在数学中，我们考虑“唯一”一般是在某个环境下满足某些性质的对象是否唯一，此时“唯一”的判定标准由该环境决定（同属某一集合，这些集合的分类由环境决定）。这样说很抽象，我举两个较明显的例子：

1：设m1,m2，...为两两互素的有限个正整数，由中国剩余定理知，对方程组：
x=d1(modm1),x=d2(modm2)，...（其中di为正整数），在模m1m2...（这里是mi连乘）意义下有唯一解。

2：方程 x-1=0 在实数域内有唯一解。那这里的“唯一”可以定义为（只是一种方式）：在规定的运算（这里的所有运算构成一个集合）与符号表达下（这里所有的符号形式构成一个集合），上述方程存在一个解，并且在已知的符号形式集合内不存在两个不等的解。

注意：我的第二个例子并没隐含：集合内不存在两个相同的元素。事实上，集合论水平上的“唯一性”应该是无法讨论的（除非有个合适的定义，让我们能够对某个对象做判断，看它是否唯一）。

而对于“空集是否是唯一的？”这样的问题，我们没有提出任何关于判断“空集是否是唯一的”的可行的判断依据，从而这个问题是没有意义的。

[ 本帖最后由 川木寻叶 于 2008-8-12 21:24 编辑 ]

我们考虑晨雨听林网友的一个处理：

引用:

那么是不是可以这样认为,所谓空集唯一,就是指如果A和B都是空集,那么A和B一定相等.

引用:

如果我上面所述成立的话,那么证明只需要用到"空集是任何集合的子集"这个结论.
于是有A包含B,且B包含A,所以A=B,证毕

晨雨听林网友的对“唯一”的定义没有逻辑上的问题，但这并不是一个让人满意的定义，
因为至少我们希望“唯一”的定义可以让我们证明这是个假命题：存在A和B均为空集。

我谈谈个人看法.

当前数学已经把所有对象都看作集合了,所以唯一与否,还是可以形式的归结成集合的相等.
比如第一个问题,解唯一就是如果有两个集合的每个元都是解,则两个集合的代表元素都模m_1m_2...同余
第二个问题也是一样,成为实数的相等.而实数也是集合.

唯一的某种定义可以使得数学里的真命题,定理为假?那这种唯一的定义有什么用?先不说有没有用吧,那川木寻叶能不能找出一个例子,说明可以有不同的唯一的定义,使得另一种唯一定义下,一元一次方程有两个解?

引用:

原帖由 晨雨听铃 于 2008-8-12 21:44 发表
我谈谈个人看法.

当前数学已经把所有对象都看作集合了,所以唯一与否,还是可以形式的归结成集合的相等.
比如第一个问题,解唯一就是如果有两个集合的每个元都是解,则两个集合的代表元素都模m_1m_2...同余
第二个问题 ...

解“唯一”与某集合“唯一”是不同的，比如我之前说了：如果空集是唯一的，那你至少要证明：不可能存在A，B均为空集。

引用:

原帖由 晨雨听铃 于 2008-8-12 21:47 发表
唯一的某种定义可以使得数学里的真命题,定理为假?那这种唯一的定义有什么用?先不说有没有用吧,那川木寻叶能不能找出一个例子,说明可以有不同的唯一的定义,使得另一种唯一定义下,一元一次方程有两个解? ...

我没有表达红色字体的意思，我的意思是：
如果有个合适的定义使我们可以说：空集是唯一的。
那我们应当可以证明：不存在集合A，B均为空集。因为如果存在这样的空集A与B，
那空集就不唯一了（至少我们有了两个空集的例子：集合A与集合B）。

[ 本帖最后由 川木寻叶 于 2008-8-12 21:55 编辑 ]

但是川木寻叶(以后简称川吧),你上面说的

那我们应当可以证明：不存在集合A，B均为空集。因为如果存在这样的空集A与B，那空集就不唯一了（至少我们有了两个空集的例子：集合A与集合B）。

这种方式,通常也都是用反证法的步骤吧?我觉得我很难理解你的思维到底在想什么.如果没有太多的进展,我先暂时旁观好了.

