我认为陀螺之谜已经解决，那就是：


在角状态发生角变化时，刚体的惯性就表现出进动

至于廖老对问题的阐述，我大部分是赞同的，但之中一点是我不同意的。我认为惯性力、科里奥利力概念，都是对于非惯性系说的。在惯性系看来，无所谓惯性力或者科里奥利力。
对于你说的科里奥利力是非惯性系中的力，我完全同意。我在帖子中曾用科里奥利力来代替陀螺力矩，因为，1。潘根教授曾有此提法，我在提及时还特别将其与惯性离心力和惯性力做了比较。2。当时我还不知道陀螺力矩这个名称，（是在陆元九的解释中才看到的。）
另外，我和你的看法也有一些区别1。我认为章动和进动并非同时产生。2。那就是我不同意你的：在角状态发生角变化时，刚体的惯性就表现出进动。认为这种说法并未终究其理。其运动还是应该从牛顿定律来解释。

我始终认为，完美地说明陀螺现象必须同时考虑外力和惯性两个因素。但是因刚体惯性而引出的现象往往与人们的习惯思维相违，成为理解陀螺现象的关键。所以我才喊出了：“在角状态发生角变化时，刚体的惯性就表现出进动”。这种说法是有道理的。在分析它的道理之前，我想先就雪鹰的问题和思维逻辑说几点看法。

雪鹰提出的问题本身没有错：“受重力矩的陀螺为什么会进动而不倒？”但由于问题与外力矩紧紧地联系到一起了，因此就使人们专注于力的作用，看不到惯性的作用。以致于出现了雪鹰的逻辑循环：在陀螺规则时动的情况下，重力矩的作用使陀螺产生了规则进动。

进动是什么？进动是陀螺的一种自然的运动。不受外力矩时，陀螺也会进动。此即我先前所说的“陀螺摇头”了。
外力矩的作用是什么？外力矩的作用是改变刚体的转动状态。因此，说外力产生进动，这种说法本身就存在极大的问题。

伽利略的最大力学贡献在于他发现了惯性。力的作用不是产生运动，而是改变运动。同样，力矩的作用是改变刚体的转动状态，而非产生转动状态。

进动是当陀螺自转轴发生转动时，因惯性而自然地产生的与转轴转动趋势的方向垂直方向的运动（转动）。因此，进动并非外力矩产生的，而是刚体惯性的表现。

要理解这个观点，只要观察一个例子就可以了：一只旋转的欧拉陀螺（特点是支点就在质心上），当你在陀螺的转轴上用力按一下以后，陀螺会产生怎样的现象呢？陀螺不受任何外力矩，也不受任何外力，但陀螺既存在自转，也存在进动。——进动并非是外力矩产生的

[ 本帖最后由 紫藤萝兰 于 2008-2-18 01:14 编辑 ]

当陀螺自转轴转动时，产生进动这是陀螺的惯性的表现，这样的说法我同意。但是，他并不能自动地给出陀螺产生进动的过程及规律。因为陀螺自转轴的转动的产生也是逐渐的因此还必须经过计算才能精确地给出陀螺的进动过程和规律。
另外：我们讨论的是拉格朗日陀螺而非欧拉陀螺。你所说的陀螺摇头是否只是出现在欧拉陀螺里，在拉格朗日陀螺里也能出现吗？如果能，那是在什么条件下出现的?

在拉格朗日陀螺（定点陀螺）的情况下，也会出现惯性的进动现象。

在失重的环境里，如果垂直地推一下旋转的拉格朗日陀螺的转轴，会出现什么情况呢？陀螺会一边自转，一边“摇头”。陀螺的自转轴会在空间划出一个锥面。它的形状与雪鹰给出的陆院士的规则进动相似。

这种进动不需要外力矩（但因为陀螺质心的圆运动，所以需要来自支点的拉力的作用），是刚体惯性的反映。在刘延柱的《陀螺力学》里，这种现象被称为自由规则进动，它的具体运动，是可以通过刚体的惯性状况和初状态确定的。

