引用:

原帖由 TonyDeng 于 2009-5-9 00:18 发表
被挂到了这里，就等于宣判该贴的死刑，谁会关心这里？

那小T说怎么挂吧？要不你来管管，不会还是本性难移吧？

桂林古稀老朽，抱歉，原文是一本书，打下来太麻烦，没有找到电子版。
谢谢斑竹厚爱，最近有点忙，来得少了

k：一个基本比值

    很明显，在两个小时的时间里有10分钟的差异。现在我们以一种更通用的形式来研究这个问题。设阿尔佛来得的接收时间间隔与布朗的的发射时间间隔的比为k。根据我们已经证明的结论，阿尔佛来得与查尔斯的时间间隔比为1/k。

    现在我们设阿尔佛来得和布朗在他们相遇的时刻将他们的时间同时设为零，我们认为查尔斯在他身边经过的时刻是0+T。同时查尔斯根据布朗的手表设定自己的手表的时间为0+T。查尔斯以布朗离开阿尔佛来得的相同的速度趋近阿尔佛来得，这样根据查尔斯的记录，他与布朗和阿尔佛来得相遇的时间间隔与布朗遇到阿尔佛来得和查尔斯的时间间隔一样为T。这样当遇到阿尔佛来得时查尔斯的手表显示为0+T+T，或者为0+2T。（看表3）

现在设想布朗在与阿尔佛来得相遇时发射一次闪光，然后当他与布；朗相遇时再发射一次闪光，也就是说，根据布朗的手表两次闪光的时间间隔是T。因此阿尔佛来得收到这两次闪光的时间间隔为kT。因为第一次闪光是在布朗与阿尔佛来得相遇时发射的，不需要传播时间，立刻就到达了（也就是说在阿尔佛来得的0时刻），所以第二次闪光到达阿尔佛来得的时间为kT。同样查尔斯也在两次相遇时发射闪光。根据查尔斯自己的手表这两次闪光的时间间隔为T，因为查尔斯正在接近阿尔佛来得，所以后者收到闪光的时间间隔为T/k。查尔斯发射第一次闪光与布朗发射第二次闪光在相同的时间和地点（就是在他们相遇的时刻），所以两束闪光同时传播，并且在阿尔佛来得的手表显示为kT时同时到达近近阿尔佛来得那里。这样，查尔斯发射的第二次闪光，将在阿尔佛来得手表为（k+1/k）T时刻到达他那里。因为查尔斯是在他接近阿尔佛来得的时刻发射的第二次闪光，闪光立刻就到达阿尔佛来得那里了，所以阿尔佛来得手表显示为（k+1/k）T的时刻是查尔斯的手表显示为2T的时刻。这样布朗与阿尔佛来得相遇和查尔斯与阿尔佛来得相遇的时间间隔根据阿尔佛来得的手表和布朗与查尔斯的手表的比为

从表4可以看出这个比例的值对k值的变化非常敏感，表4同时也给出了对于T=1小时阿尔佛来得和查尔斯手表显示的差异。

    k值和速度的关系我们将要在下一章中讨论，在这里我们我们只提一下k=0.0001对应的速度为每秒19英里，这正是地球的轨道速度，大约是一个地球卫星的轨道速度的4倍，k=10对应90%的光速，k=100对应于99.98%的光速。

