已知：不等式ax^2-2x+c>0的解为（-3，1），那么不等式cx^2+4x-a<0的解为：____________。

设一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个不相等的实根分别为x1，x2，且x1<0<x2。
（1）若c<0，则不等式ax^2+bx+c<0的解为：__________；
（2）若不等式ax^2+bx+c<0的解为x<x1或x>x2，那么请判断实数a与c的符号，并讨论实数b的符号情况。

上面的3道例题是三合一定理的简单应用，体会其中的数学思想对学习高中数学会有很大的帮助。晚些时间再给出解答。

我说我临时能够想起来的两点,
1是二次函数和绝对值进行部分复合(不是整体加绝对值而是某几项),其实相当于4次,可以出很难的题.
2是二元二次曲线和坐标变换,不变量,等等都联系很紧密,上帝老师要讲的话不是几个月能讲完的吧.建议慎重考虑这部分.

伽罗华说的很对,不过,美丽的知识太多了,总得有个边界,否则刹不住车.
我建议以中学数学的主干,不要超纲,比如二次方程作为最简单的非线性,要是讲费根鲍姆分岔就太远了一点.

定理内容：对于一个基本初等函数来说，它的图像与x轴交点的横坐标，就是它对应的方程的根，也是它对应的不等式的解的非无穷端点。
不等式tanx>0的解的非无穷端点并不全是函数图象与x轴的交点。

[ 本帖最后由 田雨 于 2008-8-12 22:45 编辑 ]

汗一个,您不是在嗤笑我吧
我说的是迭代的倍周期分岔现象,由费根鲍姆第一个找出它的常数(分岔间距比)

我们知道一元二次式$x^2+x+1>0$恒成立,而$x^2-3x+1$不是这样,这可以根据判别式的符号给出一个判定准则,现在我们考虑$ax^2+bxy+cy^2$,试给出一个判别准则,使得有类似于上面的结论...

回复105楼
首先欢迎您的到来，并且您的建议也很好，我很同意。
（1）一元二次与绝对值的综合使用，关键在于研究绝对值的方法，而不在于一元二次本身。只要用适当的方法完成从绝对值向非绝对值的转化即可；
（2）与坐标变换或不变量的综合题目确实较难也不容易把握，但是这里面都是一个化归与转化的思想。我确实不能全讲，只能是点到为止。
（3）后面讲到的相关应用，不可面面俱到，也无法面面俱到。主要是研究表面上看不是一元二次，可实际是一元二次，重点研究如何分析与发现。当然，这也只能是一些典型的，不代表全部。

两位提到的二次型应该是我们研究的对象：
（1）如果以其中的一个变量来考虑，本身就是一元二次；
（2）高考出题的思路之一就是从高等数学中来，每年的高考题目都有来自高等数学的内容，只是把这部分内容进行加工，可能考查其中的方法或是思想或是用它做一个模型或是……，所以，把这个二次型引入应该对优秀生的提高会有帮助。

田雨老师的意见我完全接受，您的例子与结论是正确的。
不过，我的定理中说的三个方面有先后次序，不是等价的。但我在给出这个定理的时候确实没有考虑这么严密。因为名字叫“三合一定理”，言外之意就是等价的，应该考虑重新推敲一下才对。怎么说更好，更严密，名字用什么最恰当呢？希望各位高手讨论一下。
多谢多谢了！

似乎三和一定理至少对有理函数(有理分式)是成立的,如果扩大到超越函数的话,田雨老师给出的例子是一个反例,但我觉得对数函数与有理函数的复合也可以是(没仔细想)

回有关二次型的问题:
之所以说它内容很复杂,因为是古典解析几何最辉煌的内容,一般的课本是从坐标变换开始判定椭圆/双曲线/抛物线,然后往力学走,可以研究欧拉角惯量椭球主轴,往几何走又有不变量实虚曲线光学性质,往代数走又有正定阵特征值主子式,往微积分走也有切法线梯度场拉梅变换,我只知道这些东西具有一样的数学实质,但还是一头雾水,跟高中生讲是不是有点舍本逐末舍本逐末,付出的时间还不如研究一下射影几何初步

[ 本帖最后由 晨雨听铃 于 2008-8-13 13:14 编辑 ]

是啊，在高中阶段我们连“二次型”这个概念都不能讲，只能研究与一元二次最密的最简单的形式。高中教学与大学不一样，高中教学的目标是高考拿高分，课堂讲与高考无关的或是超纲的都会影响学习与复习的效率。至于优秀生还是课后指导为主，让他们自己提高。

引用:

