一道初中竞赛题的研究与拓展
有这样一道初中竞赛题目:
有多少组不完全相等的实数a,b,c,d,e满足
$a+(1/b)=b+(1/c)=c+(1/d)=d+(1/e)=e+(1/a)$
推广A:
有限数列${a_n}$满足$a_i+(1/a_(i+1))=a_n+(1/(a_1))=k,1=2$且数列各项不全相等
研究提出如下猜想：
命题①
$n=2,3,4,5$时,k的解分别为$0; +-1;0&+-sqrt2;(sqrt5+-1)/2&-(sqrt5+-1)/2$
能否给出出k对于n的通项表达
命题②
$a_1=k-(1/a_2), a_2=k-(1/a_3),$....不断将后一个式子代入前一个式子将会得到$a_1=(P(a_n))/(Q(a_n))$,其中$P,Q$都是$a_n$的一次多项式.令$Q(a_n)$中一次项系数为零，得到的关于k的方程的解就是符合要求的k值(对于n=2,3,4,5已经验证),且k的解的个数是n
命题③
去分母得到$a_1*Q(a_n)-P(a_n)=0$,方程左边的式子有因式$a_n^2-k*a_n+1$
命题④
$n=2m$时，k可以取到零解，零解使数列的奇数项和偶数项各自分别相等；非零解使数列各项互不等；$n=2m+1$时，k只有非零解，非零解使数列各项互不等
命题⑤
k的值分布关于原点对称，即如果k=100使数列各项不全相等，则k=-100也可以。
命题⑥
无论n取何值，方程$a_n^2-ka_n+1=0$无解
命题⑦
记k的解集为$S_n,p_n=max{k:k∈S_n}$,则$p_n$有极限。
推广B:
无限数列${a_n}$,满足$a_i+(1/a_(i+1))=k$
命题①
$k^2>4$时，除某两个初值a，b外，$a_1$的任意取值都使数列${a_n}$收敛,而初值a,b使数列为常数列
命题②
$k=+-2$时，初值$x_1=1+(1/n)$使得$x_n$无意义；除此外，任意初值$x_1{x_n}$都收敛
③$-2
以上问题有些很简单，有些也需要想想。