    在我们日常生活中，比例k总是非常接近单位值的，这样不同的钟的读数之间的差异是完全可以忽略掉的，这样就产生了时间是一个与速度无关的量的暗示。

表4、k值和时间差的对应关系

现在设想布朗旅行时是带着他年幼的儿子的，他儿子也带着一块表，当查尔斯快速从他身边经过时，布朗把他的儿子扔给了查尔斯，后者很好地接住了那个男孩，然后带着他一起向着与阿尔佛来得相遇的方向旅行。这样你可能会说：“阿尔佛来得把自己看成静止的，把男孩看成运动的，和那男孩把自己看成静止的把阿尔佛来得看成运动的结果一样吗？”但是这个理由是不充分的：布朗、查尔斯和阿尔佛来得都是惯性系统的观察者；他们没有受到任何的冲撞；如果他们中的任何一个人在我们实验开始的时候带了一包鸡蛋，在实验结束时这包鸡蛋依然依次地呆在那里。但是那个男孩不是惯性观察者；他非常突然非常剧烈地改变了他的运动速度，受到了激烈的冲撞。如果他旅行时带着一包鸡蛋，实验结束时的情景是非常令人难过的。阿尔佛来得和那个男孩是不能相互比较的，前者是在惯性系统中，而后者不是。这样他们就是不对称的，这样处理应该不难理解。如果我们对于从布朗扔到查尔斯所产生的冲击不考虑太多的话，这个问题我们将在下一章详细讨论，那么男孩在最后一次相遇的时刻比第一次相遇老了2个小时，而阿尔佛来得却已经老了2小时10分了。我们再一次将它和里程表比较。来往于两个镇子的的车辆的里程表，以沿直线的一个为最短；其它的都要长些。在相对论里时间的情况刚好相反；对于任意两个事件的间隔，以惯性观察者的时钟走过时间为最长，其他观察者要短一些。这样，这样，如果从布朗那里被扔到查尔斯那里的经历不是灾难性的话，旅行就可以使一个人保持年轻。这个实验里观察者的速度将在下一章中估算。很明显，它是非常大的，每秒数万英里。这个速度离我们日常生活很远，所以我们对这种特殊经历的结论不熟悉也没什么好奇怪的。

好厉害

第九章  速度

    在前两章中，我们推导出了对于惯性观察者的结果一个变化量，在一个惯性观察者收到另一个惯性观察者发射的闪光时，给出了收到两次闪光的时间间隔和发射两次闪光的时间间隔的比例。我们工作的基本准则是，我们怎么才能将这个比例联系到相对速度，谁更有吸引力？
    让我们回顾前一章讲到的阿尔佛来得和布朗的相对运动。为了更切合实际的缘故，我们将给他们配上雷达来代替闪光（原理是一样的），并设想布朗收到阿尔佛来得的信号就同时用自己的雷达发射一个信号。你会注意到，在这种情形下，这和向月球发射雷达脉冲然后接收从月球反射的回波没什么不同，或者说，和我们想要精确测量的一颗人造地球卫星的位置是一样的（看图18）。

因为接收和发射的时间间隔比是3：2，阿尔佛来得以每6分钟一次的频率发射信号，布朗接收的时间间隔是9分钟。我们还是设他们相遇的时刻他们的手表都是12点。这样如果阿尔佛来得第一次发射信号在12点，第二次发射信号在下午12：40，根据布朗的推算，这两个信号到达布朗的间隔是60分（图19）。因为在阿尔佛来得的手表为中午12点时，布朗与阿尔佛来得在一起，所以布朗立刻就收到阿尔佛来得发射的第一个信号（他的手表也是中午12点），收到第二个信号在下午1点，那正是他与查尔斯相遇的时候。布朗立刻发射一个信号作为回应，根据布朗自己的手表，他在中午过后60分钟发射的信号，乘以3/2的比率，阿尔佛来得将在90分钟后收到这个信号（图19）。记住（我们前面讨论过的）阿尔佛来得和布朗都不可以认为自己是静止的，而对方是运动的；但他们都可以说他们在相互远离。因此，3/2的比率他们两个方向都适用。这样，阿尔佛来得在12点40的时候发射的信号，50分钟后，在1点30分收到回应。这样，信号花了50分钟从阿尔佛来得那里传播到布朗那里，又从布朗那里传播回来，距离是两个观察者的两倍。因此，光从阿尔佛来得到布朗的 时间是这个时间的一半25分钟。所以，布朗在回应那一刻的距离是25光分钟（光传播的时间间隔）。


