ωt)
进动角速度Ω=Q/2Iω=Q/Jω”
燕子：这段论述是什么意思呢？
什么叫“同为一体啊”？
我：我不知他的具体思路。现在试着用我们的思维，把这个推理过程补起来好吗？
燕子：好的
我：在雪鹰的论述中，a(t)=2RΩωcos(ωt) 是陀螺边缘
（既参与沿盘面方向的运动，又参与垂直于盘面方向运动）
质点某时刻垂直盘面方向加速度的描述。
a=QRcos(ωt)/I ，可以写成 a=Q/I •Rcos(ωt) ，这个式子的前半部分，是陀螺由于受到垂直转轴方向的力矩而产生的角加速度，式子的后半部分，是此时刻所研究质点在盘面上的位置
燕子：也就是廖老头所用到的Ry
我：是的。因为这两个式子描述的对象相同，都是同一质点某时刻在垂直盘面方向的加速度。所以两个式子是同一对象同一属性的两种描述。
燕子：所以雪鹰说它们“同为一体”了
我：雪鹰在这里做得非常聪明，
第一，        他不用讨论质点产生a(t)=2RΩωcos(ωt)的原因，因为这个式子等同于后者。而后者a=QRcos(ωt)/I的原因是作用于陀螺整体的力矩，这样他就把对于质点加速度的原因归结为对陀螺整体转动角加速度的原因
第二，        因为a(t)=2RΩωcos(ωt) 的一个表现是v(t)=RΩsin(ωt) ，而v(t)=RΩsin(ωt)可以说是陀螺上某位置的进动速度，于是他就把能使陀螺倒下的力矩的效果与进动联系起来。
燕子：我心中虽然还有点那个，但一时也说不出来
我：雪鹰在这里采用了三十六计中的两计，第一计是瞒天过海，使你不再继续追问外力矩为什么使陀螺产生进动而不倒下。
第二是暗渡陈仓，在你不知不觉中暗暗引入了×乘，在这里与经典理论结合起来，实现了理论的回归。
其实，这第二步论证对于谁说都是必然的。不如明说了好。
燕子：我似乎觉得，雪鹰论证中的关键点就是“同为一体”
我：是的，这是他论证过程的关键点
燕子：如果我再继续追问，如果在陀螺不转时，在外力矩作用下，陀螺边缘线速度公式a=QRcos(ωt)/I 还是这个公式，陀螺为什么就倒下了。
我：哈哈。因为这时没有那个“同为一体”了

哈哈哈，好，好，渐入佳境
应该还有续集吧，如果没有了就告诉我，我好让雪鹰准备迎战

在这里还要称赞夏梦网友思维之深刻，几乎与专家们的解释完全相符，难怪廖老师也要由衷赞叹。夏梦网友也可以对比一下专业理论解释
但是，你们同样不能面对自转速度无穷大的局面
大学力学书《面向二十一世纪课程教材 力学第二版》对章动现象的描述与解释：
陀螺的章动可以用回转力矩简单说明如下。当杠杆陀螺的轴自水平方位静止释放后，它并不马上进动，而是在重力矩作用下稍稍倾斜。一旦发生下倾运动，就产生方向竖直向上的回转力矩（不妨称之为章动回转力矩），使陀螺发生绕竖直轴的进动。
此进动又产生与重力矩方向相反的回转力矩（不妨称之为进动回转力矩 ）。
由于两种回转力矩均与相应的角速度成正比，开始时，下倾角速度较小，进动角速度也较小，使重力矩仍大于进动回转力矩，使下倾运动加速。随着下倾角速度增大，章动回转力矩也不断增大，使进动加速，随着进动角速度的增大，
进动回转力矩也增大，当此回转力矩与重力矩相抵时，下倾角速度达最大，陀螺继续下倾，同时使进动角速度继续增大，终因进动回转力矩超过重力矩而使下倾运动逐渐减慢而停止，
进动角速度达到最大。接着因进动回转力矩仍超过重力矩而使陀螺上升，同时产生方向竖直向下的章动回转力矩，使进动减慢。这又使进动回转力矩减小，直至与重力矩相等。但由于惯性，陀螺仍继续上升，同时使进动继续减慢，进动回转力矩也继续减小，终因重力矩超过进动回转力矩而使上升运动停止，进动角速度也同时减为零，完成一次完整的章动。以后陀螺又在重力矩作用下下倾。又进动，等等。如此往返不已。
由于阻尼，章动将逐渐消弱。

