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[原创] 我这样教数学(日记连载) [复制链接]

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发表于 2013-9-29 22:27:05 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-9-29 23:23 编辑

2013年8月31日 星期六 阴


上班第一天


     今天是学校要求上班的第一天。

     上午,教务处张主任通报了本学期老师们的带班调整情况。过去三年,我顺利将两个班的学生从初一带到初三毕业,但由于自己懒惰、功力不够、意识未到等种种原因,我没有将这三年的数学教学过程一一记录。本学期,本以为自己会再从初一重新带起,我也在暑假里暗定计划,在接下来的三年时间里,一定要将自己每天的数学教学情况忠实记录,一方面是记录自己与学生在这三年里的数学成长过程,另一方面,也是不断反思已经教了近二十年初中数学的我在初中数学教学中还有哪些失误和不足。尽管自己已近四十高龄,但古人说:“朝闻道,夕死足矣。”连古人都有这样的思想觉悟,更何况最近这两年读了好几本李镇西的教育著作并把李镇西老师视为偶像的我呢。呵呵,小小的抬高一下自己,同时,狐假虎威一下子。

      但张主任宣读的带班决定却让我略略失望了一回。本学期,我并不是下到初一从头带起,而是来到初二去接手另外两个班,一个是学校的重点班14班,另一个则是一个普通班13班。

      这里,先要简略介绍一下,我们南开学校初二年级共有14个班,其中四个是重点班,另外十个是普通班。当初小升初考试只考语文、数学、英语,然后按照总分情况将前200名学生平均分配编入重点班,其余学生再平均分配编入普通班,我现在就是要带一个重点班和一个普通班,对于我来说,两个班共97名学生,不管他在哪个班都是一样的。从现在开始,我就要和他们一起学习数学,或者换句话来说吧,就要对他们的数学成绩负责,直到初三毕业。

      至于不能如愿下到初一从零开始我的初中数学教学,烦恼了一会儿后我也很快释然了。因为我想到了网络上常见的三句调侃:(1)计划赶不上变化,变化赶不上电话,电话赶不上现代化;(2)这么多年以来,唯一不变的就是变化本身;(3)去改变那些可以改变的,去接受那些不可改变的。

      换了办公室并将办公桌整理好之后,我马上向两位班主任老师要了两个班的学生名单。

      太好了,名单不带学生数学成绩,也不是按学生数学名次排列的。

      两个班97名学生,除了极个别教工的子女我有印象之外,其他的学生我一无所如。14班这个重点班,学生守纪,爱学,可能在以后的教学过程中,不需要我花费太多的气力。按照中国所有分过重点班的初中学校的惯例和曾经以往的教学经历,我知道13班这个普通班一定会让老师操碎心的。我不由的拿起13班学生的名单来,尽管这些名单我一个也不认识,而且当前也不知他们的成绩,但每个孩子在出生命名的时候,家长一定是寄于厚望的,父母一定是望子成龙,望女成凤的。我不由得研究起这些同学的名字来。

      余锐风、郑子凯,锐不可挡?凯旋归来?不知他们俩人的父母最开始起名时是否这样想的。

      苏雪欣、方倩妮、邓贺怡、王咏珊,个个学生的名字都美仑美奂。这四个女学生不敢说文雅清秀,但至少是古灵精怪、聪明过人的吧。

      欧奕锋、黄文伟、黄淑清,这三位男同学一定会下象棋,欧奕锋,从他名字的中间一个字就可看出,黄文伟与香港的一位青年象棋好手名字完全一样,黄淑清,则让我想到广西的一位象棋大师黄仕清。不过,就算不会下象棋也无所谓,课余时间跟你们的数学老师好好学学,在业余象棋爱好者里,我还算是一个好手哦,而且,爱下象棋的学生一定会是数学成绩优秀的,因为两者之间都有一个共同点----善于思考。

      肖淼,可能五行缺水,太过安宁,不能远游,所以就用三个水来压一压。但学习数学正好需要这种安定安宁的性格哦。

      欧阳佳怡,一个古色古香的名字,但愿人也成绩上佳,芳香怡人。

      艾奥杰,难道有国外血统?不过一个杰字,一定能让他成为班级的杰出人才。

      苏芷晴、唐靖莹、王雪慧,三个女孩子的名字,中规中矩,上课也应该是坐姿端正,认真听讲的吧,其实,初中数学如能做到课堂认真听讲,成绩是差不了的。

      王世豪、梁展鹏、任宇,一看就知是男孩子的名字,豪气干云,大鹏展翅,包容宇宙。

      曾晨、孙辰,还是星辰满天的清晨,就已起床学习数学了,哇,我这个数学老师简直是太有成就感了。

      陈晓桐、蔡晓帆、邓晓炜,在我印象里,凡是中间有一个晓字的同学,一定是谦逊、守礼、尊师、乐学的学生,你们三位同学,我说的对吗?

       赵懿琳,我很喜欢你名字中间的那个懿字,让我想到了司马懿这个隐忍沉着,聪明过人的三国人物。这是一种学好数学的良好性格。

       李怡康、霍嘉琪、刘淑月、翟炜琪,名字不俗,人品必优。

       彭天池、张友成、王中元,名字虽较普通,但一定会和老师非常亲近,因为老师与你们的名字一样普通,不知你们是否也和老师一样是一个外表冷漠,内心狂热的人。

       吴志、饶佳、方伟、李豪,名字好写,好认,好记,肯定一如你们简单、纯朴、善良的性格。

       谢扬波、蒋明轩、严晨洋、柳明珠,人名如画,我好喜欢。

       陈雨婷、赵可晴,雨过天晴,心情盛开。与这样的学生上课,还不让我如沐春风,如饮美酒。

     张翊洋、张成彬、张钦胜,上阵父子兵,学习三兄弟,好样的。

      王志钊、罗健慧、陈彦彤,这三个同学也一定是积极思考,勇于发言,善于提问的好学生。我好期待。

      每一个同学的名字都是那么优美而又寓意深刻,其实从出生的那一天起,你们的父母就对你们每一个人寄于了厚望,一如即将带你们两年数学课的我。

      13班、14班的同学们,接下来你们将如何进行这两年的数学学习呢,让我们拭目以待。


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发表于 2013-9-29 23:10:40 |显示全部楼层
隐忍沉默,内心狂热,这样的人往往有深度,而且由于内敛不张扬,更耐人寻味,。。

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本帖最后由 lqhmzp 于 2013-9-29 23:22 编辑

2013年9月1日 星期日 多云


同学们返校


      早上来到学校办公室后,13班班主任雷武艳老师就告诉我两个好消息。

      一是13班来了两个插班生,分别叫曾楚涵和邓竣升。正当雷老师要告诉我他们两个人的插班成绩时,我忙说:“先不要告诉我成绩,我想先看一看他们的学习状态和上课情况再说。”其实某一个孩子在某一次考试中的成绩只是他前一段时间所付出努力的副产品,努力过程远比考试成绩重要。

      现在多了两个学生,我其实还蛮高兴的,反正是班级授课制,赶一只羊也是赶,赶一群羊也是赶。孟子曾说过,得天下英才而教之,乃人生一乐也。这两个学生,我相信,在他们父母的眼里,一定也是光灿夺目的英才。曾楚涵,从名字来看,楚楚动人,涵养外现;邓竣升,一直处于上升状态,不想成为英才都难。

      第二个好消息,则是政教处主任已正式通知雷老师,我成为她们班的配班老师,就是相当于副班主任的角色。雷老师是一个教学经验和管班经验都异常丰富的女老师,人如其名,雷厉风行,而且还非常的温柔大方,与她搭班,大家都知道,嘿嘿,男女搭配,干活不累。

      上午,完成了数学组长分配给我的备课任务后,我就先行阅读起另一个数学老师已经备好了的第一课时的教案。教案备的真不错,即能应对学校领导检查,又还适合于课堂教学。放下教案,我又拿起了课本认真研读起来。

      八年级上学期第一课时是“三角形的边”。课本上的内容按照三角形的定义,记法,分类,再到三边关系定理环环相扣,层层铺开,脉络是较为清晰的,就按照这个顺序去组织学生学习,效果应该是不错的。不过后面的三边关系定理是这节课的难点,课本的叙述显得有点单薄,特别是具体做题时要经常把两条结论“三角形两边的和大于第三边”和“三角形两边的差小于第三边”综合起来用。每次我上这节课时,就常常想,为什么教材编者不在这两句话后直接再次总结:“三角形的第三边大于另外两边之差,小于另外两边之和。”这样,读起来琅琅上口,用起来得以应手。

      对这节课文还觉得不太满意的地方是教材第三面到第四页的例题的解题过程。本来,这个例题编在这里是非常适当的,既复习运用等腰三角形的知识,又跟同学们渗透方程思想和分类讨论的思想,这两种思想是做初中数学题时屡试不爽的不二法宝。但例题后面的解题过程却是王大妈的裹脚布,太多的文字语言叙述几乎会扼杀掉孩子们学习数学的兴趣,要是我们班的某位同学在考试时象那样答题,我即使不当面打他两耳刮子,也要在心里偷偷骂他脑子出问题了。

      那么,明天我将怎样上这节内容呢?我不免陷入了深思。

      下午,两个班的学生报到领书发书,数学练习册里夹着答案和一本考试试卷。正在我犹豫着要不要让同学们把这个答案和试卷先行收起来放我这儿保管时,14班的数学课代表伍洪瑞同学和13班的数学课代表黄文伟和陈晓桐同学来到我的办公桌前请我指示。我一下子高兴起来,令我高兴的并不是我能够象某些喜欢发号施令的官员可以对着属下随心所欲的发布命令,而是,这两个班的课代表工作是如此主动,并且,他们刚来学校就知道要换数学老师且没有任何负面情绪。我对接下来的数学教学工作充满了信心。

      很快,答案和试卷被这几位负责任的数学课代表收起来了,让他们亲自点数一本不差之后,我毫不吝啬我的表扬和鼓励。很快,13班的数学课代表又问我要不要收暑假作业。

      这真是一个恼人的问题。从事教育这么多年,我当然知道,同学们在快乐的暑假都是如何对待暑假作业的。我谨慎的回答:“收,我想看看同学们的字写的怎么样,如有‘忘记’带来的,让他下周带来,如果下周还忘记,继续让他下周带,连续给他100次机会。”聪明的课代表若有所悟的点了点头。

      过了一会儿,班主任雷老师领了一位学生家长来到我的面前,原来她听说换数学老师了,就马上过来与我交流交流。她是陈雨婷的妈妈,和我一样,也是外地来东莞的奋斗一代。对于象我们这样的来自外地的奋斗阶层,总是对孩子的教育和学习成绩无比重视,可属于二代但却不想付出太多努力的孩子们并不理解啊。

      陈妈妈也可能懂得点相由心生的道理,她看到我稳重善良的面相后,直夸我一定是一个数学教学经验非常丰富的老师,当她听说我是从初三下来时,更是对我赞不绝口。那一瞬间,我都有点不知道自己是谁了,要是每个家长都象这样对待我们老师,那该多好啊。唉,我们老师也太容易满足了。

      在陈妈妈向我介绍孩子的情况时,受人称赞无以为报的我突然想马上为她的孩子把把脉。叫来陈雨婷,随意问了几个问题,看了看她的站姿和回答问题的语气后,我就对她说:“以后上课专心点,做题细心点。你的数学成绩肯定会提高的。老师对你非常有信心。”孩子高兴的走了后,妈妈算是听明白了。上课专心,做题细心的反面应该就是她的宝贝女儿目前面临的主要问题。其实,又哪里只有陈雨婷同学,所有的数学成绩不是那么理想的同学不都有这样的毛病吗?

      晚自习第一节课,是班会,作为配班老师,我坐在13班教室里向班主任雷老师学习如何上好班会课。雷老师轻松悠闲的班会课讲话风格和同学们与老师之间亲密和谐的互动友好气氛给我留下了深刻的印象。最后还有五分钟时,雷老师让我上去也给同学们讲几句话。

      首先,我表扬了13班同学们的纯真、善良、美丽之后,又给他们鼓劲打气。当我说完“有志者,事竞成,破釜沉舟,百二秦关终属楚”之后,后面的一句我怎么也想不起来,真是书到用时方恨少啊。好在我急中生智,对同学们说:“外事不决,可问google,内事不决,就问百度,数学不决,定要问我。等会下去后,我去查查百度,看后面那一句到底是什么再告诉大家。”

      接下来,我又给同学们讲学好数学要做到的六个字:

      一是“看”,多看书,将书上的重点内容标记下来,特别是一些基本概念和一些定理法则。说到此处,下课铃声响了,要是放以前,我肯定要接着讲下去的,但当时,略微思考了一下,就对同学们说,还有另外五个字,明天上数学课时再与同学们详谈。下课休息。

      在以后的数学教学中,不管讲到什么地方,我都力争不再拖堂。就让我从今天开始做起吧。



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发表于 2013-9-29 23:51:49 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-9-30 00:14 编辑

9月2日 星期一 晴

三角形定义及三边关系定理


      上午第三节,第一次在重点班14班上数学课。
      重点班的学生确实不一样,刚预备铃响,个个同学都齐刷刷坐在座位上,可能每一个学生都在想,教他们数学的这位新老师到底是何方神圣。
      能马上告诉他们,其实我并没有任何的三头六臂,只不过是一个普通的不能再普通的数学老师吗?能告诉他们我以前所带的班数学成绩考的好----假如有的话,也都是时间加汗水外加运气好的缘故吗?我略作思索,就决定现在还不能透露这些个人秘密。先尽可能的保持一些神秘感再说吧。
      刚进教室,坐在角落里的一个男生脱口说出:“老师,你好帅哦。”
     我晕!快四十岁的老男人了,还能被学生这样“夸奖”。我定定眼神,意味深长的看了他一眼,心里念到:如果调教好了,这个孩子一定会是一个非常爱好学习数学的人,但若处理不当,这种“炮筒子”将会给我以后的数学课堂带来无穷无尽的烦恼。
     “老师一直都很帅。”我异常肯定的望着他说。初次见面,先满足一下他的表现欲。
      重点班的学生大脑聪明,见多识广,勤于思考,善于质疑。为了稳住他们,我扫视了一下课堂里的每一个学生,开口说道:“我们14班的同学就是不一样,每一个同学的眼神都好清澈哦,由此就可以看出,我们每一个同学的内心一定非常善良。你们说是吗?”见没人反应,我又接着说道:“有没有眼神不清澈,内心不善良的,举手我看看。嗯,没人举手。我的判断一向都是准确的。”
      先给这些最优秀的学生戴一顶心灵善良的帽子,将来某一天,我真的在教学上出现什么失误,他们也不至于立马投诉我,呵呵。
      接下来,我对14班同学也讲了要想学好数学需要做到的六个字。
      第一个字“看”,昨天晚上对13班学生讲过了。
      第二个字“听”,看完了书上的内容后,有些不理解的地方,有些自己忽视的重点内容,有些例题的简约而又规范的书写格式,都需要听老师在课堂上认真讲解。现在的初中学生,学习数学首要的就是对老师亦步亦趋的模仿,而不是盲目的别出心裁的创造。唉,可惜这些,很多自诩为精通基础教育的伪专家们并不明白。
      第三个字“悟”,就是对自己所看的课本,对老师所讲的内容理解的一个过程。悟的快,数学就学的高效,悟的慢,在数学学习上就要多花时间和功夫。
      第四个字“记”,悟明白了那些基本的知识点、数学思想和解题方法后,就要把它记住,背熟,一看到某种题型,就知道如何正确思考,就知道它的扣分陷阱在哪里。熟能生巧向来就是至理名言,做题少却想得分高恐怕更多只是一厢情愿。
      第五个字“问”,同学们在学习数学的过程中肯定会遇到许许多多不懂的问题,千万不要畏惧问题,更不要怕麻烦,一定要把遇到的问题赶快拿去问老师,更何况,我们两个班的教室离我的办公室是那么的近。豁然开朗、拨云见日对于一个学生来说千金不换。
      第六个字“慎”,上课要慎重、稳重,做题要谨慎、细心,学习数学需要课堂活跃,但这种活跃决不是身体的移动,四肢的晃动,更不是随意脱口而出的搞笑,而是思维的集中、大脑的沸腾,这种活跃是看不见的,但是能被感觉到。说到这里,我又看了看那个坐在角落里的男生。
      说完我的六字真言后,我就开始了正式上课,先给了五分钟时间让同学们看书。检验一下我所说的第一个字“看”,同学们做的怎么样。
      在同学们认真看书的时候,我把要进行的四个程序依次写在黑板上。同学们看书效果不错,有很多同学主动将书上的重点内容划了出来。
      五分钟后,我开始提问。三角形的定义本来并不是这节课的重点,但我仍然问了两个同学,可惜回答的都不好。这个定义有两个要点,(1)不在同一直线上,(2)首尾顺次相接。我举了两个例子,都只满足一个要点但却不是三角形,原因就是另一个要点没有满足。在初中数学中,这样的知识点太多了,在我以前所教过的学生里,顾前不顾后的学生也太多了,现在只想通过一次简单的举例让他们在理解记忆有关定义定理时,能有所悟。
第二个程序,三角形的记法很快通过,因为书上已经说的很明白了。
      第三个程序,三角形分类,有两种分类方法,按边分和按角分。课本上专讲了按边如何分。考虑到晚自习要做练习册,而练习册上却出现了将三角形按角先分为直角三角形和斜三角形两大类,所以,我还是补充讲解了这种分类方法。按边分也是先分为两大类,不等边三角形和等腰三角形。
      然后,我在黑板上专门画了两种等腰三角形,一种是顶角是锐角的常见的那种等腰三角形,还有一种是顶角是钝角的不是那么常见的等腰三角形。特别是后一种,不能让14班这些优秀的学生从未见过。
      讲到此处时,14班这个重点班的一个大脑聪明但又不是那么淡定的同学急着说:“还有等边三角形呢”?这个问题正好让我引出了等腰三角形再细分为底边与腰不相等的等腰三角形和底边与腰相等的等腰三角形,也就是等边三角形。我还专门用尺规作图法画了一个标准的等边三角形。
      第四个程序,就是讲这节课的重点------三角形的三边关系。很多同学都说,以前数学老师在初一时已经讲过了。同学们都知道:“三角形两边之和大于第三边。两边之差小于第三边。”
      既然都知道,我也就没有必要详细讲解了,我只是将这两句话综合起来的一个结论写在了黑板上:三角形的第三边大于另外两边之差,小于另外两边之和。
      让同学们将这个结论抄在课本上之后,我就举了一个具体的例子:一个三角形的三边是3,5,x,那么x的范围是什么?这种小儿科题目丝毫难不住14班的同学,他们立马答道:5-3<x<5+3,即2<x<8.我高兴的点了点头,练习册上有这道原题,同学们应该能全部做对。初中数学就那么百来个知识点,掌握一个就少一个,到了初三中考的时候,想不得高分都难。
      因为课前耽误的时间较多,课本上的例题就没有时间讲了。来日方长,明天再讲也不迟。
      紧接着,第四节课,在13班教室,告诉完同学们在百度上查到的那句我遗忘了的话:“苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴。”又接着调侃道:“遇事不决,可问百度,数学不决,定要问我。”
      接下来的程序与在14班差不多,不过,在14班已经讲完了的三边关系定理,在13班还没来得及讲就又响起了敲铃声。也只有等到明天一起再讲了。
      下课时,13班果然有两个同学跑到讲台上来问我。一个同学问:“用尺规作等边三角形的依据是什么?”我指着黑板上的图说,画的两条弧的交点到下面线段的两个端点的距离都相等,都等于最下面的那条边。这位同学若有所悟。
      还有一位同学,拿了一份试卷,一看就知道是外面的那些培训机构打印的高难度奥数题。这些难题让大量的同学失去了学习数学的信心,让那些想有所成就的学生不得不依赖于培训机构,而这些偏难怪题,中考根本就不会考。除非那些对数学特别喜欢和很有天份的同学,我是绝不支持、鼓励同学们去钻研这种题目的。
      有一道题这位同学不会,但此题要解出来必须要作出两条匪夷所思的辅助线,三次用到三边关系定理再经过复杂的化简,而这,只有明天学了这个知识点后再告诉他了。
       晚自习,我布置的作业有两个任务,一是做练习册上的填空题和选择题,至于解答题,等我明天结合例题讲述了具体要求后,再做。另一个任务是给每一个同学发了一张纸,让他们预习完下一节的新课后,在纸上画一个锐角三角形和一个钝角三角形,然后再画出这两个三角形每条边上的高,然后上交检查。
      锐角三角形三条边上的高没有出现什么问题,但钝角三角形三边上的高,很多人不会画。14班有张灿、詹皓天两位同学不会画,13班有将近20个人不会画,待到明天再慢慢指导吧。
      晚自习时,两个班的科代表分别排了一个座次表,对着座次表,我将这些名单和眼前的人一一对照。明天,再写这个日记时,应该可以直接写明学生的姓名了。