        但是，阿尔佛来得估算布朗的发射光到达自己的时间是多少呢？阿尔佛来得根据自己发射的雷达脉冲的反射为发射脉冲到接收脉冲时间间隔的一半，即12：40到1：30—那就是下午1：05。阿尔佛来得除了将这个半程点看成是反射的那一时刻别无选择。因为光速被作为一个定义了的单位量，这样在阿尔佛来得看来，光从他那里传播到布朗所用的时间和返回的时间是一样的。毕竟，他不可能尝试着去“修正”布朗的速度，因为反射脉冲也可能是被一个恰好那一刻在布朗那个位置上的运动状态完全不同的其它物体反射的。这样阿尔佛来得不由自主地就将下午1：05认为是那瞬间了。因而他得出的答案是布朗花65分钟（12：00到1：05）所走过的距离等于光25分钟传播的距离。相应地根据阿尔佛来得的推算，布朗相对于他的速度是是光速的25/65=3/13。根据常规的光速值，这个系数表示布朗相对阿尔佛来得的速度为每秒71700英里，按我们的标准，这个速度是相当大的，也是一个非常可能的速度。根据假设，查尔斯相对于阿尔佛来得的速度值是完全一样的。

爱因斯坦的长火车


        1905年爱因斯坦出版了他的狭义相对论，也就是我们在这里讨论的主题。那时，飞机离开地面只有两年；火车是速度的极限，火车的速度看起来几乎不可能超不过每小时150英里。当1916年爱因斯坦为公众写的一本关于相对论的书时，他可能除了选择无限长的火车以接近光速的速度通过无限长的的  之外，就想不出什么更好的示例来说明他的思想了。在接下来的40多年的时间里，他的追随者都是以相同的形式来尝试解释相对论的；甚至在1958年版的伯特兰·拉塞尔（Bertrand Russell）写的《相对论ABC》中，考虑很多问题时都是利用了于在无限长的直的铁轨上以三分之一光速的速度的相对运动。读者不能选择。尽管是这样的牵强附会，这些火车为外行的理解提供了唯一可能的想象，而不被归属为朱尔斯·凡尔纳的荒诞。有些怀疑，公众可能认为相对论是最不切实际的推测或至少是哲学家的空想。

        今天，这一切都已经完全改变了。我们向月球和火星周围发射火箭。现在，就是最陈腐的怀疑论者也不再怀疑，某种形式的宇宙空间站将在这本书的最年轻的读者的有生之年出现。尽管苏联和美国的宇航员以每小时20000英里的速度环绕地球，与我们提到的布朗的每秒71700英里相差很远，但是我们思考现实中的速度已经超出我们的父辈了和祖父辈的想象力很多了。每天实验员在巨大的加速器旁边（粒子加速器）参与速度为十分之九光速有关的工作。几年之内，狭义相对论就哲学家从不切实际的空想的云端找到了它在公众领地落脚点。

        人们的思维接受那些被证明了是有实际用途的东西比接受那些单纯存在的东西容易，这是很自然的。我们的父辈没有理解相对论的实际需要，但我们有，因而当我们把自己放到阿尔佛来得、布朗或查尔斯的奇遇中的任一位置时，我们没有四十年前坐在爱因斯坦定义的长火车上的郁闷的旅客的那种感情上的疑虑和不安。阿尔佛来得、布朗或查尔斯不再仅仅是虚构的人物，他们的在空间的行进代表着一种细节更复杂和形式更精练的状态，这种状态吸引着人们的注意力并对今天的实验室的科学家和工程师构成挑战。所以我们必须总要提醒自己，面对现实的现象是领悟概念的最好机会，让我们回到狭义相对论中继续讨论我们的三个惯性观察者的时间差。