[tr]
[td]雪映刀锋寒 于 2007-01-10 14:46 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]在这里还要称赞夏梦网友思维之深刻，几乎与专家们的解释完全相符，难怪廖老师也要由衷赞叹。夏梦网友也可以对比一下专业理论解释
但是，你们同样不能面对自转速度无穷大的局面
大学力学书《面向二十一世纪课程教材 力学第二版》对章动现象的描述与解释：
陀螺的章动可以用回转力矩简单说明如下。当杠杆陀螺的轴自水平方位静止释放后，它并不马上进动，而是在重力矩作用下稍稍倾斜。一旦发生下倾运动，就产生方向竖直向上的回转力矩（不妨称之为章动回转力矩），使陀螺发生绕竖直轴的进动。
此进动又产生与重力矩方向相反的回转力矩（不妨称之为进动回转力矩 ）。
由于两种回转力矩均与相应的角速度成正比，开始时，下倾角速度较小，进动角速度也较小，使重力矩仍大于进动回转力矩，使下倾运动加速。随着下倾角速度增大，章动回转力矩也不断增大，使进动加速，随着进动角速度的增大，
进动回转力矩也增大，当此回转力矩与重力矩相抵时，下倾角速度达最大，陀螺继续下倾，同时使进动角速度继续增大，终因进动回转力矩超过重力矩而使下倾运动逐渐减慢而停止，
进动角速度达到最大。接着因进动回转力矩仍超过重力矩而使陀螺上升，同时产生方向竖直向下的章动回转力矩，使进动减慢。这又使进动回转力矩减小，直至与重力矩相等。但由于惯性，陀螺仍继续上升，同时使进动继续减慢，进动回转力矩也继续减小，终因重力矩超过进动回转力矩而使上升运动停止，进动角速度也同时减为零，完成一次完整的章动。以后陀螺又在重力矩作用下下倾。又进动，等等。如此往返不已。
由于阻尼，章动将逐渐消弱。[/tr]
不错，我的意思和这段话的意思完全相同。只不过我把竖直方向的运动称为“倒下”，而它称为“章动”（其实我最初也称为章动的）。还有，它把那个力矩称为章动回转力矩和进动回转力矩，我则没有为它们取名。
另外，这段话似乎没有说明这个回转力矩产生的原因，而我认为是由于科里奥利力引起的。
谢谢你提供了这些资料，它使我对这个问题的看法有了信心。
无穷大的自转速度是没有意义的，事实上我们研究的都是有限的自转速度，所以就不用考虑那种情形了吧？

嘿嘿，那不行，理论分析，必须考虑所有情况
在经典物理学一片晴朗的天空下，两朵微不足道的小小乌云，派生出了惊天动地的相对论和量子力学，从而引起了物理学的革命，如果大家都不去管它，还怎么进步？
种种迹象表明，你和我一样具有一追到底的拼命气质，不能放着这么大的漏洞不管
再有，根据你和教科书的思路，能说清楚陀螺何时才会规则进动吗？比如告诉你陀螺形状、力矩以及自转速度的大小，你能预言陀螺的运动吗？
显然不能，因为这个思想必须先看到陀螺是否会规则进动，才能说陀螺会怎么样运动，同意我这样说吗？

