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2008-8-15 21:09

这个总结很全面，到位。
其实面对平面（或空间）向量的问题，我们的思考方向一般有以下几种方案：
1、几何法：根据向量自身的几何表示（带有箭头的线段）及加法与减法的运算法则（平行四边形及三角形法则），把向量之间的关系表达清楚画图解决。
2、代数法：一般来说应该选择一组向量作为基底，把其它的向量都用这组基向量来表示，用所学的各种向量运算（加、减、数乘、数量积等）来完成题目。
3、坐标法：根据已知条件建立适当的坐标系（立体几何中应用明显，新教材理科是学习的重点。），用向量的坐标运算解题。
向量做为一种工具应用非常广泛，在国外几十年之前就已经把这一知识放入了初高中的教材之中，我国对向量的应用比较晚（正因为如此，教材中的内容并不系统，有的知识只有知识没有应用，相关的习题与知识不配套，教师应该系统总结。），现在正是高考中的热点，应该引起重视。

28楼： 运算能力和运算技巧反映了强大的基本功，优生无一例外都拥有强大的运算能力。一般来说，在考场上大部分时候我们都采用最基本的方法在解题（即使是强调技巧的竞赛），能够在尽量短的时间化简出式子并解出常规题（如某些解几），也会为你有机会在压轴题上展现高级技巧提供时间的保证。甚至，有些题目，本身思路较为明显，但没有什么巧妙方法，就是一步步硬算。如97国家队选拔第三题，能一步步算到最后的好像没几个人。
29楼：肯定有想不到第四步的学生。于是返回开始，想：选择题有一种特有方法“特例法”
于是有：
不妨设a=(1,0),  b=(0,1), c=(x,y)
——————————————————————————————
其实不能说是特例法，因为“不妨设”三个字说明了对任两个互相垂直的单位向量都可以旋转到与坐标轴重合，而不影响解。这个“不妨设”的讲究非常多，有机会再说。

32楼：其实您所总结的前两种方法才是正道，最后一种往往是无奈之举。只是现在的学生训练达不到这个层次。但愿通过这个帖子，能让更多的学生达到用向量的方法技巧来解向量题目的水平。

[ 本帖最后由 周小鱼 于 2008-8-16 07:08 编辑 ]

您说的“32楼：其实您所总结的前两种方法才是正道，最后一种往往是无奈之举。只是现在的学生训练达不到这个层次。但愿通过这个帖子，能让更多的学生达到用向量的方法技巧来解向量题目的水平。”其中说什么最后一种方法是无奈之举，此话怎么讲？
平面向量（空间向量亦同）：
设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)则：
（1）a+b=(x1+x2,y1+y2)
（2）a-b=(x1-x2,y1-y2)
（3）|a|=根下(x1^2+y1^2)
（4）ab=x1x2+y1y2
（5）a平行b等价于：x1y2-x2y1=0
（6）a垂直于b等价于：x1x2+y1y2=0
……还可以计算向量间的夹角，甚至研究更复杂的内容。
在研究立体几何时，空间向量的坐标形式应用更为广泛，不但可以研究线线，线面及面面之间的平行关系、垂直关系，还可以研究线与线之间，线与面之间，面与面之间的成角情况，也可以研究点到点，点到直线，点到平面及线与面，面与面之间的距离，当然也可以研究体积等等。
上述这些研究都是前两种方法无法取代的，请问这怎么是一种无奈之举呢？
相反，前两种方法才是受到很多的局限性。
坐标的方法把代数运算与几何性质有机的结合起来，能把复杂的几何关系转化为较为简单的一些运算就可以完成。在空间向量的研究过程中，充分利用平面的法向量及一个向量在另一个向量方向上的射影可以使好多问题简化。在研究变化过程中的某些性质，坐标法更有前两种方法无可比拟的作用。有兴趣多研究一下，学无止境。

呵呵，我的表达方式可能有些问题。
要表达一个平面的问题，可以用平面几何、复数、向量、解析几何、三角的方法。
如果要解一个向量问题，一般来说在读题过程中就要尽可能地画一张图，这涉及到一个翻译过程（熟练掌握后可以自然进行，把和差翻译为图上的线）见下：
如主贴：由已知(a-c)(b-c)=0得(a-c)垂直(b-c)，即CA垂直CB，故点C在以AB为直径的圆上。这可以称为联系平几法。
主贴问题中如a,b由互相垂直改为夹角为0<alpha<90度，这种方法最为简便直观。
这一招不能奏效后就要采用第二招：向量法，即用向量本身的运算得出一个简单的结果。如本题，楼上在19楼给出的那个解法。
第三招：得到c(a+b-c)=0。但从这个得到图形很难，能这么做的人在第一招就已经解完了。所以就改换成坐标法。个人认为，高中阶段的坐标法基本上已经和解几方法没啥区别了。上一楼所举出的这些结果1-6都可以看成从向量到解几的翻译过程。

的确楼上“上帝的老师”兄说的不错，这是主流方法。但从平面向量在高考中的地位和实际题目位置来看，涉及向量的选择题可能有80%以上在头两步就做完了。所以对学生加强一下这方面的训练有必要。

至于转成坐标，本来就是训练重点，就没必要再说了。
在平面范围内，基本上我认为向量的坐标法和解几方法没啥区别，就是个表述形式上的不同。
立几范围，说白了高中就那一招：点积求cos,然后求角。

只能说高中向量知识太少了。以上讨论主要针对中学范围，以及高考真题，讨论一些应试套路之类的低层次的东西。

实际上向量在高中连个皮毛都没学到，其本身在现代数学中的重要性和内容之丰富也不用再提。这点我还是明白的。