很不错，搜藏了。谢谢啊！

上大学时候也迷过相对论，但只是得到一些皮毛，看了这位大侠的帖子，我算开始真正喜欢上相对论了。

用雷达测量相对速度

        让我们回到第八章关于惯性观察者的运动部分，考虑一个略不相同的情况。还是假设布朗和查尔斯以相同的速度相对于阿尔佛来得运动，根据布朗的估算在他与阿尔佛来得相遇和与查尔斯相遇之间时间为一小时，对应的是根据查尔斯的手表得到的他与布朗和阿尔佛来得相遇的时间。但是现在我们设想布朗发射信号的时间间隔和阿尔佛来得接收信号的时间间隔为因数3来代替3/2（看图20）。这样对于阿尔佛来得来说布朗两次相遇中间这一个小时就是3小时，查尔斯两次相遇间的一小时就是它的三分之一，即为20分钟；所以如前所述，根据阿尔佛来得的手表他与布朗和查尔斯相遇的时间间隔是3小时20分钟。如果阿尔佛来得在下午12：20发射一个雷达脉冲（在布朗从他身边经过20分钟的时候），根据3/1的比率，这个脉冲将在他们相遇60分钟后被布朗接收到，根据布朗的手表也就是下午1点。再应用3/1的比率，这个脉冲的反回脉冲在3点钟到达阿尔佛来得那里，根据他自己的表，即在脉冲发出的160分钟之后返回。这样，他发现相遇地点距他为80分钟光程，与之对应的时间应该是下午12：20至3：00的中间就是下午1：40。这样，在阿尔佛来得的100分钟里，布朗前进了80分钟光程，因此他的前进速度是五分之四的光速，就是每秒150000英里。

        这种对布朗的速度的估算方法肯定总是得到一个小于光速的速度。确实，我们后面将要看到它是不可能超过这个速度的。

我们怎么处理查尔斯相对于布朗的速度呢？我们习惯了在日常生活中物体速度的简单相加。比如一列火车驶过我们的速度是每小时60英里，一个人以每小时3英里的速度迎着火车走，那么人和火车的相对速度就是每小时63英里。这样，因为查尔斯相对于阿尔佛来得的速度与布朗相对于阿尔佛来得的速度大小相等，方向相反，都是五分之四光速，如果我们利用这种简单的计算方法，我们得到的结果将是查尔斯和布朗的相对速度为五分之八光速，与刚才的结果相对应。

        但是我们不应该简单地得出这样一个结论。我们已经给出了一个利用通常采用的精准雷达获得相对速度的非常好的方法了。难道我们不能利用这种方法得到这个实验中查尔斯相对布朗的速度吗？设想布朗希望得出自己到阿尔佛来得与查尔斯相遇地点的距离，通过使用雷达的方法，他必须在查尔斯离开他之后不久发射一个脉冲，因为光速比查尔斯的前进的速度快，所以他就在那里等着他们相遇点的反射信号了。在如此高速的运动中，根据阿尔佛来得的手表查尔斯与阿尔佛来得相遇在布朗离开阿尔佛来得200分钟以后。布朗应该在什么时候发射一个脉冲才能刚好在他们相遇的时候到达那里呢？因为现在脉冲的发射时间间隔与接受时间间隔的比是3，这意味着根据布朗的手表，他应该在200分钟的三分之一的时刻以后发射这个脉冲，就是在他离开阿尔佛来得以后1小时6分40秒后（图20），或者查尔斯从他身边经过6分40秒后。依照阿尔佛来得的手表，在阿尔佛来得与与布朗相遇和与查尔肆相遇中间时间间隔的3倍的时间，雷达脉冲返回到布朗那里。3小时20分的3倍就是10小时，这样布朗在晚上10点，脉冲发出后8小时53分20秒收到反射脉冲。因此，布朗测量得到的阿尔佛来得和查尔斯相遇的地点与他的距离是4光时，26光分，40光秒。布朗将这个距离与发射脉冲和接收脉冲的时间的一半联系在一起，就是查尔斯离开他的时间为4小时，33分，20秒。相应地，根据布朗的估算，查尔斯在4小时，33分，20秒前进了4光时，26光分，40光秒，是以一个非常接近光速的速度前进的，实际值为97.5%，但不是超过它。这样通过对相对速度为80%的两个速度相叠加，得到的合速度仅为光速的97.5%。