我：雪鹰在前面呼唤战斗了，我们赶紧往前赶
燕子：好的
我：走到这一步了，回头再理一下基本思路吧
燕子：好的
我：雪鹰的基本思路是从研究盘上一点的出发，回避×乘，特别是伪矢量规定，通过对点的运动的分析，与人的直接经验挂钩，找到进动的原因
燕子：是啊。下一步再找出这一点的运动变化的原因与陀螺整体受力的关系，就完成了推理。
我：噢，不完全是这样。这仅仅是其中一条论证思路。如果我们沿着原来的基本思路一直走下去，也可以完成逻辑论证。
燕子：证明一个质点进动的原因？
我：是啊。找到了一个点的进动原因，就找到了所有点进动的原因
燕子：那我们来走走吧
我：不忙，我们还是先沿雪鹰的路走下去
燕子：议一议那讨厌的“同为一体”？
我：是的。雪鹰在前面的贴子中指出了他最核心的思路：
“1、就自由陀螺，简化为薄圆盘，其上任意质点（我选边缘，可以是任意位置），垂直于盘面方向的速率变化为v(t)=RΩsin(ωt)
2、在外力矩作用下，根据刚体转动基本定律角加速度α=Q/I，在圆盘边缘始终存在如下形式线加速度a=αr=QRcos(θ)/I=QRcos(ωt)/I
我认为，这两个事实有着深刻的内在联系 ”
燕子：一个是水平进动的明显事实，一个是外力矩要使陀螺倒下的明显事实，找到了这两个事实的原因，那就说明了进动的原因，也同时说明了不倒的原因，而这两个事实的原因是关联的。噢，我开始有点理解雪鹰了
我：是的，是的，雪鹰一定想到了许多，许多。所以他才说其中存在着深刻的内在联系
燕子：于是，他找到了描述点的加速度式子a(t)=2RΩωcos(ωt)和描述使陀螺倒下的角加速度式子a=QRcos(ωt)/I， 发现“a(t)=2RΩωcos(ωt)与a=QRcos(ωt)/I同为一体”，于是不倒下与进动就联系起来了
我：但是，这个“同为一体”的表述非常不好
第一，        它暴露了雪鹰思维中的一个逻辑错误。
a(t)=2RΩωcos(ωt)与a=QRcos(ωt)/I并非同为一体。
在章动现象中a(t)=2RΩωcos(ωt)与a=QRcos(ωt)/I此消彼长，才出现了陀螺的点头
燕子：两个加速度不一样吗？
我：不一样
第二，        “同为一体”瞒天过海，也一定同时埋掉了雪鹰许多有价值的想法。我认为，只有分析“点”的受力与“体”的受力，合理地建立“点”与“体”的联系，才能真正理解a(t)=2RΩωcos(ωt)与a=QRcos(ωt)/I的关系，解开不倒与进动之迷
记得我俩以前讨论过的动生电动势问题吗？
外力推动导体在垂直磁场方向运动时，会神奇地在垂直于力和运动的方向产生感应电动势和感应电流
燕子：记得，记得。那时我们是通过对电子（质点）的受力分析，通过对洛伦兹力的分析解决的
那我们一起来建立这个联系好吗？
我：好的

我认为，雪鹰该说话了。因为讨论的方向即将转到他一无所知的电学洛仑兹力，在那里他将插不上话。
并且实质矛盾已经暴露，那就是
a(t)=2RΩωcos(ωt)与a=QRcos(ωt)/I是否同为一体
感谢紫藤萝兰和她的燕子，一步步追到了这个核心，这的确是我整个思想体系的基础
首先，要确定主从关系（因果律）
旋转的陀螺为什么进动？是因为受到了外力矩。这一点不容置疑（夏梦网友就绊在了这里）
任何定理定律，都不允许旋转的陀螺自己进动，那将直接破坏角动量守恒、动量守恒、牛顿基本定律，因此不可想象，现实中也绝对不会出现
不管陀螺是在规则进动，还是在章动，失去外力矩，所有活动立即中止，就是铁证
那么，外力矩为因，进动为果
因此，a=QRcos(ωt)/I为因，v(t)=Vsin(ωt)=RΩsin(ωt)为果
具体的关系：外力矩Q→a=QRcos(ωt)/I→v(t)=RΩsin(ωt)≡圆盘绕12-6轴翻转（陀螺进动）
现在再来看a(t)=2RΩωcos(ωt)
这是根据结果v(t)=RΩsin(ωt)反求原因的产物，这个a(t)垂直于盘面，与v(t)方向时刻一致。本坛廖老以及另外几位网友都得出这个相同的结果，200年前科里奥里老先生第一个得出这个结果。
实话实说，我是没办法不得不采纳他们的意见，至今我还在怀念我的a(t)=RΩωcos(ωt)，然而这个思路是错误的。
所以，由因得果，再由果反追因，追出来的必然是一个东西，尽管没有直接追出a=QRcos(ωt)/I，而是他的变形a(t)=2RΩωcos(ωt)，但是他们
同为一体
，是一个人穿了不同的衣服，这是符合逻辑的，否则才不可理解
紫藤萝兰和那可爱的燕子认为如何？

燕子：精彩。第一场遭遇战。
我：谢谢雪鹰。沿着他的足迹我们知道了许多有趣的事。
燕子：这场遭遇战对所研究的问题有决定性意义吗？
我：不。我们做的只是对前辈大师的工作通俗化。不影响最后的结果
燕子：那我们的讨论是无意义的了。
我：把深奥难懂的道理通俗化，变成大家都能懂的道理，本身就很有意义。而且通过对这一问题的讨论也可以加深我们自己对这一现象的理解。
燕子：在这场论战中，你有必胜的把握吗？
我：没有
燕子：那你如何反击呢？
我：沉默。
燕子：为什么？
我：因为雪鹰没有击中我的要害。我也需要时间理清雪鹰的思路。