[ 本帖最后由 紫藤萝兰 于 2008-2-18 19:17 编辑 ]

痴人说梦

一个要推翻牛顿

一个更牛，要干掉角动量守恒

雪鹰

理，请说理

理

请说理

我觉得你所说的失重条件与我们的讨论毫无关系。我总有一个感觉，就是您和老T一样总是在哲学思辨即形而上的层次上即讨论问题，而我是在物理即形而下的层次上讨论问题。所以我希望您能从物理的角度对我的论述提出意见。
另外，对于雪鹰则没什么可多说的。他连弹簧振子运动的牛顿定律都不知道还谈什么：“陀螺也很简单，就是这么一个旋转的刚体，这用不着什么高深学问，如果弄的一个问题非要列一堆偏微分非线性方程组才能说清楚，那可能说明方法错了，大道至简，这就是宇宙的法则”。真是不知道天高地厚。如果真的如此，大学教材里为什么还要讲什么近似理论。
既然自己都不知道牛顿定律是什么,还谈什么别人要推翻牛顿定律.

我强调失重条件的意思是，在没有外力矩作用的环境中，这时陀螺的进动就与力矩无关，“陀螺摇头”是纯粹因陀螺惯性而表现出的进动现象。至于陀螺惯性为什么会引起进动的的具体分析，我已和燕子在雪鹰的帖子里讨论了。

我想，这里的讨论一点也没有形而上，完全是实实在在的形而下，是纯粹的物理知识

[ 本帖最后由 紫藤萝兰 于 2008-2-19 11:34 编辑 ]

紫藤萝兰，你仍然认为仅凭借惯性陀螺就可以大幅度摇头吗？

陀螺定轴性是陀螺仪沿转子轴的垂直方向无力矩作用时，转子轴在惯性空间中保持指向不变的性质。

知道什么是“保持指向不变”吧，你否定定轴性，就是否定角动量守恒

请认真领会一下经典力学的定论，你就会发现你将欧拉陀螺极小范围的自由规则进动理解错了，力矩作用下的进动与自由规则进动有本质区别

请来这里，正在交火
http://club2.cat898.com/newbbs/d ... 3922&star=18&page=1

至于廖老嘛，呵呵~~~哈哈哈

[ 本帖最后由 雪鹰J 于 2008-2-19 12:19 编辑 ]

引用:

原帖由 雪鹰J 于 2008-2-19 12:16 发表
紫藤萝兰，你仍然认为仅凭借惯性陀螺就可以大幅度摇头吗？

陀螺定轴性是陀螺仪沿转子轴的垂直方向无力矩作用时，转子轴在惯性空间中保持指向不变的性质。

知道什么是“保持指向不变”吧，你否定定轴性，就是否定角动量守恒

...

雪鹰
不知你反驳我的是什么。
问题是你承不承认陀螺有摇头现象，承不承认陀螺有自由规则进动现象。
幅度大小与具体条件有关，只要你承认有这种现象，那么就必然存在大幅摇头的现象。
陀螺的定轴性也是一定条件下的现象。比如说陀螺不转时（转速极小时）就无所谓定轴性了

是否你所讨论的一切陀螺问题默认条件都是高速转动的陀螺？

不看别人怎么说的，就按自己的模式套别人，批判别人。难道是雪鹰的风格？

紫罗兰老师的摇头陀螺突然加上力矩就可以立刻不经过调整进入规则进动。象一道闪电，照亮了夜空。
我产生了灵感。反过来，规则进动的陀螺突然力矩消失，就会变成摇头陀螺。是不是？
所以，陀螺进动就是摇头陀螺和向下做加速倒下的运动的合成。
考虑在水平面做规则进动的陀螺。
陀螺倒下，经过dt时间，自转角动量端点一共掉了
h1=Jw*SIN(a*dt*dt/2)那样高的距离。（a=M/I）
摇头陀螺。
摇头陀螺的摇头中心，在高度=IΩ高度。
这时候角动量矢量端点以IΩ为中心，半径IΩ，速度ΩJw做圆周运动。（实际是个空间圆，好象和水平面不垂直，再乘一个COS常角度不影响大的结论）
经过dt时间，升高了：
h2=IΩ（1-COS（ΩJw/IΩ*dt））
两个相减，再除(dt*dt)就是加速度了。
当h1/h2=1，加速度为0。可以通过dt趋向0求极限求出来。
完毕。