        如果按照这个论点继续推理，我们会发现我们可以将任何低于光速的速度相加，但是怎样也不可能得到等于或超过光速的速度；我们总是低于这个速度。当然，这也意味着大速度相加不再像是小速度的简单相加，但是它可以作为一个直接结果用来定义一种合理的新方法测量并得到光速值。在这本书里光速就像彩虹一样，我们总是试图接近它，却总是达不到。

        从另一个角度来看，这个结果实际上是我们假设的必然结果。如果一个惯性观察者的运动速度比光速慢，那么由他发射的光束到达任何地方的时刻都比他早，其他任何观察者也都会同意这个看法的。但是对任何观察者来说，发射者的运动速度看起来都比光速慢多了。由于对于任何观察者来说光速是一样的，所以他与任何观察者的相对速度都小于光速。

k和ν之间的相互关系

        为了适应更普遍情况，设时间间隔的比例为k，阿尔佛来得在他与布朗相遇以后，以时间间隔T发射脉冲，为了方便起见，定义一个时刻为他们共同的起点。这样布朗将以kT的时间间隔收到这个脉冲，而布朗的回应到达阿尔佛来得的时间间隔为k2T。这样阿尔佛来得发射和接收到的这个脉冲的时间差为（k2-1）T，所以对应这一时刻布朗和阿尔佛来得的距离为1/2 k2-1）T。又由于在各个方向上的光速是相同的（单位量），阿尔佛来得接收到响应的时刻行程为接收到发射时间间隔的一半，也就是1/2（k2+1）T。从零时刻到这一时刻阿尔佛来相对于布朗的距离变化为1/2（k2-1）T。这样得到阿尔佛来得的速度ν是这两个量的的比

注意ν只是一个纯数，这是光速作为一个单位量的必然结果。我们当然也可以用k=1（等间隔）来表示ν=0的静止状态，用1/k来代替k简单地改变一下ν的表达式，参照第八章的推导结果，最后得出对应任意k值，速度ν在-1（接近时的速度）和+1（后退时的速度）。这个结果明显是可以用来一个测量ν=1的方法，因为如果不是这样的话，雷达脉冲是不能追上布朗的，k值用-1代入代表远离。解方程（1）得到k值。

下表给出了ν与k之间的关系，并给出了对应的用传统单位每秒英里表示的速度值。

速度的合成

    下一步我们考虑速度的合成。考虑三个观察者，阿尔佛来得、布朗和爱德格，这样他们之间的速度传输间隔比分别是：阿尔佛来得和布朗是k，布朗和爱德格是k’，设想阿尔佛来得看到爱德格是超过布朗的（图21）。由阿尔佛来得发射的时间间隔T的信号，布朗收到的时间间隔是kT。如果布朗在收到来自阿尔佛来得闪光的同时发射闪光（也就是时间间隔为kT），爱德格与收到来自阿尔佛来得的闪光的同时收到这些闪光的时间间隔为kk’T。这样阿尔佛来得和爱德格的时间比就是kk’，或者换句话说就是k值相乘。这是速度合成的基本法则，它与在低速时推导出的速度相加类似。注意，不管k怎样相乘，最后的k值的对应速度必须小于（1）式的速度。