好！思路清晰，实话实说，真是个难得的对手，如此对阵，畅快淋漓，哈哈
我前面的叙述无意中犯了个错误，本想等你指出来我再承认，还是先说了吧
由v(t)=RΩsin(ωt)推导的加速度应该是a(t)=-2Ωωcos(ωt)，这才是“科氏加速度”。他的本意是如果质点如此运动，将会出现这个加速度，这个加速度是“伪矢量”
我在前面的讨论中已经表述清了自己的思路，我认为，要想让质点如此运动，必须提供与此相等、方向相反的加速度，因此我直接引入了a(t)=2Ωωcos(ωt)，而未加说明，并且承认这个思路有些武断
责任在我，在此致歉
请紫藤萝兰继续，尤其是可爱的燕子，不要自己出来，可能打不过雪鹰……

我：雪鹰的思维有点乱
燕子：你不沉默了
我：在雪鹰的思维混乱后面，隐藏着一个可怕的观念误区
燕子：哦，这就是你不再沉默的原因？
我：是的。我也正是在雪鹰的启发下才悟出了进动的真正原因
燕子：雪鹰的思维不混乱呀？
我：不，不。你看他说
“旋转的陀螺为什么进动？是因为受到了外力矩。”
“ 不管陀螺是在规则进动，还是在章动，失去外力矩，所有活动立即中止”
“那么，外力矩为因，进动为果”
燕子：我看不出来
我：他的根据错了。
因为，
不管陀螺是在规则进动，还是在章动，失去外力矩，所有活动并非
立即中止
燕子：噢？会是这样吗？似乎是，又似乎不是……
容我想一想好吗？

哈哈，好，交锋正式开始！
关于
“ 不管陀螺是在规则进动，还是在章动，失去外力矩，（除自转外）所有活动立即中止”
我有以下根据，请紫藤萝兰逐条批驳
1、角动量定理：dL/dt=M
当M=0时，dL/dt=0，即角动量L不再变化；
如果M=0，而dL/dt≠0，表明角动量L仍在变化，角动量定理不成立；
2、赖柴定理

注意，矢量G为陀螺动量矩，代表陀螺自转轴指向，矢端速度u立即丧失，表明陀螺自转轴立即停止运动；
如果动量矩矢端速度为0，而自转轴仍在偏转，赖柴定理失效；
3、我的实验
等你批驳了前面2条，我再贴实验视频。实验表明，外力矩一旦消失，陀螺将保持目前指向，自由下落，自转轴无任何偏转（当然在我的观察下如此）
实际上，1、2也是前人对陀螺现象的忠实总结，所以上升为公认的定理，当然比我的观察要精细的多。

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[td]雪映刀锋寒 于 2007-01-10 16:20 在大作中提到：[/td]
[/tr][tr]嘿嘿，那不行，理论分析，必须考虑所有情况
在经典物理学一片晴朗的天空下，两朵微不足道的小小乌云，派生出了惊天动地的相对论和量子力学，从而引起了物理学的革命，如果大家都不去管它，还怎么进步？
种种迹象表明，你和我一样具有一追到底的拼命气质，不能放着这么大的漏洞不管
再有，根据你和教科书的思路，能说清楚陀螺何时才会规则进动吗？比如告诉你陀螺形状、力矩以及自转速度的大小，你能预言陀螺的运动吗？
显然不能，因为这个思想必须先看到陀螺是否会规则进动，才能说陀螺会怎么样运动，同意我这样说吗？[/tr]
陀螺的运动情况是可以预期的。
在《理论力学》中，有两节选修内容，讲的就是刚体的定点转动中可以求出精确解的两种情况，一种就是不受任何外力矩的欧拉·潘索情况，另一种是受外力矩的拉格朗日·泊松情况。可能就是你讲的欧拉陀螺和拉格朗日陀螺。我们研究的是陀螺受外力矩时的运动情况，所以实际上就是拉格朗日·泊松情况，这个问题在《理论力学》中早已给出了精确解，所以我前面所说陀螺受到外力矩以后经过的复杂的变化，然后产生章动和进动什么的，都可以用那一节的内容来说明。
可是很惭愧，我对那一节的内容没有仔细研究，所以我只好以我自己熟悉的方法来研究和理解这个问题，但毕竟是不精确和不严格的。而人家书本上则是给出了陀螺运动的精确的方程，且经过了严格的证明。所以我们的思维深度并没有超过教材的内容。