有3升和5升的杯子，只允许用这两个杯子从水池里取回4升水，应该怎么操作呢？
把问题一般化：
有a升和b升的杯子，只允许用这两个杯子从水池里取回c升水，应该怎么操作呢？其中a、b、c都是正整数，(a,b)=1，c<max(a,b)。

第一个问题是谁称油来着？被老兄灌成了水，可见现在的油价。
版主醉翁之意在第二个问题。

不许用别的容器？

哦，知道了，5升装满，倒入3，余2，把小的倒空，倒入刚才的2升，再5装满，倒入小的（缺1升就满了），余4升

不妨设a>b,容器相应的是A,B
可以有的数据是a,b,a-kb(说明k是正整数，a-kb≥0，A中每次去掉b升.....①),
若a=mb+r,(m为正整数，0<r<b),那么把r倒入B,然后A装满，倒满B，A中留有a-(b-r)，再重复①的操作。就有a-(b-r)-tb(说明t是正整数，a-(b-r)-tb》0)
a-(b-r)-tb=2r ,(mod 　b)
依次重复①的操作有r,2r,3r,.....,(mod　b),这是b的完全剩余系,总可以不停添b或减b变为１，２，３，...，b

[ 本帖最后由 执白 于 2008-3-18 15:40 编辑 ]

执白老师做得很好啊！

再把问题一般化：有$n$个杯子，其容量都是整数生，第$i$个杯子容量为$a_i$，$(a_1,a_2,...,a_n)=1$，只用这$n$个杯子取回$b$升水，应该怎样操作？其中$b$是正整数，$b<max(a_1,a_2,...,a_n)$。

得到某个特定的数据，上面操作不一定是最快的，比如已经得到c的情况下，不是重复①的操作而是把c倒入空的A,可以依次得到c+kb(说明k是正整数，c+kb<a，设k1是k的最大值)和c+(k1+1)b-a

呵呵，谢谢夸奖

１楼问题稍微修改下：
有a升和b升的杯子，只允许用这两个杯子从水池里取回c升水，应该怎么操作呢？其中a、b、c都是正整数，(a,b)=t(０<t<min(a,b),t是正整数)，c还有什么特点才能够达成。----②
（好像c=kt,k是正整数,这样直观理解：容器都缩小到原来的１／t,就化为１楼问题了，当然只规定①的操作，不能是圆柱型的容器，可以倾斜，留下a/2,b/2什么的）
７楼b先简化为，b<min(a1,a2,  ,an)

[ 本帖最后由 执白 于 2008-3-19 07:28 编辑 ]

这样看来，只可付诸计算机程序，这样的分液操作一定可以办到。

应该是的，细节没仔细考虑

任意取ai,aj因为10楼的②，可以得到体积（ai,aj）=r1,找到不被(ai,aj)整除的ak,
可以得到(r1,ak)=r2,可以看到r2<r1,重复这个操作，因为（a1,a2,....an）=1,总会有$r_m$=1(存在某个整数m)

只要最后能凑出1升水，就大功告成啦。

是啊，不过最好得有比较具体的操作方法。

我插一句嘴:什么样的坛子A与B能做到量出C升水?(C<A、C<B)
我有个结论，先不说，大家说说，看看对不

你不说大家怎么知道对不对？

互质

(a,b)=1 必存在整数 x,y 使得 ax+by=1 .

那些个符号和表情的意思是？直说就可以，我承受的了

没事没事。。。那个表情我只是觉得好奇怪好搞笑。。所以发。。。
更想不通的是K12为什么会采用这个表情。。。

(a,b)=1 必存在整数 x,y 使得 ax+by=1
什么意思？（数学范围）
根据英语：它是“不”的意思

我觉得１２楼已经可以操作了，你指的是？

引用:

原帖由 Joseph 于 2008-3-18 15:46 发表
再把问题一般化：有n个杯子，其容量都是整数生，第i个杯子容量为ai，(a1,a2,...,an)=1，只用这n个杯子取回b升水，应该怎样操作？其中b是正整数，b<max(a1,a2,...,an)。

问题等价于(a1,a2,...,an)=1,将b表示成a1,a2,...,an的整系数线性组合。
注意到下面这个熟知的结论：
（a1,a2,...,an）是a1,a2,...,an的整系数线性组合所能表出的最小正整数。
现在，由于(a1,a2,...,an)=1,因此a1,a2,...,an的整系数线性组合可表出1，因此可以表出任意整数，所以当然能表出b.
至于具体的，怎么求这些整系数，当然最好的方法就是欧几里德辗转相除法了。

[ 本帖最后由 wantnon 于 2008-3-24 17:20 编辑 ]

可是得出线性组合及辗转相除法有没对应的实际动作---指倒水杯

明白了，
比如2a-3b+c=1
就把aac倒在一起，并倒出2个b,次序可以任意（如果允许的话）

a>b，建立方程ax-by=c，解此不定方程所求得的正整数解x和y就是对应杯子（或坛子，呵呵）的操作次数；若该方程没有正整数解(x,y)，则该操作不可行

经过大家讨论有了结果了，这个问题实际上就是求系数是正整数的线性方程的解，从解中寻求操作方法，这就是我给出这个问题的原意。

题目改下，有23，21，20形状不规则的容器，23升满的，其余空的，仅限于这些容器
1~23哪些体积是可以得到的？
推广为容器体积为a>b>c为正整数（为方便，a、b、c两两互素），就a是满的，b、c空的，1~a哪些体积是可以得到的？
~~~~好像就1,2,3,20,21,23,
不知道改成4或5个容器（2个满），会不会有更好结果？

[ 本帖最后由 执白 于 2008-3-29 10:42 编辑 ]

引用:

原帖由 kuing 于 2008-3-23 01:24 发表
(a,b)=1 必存在整数 x,y 使得 ax+by=1 .

这是本题有解的理论基础
如果这个结论的证明是构造性的，证明就是本题的一种方法。（忘了怎么证明的）

就辗转相除做的，不停写带余除法