正方体在动平面内的射影的面积的最值如何求？

我猜是正六边形时面积最大

如何证明？

知道怎么证明就不是猜了
等空下来再细想

有猜就有门得以证明——

那最小是否就是正方形的面积呢

这样行否？
设正方体两侧面之一和水平面成$alpha$,则另一面为$pi/2 -alpha$,
由射影面积知道：底面上的射影面积和为
$  S=a^2  (sin alpha +cos alpha)= sqrt 2 a^2 sin(alpha+pi/4)$
$a^2 leq S leq sqrt 2 a^2$
好像有点牵强，大家看呢？

[ 本帖最后由 一土老师 于 2008-6-1 21:13 编辑 ]

因子应该是根号3

我不会上传图片，所以只是讲证明方法。
平移正方体使正方体在平面的一侧且与平面有公共点，
选一公共点，则以此公共点为顶点的三个面在平面上的正射影无公共部分，
设它们与平面的夹角分别为A、B、C，
（1）可以证明：cosA^2+cosB^2+cosC^2=1.
所以，正方体在平面上的射影面积>=上述三个面的射影面积=1^2*cosA+1^2*cosB+1^2*cosC
=根号(（cosA+cosB+cosC)^2 ) >= 根号(cosA^2+cosB^2+cosC^2)=1
其中设正方体的边长为1，又因为正方体在平行于其中一面的平面上的射影面积为1，这样，就证明了最少值为1

接上，不难知道，正方体在平面上的射影面积就是上述三个面的射影面积，
所以，由均值不等式，正方体在平面上的射影面积=cosA+cosB+cosC<=3*根号( (cosA^2+cosB^2+cosC^2)/3 )=根号3，最大值为根号3

谢谢各位高手！希望多多交流！