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三角形定义及三边关系定理



      上午第三节,第一次在重点班14班上数学课。

      重点班的学生确实不一样,刚预备铃响,个个同学都齐刷刷坐在座位上,可能每一个学生都在想,教他们数学的这位新老师到底是何方神圣。

      能马上告诉他们,其实我并没有任何的三头六臂,只不过是一个普通的不能再普通的数学老师吗?能告诉他们我以前所带的班数学成绩考的好----假如有的话,也都是时间加汗水外加运气好的缘故吗?我略作思索,就决定现在还不能透露这些个人秘密。先尽可能的保持一些神秘感再说吧。

       刚进教室,坐在角落里的一个男生脱口说出:“老师,你好帅哦。”

      我晕! 快四十岁的老男人了,还能被学生这样“夸奖”。我定定眼神,意味深长的看了他一眼,心里念到:如果调教好了,这个孩子一定会是一个非常爱好学习数学的人,但若处理不当,这种“炮筒子”将会给我以后的数学课堂带来无穷无尽的烦恼。

     “老师一直都很帅。”我异常肯定的望着他说。初次见面,先满足一下他的表现欲。

      重点班的学生大脑聪明,见多识广,勤于思考,善于质疑。为了稳住他们,我扫视了一下课堂里的每一个学生,开口说道:“我们14班的同学就是不一样,每一个同学的眼神都好清澈哦,由此就可以看出,我们每一个同学的内心一定非常善良。你们说是吗?”见没人反应,我又接着说道:“有没有眼神不清澈,内心不善良的,举手我看看。嗯,没人举手。我的判断一向都是准确的。”

      先给这些最优秀的学生戴一顶心灵善良的帽子,将来某一天,我真的在教学上出现什么失误,他们也不至于立马投诉我,呵呵。

      接下来,我对14班同学也讲了要想学好数学需要做到的六个字。

      第一个字“看”,昨天晚上对13班学生讲过了。

      第二个字“听”,看完了书上的内容后,有些不理解的地方,有些自己忽视的重点内容,有些例题的简约而又规范的书写格式,都需要听老师在课堂上认真讲解。现在的初中学生,学习数学首要的就是对老师亦步亦趋的模仿,而不是盲目的别出心裁的创造。唉,可惜这些,很多自诩为精通基础教育的伪专家们并不明白。

      第三个字“悟”,就是对自己所看的课本,对老师所讲的内容理解的一个过程。悟的快,数学就学的高效,悟的慢,在数学学习上就要多花时间和功夫。

      第四个字“记”,悟明白了那些基本的知识点、数学思想和解题方法后,就要把它记住,背熟,一看到某种题型,就知道如何正确思考,就知道它的扣分陷阱在哪里。熟能生巧向来就是至理名言,做题少却想得分高恐怕更多只是一厢情愿。

      第五个字“问”,同学们在学习数学的过程中肯定会遇到许许多多不懂的问题,千万不要畏惧问题,更不要怕麻烦,一定要把遇到的问题赶快拿去问老师,更何况,我们两个班的教室离我的办公室是那么的近。豁然开朗、拨云见日对于一个学生来说千金不换。

      第六个字“慎”,上课要慎重、稳重,做题要谨慎、细心,学习数学需要课堂活跃,但这种活跃决不是身体的移动,四肢的晃动,更不是随意脱口而出的搞笑,而是思维的集中、大脑的沸腾,这种活跃是看不见的,但是能被感觉到。说到这里,我又看了看那个坐在角落里的男生。

      说完我的六字真言后,我就开始了正式上课,先给了五分钟时间让同学们看书。检验一下我所说的第一个字“看”,同学们做的怎么样。

      在同学们认真看书的时候,我把要进行的四个程序依次写在黑板上。同学们看书效果不错,有很多同学主动将书上的重点内容划了出来。

      五分钟后,我开始提问。三角形的定义本来并不是这节课的重点,但我仍然问了两个同学,可惜回答的都不好。这个定义有两个要点,(1)不在同一直线上,(2)首尾顺次相接。我举了两个例子,都只满足一个要点但却不是三角形,原因就是另一个要点没有满足。在初中数学中,这样的知识点太多了,在我以前所教过的学生里,顾前不顾后的学生也太多了,现在只想通过一次简单的举例让他们在理解记忆有关定义定理时,能有所悟。

      第二个程序,三角形的记法很快通过,因为书上已经说的很明白了。

      第三个程序,三角形分类,有两种分类方法,按边分和按角分。课本上专讲了按边如何分。考虑到晚自习要做练习册,而练习册上却出现了将三角形按角先分为直角三角形和斜三角形两大类,所以,我还是补充讲解了这种分类方法。按边分也是先分为两大类,不等边三角形和等腰三角形。

      然后,我在黑板上专门画了两种等腰三角形,一种是顶角是锐角的常见的那种等腰三角形,还有一种是顶角是钝角的不是那么常见的等腰三角形。特别是后一种,不能让14班这些优秀的学生从未见过。

      讲到此处时,14班这个重点班的一个大脑聪明但又不是那么淡定的同学急着说:“还有等边三角形呢”?这个问题正好让我引出了等腰三角形再细分为底边与腰不相等的等腰三角形和底边与腰相等的等腰三角形,也就是等边三角形。我还专门用尺规作图法画了一个标准的等边三角形。

      第四个程序,就是讲这节课的重点------三角形的三边关系。很多同学都说,以前数学老师在初一时已经讲过了。同学们都知道:“三角形两边之和大于第三边。两边之差小于第三边。”

      既然都知道,我也就没有必要详细讲解了,我只是将这两句话综合起来的一个结论写在了黑板上:三角形的第三边大于另外两边之差,小于另外两边之和。

      让同学们将这个结论抄在课本上之后,我就举了一个具体的例子:一个三角形的三边是3,5,x,那么x的范围是什么?这种小儿科题目丝毫难不住14班的同学,他们立马答道:5-3<x<5+3,即2<x<8.我高兴的点了点头,练习册上有这道原题,同学们应该能全部做对。初中数学就那么百来个知识点,掌握一个就少一个,到了初三中考的时候,想不得高分都难。

      因为课前耽误的时间较多,课本上的例题就没有时间讲了。来日方长,明天再讲也不迟。

      紧接着,第四节课,在13班教室,告诉完同学们在百度上查到的那句我遗忘了的话:“苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴。”又接着调侃道:“遇事不决,可问百度,数学不决,定要问我。”

      接下来的程序与在14班差不多,不过,在14班已经讲完了的三边关系定理,在13班还没来得及讲就又响起了敲铃声。也只有等到明天一起再讲了。

      下课时,13班果然有两个同学跑到讲台上来问我。一个同学问:“用尺规作等边三角形的依据是什么?”我指着黑板上的图说,画的两条弧的交点到下面线段的两个端点的距离都相等,都等于最下面的那条边。这位同学若有所悟。

      还有一位同学,拿了一份试卷,一看就知道是外面的那些培训机构打印的高难度奥数题。这些难题让大量的同学失去了学习数学的信心,让那些想有所成就的学生不得不依赖于培训机构,而这些偏难怪题,中考根本就不会考。除非那些对数学特别喜欢和很有天份的同学,我是绝不支持、鼓励同学们去钻研这种题目的。

      有一道题这位同学不会,但此题要解出来必须要作出两条匪夷所思的辅助线,三次用到三边关系定理再经过复杂的化简,而这,只有明天学了这个知识点后再告诉他了。

      晚自习,我布置的作业有两个任务,一是做练习册上的填空题和选择题,至于解答题,等我明天结合例题讲述了具体要求后,再做。另一个任务是给每一个同学发了一张纸,让他们预习完下一节的新课后,在纸上画一个锐角三角形和一个钝角三角形,然后再画出这两个三角形每条边上的高,然后上交检查。

      锐角三角形三条边上的高没有出现什么问题,但钝角三角形三边上的高,很多人不会画。14班有张灿、詹皓天两位同学不会画,13班有将近20个人不会画,待到明天再慢慢指导吧。

      晚自习时,两个班的科代表分别排了一个座次表,对着座次表,我将这些名单和眼前的人一一对照。明天,再写这个日记时,应该可以直接写明学生的姓名了。




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93 星期二 小雨


用分类讨论思想解等腰三角形


     今天上午,14班是第一节课,13班是第二节课。

     在14班,利用课前五分钟休息时间,我将书本上的例题完整的抄在黑板上。有时间能往黑板上抄的,我不喜欢用课件显示,除非是公开课。

     预备铃响后,我给同学们规定了,以后每节数学课预备铃响到正式上课铃响有两分钟时间,这两分钟时间完全交给同学们,把上节课讲的重要知识点和课本上划下来的重点内容好好背一背,呆会找人提问。

     一瞬间,书声朗朗。我煞有介事的绕场一周,很是高兴。

     正式上课后,找了一个同学背了一下三角形三边关系定理,背得很好,我很满意。

     接下来就是结合例题讲解规范而又简约的书写格式。例题的第一小题,有一句话:“等腰三角形腰长是底边长的2倍,我问同学们,该如此表达这句话的含义?同学们异口同声地回答:“设底边长为x,腰长为2x,列方程求解。”完全不用我作任何提示。还有一句话:“用18cm围成三角形说明了什么。”又是一片异口同声:“周长是18cm。”

     我本来只需要在黑板上写上“方程思想”四个字的,但考虑到让学生模仿书写格式,我还是完整的写完了第一小题的答题过程。

     第二小题有一句话:“等腰三角形有一边长是4cm.”但没有说明到底是腰还是底边,这种情况该如何处理?同学们纷纷答道,分两种情况讨论。在黑板上我又写上了答数学题常用到的第二种思想:“分类讨论思想”。接下来,按照我拟定的分类讨论的格式在黑板上写上了标准过程,然后就让同学们仿照我这个标准格式做练习册上的需要分类讨论的解答题。

      14班的王钟会同学主动举手,要求到黑板上来演板。

     离下课还有五分钟时,我点评了王钟会同学的答题过程。首先就没有写解,同学们立即帮他指出来了。

     这个题目没有单位,王钟会同学在答案后面添上了“单位长度”这个词,这确实是一种较好的处理方法,但也可以和题目一样,在数据后面不带单位的。我就自作主张擦去了“单位长度”这个词。14班的同学们立马就叫喊,上一任数学老师说了,遇到这种情况,必须写上“单位长度”这个词,否则要被扣分的。

     象我这样中途接手别人的班,就象是一个后妈,才开始相处的时候,总是让人不太舒适。怎么办?解释?说服?顺从?思考了几秒钟后,我这样说道:“因为题目本身的数据没有单位,这样情况下,我们按照中考评分要求来,也不用带单位。”说到中考评分要求,同学们才没有了鼓噪。这个过程我表现的尽管有点武断,但在即将下课的情况下,武断也是一种决断啊。

     第二节课在13班上,由于先要讲昨天没有讲完的三角形三边关系定理,所以时间有点紧。最后还剩下5分钟时间时,才开始做练习册上的那道需要分类讨论的解答题。

       5分钟,要做完一道解答题,不能鼓励同学们主动举手了,我就直接点了本班学习成绩最好的学生霍嘉琪。听班主任雷老师介绍,霍嘉琪同学入学时成绩在班里排二十多名,但上学期她学习特别努力,在期末考试时一跃成为班级的第一名,在年级里也以总分仅差3分排名年级第二。她确实是一个上课听讲认真,神情专注淡定的优生。

     其实,现在初中各科的知识点都属于呈现式的,而非创造式的,只要一个学生有良好的学习习惯和答题习惯,有坚强的毅力和高远的目标,都是可以在成绩上取得巨大进步的。霍嘉琪同学已经为所有的同学做出了榜样。

     但这个解答题,霍嘉琪同学虽然最后的答案正确,但是分两种情况讨论的解题格式还是不太符合要求。由于时间紧迫,我已来不及让同学们帮她指出格式错误了。我只好御驾亲征。

     下课铃响后,我还没有写完,怎么办?嘎然而止吗?我还真舍不得给班级里成绩最好的学生讲评错误的机会。

     最后,我向同学们请示,其实哪里是请示,只是通知了一下他们,本节课要拖堂一分钟。没有一个学生露出反对的表情,他们早已习惯了老师随意安排他们的时间。

      下课后,我想了想,前天才下的力争不再拖堂的决定这么快就违反了,希望以后这种违反尽可能的少。

      回到办公室后,一位同组数学老师来访,才知道他的孩子就在14班学习。14班的班主任田博勋老师教语文,管理经验丰富,教学成绩突出,为人谦和有礼,所以本校有很多老师自由选择,都把自己的孩子放在了14班,这也是学校领导为学校辛苦工作的老师们分的一份福利。

      我忙向14班班主任田老师请教,班级里还有哪些孩子也属于教师的子女或者其他什么有来历人物的子女,我要准备一个护身符。田老师告诉我,有七个孩子都是本校教师的子女。

      《三国演义》中,曹操听关羽讲,张飞异常勇猛,百万军中取上将首级尤如探囊取物。于是曹操马上命令自己的军队将领们将张飞的名字写于衣袖之中,以备时时提醒。我当然不可能象曹操那样,但将这些名字印于脑海,备加留意却是可以做到的。一方面,这些孩子的家长都懂教学,自己不是那么好糊弄;另一方面,这些老师工作非常辛苦,他们几乎都没有时间管自己的孩子。因为我的小孩也读初二了,我感同身受。不过,幸运的是,班级里没有教育局领导和学校董事会成员的孩子,对于这些很懂教育但却不太懂教学的高级别人才,我还真不知该如何辅导,才能让他们的孩子即能快乐飞翔,又能疾步奔跑。

      以上两段文字略带调侃、夸张,请同学们不可太在意,相信老师会对所有的学生一视同仁的,呵呵。

      晚自习,我布置了两个任务,一是完成练习册第一课时的练习题,二是留15分钟做一张小测试卷。13班的王中元同学在交卷时,略带娇嗔的对我说,他的同桌把他自测试卷本上的名字抹去了。面对这个情况,我只是定定的看着他长达一分钟的时间,直看得他心里发毛,稍后他才渐渐地低下了头。之所以这样做,是因为面对这种学生之间小的不能再小的问题,我也没有什么处理的高招。

      马上批改后,发现两个班的同学在试卷上都出现了三大错误:一是题目有单位时,最后答案没有带单位。记得上一届我所带初三有一个学生最后离南开高中公办生签约就差2分,而他的数学考试试卷上就有一个填空题没有带单位被扣了两分,他都快后悔死了。二是有几个同学在填空题中的答案直接就写9–5,9+5,而不把它化简。没想到,已经初二的学生了,还出现这种低级错误,什么时候,也不能高估这些学生,哪怕是重点班的同学。三是仍然有大量的同学在做解答题时出现格式书写错误。要让学生养成一种做题习惯,仅凭一次讲解是远远不够的。罗马不是一天建成的,以后只有再给他们反复强调示范了。

      本次小测,14班有四位同学不仅全对,而且卷面整洁,他们是:张祺、邓云龙、张艺、吴泳仪,13班只有一人做到,他是王志钊。





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9月4日 星期三 小雨



三角形的高、中线和角平分线



      今天14班,13班都有两节课,而且都是连堂课。14班是上午第一、二节,13班是下午第二、三节。

      到14班后,在前两分钟的预备时间里,仍然要提醒同学们主动去背课本上昨天所学的重点内容。可见,一个习惯要养成,仅仅训练两次是不够的。我好象记得在一本书上曾看到过,要养成一种受用终身的好习惯,要在某一段密集时间里,至少连续训练七次。现在就让我来验证一下这种说法是否正确吧。

      上课提问了李雨馨同学三角形三边关系定理,她背的非常流利。

      接下来,我专门用一点时间说了一下昨天晚自习做小测卷的情况。

      我表扬了四位小测卷做的不仅没有任何错误,而且书写还异常整洁的同学张祺、邓云龙、张艺、吴泳仪。并让他们将自己的小测卷拿着,每人负责一个大组,让这个大组的同学好好看看,让每一个同学好好学习一下数学题该如何去写。学期才开始,榜样、标杆是要树立起来的。我又面对全体同学指出了小测卷中出现的三大错误,但愿这样的小错误不要让我在班级里重复七次。

      在学习新课“三角形的高、中线和角开分线”时,我仍然给了每位同学三分钟时间,先让他们认真看书,将书上的重点内容划下来。

      我在黑板上画了一个锐角三角形,一个直角三角形,一个钝角三角形。前两个三角形的三边上的高,14班的同学没有什么问题,钝角三角形三边上的高也只有张灿、詹皓天两位同学在前天晚自习画高时曾经错过。但我还是用了几分钟时间分别画好了这三种三角形的三边上的高。因为,我要让他们观察三条高或者延长线是否都交于一点。

      我跟同学们额外指出了,三条高的交点叫垂心。同学们也都看清楚了,锐角三角形的垂心在形内,直角三角形的垂心在直角顶点,钝角三角形的垂心在形外。我以前曾用几何画板软件专门做过一个小动画,可以看出当三角形从锐角三角形向直角三角形再向钝角三角形变化时,垂心就由形内慢慢向顶点再向形外移动的过程。如果是公开课,我肯定会在课前再做一个这样的小课件,但现在没有领导和老师听课,我也就将就一下算了。从这里可以看出,我本来就是一个不想精益求精的普通数学老师,不过,当我想到各级政府部门也只有在上级领导来检查或者新闻记者正在摄影时,才突击将自己的部门工作搞的更好时,我也就慢慢的释然了。

      讲完三角形的高后,我问同学们,高常与三角形的什么计算联系在一起,同学们马上回答,三角形的面积,面积公式就是底乘高再除以2,我满意的点点头。

      接下来讲解三角形的中线和三角形的角平分线。在讲中线时,我出现了一个小漏,就是没有通过提问跟同学们强调三角形的一条中线把这个三角形分成两个面积相等的部分。这个知识点非常重要,在很多作图题里要用到,直到后来一个同学问我练习册上一道题时,我才想起来。下午到13班再讲到中线时,一定不能再忘掉这个小细节。

      在讲三角形的角平分线时,我特意画了角的角平分线和三角形的一个内角的角平分线,一下子就看清楚了两者之间的区别,角的角平分线是射线,而三角形的角平分线是线段。三角形的三条角平分线相交于一点,我也额外讲了这个交点叫三角形的内心,内心这个词全称为内切圆的圆心,属于初三年级的教学内容,本不想多提,但看到孩子们个个不解的神情和求知的目光,我还是简单地解释并画了一个三角形的内切圆,至于有多少同学能理解,那就看天意了。

      讲完课本上的内容后就开始做练习册上的题目,练习册上有三道解答题,前两道要由三角形的面积公式推导出一个结论:底×高=底×高,然后再用这个结论去计算。14班很多同学凭借他们的聪明才智都可以算出最后正确的结果,但就是解题过程要么冗长繁复,要么简略粗陋。没办法,我又跳了出来,写出标准的示范过程,让他们亦步亦趋的模仿。要想超越,必先模仿。

      第三题是一个典型的利用面积之和求等腰三角形底边上一点到两腰距离之和的解答题。虽然有一个同学自告奋勇的跑上讲台,但他思考了一会儿却找不到任何思路,我提示了要连等腰三角形底边上的这个点与顶点再利用面积之和等于总面积来计算,之后,又有一个同学主动上来做,这一次他做对了。

      下课的时候,14班有一个同学跑来跟我说,我讲课的速度太慢了。对于重点班的学生,我也想讲快一点,但是总有人并没有理解好所有的知识点,新学期才开始,还是培养学习习惯和做题习惯最重要。我对这位同学说:“你悟性好,觉得老师讲慢了,你可以在听懂后多去钻研一下更难的题目啊。进度已固定,你可以去加深一下深度。”