引用:

原帖由 晨雨听铃 于 2008-8-12 21:58 发表
但是川木寻叶(以后简称川吧),你上面说的

那我们应当可以证明：不存在集合A，B均为空集。因为如果存在这样的空集A与B，那空集就不唯一了（至少我们有了两个空集的例子：集合A与集合B）。

这种方式,通常也都是用反证法的步骤吧? ...

其实我的思维很简单。。。就是认为：在集合论的水平上无法有效的讨论“唯一”。

假如认同伽罗华的观点(唯一指运算结果唯一)的话,我觉得,"运算"是映射,运算结果是集合的元素,仍然可以精确描述啊.

引用:

原帖由 伽罗华 于 2008-8-12 22:10 发表
讨论唯一性的时候首先要看一下这个元素所在的数学"范围"内的"运算",比如对实数来说,0是唯一的,实数作为加法群,0是其0元,故是唯一的.在集合论里,包含关系作为一种偏序关系能诱导一种运算,如果在这种运算与所有集合构 ...

在交并意义下唯一，这种解释很成功。。

高手论道总能给人不少新的启示！
K12数学论坛也因你们的这种论道而增添了不少新的精彩！

数学让“正常人”变成“神经病”，也能让“神经病”变成“正常人”。
在初中物理学中，曾经考过这样一道题目：判断正误题
光在同种介质中传播的路线是直的（     ）
答案是错误
光在同一种介质中传播的路线是直的（      ）
答案是正确
一字之差啊，就在正确与错误之间。
了解了，但就是不知道为什么这么考，究竟是考什么？
需要研究，学习了！

引用:

原帖由 上帝的老师 于 2008-8-13 02:31 发表
数学让“正常人”变成“神经病”，也能让“神经病”变成“正常人”。
在初中物理学中，曾经考过这样一道题目：判断正误题
光在同种介质中传播的路线是直的（     ）
答案是错误
光在同一种介质中传播的路线是直的（      ）
答案是 ...

为什么？我怎么觉得两个都是错的？

引用:

原帖由 晨雨听铃 于 2008-8-12 22:20 发表
假如认同伽罗华的观点(唯一指运算结果唯一)的话,我觉得,"运算"是映射,运算结果是集合的元素,仍然可以精确描述啊.

利用外延公理和基数的定义，空集在基数相等意义下唯一。

可是求基数也是"运算"啊.
我还是少说话,因为我真的觉得自己很无知,都不知道大家在讨论什么......瀑布汗

引用:

原帖由 晨雨听铃 于 2008-8-13 12:35 发表
可是求基数也是"运算"啊.
我还是少说话,因为我真的觉得自己很无知,都不知道大家在讨论什么......瀑布汗

对于空集而言，这是自然的，因为空集的基数是0，也就是空集。
比如说：已知有空集A和空集B，则他们有相同的基数，故在基数相等意义下空集唯一

[ 本帖最后由 川木寻叶 于 2008-8-13 12:51 编辑 ]

这里最后插一句,川,你说空集基数是0,这个是定义,但是基数是0的是空集似乎要证明吧?证明以后才能说唯一吧?换句话说,如果用car(A)表示A的基数,则需要证明car(A)=0推出A空.
随便说说随便说说......

“瀑布汗”这个词很妙，又学到了一个新词！

引用:

原帖由 上帝的老师 于 2008-8-13 02:31 发表
数学让“正常人”变成“神经病”，也能让“神经病”变成“正常人”。

如果学数学只从“正常人”变成“神经病”，那是学得走火入魔了；如果还能从“神经病”变回“正常人”，在两者之者穿梭自如，那应该是数学高人了！

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[ 本帖最后由 上帝的老师 于 2008-8-13 16:29 编辑 ]

引用:

原帖由 晨雨听铃 于 2008-8-13 13:18 发表
这里最后插一句,川,你说空集基数是0,这个是定义,但是基数是0的是空集似乎要证明吧?证明以后才能说唯一吧?换句话说,如果用car(A)表示A的基数,则需要证明car(A)=0推出A空.
随便说说随便说说...... ...

