关于一元二次方程，一元二次函数，一元二次不等式，始终是中考与高考的重点。但是，学生学的与老师教的总让我们感觉还有什么欠缺。今天开这个贴，意在共同研究，共同学习，让我们教的老师能教得更好，学的学生能学得更好。愿我们共同努力，一起成功。
本楼设一个目录，有新的建议与意见我就及时修改。愿各位老师各位同学积极参与，把自己教与学中遇到的问题提出来，让我们共同解决，把自己教与学中的好的经验发上来，让我们共同分享。谢谢了先。
（感谢伽罗华、三版、川木、xxxyrrr、溯一、孤天天、中华老师、留香剑、桥乔老师、周小鱼、晨雨听铃、田雨老师、桥乔、Joseph……等朋友的参与）

一．一元二次方程
1．  识别一元二次方程……2楼、3楼
2．  解一元二次方程的基本方法（配方法）……8楼、9楼
3．  一元二次方程根的判别式……12楼
4．  一元二次方程的求根公式……18楼
5．  一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）……21楼、22楼
6．  可化为一元二次方程的其它方程……25楼、26、27楼

二．一元二次函数
1．  识别一元二次函数……28楼、33楼
2．  了解二次函数的定义域与值域……37楼
3．  会画二次函数的图像……41楼、53楼、55楼
4．  明确二次函数的一些重要性质……56楼、59楼

三．一元二次不等式
1．  识别一元二次不等式……72楼、75楼
2．  解一元二次不等式的基本方法（函数图像法）……76楼、77楼
3．  快速解二次不等式的方法……87、96、97楼

四．三合一定理在一元二次中的应用
1．  三合一定理的内容……98楼
2．  三合一定理在一元二次中的应用……99、101、102、103楼及121、122、123楼


五．一元二次的变化应用
1．  按不同的字母分别考查……124楼、127楼、129楼、131楼、134楼
2．  对参数的讨论的必要性……135楼、136楼、145楼、146楼、149楼、157楼
3．  研究三次问题的工具（求导法）……164楼、165楼

六.二元二次方程的几何研究
1.所谓的标准方程；
2.中心不在坐标原点，但对称轴与坐标轴平行的；
3.二元二次与一元二次的关系；

七.结束语

[ 本帖最后由 上帝的老师 于 2008-8-26 21:47 编辑 ]

1．  识别一元二次方程
方程是含有未知数的等式，那么我们应该先明确哪一个字母才是未知数（一般用x表示），然后才能确定它是那一种类型的方程。
而一元二次方程显然应该有两个特征：一就是一个未知数，二就是未知数的最高次数是二次。并且方程一定是整式的（不能是根式或是分式或是其它……）。
请判断一下，下列关于x的方程是不是一元二次方程：
(1)    x^2+3x=5
(2)    ax^2=4x-6
(3)    (x^2-3x+2)/(x-2)=5

[ 本帖最后由 上帝的老师 于 2008-7-25 11:36 编辑 ]

（1）是一元二次方程
（2）这个应该对字母a进行讨论：字母a在这里应该是一个常数，但是这个常数代表什么样的实数并没有确定，当然字母a也可以是0。如果它是0，这个方程就不是一元二次方程了。如果它不是0，那么它就是一元二次方程。
更多的时候我们也把字母a叫做参数，对参数的不同情况影响了我们研究问题的过程或是结果的时候，我们就要对参数进行讨论。这种讨论的思想在数学上很重要，应该引起重视。
（3）这个不是一元二次方程，它是分式方程。虽然它可以转化为一元二次方程，但由于它的分式的结构决定了它只能是分式方程。

从来都不是,是快乐的源泉...

哎，这个一元二次方程的求根公式，都到高三了，有的学生还没记住

引用:

原帖由 伽罗华 于 2008-7-25 22:02 发表
从来都不是,是快乐的源泉...