      下午在13班上课,程序也还是差不多,先给全班同学展示了王志钊同学的小测卷答案。再纠正了试卷上的三大错误,然后开始讲解三角形的高、中线和角平分线。在讲三角形的高相交于一点时,有一个同学在下面大声喊道,这个点叫重心。应该是三条中线的交点才叫重心,可我还没有讲到那里去呢,这个学生也属于典型的“炮筒子”。对于这个“炮筒子”,在13班,我采用了与在14班不一样的方法。

      我盯着他看了一会儿,对同学们说:“学习数学最重要的是心态淡定,积极思考,理解记忆,想好再答,象这样,口在心先,言在脑先,是学不好数学的。”

      最后快结束的时候,我没有去讲解答题中的第三题。两个班的学情不一样,还是要区别对待。当然,如果13班有人主动来问第三个解答题如何做,我还是要单独告诉他的。不过,在14班出现的那个课堂教学小漏在13班上课时仍然是没有想起来,尽管上课前我还提醒过自己,但还是忘记了,可见一个错误要想改正是多么的困难啊。我现在对同学们能够马上改正我提到的三大错误也不抱太多指望了。

      吃过晚饭后,我在批改13班同学昨天做的练习册,有一道题是这样的,三角形有两条边分别为5和3,第三边为a,那么a的取值范围在______和______之间。此题我上课是讲过原题的,答案是2<a<8.可13班有将近20个同学的答案是:a的取值范围在 3 7 之间。

      前几个同学错我还以为是他们计算错误,可后来越来越多这种错误时,我不禁疑惑起来,5-3=2,5+3=8,怎么也不应该算出3和7两个错误答案啊,难道他们都在抄作业?不行,我得调查一下。

      叫来三个出错误的女同学,我问她们,这道题她们都是如何思考的。沉默了好一会儿之后,有一个女同学才怯生生的跟我说:“a<8,不就是取7吗?a>2,不就是取3吗?所以,a的取值范围就是在3和7之间啊。”

      我晕!我从来就没有想过这些出错的同学都是这样思考的。记得我以前曾带过的几届学生,也有不少同学出现同样的错误,但我从来就没有去问过他们是怎么想的,而是反复骂他们计算不细心,脑子笨。我现在才明白了其中的原因,原来是我的脑子笨啊。

       我第一次感到学生的思维与我们老师的思维是多么的不一样,就算都是学生,成绩差一点的与成绩优秀的也有巨大的差距。这种差距是理解能力方面的,是思考层次方面的,是眼界见识方面的。看来,以后在教学时不仅不能高看他们,而且还要更多的站在他们的角度去想问题。

      今天的晚自习由我看班,14班的同学按照我布置的任务进行的很顺利,第三节到13班看班时却出现了两起事件。

      第一件事是自习铃响后,13班的同学们还处于兴奋之中,我站在教室门口怔怔的望了好久,同学们才安静下来,但张钦胜同学却还没有回到自己的位置,而是与另一个同学在那里说话。我在讲台上说:“那位同学,铃声响了已经有两分钟了,你还没有上位啊,到讲台这里来,告诉我,你叫什么名字。”张钦胜站在后面回答:“等一下”,我又催促了他一遍,他边和另一个同学说话,边回答我:“再等一下”。噫,还有这种学生哦,我还真想知道,他是什么紧急事情不仅不回到位置,还要让我等两下。

      来到讲台后,他告诉我,他的笔不见了,他要向另一个同学借一支好写的笔。唉,这些大错不犯,小错不断的同学说来说去都是这样一些鸡毛蒜皮的小事。

      教育了他下课要将学习用品准备好后,我边拍着他的肩膀边微笑着对同学们说:“张钦胜同学上课了不上位,还要让我等两下,现在,他在我这里留下了一个很不好的印象,这是两个班的同学里面第一个让我留下不好印象的人。不过也不要紧,我在以后的时间里会给他机会,让他来扭转在我的心里留下的这个不好的印象。”我又拍拍他的肩膀对他说:“不过,我一旦留下不好的印象,要想扭转是很困难的哦。”同学们都会心地笑了。

      让他回座位得时候,他向我深深地鞠了一个躬才离开,我马上不失时机的对同学们说:“张钦胜同学在我心里留下得坏印象正在扭转。”同学们又会心的笑了。笑过乐过之后,接下来,同学们做题的效率还是蛮高的。

      第二件事是有一个同学问了一个容易共同出现的问题,我就让同学们停止写作业,在黑板上讲解起来。突然,我发现蒋明轩同学没有听讲,眼睛正专注地往桌子底下瞄。他可能是在看课外书,如何处理?

      我叫了一下他,他一怔,急忙往桌子里塞什么东西,我更加肯定我的判断了。我故意说道:“旁边的同学是叫方伟吧,你的同桌刚才是否在看课外书。”方伟点点头,我又对方伟说:“请你帮我把同桌刚才看的课外书拿上来给我。”方伟马上从蒋明轩桌子里面翻出一本课外书,拿了上来放到讲台上。我一看,就是那种连玄幻小说都不如的胡编乱造的游戏小说。本想当场撕掉,但我又忍住了,对同学们说:“刚才蒋明轩同学不听讲,看小说,也给我留下了一个不好的印象,现在这本小说先放我这里保管,如果他也能扭转我心里的这个不好印象,我再把这本书还给他。不过,这也挺难做到的哦。”蒋明轩惭愧地低下了头,我要的就是这种效果。

      类似的事情在我以前的教育生涯里经常出现,但由于我生硬的教育方式,每次都弄得我很受伤。记得有一次,我竟然和一位同学在他的座位旁争夺起课外书来,真是斯文扫地。现在这种处理方式和结果,我还是很满意的。我也在成长啊。





点评

教书匠_2010  现在就讲内心的确有点早了。  发表于 2014-1-4 11:09:31

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9月5日 星期四 阴



三角形的稳定性



      今天14班的课在上午第四节,13班的课在上午第五节。今天的上课内容很简单,三角形的稳定性,几乎不用我去讲什么。

      预备铃响后,14班坐在一块的有三个同学立马拿出书,小声读背昨天所学的知识点,而其他同学还无动于衷地左顾右盼。我马上对全班同学表扬了那三位同学不用我提醒,就已经在读背知识点了。这时,其他同学才反应过来。一瞬间,教室里人声鼎沸,气氛热烈。

      上课后,我找了两个同学用自己的语言背诵什么叫三角形的高。这两个同学背的答案始终都有一些小漏洞。我走到同学们面前说,让老师来给大家背诵一下什么叫三角形的高吧。“从三角形的一个顶点向对边所在的直线引垂线,这个顶点到垂足之间的线段叫三角形的高。”边背我还边强调“对边所在的直线”、“这个顶点到垂足之间的线段”这几个字。

      背完后,我又问同学们,这个定义有漏洞吗,是不是觉得无懈可击。同学们纷纷点头称是,我也小小的得意了一把。在理解定义和背诵定义方面,希望我给他们每一个人都做出了榜样。

      接下来,讲了一个昨天小测卷上的解答题,此题涉及到一个重要的计算公式,就是知道直角三角形的三条边,如何计算斜边上的高。

      直角边×直角边=斜边×斜边上的高,这个公式里,只要知道了其中三个,就可以马上求出另外一个,其实也是一种方程思想的应用。然后又强调了昨天上课时漏讲了的一个内容:三角形的一条中线将这个三角形分成两个面积相等的部分。

      针对有几个悟性不是那么敏捷的同学,我对着图形指出了中线分开的这两个三角形底边相等,高相同,所以面积就相等。

      讲得这么细,14班的同学估计都已经理解了,但13班的同学里,总有几个身在曹营心在汉的学生对这些知识点一知半解。这些思想老是开小差,学习成绩居低不上的同学就成了老师们胸口最永远的痛。唉,我也没办法。

      至于新课“三角形的稳定性”,我给了三分钟时间让他们看书,然后针对课本上所举的用木条所钉三角形和四边形的例子做出了两个结论:1、三角形具有稳定性。2、四边形具有不稳定性。分别举了几个应用实例后,就开始做书后的习题并对了一下答案。

      下课时,有两个同学来到讲台就课本第9页的第10题说我的答案不对。我立马重视起来。这个题目是这样的:要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形,至少要再钉上几根木条?五边形木架呢?六边形木架呢?答案当然分别是钉一根、两根、三根。因为从一个顶点出发,可以分别连对角线一条、两条、三条。这些对角线将多边形图形分别分成两个、三个、四个三角形。这样,整个图形才稳定,不会变形。

      可这两个同学的解释是这样的:用五根木条钉成的一个五边形木架,只需要在第一根木条和第三根木条的中点处再钉一根木条就可以了。我马上告诉他们,如果这样钉,没有出现三角形,就不具有稳定性。可他们两人解释说,因为是木条,用钉子钉住后,整个木架就被牢牢拉住了,不会再晃动,从而也就不会变形了。

      面对他们钻牛角尖的解释,我的大脑凌乱了,我已经失去了判断力。能告诉他们,就按照我讲的来,标准答案就是这样的,不要钻牛角尖吗?我想了一会儿,这样对他们两人说:“你们家里有木条,钉子吗?如果有,下周带来,我们钉一个五边形的木架,亲自试一试。如果没有,那就按我讲的答案来。”他们两个面面相觑。哼,把难题也抛给你们。

      在13班上课时,就没有学生提出这样钻牛角尖的问题了。我不知道是该高兴还是该不高兴。

      离下课还有五分钟,我布置了一张小测卷,由于题目简单,同学们都做的很快。随后,我在检查小测卷时,14班同学全对,但13班还是有三个同学分别错了一道非常简单的选择题。这个事实再一次验证了这么多年以来我总结的一个结论:每次考试,再难的题,也有人做对,再简单的题,也有人做错。

      晚上批改14班同学做的练习册,有全对的,也有错的较多的,但有一个同学的练习册引起了我的高度重视,这是程浩龙同学的。在我的护身符里,赫然就有这个名字,他是本校程老师的公子,而且程老师也是教数学的。程老师的数学课我多次听过,起承转合设计的恰到好处,讲课风趣幽默,教学效果显著。

      程浩龙同学的练习册只做了最前面的三道题,后面的众多数学题完全空着,包括一些非常简单的填空题。这是怎么回事?我叫来了程浩龙同学,询问原因。他告诉我,做完前面几个题后,就没有时间了,所以后面的题没有做就直接上交了。

       我不想去探究他所说得这个理由是否真实,我只是这样跟他说:“以后的作业,如果有不会做的,可以随时来办公室问我,如果真地做不完,看是不是第二天下课时间或者活动课到我这里来补齐。你的老爸是一个非常优秀的数学老师,老子英雄儿好汉,你可不能给你的老爸丢脸啊,特别是数学这一科。”

      说完后,我就挥挥手让他去了。我对他讲的话,也不知他能听明白多少。





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96 星期五


三角形内角和定理


      今天是周未,每个班都有两节数学课,13班是第一、二节,14班是第四、六节。对于14班,我的两节连堂课由于种种原因被活生生的拆散为上、下午各一节,尽管我牢骚满腹,但也只有默默承受。我在一本书上看过,生活就象强jian,当你不能反抗的时候,不如躺下来好好享受。

      今天与前几天不一样的地方是13班的课先上。

      预备铃响后,我刚站在教室门口,13班的同学看到我后就立即拿出书呱呱大读起来。在这一点上,13班的同学明显比14班的同学进步地快。我想了一下,可能就是因为13班是一个普通班,班里的同学对老师盲目崇拜有余,质疑思考不足,所以,他们对老师所说的话总是言听计从的多一些,这到底是好事还是坏事呢?我不知道答案。

      正式上课后,我随意找了一个同学问了下三角形的稳定性方面的知识点,答的很好。又找了两个同学提问什么叫三角形的高。第一个同学答的有所欠缺,第二个同学答的非常完美。

      接下来,我说了一个计划,学校文校长说,学生周末回家数学家庭作业不能超过30分钟,可我打算本周根本就不布置家庭作业。同学们立刻欢呼雀跃。

      “不过”,同学们又仔细聆听。“我写了一个日记连载------我这样教数学,每天写一篇,放在我的博客里,同学们回家后在百度上搜索‘我这样教数学 日记连载 李庆华’就可以找到,每一篇读完之后,顶一下,如果发表评论就更好,再署上姓名,就算你这周的家庭作业完成了。第一个抢到沙发的同学到学校后我还有奖励。”又是一片欢呼雀跃。

      课本上的新课,我仍然给了6分钟时间,让他们将课文好好看一看,并将书上的重点内容划下来。同学们看完之后,就该我粉墨登场了。

      先通过一个规范的证明过程得到“三角形的内角和为180度”这个定理,在证明这个定理的过程中,我特别强调作辅助线时一种常见的叙述方式:过某点作某线∥某线,交某线于某点。以后再作类似的平行线作为辅助线时,就按此叙述。这个小细节,以前教过的很多同学总是一错再错。

      又讲解了直角三角形两锐角互余的结论后,我就重点讲解书上的三个例题。

      这三个例题都很简单,如果让一个六年级的小学生来作,他都可以算出正确结果。但问题就在于初中数学几何题,需要严格而又规范的书写过程,这个过程我给以前的学生曾经用十二个字来总结过:“环环相扣、层层推进、无懈可击。”为了让同学们达到这种境界,我只好再次率先垂范。

      讲第一个例题时,我给同学们强调两点:1、先把准备工作做好后,再发起最后的进攻------即计算最后一问的答案。2、在三角形中,知道两个角的度数,求第三个角的度数时,要写明在哪个三角形中。

      第二个例题是关于方位角的。我结合例题中的三句话重点讲了BA的北偏东80o方向,CB的北偏西40o方向分别是什么意思,然后就按照规范的格式进行了板书。

      课本中的例3实际上是“等角的余角相等”这个结论的一个具体应用。这种应用在初中数学几何证明题中经常遇到,我进行了规范的板书之后立即就让同学们做课本上的两题类似的习题。有三个同学主动到黑板上来演板。演板结果有喜有忧,我分别作了点评更正。

      点评完后,就下课了,相关的练习册就只有等到星期天返校后的晚自习再来做了。

      上午第四节课,在14班上,课代表伍洪瑞同学来拿练习册迟了一点,所以,在预备两分钟时间里,几个小组长和课代表在教室里忙碌的发练习册,当同学们主动去背昨天所学的知识点时,教室里就显得比13班乱多了。

      接下来的程序与在13 班差不多。当我在黑板上写上百度搜索的内容之后,赵昊昗同学叫了一声:“老师,你不是姓陈吗?”惹得同学们哈哈大笑。这样的大嘴巴是我在14班遇到的第二个了,而且,在前几天的课堂上,他时常有这样的惊人之语。如果是一种大智慧、大幽默,我当然会和同学们一起江山不要,开怀一笑。但在他身上,老是出现这种小滑稽、小伎俩,我决定不再忍耐。

      我对他说:“这位同学的名字是叫赵昊昗吧,我好象记得你象这样随意插嘴已经是第三次了,你随意插嘴的内容如果是恰到好处,精彩无比,我当然会表扬你,但你所说的内容与课堂毫不相关,低级庸俗,我只好在这里对你严厉痛斥了。一个人要想学好数学,一定要有淡定、专注、深思、多悟的好习惯,而象你这种炮筒子,大嘴巴,我想,你的数学一定是学不好的,小聪明难成大气候!”赵昊昗低下了头。我又接着说:“你现在已经在我头脑里留下了一个不好的印象,但我会给你机会,看你是否能够扭转。”

      下午第一节课,我又到14班上课,结果刚站在教室门口,14班的同学就对我大声喊:不公平,班级里有几个老师的孩子中午回到家里,已经率先打开你的博客看了,并最先抢到了沙发,我们拿不到奖励了。

      确实是有点不公平,但生活中这样不公平的事情还少吗?我无能为力,只好装着没有听清楚他们在喊什么,张着嘴巴,睁着两只迷惑的眼睛,一一扫视同学们纯真的脸庞。

      终于,正式上课铃响了,同学们也喊累了,我也开始了我的讲课。

      在快下课的时候,邓霖林同学对我说,课本上的有一道习题先问了两个角有什么关系,再问的为什么。而我给黑板上演板的同学更改的答案却并没有先回答两个角有相等关系,再说理由如下啊。

      爱思考的女孩总是美丽的,那一瞬间,我就觉得这个女同学秀外慧中。我对她这样解释:“你说的很对,确实是老师写的不完美,但我主要是想让大家更好的看清楚这个题目的推理过程是如何环环相扣、层层推进的,所以,我就削去了那样与焦点不相关的细枝末节。你在课本上写的时候,可以加上去。”邓霖林同学若有所悟的点了点头。

      这位女同学不仅秀外慧中,而且善良宽容。这种与“炮筒子、大嘴巴”完全相反的优秀性格,老师要想不喜欢都难。

      第一周紧张而又忙碌的教学工作就这样结束了。

      在办公室里发生的一件小事本与教学无关,不过,我觉得蛮有趣的,所以也记录在这里:

      第三节课,我正在批改作业,我的老婆是初一的一位英语老师,她来找办公室里另外一位英语老师交流工作。恰在此时,文校长也来我们办公室检查工作。13班班主任雷武艳老师对我老婆说:“李老师在我们办公室非常老实,你放心好了。”

      我晕!现在这个时代,说一个男人老实,那简直就是在用最恶毒的语言骂他。我立马站了起来,笑着对雷老师说:“你说我朴实、厚实、诚实、真实都可以,怎么能用老实这个词来骂我呢。特别是当着校长的面骂我,你让我这个男人情何以堪?”说罢,大家都哈哈大笔,办公室里气氛轻松多了。



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发表于 2013-9-30 17:20:55 |显示全部楼层
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     好多次进来看懒得登录,今天登录就是为了回复此贴。
     坚持就是胜利,坚持继续下去,每天写点东西,你就是十年后的名师!
   一个小建议:学生还是未成年人,把他们的姓名挂到网上不妥,不出事还好,一但有学生或者学校出事,你这里的信息很有可能成为别人进行人肉的线索,有违未成年人保护法,若有家长告你必输。所以,建议把学生姓名隐去。现代社会当老师,首先要学会自我保护。

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发表于 2013-9-30 17:51:25 |显示全部楼层
田雨 发表于 2013-9-30 17:20
支持一下!
     好多次进来看懒得登录,今天登录就是为了回复此贴。
     坚持就是胜利,坚持继续下去 ...

谢谢这位朋友的鼓励,关于学生姓名方面,确实是我忽视的一个问题,我也不太了解这方面的知识。对学生的表扬可以写真名吗?还是一概写假名呢?