非水平也可如此办理，大概需要计算圆和圆的距离，方法一样。

大菜师傅对陀螺有所悟，可喜可贺

提几点意见供参考

一、需要指出，“陀螺摇头”也是一种规则进动。有的教材中称之为“自由规则进动。就运动的性质和表现来说，它与有力矩作用下的规则进动没有本质的区别。

二、在外力矩作用下产生的规则进动与自由规则进动有所不同。比如，在已经摇头的情况下，加上外力矩以后，如果陀螺还是规则进动，那么此时规则进动的幅度（摇头幅度）要比原来大。
”摇头幅度“比原来大意味着什么呢？在这种情况下，力矩的作用是不断改变陀螺自由规则进动的状态。于是，外力矩和陀螺的惯性共同决定了陀螺的运动状态——在新状态下的规则进动。

三、大菜师傅提出了运动合成的猜想。小心了，这条路是走不通的。因为陀螺是一种三维的运动，三个维度的受力、惯性、和运动状况相互牵连在研究一个方向的运动时，不能不同时考虑另外方向的受力、惯性和运动状况。许多讨论陀螺的人都在这里摔倒过。

[ 本帖最后由 紫藤萝兰 于 2008-2-19 17:42 编辑 ]

这个解释只是关于规则进动能存在的一个解释。
推导的结果也是回到经典的算法一样。
至于研究陀螺的运动规律，不是我等低CLASS人士的能力之内。

上面我已经分析过，外力矩的作用不是产生进动，而是改变刚体的运动。那么陆院士“在力矩的作用下便产生进动”应如何理解呢？

的确，既然单纯惯性运动也可以产生进动，因此说进动一定是外力矩产生的，当然是不对的。

“在力矩作用下便产生进动”是一种习惯说法。这种说法的真正意义是，如果陀螺原来没有进动，在力矩作用下便有了进动，因此，力矩在这里就改变了刚体的运动状态。

在力学中，任何具体运动都是由惯性作用和外力作用共同决定的。说力产生了什么运动，只是一种习惯说法，只能在“力改变运动状态”的意义上理解，不能在决定意义上理解。比如说向心力产生了圆周运动，向心力产生了椭圆运动，或对静止的物体说，力产生了运动，都是这样的。

[ 本帖最后由 紫藤萝兰 于 2008-2-22 08:15 编辑 ]

刚体力学已经给出了陀螺问题的一般性方程，也给出了在陀螺高速旋转情况的特殊解。如果说经典力学还没有解决这个问题，那是瞪着眼说瞎话。

雪鹰问题的本质在于，人脑里的一个潜在的意识——在外力矩的作用下，陀螺本该倒下去，却为什么向垂直于倒下去的方向进动了？

我想，我的答案的价值就在于回答了这个问题。而这个答案已超出了雪鹰问题的范围，更揭出了问题的本质
在角状态发生角变化时，刚体的惯性就表现出进动

对于这个结论的得出，我自己也是感到欣慰骄傲的

回复紫藤罗兰:
我的一贯观点是没有数学的物理不是物理而是自然常识。
我看您讨论了那么多，但是和老T一样却不见您在这个问题上，怎样应用牛顿定律。
所以我说您是在哲学的层面上讨论问题。我的牛顿定律方程和解，特别向您提出过。但是却没有看见您的一句评论。
在中学物理教学中，我们一再强调，无论是用动能定理，还是动量矩定理都只能表示出始状态之间的关系，而不能确定物理现象的变化过程。要想描绘出力学现象的变化过程只有应用牛顿定律。而陀螺从释放到规则进动，显然是有一个变化过程，此过程是不能用动量矩定律来描绘的。也就是说赖柴尔定理并不能解释规则进动的产生过程。而必须用牛顿定律。但是我没有见到您是如何应用牛顿定律分析这个变化过程的。