你是个优秀的学生，当然不知道“一元二次”的“痛”。我们做了多年的老师了解，这方面的知识简单的，中等的学生可以会；难一点的，只有学习优秀的才会；变化一些的不太直接的，只有个别有潜力的学生才会啊。
每年的高考，这个“一元二次”总会难倒很多的考生，其中不少还是优秀的。

引用:

原帖由 三下五除二 于 2008-7-25 22:08 发表
哎，这个一元二次方程的求根公式，都到高三了，有的学生还没记住

能记住的学生是用心学的学生，能会推导的学生是理解之后的学生，如果能够学会应用才是优秀的学生啊。我们普通高中，“尖子班”的学生80%的学生可以记忆，20%的学生能够推导，几乎没有可以灵活使用的。如果是普通班，确实是记住者都少啊。
看来，版主与我有相同的“痛”啊。

2．  解一元二次方程的基本方法（配方法）
对于确定的实数a，b，c来说，a不为0。关于x的方程ax^2+bx+c=o是一元二次方程。这个方程解的情况有三种：
（1）无解
（2）有两个相同的解（不说成只有一个解）
（3）有两个不同的解
这是为什么呢？
能够回答这个问题，才能算是对解一元二次方程有所理解。

[ 本帖最后由 上帝的老师 于 2008-7-25 23:26 编辑 ]

配方法是研究一元二次的基本方法，配方即配成完全平方，配方的目标是未知数，配方的关键是对完全平方公式的掌握，配方的方法是先把二次项的系数提取，然后关注一次项的系数。
ax^2+bx+c
=a(x^2+bx/a)+c……第1步是对有未知数的两项提取二次项的系数
=a[x^2+bx/a+(b/2a)^2-(b/2a)^2]+c……第2步是对括号里面同时加上与减去一次项的系数一半的平方
=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c……第3步是完成配方
=a(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a……第4步是整理一下常数项

[ 本帖最后由 上帝的老师 于 2008-7-26 00:32 编辑 ]

必须要让学生对数学有个整体的认识，把一切都限于“一元二次”是否合适值得怀疑，我的意思是：以“一元二次”为核心对这个概念的各种引申进行详细介绍是不合适的。（下面所讲的其实已不限于“一元二次”的教学）
那么现在有这样两个问题：
1：怎样使学生对数学有整体的认识？
2：在使学生对数学有个整体认识的时候如何使学生认识到“一元二次”的重要性（是指使学生自己认识到，而不是老师引导到）。
3：在学生认识到这个重要概念后怎样帮助学生对这个概念进行拓展？
我对这三个问题是这样想的：
1：在开始学习的阶段，不要把例题，习题限于某个课题下（比如函数，立几，三角，集合。。。），每一道题目应牵扯到尽可能多的概念，但是，每一道题目又不要对涉及的概念有明显的引导，换句话说，题目要尽量能使学生独立探索到某些概念。
2：这里可以考虑出些例题，但不要是纯粹的题目，可以是一些探索上的题目，让学生慢慢认识到“一元二次”在高中数学各方面的代表性。（一元二次函数为什么重要，它在思想上，概念上有何代表性，有老师答的上来吗？追本溯源，一元二次之所以重要不是因为考试常考，而是它本身在初等数学上各方面都有一定代表性，如果老师偏离这个目的以“考试常考”为掩护出一大堆无聊重复的习题那实在是误人子弟。）

在上面的回答中，可以看出我从不回避对好题目的要求，老师把时间用于教学的思考实在不如用在好题的创造上，其实教学的方法都是一样的，一样是指条条大路通罗马，但总而言之，只有两条路，上升的路和下降的路，怎样教才能让学生更喜欢学，要教的有趣，怎样有趣，如果题目都是无聊的，还谈何有趣。