点评

东方中华  应该全用假名  发表于 2013-10-13 12:49:25

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发表于 2013-9-30 20:08:08 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-9-30 20:11 编辑

9月8日星期日  晴



同学们的博客留言及回复



      今天是星期日,同学们下午返校,每个班晚自习做数学的时间只有二十分钟,我早已布置了数学任务----做上周五所讲数学内容所对应的练习册,如遇不会做的,可随时来办公室问我。

      在第三节晚自习时,14班的同学里,遇到不懂的问题主动问我的有:李雨馨,张褀,张富如,其中张富如同学有一道几何推理题,是用小学里的列算式的方法做的,他问我是否可以,要如何改进。张富如同学能这样问我,至少说明了他已经认识到对于初中几何推理题,不能再用小学里的那种解题格式了。我很高兴地告诉他,应该如何书写解题过程。过了一会儿,当我去看他此题的答案时,他做得棒极了。后来,伍洪瑞和周焯坚两次主动到办公室来问我不懂的数学问题,我相信,这样积极好问的学生,数学成绩是差不了的。

      13班的同学里,张钦胜同学问了一个我上课时讲过了的,如何证明三角形内角和是180o的解答题,我还是很高兴地告诉了他。对于有些同学来说,为了让他搞懂一道题,我真愿意对他讲两遍或者更多遍。伤其十指,不如断其一指,与其对他讲十个题,他都一知半解,不如用十次时间对他讲一道题,彻底让他把这道题弄懂。郑子凯同学告诉我,他在家里的时候,就已经做完了。对于这样积极学习的学生,我告诉他,可以和14班的有些同学一样,再买一本好的数学资料,然后自己主动去做,有不懂就问我。霍嘉琪同学问了一个辅助线如何叙述的问题。我向她强调,作平行线的叙述模式是:过某点作某线∥某线。

      因为今天没有多少事情可写,就想写点与教学无关的内容。

      昨天和今天,一直都在家里关注我的博客,看同学们给我的留言,读同学们在我的博客上留下的评论。我还给个别同学作出了回复。现统一整理如下:

      14班的梁梓航和周思宇同学说:“为什么只点评13班同学的名字,而不点评14班的,是我们班的同学名字不够特殊吗?”我是这样回复的:“因为8月31日晚上那天,写到凌晨1点多了,而第二天早上七点钟又要起床上班。时间来不及了,所以匆匆结束,以后,等我有时间了,对大家也熟悉点,我会逐个点评14班同学的名字的,如果你们喜欢的话。”

      14班梁梓航同学又问:“老师,为什么你上课时不笑,一直那么严肃? ”我这样回复:“我很丑,可是我很温柔,外表冷漠,内心狂热,那就是我;我很丑,可是我有音乐和啤酒,一点卑微,一点懦弱,可是从不退缩。看完后不知你是否明白,呵呵。(也不知道赵传先生会不会来收版权费。)

      14班还有几位同学评论:你上课的风格与前任数学老师有很多的不同,我们不太适应,能否改进。我的回复是:“所以说亲娘易做,后妈难当啊”,不过,我会争取把这个后妈当好的。

      13班的梁展鹏留言:“老师多多关注我啊。”我的回答:“我会的,如果以前不太注意到你的话,看了你的留言,我一定会在下周关注到你的。”同时,也希望更多的同学对我提出类似的要求。

      还有很多同学在我的博客上留言:“顶”,“加油”,“真实、精彩”,“老师,坚持每天都写啊”等等。那是肯定的,我会一直写到你们初三毕业时为止,除非我江郎才尽,写不出来了。不过,也需要你们好好学习,刻苦努力,积极配合。因为,这篇日记连载其实是我们两个班的所有同学共同写出来的,你们说是吗?

       还有大量的同学给了我源源不断的鼓励,喝彩。请恕我不能一一列举回复。

      我原只想收获一缕春风,而同学们却给了我整个春天;我原只想攫取一滴露珠,而同学们却给了我整个清晨;我原只想捧起一朵浪花,而同学们却给了我整个大海。同学们,你们真的都很懂事、善良。

      在博客评论里,也留下了几丝不快。比如有一个朋友在留言里写了四个字,而这四个字有点低级庸俗,不好转述。唉,你们都懂的。我在他的留言后面是这样回复的:“一般的读者都是先发表评论,再署姓名,而这位朋友却只署姓名,不发评论。呵呵。”

      调侃完后,我为自己不能象人民币那样,做到人人都喜欢而又有点黯然神伤。

      其实,真的有什么不同意见,完全可以正常地用通顺的文字和我进行坦诚的交流,我是很欢迎的。谢谢!

      昨天,手机收到以前初三(5)班一位同学陈诗琪发来的短信:“李老师,我现在在读幼师,提前祝你教师节快乐。”

      陈诗琪同学在班级里数学成绩很差,但她却非常的文静、善良,上课时从来不与别的同学讲话,下课后还经常拿一些不懂的数学题来办公室问我,但就是成绩上不来。有时候,看着她糟糕的成绩,我也会在班里口不择言地对她严厉批评。有好几次,她都在教室里流下了委屈的泪水,可我为了自己的颜面,从来就没有向她道歉过。

      在人的一生里,不同的人总是在不同的时刻才开悟,有的人开悟的时间早,有的人开悟的时间晚,陈诗琪同学就属于在学习上开悟时间稍微晚一点的,我在如何写作文方面开悟的更晚,直到近两年,我才慢慢明白作文该如何写了。13班翟炜琪同学在我的博客中留言,说我在读初中时作文肯定每次都得满分。呵呵,你这句话要是被我的初中语文老师看到了,他会笑掉大牙的。我到现在都还记得,有一次写的作文交上去后,他给我的评语就是四个字:“鬼画桃符”。

      我给陈诗琪同学是这样回复短信的:“读幼师是你做出的最正确的一道数学题,也是你根据自身性格、特点所做的最正确的一个决定,老师祝贺你。干每一行都可以做出成绩,不过,做不出成绩也无所谓,只要每天过的开开心心、快快乐乐就好。以前在上数学课时,老师对你很苛刻,很多时候批评你时所说的话都太过严厉,请原谅。我现在教初二的两个班,我最近一直都在反思我的数学教学,并准备写一个日记连载----我这样教数学,如有时间,你可以去看看我的博客。”

      13班、14班的同学们,要是早两年教大家,可能你们很多人也会象陈诗琪同学一样被我苛刻地批评,甚至被我直接骂哭。现在,你们赶上我正要反思以前的教学失误,赶上我正在开悟的时候遇到我,而我以前所教的那些学生们可比你们倒霉多了,因为他们都没有赶上现在的这个好时候啊。





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发表于 2013-9-30 20:13:02 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-9-30 20:27 编辑

9月9日星期一  晴



三角形的外角



      今天数学课的教学内容是三角形的外角。

      当我一走到14班教室门口的时候,同学们都立即拿出课本,大声读背上周五所学的三角形的内角这一节的有关知识点。终于,我想倡导的学习习惯开始在他们身上慢慢体现了,而且还没有超过七天。

      正式上课后,我并没有提问检查,而是给同学们发奖品。

      上一周读我的博客,日记连载抢到沙发的同学有:8月31日,黄诺秋。9月1日,郭瑞平。2日,孙辰。3日,邓云龙。4日,梁展鹏。5日,周晖。6日,唐珉浩。这七名同学每个人可以得到一个奖品-----数学练习本。这种数学练习本在我那里简直是太多了,不过,我在封面的背后都写了一个“奖”字,以示与众不同,同时体现出对获奖同学的鼓励。我这样对获奖学生说:“这个本子你可以用来做数学作业,也可以珍藏,多年之后,当你们的数学老师有可能成为教学名师的时候,这个本子可就有巨大价值了,如果上天不眷顾,你们的数学老师始终碌碌无为,你们就把它扔到垃圾桶中。呵呵。”

      我当然知道,就我这样的资质,哪有可能能为教学名师,今年暑假,我专门回我的老家去看过,我老家的祖坟上都没有冒出半点青烟。不过,为了鼓励大家好好学习,我也不惜被取笑谩骂、众口毁誉了。

      我又跟同学们说:“有同学反映,抢沙发发奖品很不公平,我自己也想了想,确实是觉得不公平,以后,我会凭同学们看完博文后的评论来发奖品,看谁发的评论最有意义,最有价值,最有感触,我就会给谁发奖品。同学们也都可以公开看评论,看老师所选的获奖同学是否公正、公平。”通过这种方式与同学们一起交流学习数学的感受,也是我一直都幻想的。

      14班第一个得奖的是黄诺秋,13班第一个得奖的是孙辰。因为他们都是各班里最先得奖的那一个,所以,我又给了他们一个权利,就是可以从两样奖品里面挑选一件。一样是一个数学作业本,另一样是一块小石头。不过,这块小石头可不是一般的石头,它是我今年暑假,驾着我的那辆排量仅为1.4T的小轿车,历尽千辛万苦,去西藏珠穆朗玛峰山脚下亲自捡回来的,总共也就捡了十来个。石头虽小,但在珠峰脚底下躺了数千万年。天地的灵气有没有吸收到,我不清楚,但肯定这千万年来的露水、雨水、雪水是吸足了的。总之意义非凡----至少我这样认为。

      这两位同学会选哪一样呢,在他们缓缓走到讲台上来的时候,我还在心里暗暗地想。是现实一点,选常见却有用的作业本呢,还是理想一点,选稀少但却无用的小石头呢?

      鱼和熊掌不可兼得,舍鱼而取熊掌,因为鱼众多而熊掌稀少。可他们两人会选这个没任何用处的小石头吗?

两位同学走到讲台前,毫不犹豫地拿起了小石头。那一瞬间,我心潮澎湃。因为我,在他们这个年龄时,也曾是一个完差的理想主义者,就算是现在,仍然怀揣理想,屡撞南墙而不回头。这可能也是在读初中时,我被一位数学老师在心底深处,种下了一颗理想的种子有很大的关系吧。同学们,不管今后你们将遭遇到怎样的挫折、困境,都希望你们永远保持心灵深处的那一丝最纯真的理想。

      接下来,我又跟他们说,以后的周末作业,我打算就这样布置,一周六篇日记,阅读了,署名了,就算你完成了家庭作业,如不然,到校后,就补做三十分钟的数学作业。同学们也可以经常看以前的文章,一方面可以增加我的博客的点击量,另一方面也算是复习每一节数学课的重要知识点以及要注意的错误。

      我又接着说道:“五十年后,你们可能都当爷爷奶奶了,你们还可以给你们正上初中的孙子说:‘宝贝孙子,你看这些博客文章,上面记录的都是你爷爷当年念初中时的数学学习情况,那时的李老师在文章中还多次表扬你爷爷呢,不过,那个李老师现在已经死了好多年啰。’”。当我说完后,14班的同学们都笑了。

      以上这个桥段,完全模仿我的偶像李镇西老师,尽管在我的一生之中,都没有可能会见到他,但我仍然要把他看作是在教学王国里,我要衷心尊敬的国王。

      正式上课后,我仍然给了三分钟让他们看书,将重点内容划下来,呆会提问。

      本节课主要的知识点,课本上都讲的很清楚,所以当我提问时,14班的同学里面有伍洪瑞、陈龙翔和赵昊昗同学举手非常积极,以至于我不得不对他们说,请给别的同学一个回答问题的机会,也给我一个认识其他同学的机会,好吗?

      什么叫三角形的外角,我点了一个同学,他回答地很好:“三角形一边的延长线与另一边所组成的角叫三角形的外角。我又让他到黑板上来画三角形的外角,他画得非常完整,每个顶点处都画了一个外角,而且还和课本上一样,所画的三个外角是按逆时针方向排列的。在13班上课时,有一个同学到黑板上画三个外角时,就做不到14班这个同学的水平。其实课本上都已经做出了示范。这只能说明同学们在观察理解方面还是存在着差距,而且这个差距也确实与考试成绩有一定的关系。

      三角形的外角定理,同学们回答地很好:三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和。我只是重点强调了“和它不相邻”几个字。接下来,我又补充讲了另一个推论:三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角。这个推论,旧人教版教材是有的,但用的地方并不多,而且在应用的时候不是很好理解。所以新人教版教材就将这个推论删除了,可是晚上要做的练习册上有两个填空题要用到这个结论。所以,我还是给同学们讲了,并让他们记在了书上。对于这样已经删除了的知识点,市教研室所出的期末考试卷和中考数学试卷是绝对不会考的,但月考、期中考试都是本校或者兄弟学校里的一些老师交换命题,而这些老师也基本上都是不看教材,随意从某些资料上找一些题出来让同学们来考,为了让同学们在考试时不要处于不利位置,我也没办法啊,只有花时间来讲这些本来可以不必讲的知识点。

      讲完课本上的例4后,我专门给同学们总结了“三角形的外角和是360o。这个知识点与后面要学的多边形的外角和有直接的联系,不知道同学们到时是否还记得今天所学的这个结论。在讲解这个结论时,我是按照课本上例题的方法,也就是用“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”这个知识点来写过程的。

      讲完后,赵昊昗同学立即举手,我点了他后,他站起来说:“还可以用另一种方法做,每一个外角和它旁边的内角之和是180o(此处应该是180度,但显示的是180o,以下同),三组加起来就是540o,再减去三角形的内角和180o,也可以得到三角形的外角和是360o了。”

      我立即对他进行了肯定,赞扬他这种思路就是一种大智慧,比起他以前在教室里经常出现的小伎俩可高明多了。当然,我也知道,这种孩子毛躁、轻浮的性格特点也不是一两次表扬和批评就可以改正的,我也做好了长期观察他的准备,如果调教好了,这种具有小聪明的孩子将前途无量。

      课本后面几个简单的看图计算题做完后,我就让同学们做练习册上一道解答题。之所以要选择做这道解答题,是因为此题很具有典型性。在一个几何图形中,∠1=∠2,∠3=∠4,而这个∠3又恰好是一个三角形的外角,要等于∠1和∠2的和,题目中还有一个角知道度数,还有三角形内角和为180o这个隐含条件。这种几何图形的综合计算题是初二数学里经常会遇到的,我让同学们思考了两分钟后,就问同学们,对于这种条件众多,而这些条件又存在纠缠不清的内在联系时,用什么方法去做最好。沉默了一会儿,邓云龙同学站了起来,说用方程思想去做。恰合我心。

      于是我就让邓云龙同学在黑板上写过程,其他同学用方程思想在练习册上做。邓云龙同学是本级组另一位数学老师的公子。这位数学老师为人和气,教态亲切,成绩优秀,一直是我学习的榜样,可这位老师却将他的公子放在14班,真是让我压力山大啊。

      13班的讲课过程与此差不多,不过,有一件事情让我批评了两个同学。在我讲课的时候,饶J边玩玩具边听讲,我就让她在黑板上画三角形的三个外角,结果,她上来时走到最前面的孙辰旁边踩了一下孙辰的脚,画完以后,在下去的时候,两个人就在座位旁边连续互踩对方的脚好几个轮回。

      为什么有些同学在小升初考试中成绩不太理想被分到普通班呢?为什么同样老师上课,同样多的时间学习,但就是成绩差距巨大呢?这种上课态度可能就是决定性的原因。我对他们俩人说:“这是数学课堂还是春节联欢晚会啊?”饶J灰溜溜地回到了自己的座位。

      今天,读李镇西老师的书时,看到一个观点,人与人之间的差异就是从中学开始拉开距离的,这种差异不仅是学习上的,而首先是追求上的。有的人,追求志向高远,有的人,追求浅薄庸俗,有的人严以律己,有的人散漫放任。

      总有些学生,当她不能在成绩上获得老师和同学们的青睐时,就喜欢用其他的方法来引起你的注意,当老师批评她时,她又会抱怨老师偏心,不喜欢她。就我一个星期的接触来看,饶J同学还是很善良可爱的,希望她和其他别的同学不要成为我所批评的那种学生。

      下课时,13班邓贺怡来到我的面前,对我说,上一周,我把他的性别弄错了,他不是女学生,而是一个男孩子。

      邓贺怡同学,我只看到名字就贸然对你进行了点评,确实是我的不对,sorry!同时也请邓贺怡同学不要太在意。在生活中,有很多男人的名字也很女性化,但他们也能够取得很大的成就,比如中国著名男诗人何其芳,西安交大有一个著名的男教授叫任汝芬。

       晚自习时,我找来王中元同学,也就是上周向我问一道超难奥数题的13班的一位男同学。我在上周跟他讲了一道解题方法类似但却简单多了的解答题,而且还和他打赌,13班同学里,不超过5个同学能做对那道奥数题。王中元同学分别将此题抄在13班教室和14班教室里举行有奖答题活动。结果13班就真没有一个同学能做出来,14班也只有不超过10个人能做对。

      真想提醒和王中元一样成绩的同学,你们将课本上的知识点掌握好了,将我们练习册上的基础题做正确了,如果确实学有余力,做做那样的奥数题开开眼界,锻炼思维也没什么。但如果基本功都没有打牢的话,只是一味的思考那种偏难怪的题,那就真会走火入魔,得不偿失的啊。



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本帖最后由 lqhmzp 于 2013-9-30 20:23 编辑

9月10日星期二  晴



三角形角度的计算复习



      今天是教师节,一走近教室,两个班的同学在起立后都对我说,祝老师教师节快乐。那一刻,心底确实蛮高兴的。

      同时令我高兴的是在预备时间里,两个班的同学都已经不需要我做任何提示,就马上拿出书本认真读起昨天所学过的重要知识点来。马戏团的驯兽员经过一段时间的训练,那些动物都可以得排得整整齐齐,坐得端端正正,更何况这两个班聪明、善良、勤奋、懂事的同学们呢。

      在14班,我叫丁子涵、罗紫颐分别回答了上周五和昨天所学的主要知识点,他们答得非常准确。在13班上课时,我叫了梁展鹏、罗健慧同学来回答,他们也回答得很好。

      接下来,专门讲解了一道练习册上的出错较多的填空题:在等腰三角形中,有一个角是70o,则另外两个角是__________________。这个题因为没有说70o的这个角到底是顶角还是底角,所以此题要分类讨论。13班同学的主要错误是很多同学不知此题要考虑两种情况,他们只是随意选了一种情况作出了答案。14班的同学基本上都知道要分类讨论,但他们的主要问题又出在当70o的角是顶角时,另两个角分别是55o,55o,同学们却只写一个55o,当然就不对了,此题的正确答案应该填:  70o,40o或55o,55o    。另外还有些同学完全属于计算错误,因为按照他的答案,三角形内角和根本就不是180o,对于这些计算粗心的同学,我只有一再强调,让他们养成淡定、稳重、谨慎、回头多看看的做题习惯。特别是做完一道题后要回头检查,千金难买回头看。

      应同学们的要求,又讲了两道错误较多的题后,就让同学们专做练习册上的三道解答题。今天这节数学课不想讲新课,而是想和同学们一起对前面所学的一些知识点和解题方法来一次停留、回味、咀嚼、定型。

      第一道解答题,属于三角形里面的计算题,有角平分线,再利用三角形内角和为180o来计算,这种题目非常经典,必须掌握。叫梁梓航同学上来做题的时候,他有一点处理得不太好,就是在表示由两个角组成的一个大一点的角时,他是用数字来表示这个角的。这样的角用数字来表示的话,在顶点处画弧线会与其他的线段发生交叉,很不美观。因此,我对同学们说,对于这样的由两个角组成的一个大角,一般我们都要用三个字母来表示。

      我抬起头看了看同学们,一个个点了点头,这一次没有人对我提出质疑了,应该是在慢慢理解、接纳我所讲的做题习惯了吧。当后妈的日子可能快要慢慢地熬到头了。呵呵。

      在13班上课时,我叫了翟炜琪、黄文伟同学,他们分别做了第(1)、(2)两小题,做得很好,没有什么错误,第三小题两人都不会做,我只好跟13班同学来了个全盘讲解。

      接下来,我选择了两道计算题,这两道题用列算式的方法可以做,也可以用方程思想去做,后者更是我想倡导的。在让两个同学到黑板上来演板时,我特别问道:“有没有用方程思想来解这两道题的,可以举手。”很快,14班的王钟会、陈立烨被我点到黑板上来做题,13班的王中元,欧阳佳怡也因为是用方程思想来做的,而被我点到前面来演板。为了让同学们养成我所倡导的做题习惯,我也只有这样优先挑选,暗示引导了。外国的领导人在组阁时,中国的各级官员在挑选助手时,不也都是挑选符合自己执政思路和办事习惯的合作者吗?

