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2008-8-13 15:54

第一题：你得到的这两个等式都不能成立，请具体说一下你是怎么得来的。
第二题：空间到一直线距离为定值的点的轨迹是以这条直线为轴的圆柱面（一个高无限伸展的圆柱），在一个平面上这样的点的轨迹就是这个圆柱面与这个平面的交线。

注意：在向量中，由“向量a点乘向量b=向量a点乘向量c”不能得到“向量b=向量c”

Image00162.GIF (4.58 KB)

2008-8-14 00:40

引用:

原帖由 TonyDeng 于 2008-8-14 00:40 发表
72508

最后一步错了。
不妨设a=(1,0),  b=(0,1), c=(x,y),   原式<=>    (x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2.
即向量C在以(1/2,1/2)为圆心，1/sqrt(2)为半径的圆上，而a,b恰为圆内接正方形的二邻边，显然当向量c对应的点c在正方形第四顶点时取得最大值：sqrt(2)

或显然模c等于直径

其几何意义非常明显：
在正方形ABCD外接圆上任取一点P，AB,AD对应二向量，PB,PD对应原题之条件。

则P点对直径BD之夹角为90度，且P在CD弧上时，PA恰为角PBD平分线。PB,PD对应原题之条件。

引用:

原帖由 田雨 于 2008-8-13 20:56 发表
注意：在向量中，由“向量a点乘向量b=向量a点乘向量c”不能得到“向量b=向量c”

这可以解释上一贴我指出的邓老师的不妥之处。另最后的大括号应该为“或”，否则容易误解为同时成立。

此题可理解为如下等价命题： 过一点0作互相垂直的两单位线段0A,0B，则对A,B视角为90度的点的轨迹为以AB为直径的圆\{A,B}。前面一句也可以不要，后面一句显然。

我上面全是矢量运算，没错的。最后那个确实是“或”表达，我写解答时一向是这样写的，在这里也不会有人误解为“同时成立”，那等于无解。最后结果，矢量c等于矢量a与矢量b之和，或者矢量c是零矢量，都能满足题目设定条件，故矢量c的模最大值为根号2。

补充一点：矢量的点乘可以像普通乘法那样展开和交换，但叉乘不能。

[ 本帖最后由 TonyDeng 于 2008-8-14 08:32 编辑 ]

哦，那c的值为0或2，其中最大为2

对吗？

最后那个确实是“或”表达，我写解答时一向是这样写的
————————————————————————————
我们这里的老师一般不允许这么写。不知邓老师可否给出哪本书里面可以这么写的例子？

矢量c等于矢量a与矢量b之和，或者矢量c是零矢量，都能满足题目设定条件，故矢量c的模最大值为根号2
——————————————————————
但矢量c“不”等于矢量a与矢量b之和时，也成立。原因是c垂直a+b-c

[ 本帖最后由 周小鱼 于 2008-8-14 08:53 编辑 ]

引用:

原帖由 人间飞灵 于 2008-8-14 08:39 发表
哦，那c的值为0或2，其中最大为2

对吗？

不对！
TonyDeng在4楼、8楼所说的都有问题！原因在第3楼说过，周小鱼老师也补充得很清楚了，但看到有学生还存在错误认识，我忍不住再说几句：
在向量中，命题“如果ab=ac，那么b=c”不成立！一个最简单的反例是，当b、c均与a垂直且不相等时ab=ac=0！

在向量中，命题“如果ab=ac，那么b=c”不成立！一个最简单的反例是，当b、c均与a垂直且不相等时ab=ac=0！
——————————————————————————
对田版以上结论的补充：
根据向量的数量积之几何意义，设b,c与a的夹角为A,B,则当bcosB=c.CosC时，均有ab=ac，这是充要的。

另：a.b=0    <=>a垂直b,而不是  a=0或b=0。

[ 本帖最后由 周小鱼 于 2008-8-14 14:26 编辑 ]

引用:

最后结果，矢量c等于矢量a与矢量b之和，或者矢量c是零矢量，都能满足题目设定条件，故矢量c的模最大值为根号2。

\

引用:

不对！
TonyDeng在4楼、8楼所说的都有问题！原因在第3楼说过，周小鱼老师也补充得很清楚了，但看到有学生还存在错误认识，我忍不住再说几句：
在向量中，命题“如果ab=ac，那么b=c”不成立！一个最简单的反例是，当b、c均与a垂直且不相等时ab=ac=0！

为什么不对？我一开始认为向量c的模为2，后来知道那是错的。改为向量C为零向量或矢量c等于矢量a与矢量b之和。为什么不对？请您指教。谢谢。

代数运算上的错误原因，上面已经说得够清楚了，你没有注意体会！
记OA=a，OB=b，OC=c
由已知(a-c)(b-c)=0得(a-c)垂直(b-c)，即CA垂直CB，故点C在以AB为直径的圆上，
所以，0<=|C|<=√2