[ 本帖最后由 廖老头 于 2008-2-22 10:08 编辑 ]

陀螺运动的刚体力学方程和解，是可以在刚体力学教材中得到的。

把廖老的方程与刚体力学方程比较，我的看法是，廖老的方程往往是关于一个方向上运动的方程，而在这方程中往往看不到另外方向的惯性（转动惯量）和力的影响，所以我并不认可廖老的方程。

刚体力学关于陀螺的一般性方程是很难解的，只有在陀螺高速运转的情况下，才能得出它的近似解。而这一切在廖老的议程中是看不到的。

另外，我想说一说章动和进动谁先谁后的问题。

其实，旋转的陀螺加上熏力矩时，它将怎样运动，这将取决于陀螺的惯性，它的初状态，以及它的受力，由这三者决定。陀螺是直接进入规则进动，还是以规则进动为主，伴以微弱的章动，还是有大幅度章动，一切都由上述的三因素决定。

进动与章动的区分不过是人们的主观的区分，章动，进动，都不过是同一运动过程的表现。因此，讨论章动、进动谁先谁后的问题是无意义的。

举一个例子。一只单摆，在重力的作用下，它可以在竖直面里摆动，它也可以在水平面里做匀速圆周运动，它也可以边在竖直面摆动，边在水平面里转动，做一种复杂运动。我们可以问，它是先做竖直面里的摆动呢？还是先在水平面里做圆周运动呢？我想这种问题是无意义的。

以上认识请廖老批评

我所讨论的陀螺不是任意状态的陀螺，而是开始时刻有自转且自转轴的方向被约束于水平方向的有阻尼的陀螺。当陀螺释放以后的运动过程。
“陀螺运动的刚体力学方程和解，是可以在刚体力学教材中得到的。
把廖老的方程与刚体力学方程比较，我的看法是，
廖老的方程往往是关于一个方向上运动的方程，而在这方程中往往看不到另外方向的惯性（转动惯量）和力的影响，所以我并不认可廖老的方程。”
今天刚刚看到了您对我的计算的评价。很感谢。当然，我也很想请教，在您看来方程应该如何列。尤其是想看到在我所设定的初始条件下的方程的解。恕我孤陋寡闻，我这里只有一般的理论力学教程，对陀螺的讨论只是基于赖柴尔定理。

廖老

你的思路大约是1440楼的帖子吧。我和Tony都不同意这种分两步分析的方法。

关于刚体力学的材料有些过大，传不上来。只能传上一个小的来，供你参考。这类材料网上很多。
请注意其中第35版起的欧拉动力学方程，以及40版的结论。欧拉方程完全是牛顿力学的延伸。


可以告知你的信箱吗？我可以把刘延柱的《陀螺力学》，以及其它的教材传给你。

[ 本帖最后由 紫藤萝兰 于 2008-2-22 20:09 编辑 ]

我的电子信箱是:liaoqiheng@yahoo.com.cn
非常感谢您给我传过来的刚体力学材料.我正在慢慢阅读.
另外,您说网上材料很多.但是我不会"搜".您能指点指点吗?
还有,我的完整的叙述是在"与陀螺对话"中的第34页的第1005-1008帖.
还有,因为我的水平所限,所以我的计算中还有一个前提就是"微小章动"意思就是说陀螺的运动只是在圆柱面内的运动,因此坐标系也就是圆柱坐标系.所以其中的章动只是竖直方向的位移而不影响其方向.这样是问题大大简化了.从而可以比较方便地求得陀螺运动的变化过程,当然我的分析和计算不符合刚体动力学的普遍理论,不过在我的简化了的条件下,请您看看我的分析有何问题.

