x,y,z均为锐角。若cos^x+cos^y+cos^z=1,那么x+y+z=?是不是定值，否则的话，和的范围是什么？
（^代表平方）

[ 本帖最后由 西部不惜 于 2008-4-19 10:54 编辑 ]

不象是定值。求范围不会

题目看不懂啊 ，没有角度，？

x、y、z可看成长方体对角线与三条棱的夹角，问题就容易看清楚了。

谢谢齐老师、执白老师，田雨老师的关注
原题是：x,y,z>=0,且x^2+Y^2+z^2=1,求证:x(1-yz)+y(1-zx)+z(1-xy)>=2/根号3
任教论坛里最近有同志发过的，但有老师给出反例说它不成立。
我没有彻底验证那个反例。
正如田版所言，它对应了长方体对角线与相邻各棱的夹角余弦关系。因此这里需要深入探讨这三个角的和的情况。

欢迎继续讨论

引用:

原帖由 西部不惜 于 2008-4-17 18:49 发表
x,y,z均为锐角。若cos^x+cos^y+cos^z=1,那么x+y+z=?是不是定值，否则的话，和的范围是什么？
（^代表平方）

等价于：$a,b,c>0,a+b+c=1,arc cos sqrt(a) + arc cos sqrt(b) + arc cos sqrt(c) = t$ 求$t$的范围。
考虑$f(x)=arc cos sqrt(x)$的凹凸性和单调性，利用琴生不等式和调整法可以证明当$a=b=c=1/3$时$t$取最小值$3arc cos sqrt(1/3)$，当$a,b,c$中两者趋向0，另一个趋向1时，$t->pi$，而且$a,b,c$连续变化时，显然$t$也是连续变化的。于是综上可知$t \in [3arc cos sqrt(1/3),pi)$。

[ 本帖最后由 kuing 于 2008-4-19 11:12 编辑 ]

引用:

原帖由 西部不惜 于 2008-4-18 14:24 发表
谢谢齐老师、执白老师，田雨老师的关注
原题是：x,y,z>=0,且x^2+Y^2+z^2=1,求证:x(1-yz)+y(1-zx)+z(1-xy)>=2/根号3
任教论坛里最近有同志发过的，但有老师给出反例说它不成立。
我没有彻底验证那个反例。
正如田版所言，它对应了长方体对角线与相邻各棱的夹角余弦关系。因此这里需要深入探讨这三个角的和的情况。

呵呵，你所说的反例就是我给的那个？你可以用计算软件算一下的。
我试试将右边的2/根号3改一改，看能不能搞成成立的式子吧。

PS.
这个论坛的贴似乎发去总版块会多人看一些。。。。

x,y,z>=0,且x^2+Y^2+z^2=1,求证:x(1-yz)+y(1-zx)+z(1-xy)>=1
这个应该对了。
试试吧。

等号成立的条件是什么？

估计是一个1两个0。

这不符合等号成立的一般条件。检验一下x=y=z=1/根号3时，原来的不等式等号成立

.......谁说等号成立一定要三个相等？

谢谢kuing 关注!
我是说一般情况是这样的，对于这道题而言，也许你说的情况就是等号成立的条件。

引用:

原帖由 kuing 于 2008-4-19 11:07 发表


等价于：$a,b,c>0,a+b+c=1,arc cos sqrt(a) + arc cos sqrt(b) + arc cos sqrt(c) = t$ 求$t$的范围。
考虑$f(x)=arc cos sqrt(x)$的凹凸性和单调性，利用琴生不等式和调整法可以证明当$a=b=c=1/3$时$t$取最小值$3arc  ...

没这么简单，记y=arc cos sqrt[x],y为锐角，则Sqrt[x]=cosy,  0.5x^-0.5= -siny *y' ,  -0.25=-cosy *y'^2 - siny * y'' ,  得 y'' =( cosy^-2 - siny^-2) / 4siny *cosy ,
不能一下子用琴生不等式得出

记a=cos^x，b=cos^y，c=cos^z，则0 < a, b, c < 1, a + b + c = 1,
x + y + z = ArcCos[Sqrt[a]] + ArcCos[Sqrt] + ArcCos[Sqrt[c]]，
记y=arc cos sqrt[x],0 < x < 1/2，则Cos[y] < Sin[y]，Sqrt[x]=cosy,  0.5x^-0.5= -siny *y' ,  -0.25=-cosy *y'^2 - siny * y'' ,  得 y'' =( cosy^-2 - siny^-2) / 4siny *cosy>0 ,
y下凸，不妨设a <= b <= c，则a，b<1/2,有x+y>=2ArcCos[Sqrt[t]] ，其中t=(a+b)/2<=1/3，这时c=1-2t，
所以x + y + z >=2ArcCos[Sqrt[t]] +ArcCos[Sqrt[1-2t]] =f，
3t<=1, 2-4t>=1-t, f'=1/(Sqrt[2 - 4 t] Sqrt[t]) - 1/(Sqrt[1 - t] Sqrt[t])<=0, f减少，所以x + y + z >=f>=f(1/3)=3ArcCos[Sqrt[1/3]] ,
另外，可得x+y+z<Pi

我刚发上去的那里去了?

楼上, 你看清楚我说的, 我不是单单的直接用琴生不等式, 而是要结合"凹凸性, 单调性, 调整法"来用的.