      这几位同学用方程思想做这两道题,做得非常正确、简洁。我又不失时机地加深同学们的印象:“对于这种已知条件错综复杂,纠缠不清的数学题,设未知数x,用方程思想来解是最好的办法。方程思想,顺向思考,人挡杀人,佛挡杀佛。

      晚自习布置了任务,就是做练习册上剩余的题目,然后上交检查。晚上,学校举行教师节表彰大会。散会后, 恰好是13班同学做数学作业的时间,我悄悄地来到13班教室,同学们都在安静地做作业,但最前面的张友诚、艾奥杰同学却还不知道做数学作业的时间到了,而是在做其他科的作业。我当然不能让他们种了别人的田,荒了自己的地。提醒这两个同学数学学习时间到了后,我又把数学科代表黄文伟叫过来,让他以后一到数学学习时间就在教室里巡视一圈,看有没有象张友诚和艾奥杰同学这样,不知道到了数学学习时间要做数学作业的人。

      练习册上有一道题,下课时,14班,13班有很多同学跑到办公室来问。这道题与今天课堂上所讲的那道题差不多,不过,课堂上所讲的那道题涉及到两个内角的角平分线,而同学们所问的解答题涉及到的是一个内角平分线和另一个外角的角平分线。估计这种题两个班里都有很多同学不会做,而这种难题也就是一个小窍门,同学们苦苦思索而不得。只有明天上课时再统一给同学们讲了,不知到时候能悟出这种解题窍门的同学有多少人。

      13班的王中元同学跑到我的办公室告诉我,他昨天所出的一个数学难题,只有14班里有11个同学做对,问我应该奖励什么奖品。我问他:“你打算准备什么奖品。”他答道:“做对的同学发一个棒棒糖作为奖品。”我问道,价钱上会不会太贵。王中元同学说:“不会的。”我就同意了,让他下周到校时带来。他高兴地走了。

      同学们的数学学习可不是我一个人的事,得让每一个同学都发挥一下主观能动性,就象王中元同学一样,如有可能,这种活动还要在两个班里再多开展几次。同学们,你们每个人可都要准备好哦。



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9月11日星期三  晴



与三角形角平分线有关的题和多边形



      今天每个班都有两节连堂课。

      上午第一、二节,是14班的课。在同学们大声读昨天所学的知识点两分钟后,我就找了一个同学提问。我点的是张灿同学,他的妈妈在本校的小学部任教,对张灿的学习非常关心。对于我们这样的教师阶层,可能不太关心时尚潮流流行的是什么,也不关心影视明星何时来东莞演出,更不关心如何投资可以取得高额回报。我们最关心的就是一个,自己孩子的学习成绩如何,他的人品怎么样,他每天是否都有进步。

      张灿同学站起来后,背得也不错,但与课本上知识点的顺序不太一致。有两个知识点还需要老师的提醒才想得起来。这属于典型的对自己要求不高的表现。对于这样的同学,要求、目标,都是家长提出来的,他们几乎都没有自己去树立过什么目标。普通列车只靠火车头带,速度慢,高铁动车速度快源于每节车厢都有动力,都能让自己不断地奔腾向前,风驰电掣。这个道理也不知道和张灿一样的同学何时才能最终明白。

      接着,我表扬了有奖答题正确的同学,他们是:邓云龙、张祺、邓霖林、吴泳仪、叶海英、伍洪瑞、何少元、曾耀豪、周晖、汪周宁鹭、陈立烨,共11名。奖品是一颗棒棒糖,下周日由王中元同学亲自发放。

      接下来,我对14班所有同学一起讲了那道有奖答题应该如何去做。△ABC中有一个点D,求证:AB+AC>DB+DC。这道题关键的辅助线就是延长BD,交AC于E,然后在△ABE和△EDC中运用“三角形两边之和大于第三边”去列两个不等式,然后分别相加再化简就可得到最后结论。

      接着,对于昨天晚自习同学们问的较多的一道题,我就练习册上的三道类似的属于一个系列的三道题做了一个对比讲解。

      1、三角形两个内角的角平分线的夹角与第三个角是什么关系?即图一中,∠D与∠A的关系。

6.gif

                    图一

      2、这两个内角旁边的外角的角平分线的夹角与第三个角是什么关系?即图二中,∠D与∠A的关系。

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                   图二

      3、一个内角的角平分线与另一个内角旁边的外角的角平分线的夹角与第三个角是什么关系?(象哲学著作一样,有点晦涩,同学们读慢一点,理解清楚)。即图三中,∠D与∠A的关系。

8.gif

                      图三

      这三个问题所用的解题思路差不多,都是运用了三个主要的基本知识点:三角形内角和为180o,三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和,发挥角平分线的作用。

       给同学们对比讲解完毕后,我又把最后答案放在一起让同学们好好对比观察:

      第一个问题的答案是:∠D = 90o +0.5∠A. (二分之一在此处不能表示,所以用0.5表示。以下同)

      第二个问题的答案是:∠D = 90o - 0.5∠A.

      第三个问题的答案是:∠D = 0.5∠A.

      让同学们自由交流了一会儿对这三个问题的解法与答案的感受后,就让他们将练习册上的错题更正过来。离下课还有十分钟时,我让同学们做了一张小测试卷。

      第二节课,先给了三分钟时间让他们认真看课本上的新课----多边形,并将有关定义划下来,边理解边记忆,呆会提问。

      这节课,主要是掌握两方面的知识点,一是与多边形有关的定义,另一个是一个难点---- n边形的对角线的条数的计算公式。

      在问什么叫多边形时,我找了何少元同学。她站起来,合上课本,直接就背:“在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。”这个定义本来并不是重点,但我没想到的是何中元同学竟然背得一字不差,而且,她特别强调了“在平面内”。这完全是在理解的基础上悟透了概念才能达到的水平。何少元同学性格文静,听讲专注,看书一心一意,做题三思而行,是一块学习数学的好材料。

      我又问了同学们,如果不强调“在平面内”,会出现什么问题。同学们又马上回答:“那就会出现一个立体图形”。对!对于课本上的有关定义,我们就应该从正反两方面去理解记忆。

      接下来,找同学回答其他概念,这些概念有:n边形,多边形的内角,多边形的外角,多边形的对角线,凸多边形,凹多边形,正多边形等。只有吴怡萱同学在回答正多边形的定义时,能做到不看书,直接背出:“各个角都相等,各条边都相等的多边形叫正多边形。”我特别强调了第一个条件也必须要满足。记得上一周,有一个同学到我的办公室,问我,各条边都相等的多边形是正多边形吗?我答道,不是的。因为还要强调各个角都相等。

      在黑板上画了一个正方形后,告诉同学们,如果只强调各条边都相等,而不强调各个角都相等,那么,由于四边形不具在稳定性,正方形的形状可能就会变成一个四条边都相等的平行四边形,从而就不是正方形了。其他正多边形也是如此,当然,正三角形除外。

      本节课的难点就是正n边形对角线条数的计算公式了。我是这样讲解的:n边形有n个顶点,n个角,n个边,从一个顶点出发连对角线,除了左边和右边相邻的顶点不能连之外,它本身也不能连,除去这三个点之外,共有(n-3)个顶点可以连对角线。

      说到这里时,我把对角线一条一条的连起来,然后再换一个顶点出发开始连,这时,14班有一个同学突然痴笑起来,还喊道,那条对角线已经连过了,怎么又画了一遍呢?我回过头,看了看他,没有理睬。直到从所有顶点出发都连了一遍对角线后才停止。还好,除了那个鼓噪的同学外,其他同学都在淡定而又专注地观察思考。

我问同学们,从每个顶点出发,可以连(n-3)条对角线,那么从n个顶点出发,共可以连多少条对角线呢?同学们回答:n(n-3)条。我又问道:“但这样计算,又出现了一个什么问题呢?”有同学马上说:“每条对角线被计数了两遍。”对,每条对角线都是一条线段,线段都有两个端点,过去时算了一遍,过来时又算了一遍,怎样处理才能得到真正的答案呢?

      由于前面我不惜时间,不吝语言,做好了铺垫,所以同学们都马上回答:“用n(n-3)再除以2就可以了。我顺势在黑板上写上:0.5n(n-3) ,这就是n边形对角形条数的计算公式。让同学们都记在课本上后,我还不放心,又点了一个同学给大家解释一下,公式里面的3、n、2分别是什么意思。在14班,我点的是姜云清同学,在13班,我点的是刘淑月同学,她们解释得都很好。不知道刚才鼓噪的那位同学能否理解每个数字的含义。我们湖北老家有一句俗语:“会说话的人想想的说,不会说话的人抢抢的说。”对于那种已经习惯了言在心先,口在脑先的同学,要想理解这句话还要假以时日啊。

      这节课剩下的时间就由同学们做练习册上的题目了。

      下午第二、三节去13班上课之前,14班的汪周宁鹭和13班的孙辰来到我这里,向我请假,说是学生处的老师让他们两人去打印学生会招新的海报,第二节数学课不能上了。我看了看她们两人,说道:“你们来学校里的主要工作是做什么的?是来专门打印海报的,还是来学各科知识的?就算要去打印海报,发展能力,是用课内时间好呢,还是用课外时间好呢?”由于快要上课了,我又对他们说:“我下节课在13班上,汪周宁鹭,你要去做什么,我不发表意见,孙辰同学,我也没有时间对你进行启发式教学了,我就直接告诉你一个最后答案----不行。如果你真要去,以后的数学课你也不用上了。”她们两人走了后,我心里想,就算是校长让某位同学不上课去做别的什么事情,我也不会答应。

      在预备时间里,13班的同学们立即大声地读背前天所学的三角形的外角这一节的知识点,但有三个同学却并没有开始去背。我盯着他们看了好一会儿,他们三个才开始。总有些同学,由于懒惰、松懈、消极等种种原因而不能形成好的学习习惯,这只有靠老师不断地去提醒、督促了。点了任宇同学来背,他背得非常熟练。

      接下来的程序和在14班差不多,后面在讲完关于三角形角平分线的三道系列题后,我没有让13班的同学们去做小测卷,而是让他们反复思考、研究那三道题的思路、解法和答案。王中元同学指着黑板上第二个图问了我一个问题:“∠D为什么可以写成180o-(∠1+∠2).”我告诉他,∠D、∠1、∠2不恰好就是一个三角形的三个内角吗?”

      “哦。”,他恍然大悟。有一些孩子,他们就是在最基础、最简单的一个知识点或者某个数学变形中百思不得其解,从而导致数学成绩慢慢走下坡路的,如果都能向王中元同学这样,遇到不懂的问题主动去问老师,他的数学成绩是一定会赶上来的。

      晚自习时,我把今天讲过了的几道原题写在黑板上,并让同学们做在作业本上。13班同学做两道题,再完成小测卷,14班同学做三道题。尽管我已做好了准备,知道会有个别同学找不到正确的思路,但没想到的是,两个班的同学里面,竟然还有十多人因为找不到思路举手问我,而这几道题可是我白天上课时才讲了的原题啊,讲完后,我还专门给了时间让他们好好领悟。

      残酷的现实说明,还是不要对同学们估计过高,哪怕是重点班的学生。李镇西老师曾说过,他从来没有想过通过一次震撼心灵的谈话就让差生把所有缺点改正。我也觉得,想通过一次全面细致的讲解就让同学们彻底掌握某一种类型的难题,那也是痴心妄想。反复操练、多思多悟、熟能生巧始终都是学好数学的不变法宝。



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9月12日星期四  晴



多边形的内角和和外角和



      发了新课表,14班的课由上午的第四节调到第三节,其它都没有变。

      在14班上课时,我先提问了刘梓朗同学:“n边形的对角线条数的计算公式是什么?”他答道:“ 0.5n(n-3)”。我又问道,公式里面为什么要减3,后面为什么要除以2。他都解释得很好。听完他的回答,我就知道,他上课是认真听讲了,并且也完全理解了。我又提问了他的同桌程浩龙同学,程浩龙同学上一周的表现不是太好,所以我想找一道简单的问题让他回答一下,增强他学习数学的信心,也给我一个表扬他的机会。

      我问道:“什么叫正多边形?”他立刻回答:“每一个内角都相等,每一条边都相等的多边形叫正多边形。”正多边形的两个条件,特别是“每一个内角都相等”这个条件没有遗漏。我马上对他大加表扬。他高兴地坐下了,我也满意的点点头。我教了二十年初中数学了,越来越觉得初中的数学知识简单、基础,只要一个学生有学好数学的信心,能做到听讲专心,做题细心,都是可以把初中数学学好的。

      接下来,给了三分钟时间,让同学们看课本上多边形的内角和这一节的内容,并将重要内容划下来。在同学们认真阅读并作标记的时候,我已在黑板上画好了一组多边形,同时也写好了本节课的两个主要的知识点。

      一个知识点是n边形的内角和是(n-2)×180o,同学们看过书了,都能马上回答。但我还是结合黑板上所画的三角形、四边形、五边形、六边形直到n边形循序渐进地讲解了一遍。从n边形的一个顶点A出发,可以连(n-3)条对角线,这些对角线恰好把这个n边形分成了(n-2)个三角形。这种方法,在前面讲解三角形的稳定性时,同学们都曾见过。至于三角形的个数比对角线的条数多1,14班的陈龙翔同学用了一个词非常形象地形容:“一刀两断”,一刀下去,隔断为两边,(n-3)刀下去,分成(n-3)+1部分,也就是(n-2)个三角形。所以n边形的内角和就是(n-2)个三角形的内角和的总和。

       陈龙翔同学在我第一次去14班上课时,突然冒出一句“老师,你好帅哦”,我就知道,如果调教得好,这种炮筒子将是一个不可多得的可造之才。至少到目前为止,他在数学课上的表现、发展一直都在我的计划和预料之中。

       按照课本上的方法讲完了n边形的内角和是(n-2)×180o之后,我又问了14班的全体同学,还有别的方法也可以得到同样的结论吗?

       数学课代表伍洪瑞同学马上举手,他站起来说:“还可以在n边形内找一个点O,然后将这个点O与其他所有的顶点连起来,那么,就可以得到n个三角形,这n 个三角形的内角和的总和是180o×n,但这个答案比n边形的内角和多了以点O为顶点的一个周角,所以n边形的内角和就要用180o×n减去一个周角360o,得到180o×n-360o.将这个式子提出一个公因数180o后,也可以得到n边形的内角和是(n-2)×180o。

       我马上表扬了伍洪瑞同学,而且他的这个方法从某种意义上来说,比课本上的方法更好理解。陈龙翔也立即举起了手,站起来后他说道:“还可以在n边形的某一条边上取一个点O,然后,将点O与另外的顶点分别连起来,除了O点旁边的两个顶点不能连之外,一共可以连(n-2)条线段,这些线段把整个n边形分成了(n-1)个三角形,这些三角形的内角和的总和是(n-1)×180o,再减去以O点为顶点的一个平角180o,经过化简,也可以得到n边形的内角和是(n-2)×180o。我也马上肯定了他的这种方法。

      这时,有一个同学在下面说,这两种与课本不一样的方法,是伍洪瑞和陈龙翔先做了练习册上的一道拓展升华题,然后受到启发后才想出来的。我们没有做,当然就想不出来。

      我对同学们说:“这不正是我要好好表扬这两位同学的地方吗?他们主动去做数学题,主动去思考,主动将做过的题目与要学的知识点联系起来考虑,长期坚持,他们的数学成绩将会越来越优秀。”

      同样一个结论,有三种方法可以解释。在历史上,数学结论勾股定理,就曾经在不同时代,在不同的地区,由不同的数学家用不同的方法分别独立地发现过。

      接下来,讲解n边形的外角和。课本上没有外角和的严格定义,只有第22面例2的题目中出现过六边形的外角和的定义,我让同学们划下来后,再将六边形改为n边形,那就得到了n边形的外角和的定义了:在n边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做n边形的外角和。

      书上的例2中,结合六边形,得到了六边形的外角和是360o。从特殊到一般,如何得到n边形的外角和也是360o呢?

      有一位同学站起来,答道:“n边形每个顶点处的外角和它旁边的内角互补,和是180o,共有n组,共是180o×n,再减去n边形的内角和(n-2)×180o,剩下的就是外角和了,提公因数180o后化简,就可得n边形的外角和是360o。

      他边回答我边在黑板上写下:180o×n-(n-2)×180o=180o×[n-(n-2)]= 180o×2=360o。n边形,不管n有多大,外角和始终都是360o,对于这一点,我担心部分同学不能理解,就问道,为什么当n无限大时,n 个外角的和还是360o呢?有同学马上就说了,当n无限大时,每个外角就变得无限小,所以外角和还是360o。他的回答虽然不是很严谨,但我还是赞同地点了点头。

      接下来,按照课本上另一种解释方法,我又讲道,多边形的外角和,可以看作是一个人绕多边形走一圈,在每个顶点处所转的角度就相当于在这个顶点处的外角。不管边数是多少,所有外角的和加起来,就相当于这个人又回到原来的起点处,又面向最开始的方向。此时,恰好转了一圈,而转一圈恰好就是一个周角360o,所以任何一个多边形的外角和都是360o。

      讲到这个程度,如果还有人不能理解的话,那我也没招了。

      接下来做课本后面的练习题,有一道题是求四边形的一个外角x,14班的张倩茹同学以为四边形的外角和三角形的外角一样,等于和它不相邻的内角的和。就把另外三个内角加起来作为四边形一个外角的度数,这样当然就不对了。她完全是把知识记混了,没有认真分辨每个知识点之间的异同和使用对象。

       还有一道题:一个多边形的各内角都等于120o,它是几边形?这道题有一种低级方法和一种高级方法。低级方法就是设边数为n,然后用内角和公式(n-2)×180o再除以n,等于120o,列方程去解。高级方法就是由每个内角都是120o,求出它旁边的每个外角都是180o-120o=60o,然后,再用外角和360o÷60o = 6,这就说明这个多边形有6个外角,那不就说明这个多边形是六边形吗?

      我点了曾耀豪同学上来写过程,他会用哪一种方法呢?

      当他按照我所想的高级方法写出解题过程后,我赞赏地点了点头。练习册上有一道类似的题,要求用两种方法来解。我点了朱文滔同学来做,他先用低级方法去做,再用高级方法来做,都做得非常好。我又竖起了大拇指。得天下英才而教之,乃人生一乐也。

       上午第五节课,到13班教室上课。预备时间里,13班的同学们都在大声读背昨天所学的多边形的知识点,但饶J坐在那里好久都没有进入读背状态。我点了她回答n边形对角线条数的计算公式。她回答得很流利:“ 0.5n(n-3)”,但当我问她为什么要减3,下面为什么要除以2时,她吱吱唔唔,答不上来。这种情况就是典型的没有理解这个结论的来历,她的耳朵里只是充斥着我昨天上课时大声叙述这个结论的声音。陡然让她回答,她也能根据记忆答对,但时间一长,或者相似的知识点一多,肯定就会在做数学题时经常出错。

      我叫了她旁边的一位同学邓晓炜,他解释得很好。看到饶J同学听别人的答案还是无动于衷的样子,过了几分钟,在讲过一点做n边形的对角线时,我再次提问她,为什么过一点作n边形的对角线可以作(n-3)条,这里的3是怎么来的。饶J同学站起来后又吱吱唔唔,答不上来,对于她在一节课里,第二次答不出同样一个问题,13班的同学们早已经无法再忍耐了,纷纷给我投诉饶J同学上课时经常不听讲,而是坐在教室后面偷偷地画漫画。面对同学们义愤填膺的投诉声讨声,还好,我还能保持淡定、宽容的心态。我又找了一个坐在饶J前面的同学曾楚涵,她也解释得很好,而且,她还到前面黑板上专门把不能与这个点相连的三个点一一圈了出来。不知经过这样一个复杂的教学过程后,饶J同学是否理解了在求对角线条数时,n-3的真正含义。导演陈凯歌最好的一部作品《霸王别姬》里面有一句经典台词:“人啊,自个儿要成全自个儿。”

      由于本周初二要提前十分钟吃饭,所以,本节课的内容就没有讲完,只有等到明天再说了。

      上晚自习前,14班有两名女同学来到办公室,问我:“李老师,我们可以向你请教两道数学题吗?”

      “那当然,有同学问我问题,我高兴还来不及呢。”说完后,就接过她们写在纸上的两道题目。

      第一题是这样的:“桌子上有牌:红桃 A、Q、4,黑桃 J、8、4、2、7、3,梅花 K、Q、5、4、6,方块 A、5,从中挑一张牌,把牌的花色告诉A。把牌的点数告诉B。B说:我不知道是哪张牌。A说:我知道你不知道是哪张牌。B又说:现在我知道了。A也说:我也知道了。请问,这张牌是什么?”