这个同样可以作为定义。。。所以我才说“对于空集而言，这是自然的”

引用:

原帖由 上帝的老师 于 2008-8-13 02:31 发表
数学让“正常人”变成“神经病”，也能让“神经病”变成“正常人”。
在初中物理学中，曾经考过这样一道题目：判断正误题
光在同种介质中传播的路线是直的（     ）
答案是错误
光在同一种介质中传播的路线是直的（      ）
答案是正确
一字之差啊，就在正确与错误之间。
了解了，但就是不知道为什么这么考，究竟是考什么？
需要研究，学习了！

都不对。

你们的答案是都不对，为什么不说说理由？
（1）介质是不是透明的没说？也就是说光能不能传是个问题？
（2）介质的均匀程度有问题？或是……
为什么回贴不明说呢？是不是自己也拿不准？

1：“同种介质”和“同一种介质”有什么区别？
2：现代物理里是不是光沿测地线传播。。

一个暑假过去，我物理功夫几乎被废了。。

[ 本帖最后由 川木寻叶 于 2008-8-17 15:02 编辑 ]

1、同种和同一种有很大的区别，多一个“一”字限定了唯一性。举例说明：在生物学中，我们把生物进行分类，可以分：纲、目、科、属、种……。比如说鱼可以有海鱼与河鱼，而河鱼又有黑鱼、链鱼……等等，所有的鱼都可以是一个物种，但不能说同一种。再比如说人，人按照肤色可以分成四种，所有的人都是同一个物种，但也不能说所有的人是同一种人。根据其它还可以分为其它的类别……。在物理学里，对于介质也没有明确的定义，但同种介质指的是此物非彼物，比如玻璃与水是不同的介质，可是说成是不同种介质。那么“同一种”又指什么呢？就是指，如果是玻璃，那么制成玻璃的材质（用料及杂质含量等）相同且各处都均匀没有不同的地方了。
（这是来自90年的中考题）
2、不管是现代物理学还是“古代”物理学，若想改变什么得拿出充分的理由与证据。否则我们就不要把自己想的东西说出来。不知道爱因斯坦算是现代的还是古代的，它提出这个理论的同时，并没有否定光的传播。“直线”与“测地线”究竟是什么关系？初中、高中与大学甚至“研究人员”的区别又是什么？是不是根本不存在所谓的“平面”？我们认为的平面是不是其实就是一个曲面？我们认为的直线是不是其实就是一条测地线？理论的发展可以把过去的认为正确的知识变成是错误的知识，但是这还要有一个过程。如果把握不好，就是投机，会犯左倾或是右倾的错误的。
如果特意为自己找两个理由那就不必了，否则希望再给出自己的观点的同时给出一个理由，谢谢。

楼上说的，“即使出在考卷上,我也不屑一顾”，这种态度在学术上是可以的，我们讲，作为个人来说，要看淡分数

但是，如果真出了考卷，那么这种不严谨的学术水平就有可能损害很多人的利益，作为一个有社会责任感的人，我想不应该抱着无所谓的态度，而是要据理力争，让这种现象出现的少些，再少些，这不是为了somebody的利益，而是为了everybody——也是anybody的利益。
相信楼上不是我反对的这个意思，我只是为楼上的帖子加个注解，也是为讨论的必要性价格注解

[ 本帖最后由 晨雨听铃 于 2008-8-18 09:49 编辑 ]

上述讨论，来源于14楼，我只是举一个例子而已，不想因为这个例子而把讨论的问题引向别处。不好意思，浪费了大家的时间。

引用:

原帖由 伽罗华 于 2008-8-12 22:10 发表
讨论唯一性的时候首先要看一下这个元素所在的数学"范围"内的"运算",比如对实数来说,0是唯一的,实数作为加法群,0是其0元,故是唯一的.在集合论里,包含关系作为一种偏序关系能诱导一种运算,如果在这种运算与所有集合构 ...

好！