首先谢谢川木寻叶老师的参与，也感谢您对教学的认识。
（1）你所说的教学理念是符合新教材的教学思想的，这很好。新教材的每一章前面都有一个实际的问题，揭示本章将要研究什么，大概的让学生了解学习了本章的内容就可以解决这个问题了。然后就是教学实际，与旧教材没有本质的区别。最后有阅读材料及研究方面的课题，就是所谓的拓展了。
对于这样的安排，我是同意的，这对学生的学习兴趣的提高有帮助，为了这一点，教材还引入了一些数学史上精彩故事。但在实际教学中，我们发现由于学生学习的主动性与自学性还有数学兴趣与能力方面等多方面因素的制约，使得更多的设计与设想毫无用途。
（2）你提到“这里可以考虑出些例题，但不要是纯粹的题目，可以是一些探索上的题目，让学生慢慢认识到“一元二次”在高中数学各方面的代表性。”这个观点我不赞同。要完成这样的教学决不是对于连“一元二次”相关知识都没有学好的学生的。就算是对于重点高中的优秀生来说，也是困难的。再退一步讲，对于我们老师来说（把老师变成学生），也是不容易的。不相信我们可以做一个测试。K12的数学论坛也是藏龙卧虎的，我们可以发一个测试贴，调查一下就可以知道结果了。
数学上有一个典型的例子：观看蒙娜丽莎画像……这算是一道经典的题目了。从美学到数学上的黄金分割，从物理学的光学到数学上的三角函数，从换元的思想到人的情感。哈哈哈……几百年啊。你知道老师讲课的时候站在什么位置最美吗？站在什么地方，让学生感觉更亲切吗？站在什么地方，学生能更容易接受你讲的内容吗？站在什么地方，你的形体语言比你的教学语言更具有杀伤力吗？……
（3）“一元二次”的重要性不是因为常考，而是因为他在初等数学的各个方面都具有代表性：如果你坚持这一点的话，写一篇论文也许是个不错的选材，但是用在教学上，我与你的意见也是不同的。
一个知识点他重要或是不重要就看它在数学中的地位如何？在高考中的比例与频率如何？而这一点我们无需去讲，只要我们有心去做就可以了。
（4）这个贴子的发出，意在研究一个知识点，至于能不能带起一个面或是全部并不需要做太多的思考。这就象建一座楼房一样，我现在要做的是造一块砖。其实这栋楼房需要很多的砖，并且形状与质量也可能是不同的。而我只要把这块砖造好了，才能说这对建这座楼做出了贡献。在没有造好这块砖之前，就去想其它的也不是不可以。但如果其它的想多了，而忽略了这块砖的质量，将来的麻烦就大了。这样的楼如果遇到wenchuan这样的地震，恐怕是最先倒掉的一座之一吧！
（5）观点就是观点，希望我们辩论得更精彩！！

3．  一元二次方程根的判别式
前面9楼的配方法所得结果，让我们把原方程化成了：a(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a=0
移项得：a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a
两边同时除以a得：(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2
（1）b^2-4ac<0，上式就是一个完全平方等于一个负数，不成立，所以原方程无解；
（2）b^2-4ac=0，即：(x+b/2a)^2=0，所以x=-b/2a，所以原方程有两个等解；
（3）b^2-4ac>0，方程两边开平方，一个正数的平方根有两个，所以原方程有两个不等的解；
由此可见，b^2-4ac就是一元二次方程的根的判别式。

哇！好厉害！
  推导过程我都忘了，只是大量题海让我想忘也忘不了，这是好还是不好呢？》？？？？？/

引用:

原帖由 xxxyrrr 于 2008-7-26 15:37 发表
哇！好厉害！
  推导过程我都忘了，只是大量题海让我想忘也忘不了，这是好还是不好呢？》？？？？？/