      读完这段象绕口令似的题后,我的大脑直接就缺氧了,就象暑假去西藏遇到高原反应一样,头疼头晕得厉害。这道题太难了,还是瞧瞧另一道题吧,看看能否为我扳回点面子。

      第二题就在纸的反面,题目是这样的:一个长方形,被截去了一个角,变成了一个五边形,要求画一条直线,把这个五边形分成两个三角形。

      我看了一会儿,在半分钟内竞然找不到思路,初中数学题中,在我身上出现这种现象真是少见。我不由得看了看她俩,她们正神情专注地望着我,偶尔露出一点诡异的笑容,等待着我说答案。

       听她们说,这是两道小学五年级的数学题,原来她们会做的,可现在忘记了,所以就来问我。

      我不知道她们是从哪里找来的这种数学题,与其说是数学题,还不如说是奥数推理题,脑筋急转弯等。

      过了一分钟,我确定这两道题在我的智力范围之外,就直接对她们俩人说:“这两道题我不会,如果你们找到答案的话,就直接告诉我,也让我开开眼界。”

      我心里想,告诉我答案的时候,千万不要跟我讲,第二个题的答案是用一支很粗的笔画一条很粗的直线,把那条最短的边直接覆盖住,从而得到两个三角形的哦。答案要是这样的话,我真想用棒子敲这两个学生的头。

      第一个题属于逻辑推理题,在她们俩人走后,我还不甘心,又想了一会儿,实在没有眉目,遂想起内事不决,就问百度。在百度上输完题目后,一搜索,答案出来了,下面就是我对百度上的答案所作的一个忠实而又完整的抄录:

    解答:B:“我不知道这张牌”,所以这张牌点数可能是A,4,5,Q,因为这四个点数都不止一张。A:“我知道你不知道这张牌”,A能如此地确定B不知道,所以此牌花色可能是红桃或者方块,因为红桃和方块花色的所有牌都不能通过点数得知。B:“现在我知道了”刚才A的话告诉了B花色,是红桃或者方块,知道这个信息后B立刻就知道是哪张牌,说明这张牌可能是“红桃Q”,本来B知道是Q,但不知道是什么Q,经A提示后,他知道是红桃Q;同理,也可能是“方块5”、“红桃4”。A:“我现在也知道了”,A只知道这张牌的花色,他怎么会知道是红桃4,红桃Q,方块5中的哪一张呢?除非……,除非这张牌的花色是方块,那么A才可能如此确定这张牌就是方块5。最终答案:方块5。

    看完答案后,早已晕头转向的我直接就崩溃了,我活着还有什么意思,我直接死了算啦。

    有一次,数学家陈省身教授在大学校园里散步的时候,有一个小学六年级的学生拿了道奥数题问他怎么做,他看完后直接就说了三个字:“我不会”。国际数学大师、数学最高奖“菲尔兹奖”得主丘成桐先生曾说过:“奥林匹克数学竞赛正在扼杀我们的天才。”

      北京教育部门去年就下发通知,严禁各级教育机关和各类补习学校开展奥数培训和奥数竞赛,因为真正适合做这类题目的只有不到万分之一的智力超常儿童,可不要让这种题目绑架了大多数孩子快乐的童年。如果这方面的相关资料能叫作书的话,如果编这类书和从事这类培训的人能称为儒的话,我真想象秦始皇一样,来一次彻底的焚书坑儒。很多孩子连一百以内的加减乘除法都经常算错,可他们却一股脑儿的投入到各种奥数培训之中,是孩子疯了,还是他们的父母疯了,还是整个社会都疯了?



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9月13日星期五  晴



平面镶嵌及错误更正



      今天每个班都有两节课,第一、二节在13班上。

      对于前面已经学过的知识点,我提问了几位同学。苏雪欣同学在回答n边形对角线条数的计算公式时,回答的很准确,可是,她在昨天做的练习册上,这个公式却又写错了,不知道是什么原因。

      又找了两个同学,一站起来就能直接回答:“n边形的内角和是(n-2)×180o”,“在n边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫n边形的外角和,n边形的外角和是360o.”

      昨天在13班上课时,我就讲到了这里。接着,我按照课本上绕多边形转一圈的方法绕讲桌转了一圈,边转圈的时候边跟同学们说,在每一个顶点处转弯时所转过的角度就相当于多边形在这个顶点处的外角。所有的外角加起来就相当于我绕讲桌这个多边形转了一圈,所以任何一个多边形的外角和都是360o.

      讲完书上的知识点后,就让同学们做课本后面的练习题。有一道题是这样的:“一个多边形的各内角都等于120o,它是几边形。

      有一个同学到黑板前演板,想了很久,都找不到思路,只好让他下去再好好想想。这时数学科代表陈晓桐举手了,她走到黑板前刷刷刷,很快写完了答案。我一看,恰好就是我想向同学们讲解的一种高级解法。

      陈晓桐同学的解答格式非常规范,先由每个内角120o求出旁边的每个外角是60o,再根据外角和是360o算出这个多边形有6个外角,从而得到这个多边形是六边形。整个过程不仅有完整的计算步骤,而且还有必要的文字语言叙述,让人一目了然,都不需要我做任何解释。我大加赞扬。陈晓桐就属于学习数学已经完全开悟了的同学。

      给了几分钟时间让同学们认真观察体会这种高级算法之后,我就练习册上一道类似的题问同学们怎么做。这道题是这样的:“计算正十边形的每个内角的度数。”

      找了王世豪同学回答,他的方法是先用n边形内角和公式先算出十边形的内角和:(10-2)×180o”=1440o,再用1440o除以10,就得到正十边形每个内角的度数是144o。这种方法当然可以,但是比较落后,低级,与陈晓桐同学的高级方法一比,就尤如是义和团成员所拿的大刀长矛与洋枪洋炮相比。有没有更好的解法呢?我又点了一个同学,那个同学想了很久,也找不出更好的方法。

      学生与学生之间的领悟能力确实差距好大啊,就算是优秀同学刚在黑板上用过的高级算法,对于很多注意力不是那么集中,领悟能力不是那么出众的同学,仍然过目即忘,因为他们没有真正的理解。东莞市数学教研员陆老师曾说过:“一个老师的教学成绩是由每个班级里面的后十名成绩落后的学生所决定的。”为了让这十名学习暂时落后的学生能够进步,我也只有给他们再次讲解这种高级算法的具体步骤了。

      接下来,就让同学们按照先算外角再算内角的高级方法依次算正九边形,正八边形、正六边形、正五边形、正方形、正三角形的各个内角的度数。同学们算完后,我问道:“在这些正多边形中,现实生活中最常见的是哪一种?”

      同学们纷纷回答:“正方形”。对,我们的教室地面,就是由正方形地面砖密密的铺在一起所形成的。我又问道,用正方形地面砖密铺地面时,每一个顶点处要铺几块地砖,为什么?同学们直接答道:“在一个顶点处密铺地面,就要用周角360o除以正方形的每个内角90o,得到整数4,所以,用正方形密铺地面,在每一个顶点处需要铺四个正方形。”这样就很自然的引到我要讲解的一个课外阅读知识----镶嵌,在练习册上有好几道关于镶嵌的数学题。

      镶嵌在初中数学里的要求很低,只需要知道哪几种正多边形可以密铺地面就可以了。我接着问同学们,除了正方形可以密铺在地面上之外,还有哪几种正多边形也可以密铺。

      计算了一会儿,同学们告诉我,正六边形和正三角形可以密铺,因为它们的内角分别是120o和60o,而120o和60o是可以整除360o的。我点了点头,又问道:“正五边形和正八边形能不能密铺地面呢?”短暂计算之后,同学们纷纷回答,不行,因为正五边形的内角是108o,正八边形的内角是135o,都不能整除360o,所以,这两种正多边形不能密铺地面。这节课的教学任务就这样圆满完成了。

      第四节课在14班上,用高级方法求正多边形内角的度数,昨天在14班是讲过了的,但汪周宁鹭同学在做作业时却不会用。我提问她,如何求正十边形的内角的度数。她站起来后回答的方法还是先求内角和,再求每个内角的低级方法。问她还有什么更简单的方法,她就答不上来了。我只好再给没有很好领悟讲课内容的同学,再讲一遍先求外角,再求内角的高级方法。要想把数学学得更好,不仅要会从正面去算,也要会从反面去算。金庸武侠小说里面的那些男主角,总是练成了亦正亦邪的绝顶武功,从而才独步天下的。

      练习册上有一道题,求五角星的五个内角的度数和,题目后面还有一个提示:连结其中的两个点。按照这个提示去做,当然也可以,但并不是最优方法。可能练习册的编者不是一直都在一线教学的老师,他们也是从各种资料上东拼西凑抄下来的,没有经过自己的专门研究和计算。快下课时,邓云龙同学指着图问我,这个题为什么不用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和来做呢,那样不是更简单吗?我连忙对他说:“你说的很对,这种方法恰好就是我呆会要讲的方法。”

      才与学生们接触了两个星期,但邓云龙同学给我留下了深刻的印象,我对他的印象之所以深刻,并不是因为他的老爸是学校同级组的数学老师,而是因为他谦虚、谨慎、低调、内敛的性格特点。他上课时总是坐姿端正,解答数学题时总是考虑周详,有不同意见也是在老师空闲的时候与老师诚恳地交流。上一周,我曾赞赏过邓霖林同学,这一周,邓云龙同学就是我首选的赞赏对象。有一些同学,活泼、好动,课堂上奔放有余,内敛不足,这恰好就是学习数学的大忌。这种性格习惯,要是用在舞台表演或者课外活动中,那该多好啊,如果用在了数学课堂上,那可就用错地方了。

      下午第一节,我在14班评讲完练习册上的三道题后,又讲了作业本上的错误。在作业本上,14班做了三道题,有很多同学没有按照我讲解的方法和格式去书写解题过程。所以,在这节课,我又对同学讲解了与三角形的角平分线有关的三个系列题。同学们最大的问题就是在解题过程中没有做好准备工作,也就是没有把角平分线这个已知条件转化为角与角之间的关系,如果缺少了这一环节,那么在后面的推理过程中把一个角替换成另一个角的一半时,就显得有点突兀,与我所倡导的做几何推理题要“环环相扣,层层推进”的要求不太相符。

      我按照标准格式写完一道题目的答案后,又让何少元和姜云清、程思思同学来演板。她们三个人的主要问题,还是准备工作做的不好。纠正她们的错误后就让大家将这三道题再次做到作业本上。这三道关于三角形内角、外角的角平分线相交于一点的系列题是初二数学考试的必考点,也是一个丢分点,是一定要人人过关的。

      最后,布置了两个任务,一是返校时记得带圆规,下周要用;二是家庭作业仍然是读我的博客,发评论,署名,我还要按照评论内容的意义、价值来发奖品。

      第二周忙碌的教学工作就这样结束了。





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9月15日  星期日  晴

最佳评论

今天下午,我把同学们在我的博客上所留的评论都看了一遍,觉得每一个同学所写的评论都非常好,因为同学们都很支持他们的数学老师,因为他们都很真心地顶我的博客。

不过,上一周就说了,每一天的日记只能评选一个最佳评论,我也只好武断、独断一回,从我欣赏的角度来评选一个最佳。

9月8日最佳评论是14班张艺同学的,她是这样写的:“老师,我那天打电话给我妈妈,让她也来看你的博客,虽然这是由你打上去的,但同样也是我们两个班的同学共同谱写的,我和我妈说,可以看看你的博客,这样可以知道我们的学习情况,同时也能了解老师你这个人。”

不仅自己看,还让妈妈也来看,来顶我的博客,有什么理由不评张艺同学呢?

9月9日最佳评论是14班唐珉浩同学的:“老师写得真不错!把我们两个班的一天数学学习情况都记录了下来,而且写得很真实,抓住了人物的细节,刻画得栩栩如生,不由得不赞一个!老师还把我们在课上的一些知识点,在文章上写了出来,这虽然是个特别的作业,但却让我们回顾了知识点。文章文笔流畅,修辞得体,深得魏晋诸朝遗风,更将唐风宋骨发扬得入木三分,……(以下省略200字,因为这些内容我经常在天涯论坛里面的回复贴子里看到。呵呵。)。

前半段文字是唐珉浩同学的原创评论,把我好好地夸奖了一番,这样的贴子不评为最佳,我都不知要去评谁了。

9月10日最佳评论是13班孙辰同学的:“老师写得很详细!把一节数学课的内容都详细的写了出来。让我回忆起当天的数学课内容,让我对这节课有更深的了解。我周末在家看博客时好像又上了一遍课,把重要内容和知识点又记了一遍,想必这便是老师每天辛苦写博客的用意之一吧!辛苦您了!谢谢老师!”

还是有人懂得我写这篇博客的真正用意的,毫无疑问的当日最佳。

9月11日最佳评论是13班肖淼同学的:“看了老师的博客,不仅欣赏到了老师的语文风采,还回顾了课上所讲的知识点,真是一举两得!”

礼多人不怪,美言总顺耳。呵呵。

9月12日最佳评论是14班陈龙翔的:“说是看看博客,其实是让我们回顾知识点,在玩电脑的快乐中学习数学,方法真好!”

我给他的回复是:“懂我者,陈龙翔。”

9月13日最佳评论是13班欧阳佳怡的:“写得很好!又重新上了一次课!又想起上课时的快乐时光!数学真的很神奇!看到老师这么认真的记下课上的点点滴滴!十分感动!I love math! 我热爱这个神奇的数学王国!”

一篇博文能让一个学生真心地喜欢数学,那么即使每天都要花上两、三个小时去写日记,我也觉得值。

这一周,我所选的最佳评论就是上述同学,但实际上,还有很多同学所留下的评论也非常好,或许下一周就能成为我最喜爱的风格。不过,有些评论只有一个字----“顶”、“赞”,虽然我也很感谢这些同学的大力支持,但要想获得当日最佳,这样的评论还是有点难度哦。

有一个同学这样评论:“写得很好,有作家风范。”我给他的回复是:“能再说一遍吗?我真想再听一遍。”这是第一次有人这样夸我的,虽然我觉得差距太远,但仍然蛮受用的,呵呵。

还有13班的霍嘉琪同学说:“每一周,老师都有一个首选赞赏的同学,下一次,我也要争取成为老师首选赞赏的学生。”

其实,霍嘉琪同学已经多次被我赞赏过了,而且我还相信,在以后的数学学习中,这种机会还会很多很多的。同学们,只要你们也去积极地学习数学,大胆地与老师进行交流沟通,你也可以成为我每周赞赏的学生哟。

今天晚自习,每班都只有二十分钟的学习时间,我就直接让他们做小测试卷。14班同学在做小测卷之前,我让13班的王中元同学来到14班教室,给上一周做思考题正确的11位同学发了奖品。说过的话那是一定要兑现的。

小测试卷题目很简单,每一面的内容只要五分钟就能完成,所以我布置了四面的测试内容。如果能把全部的题目都做对,那也就不错了。其实,对于掌握了课堂上老师所讲的知识点的同学来说,每一道题都很简单,反之,每一题都很难。

13班同学在做小测卷时,我看到有一位同学坐在座位上苦思冥想。我走近一看,却是这样一道题:“十边形有_____个顶点,有______个角,有______条边,有________条对角线。”

除了最后一空需要计算,有点难度之外,其余三个空也长时间的空着,我只能说这位同学根本就没有苦思,而是一直都处于冥想状态。当这位同学意识到我正在他面前观察他时,他立马惊觉,随即不好意思地奋笔疾书起来。

课间休息时,13班的霍嘉琪同学来办公室指着一道题问我:“这一题,我只想到了列方程的方法去解,您上课所讲的高级方法该如何去做呢?”我接过题看了起来,这道题是这样的:“一个多边形的内角和是1260o,求这个多边形的边数?”

看完后,我对她说:“这个题所说的多边形只是一个普通的多边形,而不是正多边形,也不是每一个内角都相等的多边形,这样的多边形的外角不一定是相等的,所以不能先算外角,再求边数。你用方程思想去做此题,就是一种很好的方法。”

霍嘉琪同学是把老师所讲的解题方法搞混了,但她又在独立思考,发现有问题,马上来问老师,再由老师解开自己心底的疑惑,这种学习习惯非常适合于学生学好数学。难怪她能成为13班进步最大的学生。

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916  星期一  

全等三角形

今天在两个班上课的内容是第十二章的第1------全等三角形。

按照常规,第十一章上完后,应该先复习一下全章的知识点,测试一下全章内容,再去上第十二章新课的。可是,星期二要在13班上一节公开课,而公开课的内容我早已选定了,是全等三角形的判定之边边边定理。为了如约赶到这个地点,我也只有如同二万五千里长征里的红军,抛下一部分掉队战士,剩下的大部队抖擞精神,轻装前进了。

全等三角形这一节有五个知识点:1、全等三角形的定义。2、常见全等变幻类型。3、全等的记法。4、对应关系。5、全等三角形的性质。

在让同学们看书3分钟,并划下重点内容后,我开始提问:“什么叫全等三角形?”

14班周思宇同学直接答道:“能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。”13班邓晓炜同学是这样回答的:“形状、大小相同的三角形是全等三角形。”这两个同学的答案看起来不一样,但实际上是一回事,是从不同的角度对全等三角形所下的定义。

我在黑板上写下“完全重合”四个字,又在这四个字后面写下:1、形状一样。2、大小一样。接着我举了两个例子。

我首先拿起讲台上那个有一个角是45o的木三角板教具,又拿起同学们的有一个角是45o的塑料三角板,然后问同学们,这两个三角形形状一样吗?大小一样吗?它们全等吗?答案很显然,这两个三角形形状一样,但大小不一样,所以,它们并不全等。接着,我又在黑板上画了一个普通的三角形,并画了一条中线,问同学们,中线两边的两个三角形的大小,也就是面积一样吗?形状一样吗?它们全等吗?很明显,中线两边的两个三角形的面积是一样的,但形状不一样,一个是钝角三角形,另一个是锐角三角形,所以这两个三角形也不全等。因此,全等三角形即要形状一样,又要大小相同。

在讲全等三角形的全等变幻类型时,我拿出上课前剪的一个三角形纸板,先用这个纸板靠在黑板上画了一个同样的三角形,又拿起纸板,平行移动了一段距离,再画了一个同样的三角形。然后告诉同学们,这两个三角形就是平移后的全等三角形。

接下来,我用同样的方法,在黑板上画了翻折的全等三角形和旋转的全等三角形,并用纸板反复模拟了翻折和旋转的过程。

在初中数学里,如果只是单纯的这三种全等变幻类型,那么对于同学们来说就非常好懂了,但是,很多考试为了对同学们的注意力、观察力、理解力进行一个综合的考察,在各种数学试卷上所遇到的全等三角形经常是这三种全等变幻类型的综合。

我在黑板上画了一个平行四边形,又画了一条对角线,然后问同学们,对角线两边的两个全等三角形是全等变幻类型里面的哪一种或者哪几种所形成的呢?

马上就有同学们在下面回答,平行四边形对角线两边的三角形是翻折后形成的。我问道:“是翻折吗?再好好观察一下。”边说边用三角形纸板靠在黑板上,演示了两个三角形全等的变幻过程。这一次,大家都看清楚了:一个三角形先绕一个顶点旋转180o再平移后得到另一个三角形。如果同学们能看清楚整个过程,那么在找这两个三角形的对应点时就不会遇到太多的问题了。

全等的符号“≌”和全等三角形的性质,书中已经说的很明白了,我略作讲解之后就回到这节课的教学重点。也就是三种全等变幻所形成的全等三角形该如何记,特别是能够重合的对应点,该怎样熟练地写在对应的位置上。因为只有能够熟练的把对应点写在对应的位置上,以后在找对应边、对应角时就不会犯错误了。

接下来,我针对三种变幻得到的一组全等三角形分别让同学们回答,这两个三角形全等该如何记录,它们的对应边与对应角相等又该如何书写。

在我提问的过程中,13班艾奥杰同学主动举手回答让我很是高兴,因为,就我两个周的观察,艾奥杰同学属于对自己学习要求不高,听讲习惯不是那么好的一个同学,但今天,他的表现让我很是满意。这至少说明,在这节课上,他在积极要求进步。

13班有一个同学在找全等三角形的对应角时,老是出现一个问题,就是他不能把对应点写在对应的位置上。实在没招了的情况下,我只好教给他一种最笨的办法:记两个三角形全等时,先把对应点写在对应的位置上,然后,举例来说,前一个全等三角形的三个字母按第1、3、2个字母所排列的角也一定是与后一个全等三角形的第1、3、2个字母所排列的角是对应角,它们是相等的。比如,△ABC ≌△ DEF,那么∠ACB= ∠DFE.找对应边也如同此理。

上周的周未作业,我没有布置学校专门印发的试卷,而是让同学们在家里读我写的日记连载,再一次的回忆课堂上所学的数学知识和常见错误,但总有一些同学回到家后自制力不够,忘了老师所布置的任务。我找了两名班干部仔细统计了读博客后的署名,把没有完成任务的同学在课外活动时间留在了教室,拿出了学校专门印发的周未作业让这些同学补做。

立即,班级里出现了两种同学,有几个同学来跟我说,他回家后已经读过我的博客了,只不过没有署名,为什么还要再做周未作业呢?同时,还有几个同学跟我说,他们虽然在家里已经读过博客,署过名,完成任务了,但听说有试卷,希望我能把试卷发一份给他们做,看一看自己能否做对。我在向不同的同学发放试卷时,心里不由得感慨:“人与人之间的差距咋就这么大呢?”