请认真思考，再不懂我也没办法了！（上面已经说过了：TonyDeng所说的是错的！你注意体会我和周老师所讲的。）
当c=a时，满足题意，此时，|c|=1！

再说一次：
由cc=(a+b)c不能得到c=0或c=a+b!
只能得到c(a+b-c)=0，其几何意义是：c垂直(a+b-c)！而不是c=0或a+b-c=0！

[ 本帖最后由 田雨 于 2008-8-14 18:38 编辑 ]

引用:

再说一次：
由cc=(a+b)c不能得到c=0或c=a+b!
只能得到c(a+b-c)=0，其几何意义是：c垂直(a+b-c)！而不是c=0或a+b-c=0！

我懂了。但是得出“c垂直(a+b-c)”后又该怎么做才能得出C的模？

1.c=0是本题的一个特解，这点可以确认；
2.c=λ(a+b)是本题的通解，其中λ=Cosθ，最大值为1，最小值为0。
3.在三维空间中，本题c没有最大值——当c垂直于a、b平面方向时。
4.考虑c是a或b之一，是没有意义的。

[ 本帖最后由 TonyDeng 于 2008-8-15 09:27 编辑 ]

我不太理解为什么就不能有c=0或a+b-c=0，我认为三者并存。

至于“c垂直(a+b-c)”后又该怎么做才能得出C的模，你画一下图就明显看出来－－自己动手，刚才我试了，可以的。

（1）救命说的是正确的
抓住垂直与向量减法的几何意义容易画出图形，我们发现如果向量C的起点与向量a和b的起点相同，则向量C的终点是以向量a与b的和向量为直径的圆周上，所以向量C的模的取值应该是0到根下2。
（2）田版的14楼正确，但15楼说两向量不为0向量，我不同意。
（3）本题的代数解法更容易一些：（以下字母皆为向量）
因为a与b垂直，所以ab=0，又a与b都是单位向量，所以|a+b|=根下2；
由(a-c)(b-c)=0计算并化简得到：cc=c(a+b)；
因为：cc=|c||c|，而c(a+b)=|c||a+b|cos<c,a+b>，所以可得：|c|=|a+b|cos<c,a+b>，容易得到|c|的取值范围。
说明：向量的应用很广泛，它的作用是把几何与代数联系在一起，把标量与矢量联系在一起，如果单方面的重视某一方面的作用而忽视在其它方面的简化，向量这个工具就不能发挥它的巨大作用了。重视向量的运算给我们带来的好处，是学好向量的关键。

（1）2楼田版解答的1楼的第2题已经很精彩了，这是比几何意义上完成的。由面积不变及面积的计算公式不难发现，空间的点P构成了无底的圆柱侧面，而用一个不与圆柱母线平行和垂直的平面去截它所得交线即为椭圆（需证明或是说明）。
（2）提供一个解析法：
找到B点在平面上的射影点Q，则AB，AQ，AP构成三线三角，我们有三线三角定理：cosBAP=cosBAQ*cosPAQ；把角PAQ做为参数，容易求出动点P在平面上的参数方程，即椭圆的参数方程，如果没学过，消参之后就可以看到椭圆的标准方程了。（注意坐标系是以A为原点，AQ的x轴建立的。）

please read carefully!

引用:

原帖由 人间飞灵 于 2008-8-15 08:46 发表


我懂了。但是得出“c垂直(a+b-c)”后又该怎么做才能得出C的模？

以我的教学风格，我不会再直接回答这个问题了，因为如果你真的弄懂14楼所说的，就可以“同理可得”了！

引用:

原帖由 救命! 于 2008-8-15 09:33 发表
我不太理解为什么就不能有c=0或a+b-c=0，我认为三者并存。

“由|x|=1只能得到x=±1，而不是x=1”这句话的含义是：由|x|=1不能肯定x=1，并说x不能=1！

引用:

原帖由 TonyDeng 于 2008-8-15 09:25 发表
1.c=0是本题的一个特解，这点可以确认；
2.c=λ(a+b)是本题的通解，其中λ=Cosθ，最大值为1，最小值为0。
3.在三维空间中，本题c没有最大值——当c垂直于a、b平面方向时。
4.考虑c是a或b之一，是没有意义的。 ...

1和4：c=a、c=b与c=0一样，都是本题的一个特解，其意义类似；
2：这个通解是错的。
3：本题一般在平面内考虑（仔细想了一下，在三维空间，本题的答案不变）。

[ 本帖最后由 田雨 于 2008-8-15 13:28 编辑 ]

1：c在一个球上
2：向量的数量积一般不满足消去律，TONYDENG的解法是中学生最易犯的错误
3：确实有特殊的向量空间，其数量积满足消去律，最简单的比如R在R上构成的一维空间。。。但是，容易证明不存在高维空间的例子。

[ 本帖最后由 川木寻叶 于 2008-8-15 14:26 编辑 ]