[ 本帖最后由 廖老头 于 2008-2-23 10:18 编辑 ]

回复紫藤罗兰：
你的思路大约是1440楼的帖子吧。我和Tony都不同意这种分两步分析的方法
上次说我：“往往是关于一个方向上运动的方程，而在这方程中往往看不到另外方向的惯性（转动惯量）和力的影响，”我一直不明白说的是什么意思。这次说我“分两步分析的方法”。我猜想是不是您二位误会了。看我是先分析竖直再分析水平以为我是分两步，孤立地讨论并列方程。其实不是。只是把陀螺盘片中心的运动分解为水平和竖直两个方向分别列方程。在章动方向的方程中考虑了进动的影响，在进动的方程中也考虑了章动的影响。
我们知道，陀螺在释放后并非做水平方向的进动，其盘片的中心实际上是做一个曲线运动。设在某点其速度为v，可分解为vx和vy两个分速度。如图所示：vx对应着一个进动角速度φ’=vx/L。同时产生沿y方向的陀螺力矩2Iφ’ω。vy对应着一个章动角速度ψ’=vy/L。同时产生一个沿x方向的陀螺力矩2Iψ’ω。所以在该点产生进动和章动加速度分别为：
x方向：2Iωψ’－－μφ’=Hφ’’
y方向：M―2Iωφ’―μψ’=Hψ’’
不知有何错误。

您的书已经受到.谢谢!我正在慢慢阅读.

关于欧拉角的疑问关于欧拉角的疑问。
自从我接触陀螺以来，一直以为所谓进动、章动和自转都是相对于定点运动的刚体的某一个轴来说的。比如陀螺的进动、自转和章动就都是针对陀螺的自转轴来说的。如下图所示。
陀螺欧拉角.GIF (3.4 KB)
2008-2-29 10:26


换句话说，就是开始使动坐标系Oxyz与固定坐标系Ox0y0z0重合。然后以动坐标系的Oz为轴旋转φ角，到Ox1y1z0是为进动。盘片转到Ox1。然后再以Oy1为轴旋转θ角，到Ox2y1z1是为章动。最后再以Ox2为轴旋转ψ角，是为自转。也就是说以动坐标系的三个坐标轴分别为轴各旋转一次。得到动坐标系的新的位置。

但是看了刚体运动学中所说的欧拉角好象并非如此。而是如下图所示。先以动坐标系的Oz为轴旋转是为进动。再以Ox为轴旋转是为章动，最后再以Oz为轴旋转是为自转。
欧拉角.gif (8.56 KB)
2008-2-29 10:26


请问，欧拉角为何如此定义，仅仅是因为直观吗？我听说，同一个物理过程，用不同的坐标系表达时结果是不一样的，那么在陀螺的运动中到底应该如何定义这三个角？

回复紫藤罗蓝：
这几天在看刚体动力学很吃力，没有回复。关于关于章动和进动的向后的问题，如果泛泛地没有任何前提地说当然无所谓。但是，我们讨论的是自转的陀螺从静止开始释放，这样的前提下的运动。难道也没有先后之分吗？

鉴于我前面粗鲁无礼的表现，在此诚恳地向紫藤道歉。
我不应该向廖老发火，也不应该向你发火

但是我建议大家先从比较简明的规则进动入手，没必要开始就考虑复杂的章动以及自转的陀螺在大力矩作用下的复杂运动，那是舍本求末

牛顿力学认为，力矩的作用产生（规则）进动，这是无可置疑的。如果凡说陀螺必说章动，无视规则进动的存在，显然是不合道理的。

或者认为规则进动与力矩无关，也是违反牛顿力学宗旨的

既然都宣称遵守牛顿力学，就要说清楚力矩与进动的关系

没有力矩作用，陀螺自转轴不会无缘无故改变方向，这是角动量守恒所决定的，陀螺的定轴性赫然就印在教材中，正是利用此特性，才制作出花样百出的陀螺仪

如果紫藤一