为了得到k值对速度的效果，设ν为自阿尔佛来得和布朗的相对速度，ν’为布朗和爱德格的相对速度。ω为阿尔佛来得相对于爱德格的速度。这样就有

公式3

公式4

这样你就可以明白对于小的ν和ν’和它们的合速度ω之间的关系，由于ν和ν’不能超过单位值（光速）同样ω也不能超过单位值。

合适的速度

        还有将速度引入理论的方法，但是它与平时的单位时间走过的路程的概念不同，但是是一个非常有用的量。

        阿尔佛来得通过雷达测速技术，实际也是唯一可行的方法得到他与布朗和查尔斯相遇点的距离，然而为了得到消逝的时间他必须算出他的雷达发射脉冲的发射时间和接收时间的平均时间。想要代替这种做法，他可以看过布朗的手表，并找到一个这样一个比值，这个比值就是布朗自己走过的距离除以阿尔佛来得推算出布朗走过这段距离所用的时间。因此我们得到一个混合量，它叫合适的速度。合适这个词是指我们所除的时间属于布朗—布朗的合适的时间。在布朗的推算中，在阿尔佛来得与他相遇和与查尔斯相遇之间消逝的时间是60分钟。他在自己的时间里走过了25光分钟程，这样他的合适的速度是5/12，而不是他自己得到的5/13。如果我们再看一下我们第二次考虑的更快的运动，布朗和阿尔佛来得发射和接收的间隔比为3：1的比率，在阿尔佛来得和查尔斯相遇时，布朗和阿尔佛来得的距离为80分钟光程。然后，按照布朗的推算，他离开阿尔佛来得已经有1小时了，所以他的合适的速度为4/3光速。这就是说一个物体的合适的速度可以超过光速。确实，它可以无限增长，基于此的光速的合适的速度是无限大，这是一个从前面所得出的结果推导出的结论。

        在计算相对论的很多相关问题时，使用合适的速度比使用实际速度更方便。这个观点是这样的，我们通常用距离除以时间得到速度，但是，每个观察者得到的距离不同，测得的时间也不同。而另一方面，用合适的速度，我们仍然用不同观察者得到的不同的距离，但是这里用到的时间是观察者自己测的时间，因此至少有一部分内容是大家都同意的。布朗读自己的表看两次事件发生的时间间隔，不管从什么地方看，布朗看到的时间都是一样的。

光的奇异性

    从我们的结论能推导出更进一步的结果。我们前面已经看到伴随着布朗和阿尔佛来得接收间隔和发射间隔的比率从3的一半增加到3，布朗和阿尔佛来得相遇与布朗和查尔斯相遇中间的时间间隔，阿尔佛来得、布朗和查尔斯测得的值的差异增加了。我们已经假设两种情况下布朗/查尔斯测得的的时间都是2小时，但是阿尔佛来得测得的时间从2小时10分增加到3小时20分。明显地，我们所选的比率越大，阿尔佛来得测得的时间越长。相应地，在比率增加时，我们也可以通过减小布朗/查尔斯的时间来保持阿尔佛来得的时间不变。随着阿尔佛来得看到布朗和查尔斯的速度越来越接近光速，光就越来越难追上他们，这样接受间隔和发射间隔的比率从3/2增加到3，并随着我们设想的速度越来越高而无限增大。这样，为了得到为了保证阿尔佛来得和布朗和查尔斯的相遇时间间隔相等，我们必须减少从由布朗和查尔斯测得的从第一次相遇到最后一次相遇的时间。如果我们达到了速度的极限，布朗和查尔斯确实以光速前进，根据推算那就没有时间逝去了。
    我们还不能想象真实的人以光速运动的情况，因为根据我们前面的内容，我们可以知道还没有那种方法能使人们的运动速度达到光速，但是我们可以设想光本身的运动。我们可以设想在布朗和查尔斯相遇时刚好有一面镜子，光可以从这里反射回去最终到达阿尔佛来得那里。这样，如果这光线携带着一个钟的话（听起来很荒谬的一个想法，但是利用它我们可以达到极限），那么不管怎样，它离开阿尔佛来得到回到阿尔佛来得这里，将离开的时间和返回的时间相加，这个钟显示的是没有时间变化。我们可以用另一种方法来说明它；我们可以简单地说光是不会变老的；对于光来说时间是不会消逝的。这样的看法可以或多或少地帮助我们清楚地理解光的独特的和普遍的特性。根据它不会变老的事实，它一旦被设定了，就不会改变了，因此它总是保持不变的。

