用中学知识能否证明 x(n)>0, x(n+1)+1/x(n)<=2, 则x(n)>=1 ?

x(n+1)+1/x(n)<=2《x(n)+1/x(n)，所以x(n+1)<=x(n)（单调递减，但不一定严格递减）
。。。。
参考
http://sq.k12.com.cn/discuz/view ... E6%A8%A122%E9%A2%98
5楼

谢谢执白老师指点
请教一下您是如何迅速查到相关帖子的,是否有什么收藏技巧?

      
        设初始值x1=x，则x2=2-1/x，x3=2-1/(2-1/x)，,,,，.xn=2-1/(2-1/x......),令xn=y，则y=2-1/y（取极限），得y=1！又x(n+1)+1/x(n)<=2<=x(n)+1/x(n),知x(n）递减，于是x(n)>=1！




  
     

[ 本帖最后由 bluelee618 于 2008-9-18 16:02 编辑 ]

楼上的童鞋,说x(n)是常数数列是不对的.因为你只能得到它递减,你证明它递增的步骤有错误.

[ 本帖最后由 晨雨听铃 于 2008-9-18 15:43 编辑 ]

对不起，一时没注意，但是由x(n)递减，且x(n)的极限是1，已经能得出x(n)>=1!

记得贴中几个词，先google搜索“k12数学  黄岗”，再发现作者，用k12提供的搜索搜的

         当然严格的用极限证明应该用到大学数学分析的内容，显然0<x(n+1)<=2-1/x(n)<2,所以x(n)是有界的，又x(n)单调，所以单调有界的数列x(n)的极限存在，设极限为x，从而x+1/x<=2，所以x=1，从而x(n)的极限为1，又x(n)是单调递减，由极限的定义可以证明x(n)>=1!  
     然而可以不用到极限的概念可以证明（用无穷分析小的方法，本质上还是数学分析的东西，不过毕竟广大中学生还是能理解的，而且方法易想到）：
   
     如果存在一个整数m使得x(m)=1,则可以知道对于任意n,x(n)=1,所以x(n)恒大于1或恒小于1或恒等于1。
     假设0<x(n)<1,对于x(1)=x0(x0是初始值),由0<x(2)=2-1/x0<1,知1/2<x0<1,0<x(3)=2-1/x(2)<1,知1/2<x(2)<1,从而对于任意n,1/2<x(n)<1,又1/2<x(n+1)=2-1/x(n)<1,知2/3<x(n)<1(注意这里n是任意的自然数),..........（由递推法知）对于任意自然数n,m有m/(m+1)<x(n)<1.........(1)
于是对于初始值0<x0<1,一定存在m使得x0<m/(m+1)，与（1）矛盾！
  从而x(n)恒大于1或x(n)恒等于1
      
      

[ 本帖最后由 bluelee618 于 2008-9-19 15:02 编辑 ]