有的学生,始终把学习看作是最重要的事情,有的学生,则把玩耍看作是最重要的事情。难怪李镇西老师在他的著作中这样说:“人与人之间的差距就是从中学时代开始的。”

在家里已经完成了我布置的任务,又主动向我索要试卷去做的同学有:霍嘉琪、曾晨、周晖、刘子航、周思宇。霍嘉琪同学的名字,我相信各位读者将会在我以后的日记里不停地看到。

晚自习前,我叫来了邓js同学,他周未在家里没有完成我布置的任务,课外活动还跟我说,他在我的博客上署名了,硬是不愿意留下来做30分钟的试卷,没办法,面对他的强行离去,我也只有眼睁睁地看着。

热问题,冷处理。在上晚自习前,我想这个问题应该冷的差不多了。叫来邓js同学后,我问他,我的博客上,你在哪里署名的。他打开我9月1日的博文,拉到最后,指着最后一个评论说,这里就有我的署名。9月1日的博文,他确实是署名了,但我的任务是在家里看从9月8日到9月13日的博文并署名,这样,才对上一周所学的数学知识有一个更加清晰的回忆。可他却只看了9月1日的,而且,那天,我根本就没有上新课。他就是典型的抱着应付交差的心态在对待周未作业。

我想了一会儿,这样对他说:“我上一周布置的任务是读我的博文,每一篇都要署名,你没有完成任务,而且,今天课外活动按照校长要求,需要留在课室里补做30分钟的家庭作业,你也没有留下来。那你说,这件事该如何处理?”他可能确实觉得自己理亏,便说道:“拿一张试卷去做,明天活动课前完成上交。”我想了想,也只有这样处理了。

这个处理结果,对于邓js和我来说,都还可以接受。我不禁想起了我以前对于类似这样事情的处理方式:对于未完成任务的同学,如果我说了课外活动时间留下来补作业,而有人胆敢不从,我是绝对寸步不让的,一定要让他呆在教室里老老实实的全部完成后才会让他离开,至于他是否心甘情愿,作业完成的效果如何,是否对我腹诽,就不是我所能管得了的。现在,两相对比,快进不惑之年的我,性子确是柔和了许多。

试卷的最后一题有点难,补做的很多同学都跑来办公室询问,我索性做了两份标准答卷,分别贴在两个班教室前面的墙壁上,以便爱学习的同学们自己去看,去悟。只有自己悟出来的东西,才是成为大脑里掌握得最牢固的知识。

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本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-5 17:30 编辑

9月17日星期二  晴



全等三角形的判定(边边边定理)



      今天要在13班上一节公开课,讲课内容是全等三角形的判定之边边边定理。周未休息时,已经在家里做好了课件,平时上课,不喜欢用课件,但公开课,还是要认真准备一下的。

      上午第一节,在14班上,相当于一次彩排。昨天晚自习已经给了五分钟让他们看过书了,所以,今天上课就直接开讲。

      首先,找了两个同学回答昨天所学得全等三角的定义和全等三角形的性质,因为这两个知识点与今天所要学的边边边定理有一定的联系。有两位同学主动站起来回答:“能够完全重合的三角形是全等三角形”,“全等三角形的对应边、对应角相等。”我只是在全等三角形的定义后面重点强调了两个要点:1、形状一样。2、大小一样。

      接下来,通过课件上两个平移得到的全等三角形让同学们说出根据性质可以得出什么结论。有一个同学站起来脱口而出:“可以得到三组对应边、三组对应角分别相等。”我在课件上一一打出了这六组元素分别对应相等。

      按照课本上的说法,如果这六组元素对应相等,那么,这两个三角形是可以完全重合在一起的,也就是全等的。我又问同学们,如果每次都去找六组元素对应相等,再去说明三角形全等,效率太低,有没有什么高效的办法去证明三角形全等呢?就这样,很自然地和同学们一起从一个元素,再到两个元素,最后到三个元素分别相等逐一研究起。

      只有一个元素相等,分两种情况,只有一条边相等、只有一个角相等。两个元素相等,分三种情况:有两条边对应相等、有两个角对应相等、有一条边和一个角对应相等。我找了几个同学到黑板前画反例,也就是画两个三角形,只满足一个元素或者两个元素对应相等,但它们却不是全等三角形。14班主动举手的同学有伍洪瑞、陈龙翔、陈立烨、王钟会等,这些同学到黑板上画图时,个个同学都用三角板认真细致的量准了再去画反例。图形倒是画准了,但却用了好长的课堂时间。如若是平时上课,倒也没什么,但这是公开课彩排,我真担心后面的内容没有时间讲了。我心里急得火烧火燎,不过,表面上还是不动声色。一直等到他们把反例画完后,我才开始往下讲课。

      三个元素对应相等有好几种情况,有三条边对应相等的,有两边一角对应相等的,有一边两角对应相等的,有三个角对应相等的。一口当然吃不成个大胖子,今天这节课,我们只能来研究当三条边分别对应相等时,两个三角形是否全等。

      我让同学们在硬纸板上画一个三角形,使这个三角形的三边分别为5cm,6cm,7cm.这里的5cm,6cm,7cm可不是我一时心血来潮随意想出的几个数字。我曾在课前专门画过,只有采用这三种长度的线段画出来的三角形,即不会太大,也不会太小,而且,叠合在一起非常方便,又好让同学们仔细观察。我个人觉得,课前的这些准备工作也是一种备课,但这些劳动却在学校领导检查备课时一概不承认,他们只认手写的教案或者其他纸质的资料。面对学校领导的这些特殊检查嗜好,我也只有尽力地去迎合他们。

      利用圆规,模仿我在黑板上的讲解,同学们画好了三边长分别为5cm,6cm,7cm的三角形后,我让同学们用剪刀剪下来,交给我。有二十多个同学动作迅疾,很快,他们所画的小三角形都放在我的手上,让同学们仔细观察,全都完全重合。由这个事实,就得到了全等三角形的第一个判定公理:三边分别对应相等的两个三角形全等,简写为边边边或者SSS,14班有一个同学说,S就是“边”的英文单词“side”的第一个英文字母。我以前还不知道这一点呢,感谢14班的同学们。

      这个边边边公理该如何运用呢,我结合一个例题进行了具体的讲解。本来,用边边边公理去证明三角形全等的格式是最简单的,我以前所教过的学生,不管是谁,都是可以用非常规范的解题格式去证明那些简单的三角形全等的解答题的。在讲解的时候,我也和课本上的例题一样,先做好了准备工作,然后写明在哪两个三角形中,再用一个大括号括住三组相等的对应边,最后得到两个三角形全等。

      可是,在还有五分钟的时间里,我让同学们做学案上的两道简单的证明题,结果真是惨不忍睹。14班的同学里,有各种各样的书写格式,有写成“一字长蛇阵”的,有写成“十面埋伏阵”的,有“拦腰截断”式的,有“掐头去尾”式的等等,不一而足。反正,写的过程就是与我要求的不一样,只有很少的同学是按照我黑板上的板书格式在规范地答题。是他们的眼睛不好使,看不见黑板,还是很多人不重视老师所说的话,只是想一味地去创新?抑或是他们这些尖子生根本就不把我放在眼里,偏偏要对我所说的反其道而行之?我思虑了很久,找不到答案,但不管怎样,明天上课时是一定要再次强调的,哪怕他们再次阳奉阴违,我作为一个老师,基本的职责还是要尽到的,尽管是按照我自己的方式。

      下午第二节,在13班上公开课,都是本级组的数学老师来听课。反正都是自家人,也没有什么好紧张的,不过,没想到的是,学校文校长和杨主任也来了。从教二十年了,公开课也讲了无数回了,我早已形成了自己的那种公开课授课风格,要想改成目前教育市场上最流行的“小组合作,研讨探究”式的新派教育风格,我这辈子可能是做不到了。其实,从内心里来说,我认为,数学上有些基本概念,基础知识还是直接简洁明快的告诉同学们的好。一个勾股定理,在人类历史上研究了几百上千年,才最终被人类历史上最伟大的那些数学先哲们探明发现。你让同学们在仅40分钟的时间里就要去发现这个被数学家苦苦思索了几乎一生的著名定理,特别是同学们早已从书本上看到了最终的结论,可还要苦苦压抑住自己的喜悦,配合老师一步一步的去表演,这到底是一种真探究还是一种伪研讨。

      我个人认为,对于这些基础知识和基本理论,我们需要的是给同学们讲那些为人类数学发展史作出巨大贡献的数学家们,他们是怎样一步一步的发现这个定理的。我们这些后人,可以通过计算去验证这些定理,可以去佩服那些数学家们细致的观察能力、准确的计算能力、良好的推理能力和完美的归纳能力,而不是在听课老师的面前展示各种伪探究过程。牛顿曾经说过,如果我还算取得了伟大成就的话,那是因为我站在了巨人们的肩膀上的缘故,就让我的学生们也站在前人所总结的各个基础知识点和基本理论的肩膀上,先去模仿,再谈超越。

      我就决定按照自己多年来已经形成了的那种教学风格来讲这节公开课。这么多年以来,我追求的教学风格,或者低调一点说,我遵循的教学风格就是整节课环环相扣、层层推进,与我对同学们做几何推理题的要求一样。至于说学校领导如何评价我,那不是我所能管得了的。摆出一副“死猪不怕开水烫”的架式,我开始了13班的这节公开课。

      与在14班授课过程不同的是,在画一个元素相等不能得到三角形全等时,为了节约时间,同时也为了暗示同学们怎样画反例,我就直接用手在黑板上画了两个满足一个元素相等但却不全等的三角形。后来,找了几个同学到黑板上来画满足两个元素相等但却不全等的三角形时,这些同学和14班的同学一样,个个都用三角板画的规规矩矩。看着时间无情地流逝,尽管我心里急得恨不得抓耳挠腮,但表面上还是不动声色、静静等待。

      在后面讲解例题时,我特别提到14班有很多同学不注意观察我扳书的证明三角形全等的格式,希望13班同学都认真观察,仔细模仿。果然,后面做练习题时,13班的同学们可能在思考能力上比14班的同学要欠缺一些,但至少他们在解题格式上要规范多了。

      随着下课铃响,这节公开课基本上算是完成了教学任务。学案上没有做完的题目,就只有让同学们在晚自习来做了。本节公开课,主动举手,积极回答,踊跃表现的同学有陈晓桐、孙辰、曾晨、欧阳佳怡、邓子凯等,因为这些同学积极参与,我的这节公开课表现得还算中规中矩。

      晚自习时,我在14班又一次强调了证明三角形全等的书写格式,我对他们说:“如果想不起来我在课堂上是如何书写的,那么就看课本上的例1,我课堂上所讲的规范格式也完全是按照课本上例1的解题过程来写的。”

      同学们,课本上有些例题完美的解题过程,我也在模仿啊。



点评

东方中华  应该叫成“边边边公理”或“边边边基本事实”。  发表于 2013-10-13 12:53:33

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发表于 2013-10-5 17:34:57 |显示全部楼层
       每一篇发上去时都要再编辑一遍,要不然,每一段就不会空两格,不符合我们的阅读习惯,各位大侠,有什么高招吗?还有,为什么晚上发的要审核,到第二天才显示呢?而且,到第二天就不能再次编辑成符合阅读习惯的常见格式了。这是为什么呢?呵呵。

点评

艾树  晚上发的要审核,这也是为了防止那些谁们捣乱吧,不知到了高级会员还审不。  发表于 2013-10-7 09:57:46
艾树  我以前发帖也是发出去再全角敲二下空二格,N年没操作过了现在都不会了。编辑贴子有时限的,过了时间就不能再编辑了,好像也这是坛子后来设置的  发表于 2013-10-7 09:56:13

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发表于 2013-10-5 17:42:14 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-5 17:44 编辑

918  星期三  


证全等格式纠错和全等三角形判定(边角边定理)


     上午第一、二节,在14班上。第一节课,我让同学们把昨天发的那张学案试卷拿出来,找了四位同学到黑板上将四个解答题的解题过程写在黑板上,这四道题都是要用边边边定理证明三角形全等的,写完后,就和同学们一起分析评议纠正。

      今天所找的四位同学写在黑板上的过程比起昨天我所见到的解题过程要好多了,但还是有很多的问题:1、题目中已有的已知条件和公共角、公共边、对顶角等显而易见的条件不需要在证三角形全等之前单独列出。2、用边边边定理证明三角形全等时,若缺少哪个条件,一定要在证三角形全等之前先得到,要先做好准备工作。缺少的那个条件一定是可以由题目中所给的另一个或者几个相关条件经过推理后得出的。我做了二十多年的初中数学题了,有一个感悟:上帝为你关上一扇门的同时,一定会为你打开一扇窗子。数学证明题,一定会给你一些显而易见的已知条件,也会设置几个隐晦曲折的其他条件,能把一道数学题做出来,一定要学会把那些隐晦曲折的其他条件转化为能为我所用的有用条件。3、同学们所用的解题方法还是比较繁复,当然,繁复一点,如果能做对,也是可以的,但是有些思路已经错了,即使你写的再长,也不可能正确。有个同学证明了两个三角形全等后,然后用这两个全等三角形分别减去另一个相同的三角形,从而得到另外两个三角形全等。三角形减三角形,我还是第一次看到,我立马否决了同学们的这种方法。如果不断然指出同学们的这种错误,我真担心,以后会出现三角形加三角形,三角形乘以三角形等等各种奇特思路。

      评讲完四个证明题后,我就学案上一道用尺规作图画一个角等于已知角的解答题进行了详细讲解。这个尺规作图是初中数学里必须掌握的一个基本作图,其实质就是用三边对应相等去证明三角形全等的一个具体应用。里面两次用到了圆规,而这两次运用圆规是很多观察马虎,悟性欠缺的同学一直记不住也理解不了的。我把整个过程分成了四个环节,一步一步的详细操作,再让同学们亦步亦趋的模仿作图。看同学们都画完后,我就问同学们,能不能证明所画的两个角为什么相等呢?14班的赵昊昗同学利用课间休息时间到黑板上写出了完整的证明过程,在13班,孙辰同学最先举手,并且也在黑板上写出了无懈可击的证明过程。

      第二节,跟14班同学们讲解三角形全等的第二种判定方法------边角边定理。一上课,我就问同学们,要证明两个三角形全等,最少需要三个元素对应相等,第一种情况是三个都是边元素,也就是边边边定理,此外,还有什么组合情况呢?

      有同学就回答了,有两边一角的,有一边两角的,还有0边三角的。我答道:“对,不过,我们今天这节课先来研究两边一角的这种组合情况。两边一角这种组合又可以细分为边角边组合和边边角组合。边角边组合就是两条边和这两条边的夹角对应相等,边边角组合就是两条边和第一条边的对角对应相等。”

      为了更好的说明这两种具体情况,我在黑板上画了两个三角形,一个三角形的两条边分别为7cm、9cm,夹角为30o,另一个三角形一条边为7cm,另一条边为4cm,并且4cm的这条边所对的角是30o。第一种三角形,很好画,先让同学们在硬纸板上利用三角板的30o的锐角,画好一个30o的角后,又在这个角的两边上分别用三角板量出7cm和9cm,从而得到这个三角形。画完后,让同学们剪下来交给我,叠合在一起,可以看出完全重合。这个事实就作为判定三角形全等的第二种方法:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成边角边或SAS)。

      接下来,我针对边边角分别为4cm、7cm、30o的这种三角形跟同学们探讨如何画。有一个同学说:“还是利用三角板先画一个30o的锐角,然后,在这个锐角的一条边上量出7cm长的一条线段,这样就找到了三角形的两个顶点。”那么第三个顶点如何寻找呢?如何画出30o的角所对的边,而且这条边恰好又是4cm长呢?同学们一下子都陷入了沉思。

      有一个同学说:“只有再次动用圆规,以7cm长的一条边的上面的端点为圆心,以4cm长为半径画弧,交30o角的另一边于一点,就可以画出这个三角形了。”我马上肯定了他的这种方法。在黑板上演示的时候,我故意把这条弧画得很长,与另一边出现了两个交点B和B′(图一)。接下来,我在课室里巡视,看同学们在硬纸板上画这个三角形时,会如何处理。

1.gif


                   图一




      因为所画的弧与另一边有两个交点,所以,按照给定的条件,是可以画出两个不同的三角形来的。一个大一点(如图二),另一个小一点(如图三),我准备先看一圈同学们画的,如果所有的人都是画的那个大一点的三角形,那么,就必须我再次挺身而出了。我就会在讲台上偷偷画一个三角形,也满足有两条边是4cm和7cm,并且4cm长的那条边所对的角是30o,只不过,会与同学们所画的不一样,会小一点,如图三所示。

   22.gif

      

                   图二                                 



3.gif

         图三

        14班有两个同学率先画完,他们是汪周宁鹭和秦鹏,而且,汪周宁鹭恰好是画的大一点的如同图二所示的三角形,秦鹏同学画的是小一点的如同图三所示的三角形。他们所画的三角形剪下后交给我,我高高举起,问同学们,这两个三角形是否符合我所说的两边和一边的对角对应相等。同学们纷纷点头。我又问道,这两个三角形放在一起能够重合吗?

      很显然,一个大,一个小,不能重合。只要能举出一个这样的反例,哪怕其他所有的同学都完全一致,但仍然可以说明两边和其中一边的对角对应相等的三角形是不一定全等的。

      我对同学们说:“我要表扬秦鹏同学,当其他同学在硬纸板上画的都是大一点的那个三角形时,我还很担心,准备自己亲手去画那个小一点的三角形,因为当大家都在错误的路途上渐行渐远的时候,我这个老师就必须站出来,勇敢的坚持真理。幸运的是,全班同学里,还有一个秦鹏同学,和老师一样,画了一个小的三角形,从而证实边边角对应相等是不能得出三角形全等的。感谢秦鹏,感谢他也在一直捍卫真理。”

      同学们听完后,都呵呵的笑了。在这个笑声中,我知道,同学们已经完全理解为什么边边角对应相等是不能证明三角形全等的了。

      让同学们把书本上这两个知识点划下来后,又集体读了一遍。接下来在讲完课本上的例题后就让大家做课本后面的两道练习题。这一次,到黑板前演板的邓霖林同学,她用边角边定理证明三角形全等的格式写得非常完美,我在下面也巡视了一圈,大部分同学的解题格式都没有出现什么问题。每一个同学都在进步啊。

      下午第二节,在13班上课时,整个程序与在14班差不多。有一道题需要连一条辅助线证三角形全等,陈晓桐同学在黑板上所写的过程正确无误,不需要我做任何解释。不过,我还是结合此题说明了一种错误的推理过程,这种错误两个班的很多同学都曾出现过。

      举例如下:∵ AC=DBAC=OA+OC DB=OD+OB。∴OA=ODOB=OC。这种推理当然是错误的,特别是当图形中的线段看起来有点相等时,那么将有很多不辨真相的同学会这样推理,而且给他们指出来后,他们还看不出这种错误。我举了一个反例:比如:10=10,前一个10 = 3+7,后一个10 = 4+6,但3等于4吗?7等于6吗?显然不等。

      快下课时,我对同学们说:“我每日所写的日记连载,不强求你一定要去看,去评论署名,但如果你阅读了,评论署名了,就相当于你完成了三十分钟的周未作业,如果不想看也行,就到我这里领一份试卷回家去做,相当于周未作业。霍嘉琪同学走到讲台前,问我:”即看博客日记,又想回家去做这份试卷,可以吗?”我马上答道:“当然可以啊,我还要隆重表扬呢。主动热爱学习,积极要求进步,老师就是喜欢这样的学生。”

      毫不疑问,霍嘉琪同学可以被评为本周的首选赞赏对象。

     由于中秋节放假,13班还有一节课被移到下周去上,边角边定理也只有到下周才能在13班讲解了。



点评

东方中华  书上给你的不可能是“边角边定理”,应该说成“边角边基本事实”,新课标里龟腚的,今后课改教材里取消“公理”的名词儿,代之以“基本事实”  发表于 2013-10-13 12:57:46

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本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-6 13:58 编辑

9月23日星期一  阴



台风长假后返校



      这一次放假时间真长啊。中秋节休息三天,正准备返校时,结果接到学校转发的市教育局紧急通知:超强台风天兔即将登陆广东,为避免人员财产巨大损失,东莞所有的中小学一律停课。