原帖由 上帝的老师 于 2008-8-13 14:11 发表
高中教学的目标是高考拿高分

不完全同意这种说法，当然中学教师不可能无视这个目标，但绝对不是唯一目标，甚至不是主要目标。

我也同意田版的说法，素质教育的今天始终把德育放在首位，提高学生的综合素质是教育的目标，一专多能的说法仍然有效。但是，不管白猫黑猫抓住老鼠就是好猫这句话也成立，并且领导就把它放在首位，不论是仕途还是奖金都与之有关啊。

已知：二次函数f(x)=ax^2+bx+2，那么不等式ax^2+bx+2>0的解不可能是（      ）
（A）x<-2或x>5；（B）-5<x<2；（C）x<2或x>5；（D）x<-5或x>-2

   解：
（1）原函数虽然有两个参数a与b，但是它仍然有不变的性质（前面讲过），一定注意到它经过定点M（0，2）；
（2）选择题的选择支也是已知条件，根据选项的情况我们不妨设二次函数与x轴的交点有两个，这样一来，它的图象就有三种情况了（开口向上的两种，向下的一种）；
（3）综合（1）与（2）我们不难发现，如果图像开口向上，则两交点横坐标同号，原不等式的解在两根之外（用到三合一定理），选项C与D都有可能。如果开口向下，则函数图像与x轴的交点横坐标一正一负，并且原不等式的解应该在两根之间，选项B有可能；
（4）综上述，我们的答案应该是A。

[ 本帖最后由 上帝的老师 于 2008-8-19 19:01 编辑 ]

例2：已知不等式ax^2-2x+c>0的解为（-3，1），那么不等式cx^2+4x-a<0的解为_________。
解：
（1）根据三合一定理可知，不等式ax^2-2x+c>0的解为（-3，1），可得方程ax^2-2x+c=0的根为：-3和1，我们把两根代入方程就可以求出：a=-1，c=3；
（2）所以不等式cx^2+4x-a<0实际就是：3x^2+4x+1<0，所以解为：（-1，-1/3）

例3：设一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个不相等的实根分别为x1，x2，且x1<0<x2。
（1）若c<0，则不等式ax^2+bx+c<0的解为：__________；
（2）若不等式ax^2+bx+c<0的解为x<x1或x>x2，那么请判断实数a与c的符号，并讨论实数b的符号情况。
解：
（1）由于c<0，所以对应的二次函数的图像与y轴的交点在y轴的负半轴上。又由于方程两根一正一负，所以对应函数与x轴的交点有两个，一个在x轴的正半轴上，另一个在x轴的负半轴上。由这三个点可以大致确定对应的二次函数的图像开口一定是向上的。由图像法可知，对应的不等式的解为两根之间：x1<x<x2；
（2）由不等式ax^2+bx+c<0的解为x<x1或x>x2可知，a<0。由韦达定理可知，c>0。实数b的符号取决于两根和的符号（也是韦达定理），如果和大于0，则b<0；如果和等于0，则b=0；如果和小于0，则b>0。

1．  按不同的字母分别考查
在解数学题目的时候，我们会经常遇到有不只一个参数的代数式（函数式），而一般来说我们总是认为（习惯）x是其中的自变量，是什么函数由x的具体情况而决定。但是，我们在思考这类问题时，要多一个想法，那就是“换位”思考，我们可以把x看成是参数，而把另外的参数看成是自变量，用这个“新”的函数去研究问题，充分的利用已知条件，可能会使问题简化，达到快速解题的目的。
如： 判断一下下列函数为什么函数？
（1）y=x^2+ax+2
（2）y=alnx+a^2-4
（3）y=(x-a)^2+b(x+a)-2

唉，可惜我不是高中老师，不然就能和大家一起讨论教学上的问题了。

伽罗华看得真的很仔细，谢谢了。
那三个例子，只是一个引子，是一个铺垫。就象教材中的小练习一样，也象我们要建一座大楼准备的一块砖或是在设计图纸的时候画上的其中一笔而矣。
（1）把x看做是自变量，它是二次函数；但如果把a看成是自变量，则它可能是一次函数也可能是常数函数；
（2）把x看做是自变量，它可能是自然对数函数或常数函数，如果把a看到是自变量，则它是二次函数；
（3）把x或a看做是自变量，它是二次函数，如果把b看做是自变量，则它是一次函数或是常数函数；
为什么要这样做呢？……

是不是高中老师无所谓的，甚至是不是数学老师也无所谓的。这里是一个家，来的即是主人也是客人，我们都可以成为朋友。
能参与就参与，不能参与就加油助威！谢谢参与。

例：已知函数f(x)=ax^2+bx-2a+1 的定义域为[1，2]，值域为C。若实数a在[-1，0]之间任意取值时，集合C总包含于[3，7]，求实数b的取值范围。

（1）本题是自编题，可能有一定的不严密或是错误，请指教；
（2）能够对129楼的例题给出明确的解答或是给出明确可行的解题思路，我请三版给预适当的奖励。如果能给出正确的解答过程与结果，请三版给预重奖。