“c垂直(a+b-c)”后又该怎么做才能得出C的模，你画一下图就明显看出来－－自己动手，刚才我试了，可以的。
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    首先，飞灵同学这个问题问得还是很有代表性的。不信各位老师可以做个试验，一个班上能够根据这个结论画出c的估计不多。这里有一个大胆尝试的问题，很多女生或数学学习不太能找到感觉的学生都不敢去尝试，这属于一种性格缺陷，很难解决。但解决好了，数学成绩就能进步很多，因为思想解放了，有了发散思维。根据我的一些统计，高中阶段有很大一部分题就是故意出得让你不敢试，你胆大了敢去试了，题目就很容易解出来了。
        一般来说学生都会认为c的可取范围很小，因此必须先解出c然后才能继续做下去。但是如果过0任作一条线段oc作为c（假设OA,OB之和为OD），那么我们就可以非常直观地得到CD=a+b-c。这时候我们会发现必须修改图使得OC垂直CD。这样就把图画出来了。画出图了就可以非常直观地得到答案。        
         但是我估计能够这样试的同学不多。原因一是只知道平行四边形法则，不知道三角形法则，也就是向量还没达到灵活应用的程度。二是初中平几没学好，特别是平几难度要求降低之后，很多同学已经没有“若一点对一边总为90度，则此点必在圆上”这种基本的直感。甚至很多同学对c的模就是oc的长这种知识也缺乏认识，第三个原因就是谁敢随便画条线就让它是c?。
           那么此时绝大部分同学会采取我在5楼给出的坐标方法，它不需要直观，只需要老老实实地算，这在考场上可能更为可靠，如果熟练的话也很快。
           要想更快地解决此题，可以采取田版在14楼的做法。但是考场上想到的人会很少。至于19楼给出的解法更妙，但想到的人因此必定更少。
          高考题量实在太大了，完全是个体力活，一般考场规律就是根本没时间去想比较巧妙的解法，更没时间去观察题目特点什么的，完全是靠直觉闷头就算，就展开，然后对着一个得出的式子发愣。此时要么放弃干下一题，要么狠狠心重新想、算。能够在考场上想出14、19给出解法的同学绝对属于优生行列。
        对于考场心理的研究应该很有意思，呵呵。如果平时训练好了可能会很有好处。
怎样让更多的学生能有时间在高考考场上最后一道题上面来得及写个“解”字，看来只有一个方法，多练，多背题型，形成条件反射，以尽快的速度解决完“常规题”。这就是题海战术。但是这在题目稍有变化时可能会失效。例如本题，学生以条件反射的方式展开了式子，接下来不知如何是好了：“c垂直(a+b-c)”，我们缺乏能够将这个式子和任何现有知识模块联系起来的一个钩子。。。有毅力的同学就马上设坐标，最后发现它是个圆，从而顺利地和待求的模建立了联系。但是我估计至少有一半的同学会放弃。。。原因就是时间太紧了，我们的心理时间预期不允许我们在这样一个小题上浪费这么多时间，特别是设完坐标后继续展开有可能还会得到一个更复杂更无法解读的式子的时候。。。
            综上所述，我认为此题的全省得分率一定不会太高。。。

           扯远了。。。飘走。。。各位高手见笑

[ 本帖最后由 周小鱼 于 2008-8-15 17:48 编辑 ]

所以我认为高考考场上可能大部分同学采用的是5楼的方法。
这也是如果你要往下做而又不想或者不会其它高级技巧，也暂时看不出来其它方法的时候，你的唯一选择。。。因为你不做了就意味着放弃这道题
这时候你要有信心，出现在高考试卷中的c的方程一定会是一个比较规范的方程，决不会出现3次或者更诡异的曲线。。。这是经验，呵呵，事实上我就是这么想并这么做的，结果它是个圆，最简单的曲线。。。一般来说，高考中当你算一个解几表达式的时候，化简结果90%的时候就是个圆或直线，不会有别的，因为有别的就超纲了。。。
当你经常这么干并慢慢有点心得的时候，
你可能会提高十分的成绩了，飞灵同学们


这也是我对罗增儒教授写书的一个风格的小小批评。罗教授经常对一道题给出十几种越来越巧妙的解法，但根据我做题的经验，可能你在考场上最多能试验3种方法就顶天了，联赛的时间绝对更紧张。对于非高手而言，抓住第一直觉并将它好好地揣摩好才是正道，即使它不是那么华丽、精巧。强大的计算功力往往在这个时候显出效力。。。

ps：  没想到这个帖子会盖得这么高，呵呵。

[ 本帖最后由 周小鱼 于 2008-8-15 18:00 编辑 ]

我举双手双脚赞成周小鱼老师的观点!
我个人认为,计算能力是非常重要的,甚至是极端重要的.
记得我高考时也是全部做到(当然,没有全部做完),靠的就是计算功力.
计算能力只能靠平时培养.作为教师也好,作为学生也好,一定不能忽视计算,一道题,算出来才算解完,光在大脑里走一圈,觉得逻辑上没问题,思路上可接受了,就想忽略计算,这种观点要不得的!
其实解析几何的学习过程,就是计算能力的培养过程.像书上的求曲线方程的例题,课后习题,要做到脑比口快,口比手快(就是说念叨得比写得快)的把方程化简,列出;二次函数的配方,复合不等式组的列举,要做到熟练得不能再熟练!

计算,只有练习,练习再练习才是王道!