第十章 坐标系和洛仑兹变换

    到目前为止，与爱因斯坦相对论有关的结论我们都是用系数k推导的。为了相对论的发展，特别是那些已经认识的能为相对论提供有力的支持的理论，我们对时间的自然特性已经有了新的认识，k的计算将有更多的应用。从另一方面说，迄今为止的教科书都是使用了坐标和坐标变换。当然这样处理和我们的处理完全是等效的。但是将这些有用的数学推倒联系起来是很有好处的。结果必然是这一章的的所有数学推倒比前面的和后面的都多些，但是我希望对那些对相对论有一定了解的读者能有些好处。

[ 本帖最后由 蓝石榴 于 2009-6-7 21:48 编辑 ]

坐标的意义
    数学里用坐标来确定一个点的位置，这对我们讨论坐标系的意义是很有用的。最简单的一个例子是一个在平面上，比如说到一张纸或黑板上，或者房间里地板上的。然后我们就可以通过给出距相互垂直的两条线——坐标系的两个轴的距离，说明空间任意一点的位置。通常一个坐叫x，一个坐标叫y；y值为零的那条线叫x轴，x值为零的那条线叫y轴。给出了两个坐标轴，给出一对数x和y，我们就可以找到与这对数对应的点，相应地，给除了平面上的任意一点，也就给出了它距两个轴的垂直距离，我们可以得到它的坐标。这是定义平面上任意一点的，一个简单而且现成的方法，确实也非常有用。
    但是有一个不可避免的问题就是，坐标系的坐标轴的选取是任意的。我们可以设定一对坐标轴与其他任意设的坐标轴结果相同。当我们改变坐标系的坐标轴时，会发生什么样的情况呢？这里有两种很复杂的方法处理它。一种方法是，简单地移动坐标轴，但是是平行的地移动，这种方法当然是很烦琐的；这就是说新轴的方向与旧轴的方向是一致的，但是交点不同。如果我们管新轴分别叫x’和y’轴，这样明显地新轴和旧轴的关系是简单地加上一个数。我们通过将旧系统的坐标值简单地加上一个数就可以得到新系统的每一个点的坐标值。我们简单地增加这些数是因为这些数就是旧坐标系在新坐标系的坐标。
    一种更有趣的转换，也是对我们计算非常重要的一种，我们不是将轴平行移动，而是将轴转一个角度。首先我们保持原点不变，仅仅旋转坐标轴，明显就是这样新旧坐标之间的转换也很复杂。我们不需要详细讨论，但有一点是清楚的，也是最关键的一点就是新的x坐标既依赖老的x坐标，也依赖老的y坐标，对新的y坐标也是一样的。换句话说，当我们计算新坐标时，旧坐标变得很乱了。
    在日常生活中我们对这种复杂还是相当熟悉的。例如当我们看一幢房子时，我们可以叫一个面为长，另一个面为宽；但是当我从墙角转过去，再从某个地方看这个房子时，现在我们可能认为原来的宽是现在的长，原来的长是现在的宽，颠倒过来了；如果我们在一个个比较复杂的倾斜的地平面上，坐标就比较混乱了，新的宽可能是老的长和宽的合成。引起这样的问题是因为数学家喜欢用两维来表示一个平面。需要两个数来代表平面上的一点，当我们转动坐标轴后，两个数相互之间交叉了。这是坐标系间变换和其属性中最重要的特性了。例如，如果我们为一个房屋设计一个地面加热系统，我们可以这样说，我们最感兴趣的是地面上每一点的温度，我们可以说统计的温度与它记录该点离两墙的距离的标志一样重要；但是，尽管现在对应地面上的某一点有三个数值，它距两墙的距离和温度，我们是不会把温度看成是第三个坐标轴的；我们不把它看成是第三个坐标轴最好的原因是它和其它两个坐标轴没有变换关系，把温度和坐标交叉起来是没有任何意义的。
    能够“相互交叉”是空间维数的至关重要的特性。在一般的坐标变换中，我们既改变了原点也转动了坐标轴，在老坐标系中的一点如果我们用x、y来表示的话，那么在新坐标系中将会用两个完全不同的数x’、y’来表示它。但是不管怎样两个坐标系间还是存在着微妙的联系的。让我们设这里有两点：x、y和 、 ；然后在新坐标系统中第一点坐标为：x’、y’，第二点坐标为 ’、 ’；那么在两个坐标系中有一件事情是保持不变的，那就是两点之间的距离。换句话说，就是四个数字所代表的两个点一定具有一个综合的名字，两点之间的距离，它在老坐标系中和在新坐标系中是一样的。这就是数学家所说的不变性，因为它是一个不随坐标变换而改变的量。