对数学教育而言，绝对不好；对应试数学教育而言，差不到哪去。。。

关于一元二次的意义,其实可以这么理解,一元二次方程,二次函数,二次不等式,二次曲线,等等,统称为二次系统,它们构成了初等数学的主要内容,事实上,它们是初等数学的标志!高次的方程与二次以下的方程存在本质的不同,大学生,甚至是研究生,也不用知道超过2次的方程的解法...在数学上,2次似乎是一个分水岭,2次以下与高于2次的"系统"把数学划分开来了,可以注意一下,初等代数的方程是不超过2次的,高等代数或抽象代数研究高次方程的根式解问题,解析几何研究的对象是2次曲线,代数几何研究一般的代数曲线,其中包括了三次曲线的一些结果,2次同余方程与2次不定方程是初等数论的研究重点,可以说它是初等数论的主题,代数数论则可以解决更高次的不定方程,比如应用代数整数环的性质研究分圆域等...

希望楼主把二次方程和几何的关系,比如二次曲线的内容也加进去...

谢谢伽罗华为我们带来的关于“二次”的精彩论述，这一论述让我们对“二次”有一个更高更深层次的认识，对于将来学生在数学方面的发展是非常有益的。
另外提到的“二次方程和几何的关系,比如二次曲线的内容”也是一个很好的建议，我仔细思考一下，把它放在一楼的目录中，敬请关注。

未命名.GIF (4.74 KB)

2008-7-26 21:02

[ 本帖最后由 上帝的老师 于 2008-7-26 21:05 编辑 ]

三合一定理是？

三合一定理是本人对于初等数学中的方程、函数与不等式进行研究发现的一个定理（其实好多老师与学生已经自觉运用了），教学中就这么说，这么用，并没有发表或是公众。对不起，到时候我就把它拿出来，如果不对还请批评指正。

[ 本帖最后由 上帝的老师 于 2008-7-27 09:18 编辑 ]

5．  一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
在解析几何中，直线与曲线相交的问题，如果与弦的中点没有什么关系，通常用韦达定理公式法完成。可是，学生在使用的时候，总是丢三落四，表现在：
（1）不考虑是不是一元二次方程；
（2）不考虑是否有根；
（3）不会把多种情况转化为两根之和与两根之积的情况；
（4）两根之差的公式不会直接使用；
（5）没有很好的运算能力，没有良好的心理素质，不能算出最优的结果以便下一步的研究；
（6）对前面未知数的取值范围没有重视；
…………

韦达定理的内容是很简单的，所以这里就不给出了，它表达的一元二次方程在有根的情况下的根与系数的关系。主要是用方程中的系数表示两根之和与两根之积。用求根公式就可以得到了。

引用:

原帖由 上帝的老师 于 2008-7-26 20:50 发表
71716

两个根之差的绝对值这个在圆锥曲线的弦长公式里有，对这个式子我一直挺疑惑，本来由您写的这一个式子就已经是简单本质了，我在教学中是这么讲的，分母是a的绝对值，分子是根号下判别式，但为什么几乎所有的我看到的试题答案上都不这么写，偏写成用两个之和的完全平方减去4倍的乘积，难道只是为了体现出韦达定理的应用？（韦达定理只有和，积的形式）

引用:

原帖由 三下五除二 于 2008-7-27 09:18 发表



两个根之差的绝对值这个在圆锥曲线的弦长公式里有，对这个式子我一直挺疑惑，本来由您写的这一个式子就已经是简单本质了，我在教学中是这么讲的，分母是a的绝对值，分子是根号下判别式，但为什么几乎所有的我看到的试题答案上 ...

三版提出的问题是事实存在的问题，这就是只教不研的后果。
相当年以前，用韦达定理就是象后者一样，其实这个过程是笨重的。但老师在教学的时候并没有认识到这一点，书上怎么写就怎么教，参考书上怎么说，就怎么做……不能把教材进行从新的研究，不能在参考书或是课外书中加入自己简单可行的东西进行修改，……
学无止境！！！

[ 本帖最后由 上帝的老师 于 2008-7-27 12:10 编辑 ]

未命名.GIF (9.24 KB)

2008-7-27 17:08