例：
已知函数f(x)=ax^2+bx-2a+1 的定义域为[1，2]，值域为C。若实数a在[-1，0]之间任意取值时，集合C总包含于[3，7]，求实数b的取值范围。
分析：
本题考查了函数的定义域及值域的定义，用二次（表面上是？）函数做题目的背景，以一个参数(a)在某区间（[-1，0]）上的任意取值总满足一个条件（集合C总包含于[3，7]）作为题目的主要知识点，来求另一个参数（b）的取值范围。显然这又是一个恒成立的问题。
（1）研究有两个参数（a与b）的函数f(x)=ax^2+bx-2a+1的值域，这显然是很困难的。首先对a是不是0要进行讨论，然后发现a不是0是的二次函数几乎没有不变的性质。由其是对称轴受到两个参数的制约。直接分类讨论成为很困难的问题。
（2）重点分析函数的定义域与值域：函数f(x)=ax^2+bx-2a+1 的定义域为[1，2]，值域为C。如果我设g(a)=ax^2+bx-2a+1 的定义域为[-1，0]，值域是不是C呢？如果不是，我们设这个函数的值域为D，那么D与C应该有什么关系？
（3）如果上述的问题解决了，那么我们就可以写出相关的不等式，考查不等式恒成立时，求出参数b的取值范围。（不要出现低级的错误）
（4）综合考虑一下，完成题目，并进行严密性的思考。

引用:

原帖由 上帝的老师 于 2008-8-14 18:19 发表
已知：二次函数f(x)=ax^2+bx+2，那么不等式ax^2+bx+2>0的解不可能是（      ）
（A）x5；（B）-5

这个题我喜欢！有创意，是个超好的选择题，恩，好像条件可以弱化一下，不必固定为二次函数

没错，已知条件中的“二次”两个字确实可以去掉，答案不变。这是研究含参问题的第一思考，这一思想可用于所有的含参问题。其实，对于任何数学知识所涉及的题目，我们都有第一思考，这一点很重要，有时间我会单独开个这方面的贴，与同事们共赏。

131楼问题：（2）重点分析函数的定义域与值域：函数f(x)=ax^2+bx-2a+1 的定义域为[1，2]，值域为C。如果我设g(a)=ax^2+bx-2a+1 的定义域为[-1，0]，值域是不是C呢？如果不是，我们设这个函数的值域为D，那么D与C应该有什么关系？
回答上述问题：
1、函数f(x)=ax^2+bx-2a+1 的定义域为[1，2]，值域为C。这个集合C是随着参数a与b的变化而变化的。所以它不是一个确定的集合。
2、函数g(a)=ax^2+bx-2a+1 的定义域为[-1，0]，值域为D。这个集合D也是随着x与b的变化而变化的。从现实意义与理论上讲，C与D绝不是同一个集合。
3、从这个题目本身来看，“已知函数f(x)=ax^2+bx-2a+1 的定义域为[1，2]，值域为C。若实数a在[-1，0]之间任意取值时，集合C总包含于[3，7]，求实数b的取值范围。”a与x在指定的范围内取值，所得函数值（与哪一个是自变量无关）总是集合C中的元素。所以，D也包含于[3，7]，并与C包含于[3，7]等价。
4、g(a)=ax^2+bx-2a+1=(x^2-2)a+bx+1，当x^2=2时，为常数函数，当x^2不等于2是为一次函数，但不管是常数函数还是一次函数，它们的值域都由定义域的两个端点值决定（一次函数是单调的，端点就是最值。）所以，若使D包含于[3，7]，只需：
3<=g(-1)<=7且3<=g(0)<=7在x于区间[1，2]内取任何值时恒成立即可。
5、上述的两个不等式化简得：x<=b<=x+4/x及2/x<=b<=6/x。在x于区间[1，2]内取任何值时恒成立，只需满足b不小于x的最大值（2），不大于x+4/x的最小值（4），同时b也要不小于2/x的最大值（2），不大于6/x的最小值（3）。所以，2<=b<=3。
6、考查上述解题的严密性，完成题目。

2．  对参数的讨论的必要性
我们在解数学题的时候，常常会遇到含参的问题（一般较难，是各题型的压轴题。），但是，我们必须知道，含参的题目不一定需要讨论。讨论是我们不得矣而为之的一件事。只有了解了这个问题，对于分类与整合这一数学思想才算是了解了。也就知道了为什么要讨论，怎样讨论，应该注意什么了。
就拿93楼的高考试题为例，我们研究一下对参数讨论的必要性：……为了方便，我把例题再一次发在下一楼。

[ 本帖最后由 上帝的老师 于 2008-8-21 11:35 编辑 ]