轴的转动
    既然我们可以认为轴的平行移动是一种简单变换，我们可以平行移动坐标轴，直到坐标原点与两点中的一点相重合，就算是 、 吧，然后系统的坐标变化就可以看成是坐标绕原点的转动。然后看看什么是x、y与原点的距离？毕达哥拉斯定理的一个简单应用告诉我们距离的平方就是 。如果我们将坐标轴绕坐标原点转动，各点与坐标原点的距离是保持不变的，所以我们得出这样一个规则，在坐标轴转动时，表达式 的变换结果是它自己。至少它的值是不改变的。所有这些的结果我们称之为二维平面，因为，首先需要两个坐标来定义平面内一点；第二因为，当我们改变坐标轴时，两个坐标值会相互交叉；第三，这还存在着一个不变性，坐标点的结合不随坐标轴的变化而变化。例如，我们设（x’、y’）轴与（x、y）相差30度角。根据三角（看图22）计算公式有

我们生活的空间叫三维空间，因为我们需要三个坐标值，长、宽、高，或是x、y、z来定义空间的一点。我们让它的特性与二维空间的特性一样。我们用三个相互垂直的轴，坐标系的轴，然后这点到包含x、y轴的平面的垂直距离就是它的z坐标，以此类推。

这一次我们需要用三个数值来定义一点，当我们改变坐标时，这三个数值会相互混合，这也有一个叫做不变性的，点与点之间的距离不随坐标轴的改变而改变。我们还是有两种改变坐标的方法，简单的一种是平移坐标，只要将平移量作为常数加到原来的坐标即可，比较复杂一些的变化是坐标轴旋转，所以新的坐标与老的是歪着的。如果我们保持原点不变，旋转坐标轴，然后根据毕达哥拉斯定理，我们可以发现现在x2+y2+z2保持不变。事实上，这个特性就是唯一的不变性，如果我们以对坐标系进行普通的变化的话它是不变的。
    但是，如果我们考虑这种变换更细致一些的话，会发现它是非常有用的。设想有人总是让他的z轴是沿垂直向上的方向的，这样他只允许他的坐标轴在x、y平面内旋转。这样不管他怎样改变，他会发现他的z坐标是不变的。在这样一个人的观点里，有两个量是不变的，z坐标和x2+y2，当我们在平面内旋转坐标轴时，这两个值保持不变。如果他只在一个相当小的范围内，垂直坐标轴是有明确的含义的，在哪里也都是一样的，这样设置也是合理的。但是如果他将他的坐标轴旋转一点，当然这样垂直方向的某一点与垂直方向的另一点是不相同的了；当然没有什么特别的理由他必须把垂直方向定为z轴了。接下来，他立刻就将水平面的变换进行扩展，考虑更复杂的变换了，即使是z轴倾斜了，他会发现现在不再有两个不变量z坐标和x2+y2了，而是只有一个不变量x2+y2+z2了。此前，依照他的观点他可能会说，“高度！与长和宽是是不同的，它和长宽是没办法混合的，他们的特性完全不同的。”但是以后他学会了考虑坐标的倾斜会说“x、y、z当然是一样的；毕竟当我倾斜坐标轴时，他们使用了同一组变换。”