      在网上看新闻,说是台风天兔给汕头和汕尾两个城市造成了巨大的生命财产损失。不过,对于东莞来说,台风天兔只是相当于一只天猫,温顺地从城市边缘缓缓滑过。托这只天兔的福,这两天呆在家里休息得可真好啊,把前几周欠缺的睡眠算是都补回来了。

      13班的陈晓桐同学发评论说:“好期待上课。”我休息放松了五天后也是这样想的,一方面是怕休息多了,单位不给发工资,另一方面的原因则是怕自己醉生梦死的日子过久了,再也不想去工作了,更别说去写教学日记连载了。

      这两天,躲在家里边避台风,边看同学们在我的博客上留下的评论。这一次要想选出每天的最佳评论,还真挺难,有点象各个电视台所组织的选秀节目,进入了最后的淘汰总决赛,你真难以断定哪位选手表现得更好。中国梦之声评委韩红曾说过,再也不想当选秀节目的评委了,当几个同样优秀的歌手站在面前,却只能选一个留在舞台上时,那种折磨真不是常人所能承受的。

      虽然我所选的最佳评论没有选秀节目那么有影响力,但和韩红一样,我也在几个优秀评论之间饱受折磨。最后,只有一闭眼,随意选出这样几个同学的评论作为当日最佳了。

       9月15日的最佳评论是邓霖林同学的:“看老师的博客不是为了免去那张周末作业,也不是为了老师的赞扬,而是为了更加牢固地掌握知识,希望同学们能够认真吸收博客里的精华,好好努力。”

      整段话,把我要对同学们说的话,都已经说了。

      9月16日的最佳是霍嘉琪写的:“我到现在才看出两个全等三角形是通过怎样的变幻才形成的,这三天我会把它悟明白的。特别喜欢这句话 :只有自己悟出来的东西,才能成为大脑里掌握得最牢固的知识。”

       能把我总结的知识结论再叙述一遍,这充分说明,我在这二十年的教学过程中所总结的东西还是能让人激起一点共鸣的,我很高兴。

       9月17日的最佳评论是唐靖莹写的:“老师的文笔幽默风趣,不仅为我们重复了上课的情景和知识点,而且还印象深刻得记住了我们上课的过程,就像一部电影,写下了我们的成长和改变,用心良苦。在博文里看到了一个更温和,更让学生愿意亲近的老师。等到初中毕业后回来一看,会为老师的博文更加喝彩。”

      如果初中毕业后还有人回来看我写的博文,那么我的博客将会得道成仙的。哈哈。

      9月18日的最佳是陈彦彤同学的:“上帝为你关上一扇门的同时,一定会为你打开一扇窗。这一句话让我明白了许多,以后做证明题就应该有这样的想法,不要一看到难题就放弃了。人就是从失败中走过的,不经历失败怎么能成功?当我们遇到不懂问题的时候首先要自己动脑筋,实在不会一定要找老师帮我们解决。只有这样我们才会不断进步。”

      这段文字可以和任何一位真正的教育专家所说的话媲美,我还有什么好说的呢?我也需要从同学们所说的好观点中吸收营养。

      还有很多同学写的评论让我难以舍弃。比如,方伟同学所写的:“我遇到不会的题,不喜欢憋在心里,问老师,就相当于免费的一对一辅导。我也要将老师的博客介绍给父母,正好也让父母了解老师呢。”

      其实,我们老师就喜欢做这样的一对一辅导,只有你自己主动去问的问题,才是你真正想搞清楚的问题。这样的问题越多,你所不理解的知识点就越少。数学成绩自然也就越好。至于介绍父母看我的博客,我当然求之不得,什么时候,我的博客的点击量能接近那些明星人物,那我就算发大财了。唉,在争名逐利方面,我还没有修炼到视金钱如粪土,看名利为浮云的地步。不说了,反正就是凡夫俗子一个。

      还有一些评论也曾打动过我,比如,孙辰同学写的:“老师的作业布置得很好,如果是普通的试卷,想必同学们做完,老师评讲完,时间一长,知识点也就淡忘了!而这样的作业,既是同学们独立完成的,又是最好的复习,再者说了 就算淡忘了也可以通过查看老师前面的博客来复习,想必在老师的用心良苦之下,13,14班一定能取得好成绩,将来有好未来,真的从心里感谢老师!”

      如果不是前几周多次表扬过孙辰,我真想把这一周的最佳评论授于她。孙辰同学,对不起了,老师也要统筹兼顾啊。

      还有李怡康同学写的:“老师,我很喜欢上你的公开课,很真实,和平常上课一样。不像有的老师,为了一次公开课,排练都要排好几次,感觉假假的。”很谢谢你的直言直语,你是一个善于独立思考的同学。希望你能一直保持这种独立思考的习惯。对任何人所说的话,所做的事都要有自己独立的思考和判断。这里的任何人,任何二字,不知你能否理解。唉,还是说直白一点吧,包括父母,老师,包括上级领导甚至国家领导人,对于他们所说的都要有自己独立的判断鉴别。当然这需要我们不断地吸收知识,开阔眼界,不断地提高自己的分辨能力和鉴赏能力。其实在追求真善美方面,老师也不是一个完人。我只能说,尽量地怀着希望,向那个目标去努力。有一句话与你共勉:“希望虽未必实现,但在希望的过程中,我们会由于希望的鼓励而增加生存的勇气。”唉,象你这样小的年纪,也不知道能理解多少。

      还有我在博客里面发了一个如何在博文里面插入几何图片的求助贴子,同学们都热火朝天地予以跟贴,讨论,出主意。同学们,你们真地都很热情善良,乐于助人,谢谢大家了。

      晚上到校后,每个班都有一节完整的自习课,我布置的任务是做练习册上的三角形这一章的复习题,做完后,明天评讲。通过做这些复习题,让大家回忆唤醒在前几周所学的知识点,然后在本周选一个时间,对这一章进行一次测验,检查同学们对这一章掌握的情况。

      在同学们做题的过程中,我发现14班的周晖同学已经把我布置的任务,在放假期间就已经全部做完了,而且,还有好几节我没有布置的任务,他也已经完成了。在同学们紧张地做作业时,他已经在开始沉思,开始回忆我们在三角形这一章里所学的各个知识点了。

      南城区教师节表彰会上,听一个专家讲座,说生活中的事情分为四类,第一类是重要而又紧急的,第二类是重要而不紧急的,第三类是紧急而不重要的,第四类是不紧急又不重要的。当然,所有的人都知道,最先要完成的是重要而又紧急的,最后才去完成的是即不重要也不紧急的,但第二类重要而不紧急的和第三类紧急而不重要的,应该把哪一类事情放在优先的位置上呢?不同的选择将导致你将来能取得什么样的成就。如果你选择第二类,即重要而不紧急的,并且,每天都把这种事情排在前面,那么,你的人生成就将达到一个很高的高度。而如果你优先选择第三类,即紧急而不重要的,那么,你的生命将在每天忙忙碌碌,无所作为中度过。

      听完专家的这一番话后,我似乎明白了点什么。周晖同学没有等老师去布置练习册上的任务,但他知道,这个任务是很重要的,是一定要完成的,所以,他每天都抽出一点时间,完成一些这样的重要但不紧急的学习任务,我相信,长期坚持下去,周晖同学一定可以轻松地取得巨大的成就。相反,还有很多同学,每天只是在被动地罚做老师所布置的紧急而不重要的罚抄作业,可想而知,他的学习将会取得什么样的成绩。先做重要的而不是紧急的事情,是指当这些事情还没有成为紧急的事情之前就已经被处理掉了,所谓居安思危,未雨绸缪大概也就是如此啊。

      我在教室里批改作业,遇到两种错误。第一种错误是13班的陈雨婷同学所犯的:由n-2=7得到n=8.这种错误我能说什么呢,我想起以前所带的学生,有很多同学在考试中曾出现过13-5=9这样的错误。归根结底,就是做题时不细心啊。我曾经统计过,一个同学如果能把他在各次数学考试中因为低级错误而扣的分补回来,那么,他的数学成绩立马就会变为优秀。第二种错误是有这样一道题:从十边形的一个顶点出发,可以连多少条对角线?有很多同学用n边形对角形条数的计算公式0.5n(n-3),算得答案是35.找了几个出错的同学站在我的旁边,我用笔尖指着那句话,一个字一个字的移动,他突然大声说:“啊,是从一个顶点出发的啊。”其神情和语气,与小品里的范伟范大厨师有得一比。

       面对这些在生活中比较毛躁,在学习上常出低级错误的同学,我也只能定定地看着他,在心里缓缓地摇了摇头。佛经有云:心定,神定,法定,万事可定。孩子们,慢慢悟吧。




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9月24日星期二  晴



三角形复习备考



      今天这节课的主要任务是复习三角形里面的知识点,让同学们进一步感悟三角形的解答题格式该如何书写。明天,有两节连堂课,正好来测试一下,看一看同学们对知识点掌握的情况,然后再根据同学们的考试情况决定我后一阶段的教学如何进行。

      第一节在14班上,上课前,陈立烨到我办公室来说,小测本上有一道判断题:“在平面内,四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形。”他打的“×”,但我却判他错。他解释道:“这句话没有强调四条线段不在同一直线上,而且也没有与课本上一样强调是封闭图形。”我细想一下,觉得他说得很对,这句话确实是错误的,呆会到班级里要统一讲解这道题。

      后面还有一道题:“每个内角都是144o的多边形为_____边形。”正确答案是十边形,但很多同学却画蛇添足填“正十边形”,这样一来,就错了。很多同学就问为什么错?我答道:“根据课本上的定义,各个内角都相等,各条边都相等的多边形叫正多边形。这里只强调各个内角都相等,没有强调各条边都相等,所以不能是正十边形。”

      14班又有几个同学问:“各个内角都相等的多边形,它们的各条边不就相等了吗?如果不相等,能不能举一个反例呢?”虽然这几个同学对课本上的概念理解地不透彻,但他们居然知道要举一个反例来说明这句话不正确,我还是很高兴的。我先在黑板上画了一个正六边形,说明这个正六边形的各个内角,各条边是相等的。接着,我用彩色粉笔在这个正六边形的相对两条边上各取一点,然后过这两点分别画了另外两条边的平行线,这样也得到一个六边形。可是,这个新六边形的每个角的大小是相等的,但六条边却不再相等。通过这个例子,同学们都理解了有一种多边形的内角都是相等的,但每条边却不一定相等。

      接下来,练习册上的三角形单元复习题,我和同学们对了一下填空题的答案后,又找了四个同学到黑板上来写四道解答题的过程,写完过程后,再统一评讲。

      这四道解答题,伍洪瑞、陈立烨、陈龙翔三位同学主动举手要求上黑板板书解答过程,我又叫了周晖上来写第四个题的解题过程。这四个同学的数学成绩在班级里还算不错的,对于这四道解答题,他们都能把最后答案算对,但就是书写的解题格式不是很完美,最大的问题就是列算式计算的时候没有在所列算式前面写明这个算式的来历,看他们的解题过程不知道每一步都是在求什么,也不知道这些式子都是如何变形转化而来的。这种情况,我已经在14班说过多遍了,要将小学里的做题习惯快速变为初中的答题要求。看样子,对于我所提出的要求,同学们还要反复操练、不断领悟啊。

      有一道解答题,有三种做辅助线的方法,我针对黑板上一位同学所做的辅助线评讲完后,14班马上有同学站起来说,还有另外的辅助线,也可以做对。我立马肯定他的方法,而且,我也建议他就按自己所说的那种辅助线去完成此题。不管是哪一种辅助线,在答题时,都要写清楚解题过程。格式必须固定,思路可以多样。

      后面还有一道解答题,在一个三角形里,过一个顶点有一条高,有一条角平分线,然后问这两条线的夹角与另外两个内角是什么关系,如何证明。这种题目,在三角形这一章里,实在太多了,但很多同学却不知道如何思考。

      这种题目,我总结过,解题方法就是八个字:“转来转去,代来代去。”就是不停地转化,不停地代换。说是不停,其实也就是把角平分线和高线应用一次,再用一下三角形的内角和为180o这个隐含条件,然后经过一系列的耐心而又细心地变形,最后是一定可以得到最后的结果的。这种计算证明题,跟以前的学生讲解时,我有一个形象的说法,只要你的数学计算基本功是扎实的,你的书写格式是规范的,你把题目所给的已知条件都用一遍,最后是一定可以做出正确答案的,因为象这样的题目,上帝都已经安排好了,只有那一条路可以通过。

      上午第二节在13班上,为了节约课堂时间,我在课间就问了同学们,有谁愿意主动把自己的解答题过程利用下课休息时间写到黑板上,以便于上课时点评。马上,霍嘉琪、苏雪欣、唐靖莹、孙辰同学主动要求到黑板上写答案。对于这样的爱学习的同学,我立马答应了。在黑板上点评这些同学的答案,实际上是对他们进行一对一的免费辅导。我不得不说,这些主动要求到黑板上板演的同学是最聪明的。可能另外有一部分同学,觉得我没有找到他去板演,运气太好了,因为我没有耽误他玩耍的时间。对于这样的同学,我也只有和他一样认为,他的运气确实很好,但愿他一直都有这样的好运气。

      以下的评讲过程与在14班差不多,就是有两个地方,我重点强调了一下。一是在表示由两个角合起来的一个大角时,不能划弧线用数字表示,而应该用三个大写字母表示。二是有一个题的答案是1<x<7,这个式子到底该如何读呢?对于这种未知数x夹在中间的式子,有两种读法,可以从前往后读:1小于x小于7,也可以从中间往两边读:x大于1小于7.两种读法虽然都可以,但是对于这种中间夹的情况,我还是建议同学们采用后一种读法。

      今天的课间休息时间,我都在找14班的连家乐同学和汤韩琪同学改作业本上的错误,连家乐同学来得比较勤,基本上算是改完了,汤韩琪同学由于种种缘由一直都没有改完。

      明天的考试试卷上就有这两道题,这两位同学会考得怎么样呢?在辅导同学对必考题过关方面,我可以试着去走九十九步,但如果哪位同学不愿意迈出自己要走的那一步,那我也没有办法了。

      晚自习,每班都只有二十分钟的时间,所以在两个班里都布置了二十分钟的小测本上的任务,不同的是14班布置了4页的内容,13班由于少上了一节课只布置了3页的内容。




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9月25日  星期三  晴

三角形测试

今天每个班都有两节课,准备把三角形这一章来一次测验。

找了一份试卷,难度不大,基本上课堂上都讲过的,最后一个大题,更是在14班讲过两遍。试卷上规定了考试时间为40分钟,我准备根据具体情况再延长一点时间,反正今天是两节连堂课。对于掌握了知识点的同学来说,40分钟绰绰有余,相反,给他再多的时间也是枉然。

既然是考试,那肯定要摆出一副考试的架式。在14班,让同学们拉开桌椅后,就开考了。巡视了一遍,看同学们都在快速作答,我也坐在讲台上做起了这份试卷,这也是我从教多年来养成的习惯。一般,我对自己的要求是只用一半的时间完整而又规范地答完整张试卷。二十五分钟后,我完成了整张试卷,那么也就意味着,让同学们做五十分钟后就要交卷。

利用课间休息十分钟,凑足了五十分钟,我看到同学们都做得差不多了,就开始收卷。收卷完毕后,就让同学们呆在教室里补休了十分钟。

接下来还有大半节课的时间,我结合昨天晚自习所做的证明三角形全等出现的问题,在14班做了一个统一讲解。才开始证明全等,同学们总是出现各种各样的错误,虽然我在前几天上课时做出过更正,但还是有部分同学不以为然,屡做屡错。纠正完证明三角形全等的格式后,又给同学们讲解有些三角形,证明全等要做好准备工作,比如,要把题目所给的某两条线段相等转化为三角形的相应边相等。有一些同学喜欢这样写:

∵AB=CD,

AC=AB+BC,

BD=DC+BC,

∴AC=BD。

我让同学们以后再写这个过程时,统一改为:

∵AB=CD,

∴AB+BC=CD+BC,

∴AC=BD。

之所以要这样写,是因为这三行,步步有据。第一步是已知,第二步是根据等式的基本性质1在上一个等式两边同时加上一个相等的量,第三步是结合图形对第二步作出的一个解释。这也符合我在做几何推理题时所追求的层层推进,无懈可击的答题原则。

在讲课时,14班的黄nq同学与旁边的同学不停地在“讨论”,因为我无法听明白他是不是在与旁边的同学讲闲话,所以,我姑且用“讨论”这个词。我对他说:“这位同学是黄nq吧,你能不能少讲一点,上课认真听一听,先把你的做题习惯和数学成绩提高了再讲话,好不好啊?”下课后,我复想了一下,觉得当着全班同学这样说他,确实有点过份。一方面,不应该直接批评他上课讲话,另一方面,就算数学成绩提高了,也不能成为上课讲话的理由。有时候,心里一急,口不择言的老毛病又犯了,还是要多控制自己啊。好的是,黄nq同学还是很懂事的,我提醒了他之后,他立马就改正了,这种孩子也就是没有养成一种好的听讲习惯。我们都一起,慢慢地改进吧。

回到办公室,就开始批阅试卷。有一道填空题,很多人出错。“一个三角形的两边长分别是2和7,且第三边为奇数,则三角形的周长是_______。”这道题要先把第三边x的取值范围求出来,为5<x<9,接着在这个范围内再把奇数挑出来,恰好只有一个7,最后再去求周长为2+7+7=16,答案应该填16.

我找了几个出错的同学,问他们为什么把这道题做错了,他们看到我打的“×”之后,才开始认真审视这道题,看完题目后,一个个张大了嘴巴,欲言又止。我想起了范伟在小品《卖车》里面的一个经典的段子:赵本山问他,一加一在什么情况下等于二,憨憨的范大厨师立即梗着脖子喊了一句:“在算错的情况下等于二。”当本山大叔告诉他又错了时,他才想明白:“啊,这一次是等于2啊,你刚才不是说等于3的吗?”

我对他们说:“接下来的话,我来帮你们说吧:‘啊,这一题是求周长啊,上一次课堂上所讲的,不是求第三边的长吗?’”可惜我模仿范伟的声音不太象,否则,应该能让这些粗心的孩子印象更加深刻一点。这些常出低级错误的同学,我觉得已经不能光用粗心来形容了,他们是没有养成好的审题习惯和做题习惯,看到一道数学题的前半句后,没有马上去联想到与之相关的好几种题目问题和易错答案。不过,要是能达到这种境界,他们可能就都是学习上的佼佼者了,名牌大学的大门也应该就是向这些佼佼者敞开的吧。

试卷上还是一种错误是邓霖林同学的,题目说完了已知条件后,问直线AB与CD是否平行。邓霖林同学的答案与别人的都不一样,她是采用的验证法:她先假设AB与CD是平行的,然后经过一系列的推理,得到题目中的一个已知条件,从而再回过头来证实AB平行于CD。这种方法去做数学推理题当然是不行的,我们应该是从已知条件出发,经过一系列的推理,得到最后的结论。如果邓霖林同学看到我写的这一段,能够悟明白这个道理,我就觉得很值了。

连家乐、邓云龙同学在表示由两个单角组成的一个大角时,仍然是画弧线用数字表示的错误方法。跟他们两人一一指出来了,希望他们以后能够注意。

还有几种计算错误,现列举出来,不用点评。一是汤韩琪同学的:180-70-90=10.二是何少元同学的:180-60=130.希望其他同学与这两位同学一起,引以为戒。

13班同学是下午考试的,过程与时间和在14班差不多,我在阅卷的时候,发现一个怪现象,中间一些简单的解答题,13班同学的答题格式普遍比14班同学的好,当然,最后一个难题就比14班同学做的差多了。这是怎么回事呢?可能就是我以前曾说过的普通班的同学对新老师崇拜多,赞赏多,模仿多。重点班的孩子,对新老师质疑多,挑剔多,孤行多。

为了赶进度,13班的第二节课,我把落后于14班的边角边定理讲解了一遍。两边和夹角对应相等的两个三角形全等,对于同学们来说没有什么问题。讲解本节课的难点,两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等时,我很担心13班的同学们所画的三角形都是那种大一点的,没有人能画出那个小一点的三角形时。结果,有两个同学画的就是小一点的那个三角形,她们是王雪慧和肖淼同学,可能她们已经读过我上一周所写的在14班上课时的教学过程,她们知道这一种情况,她们愿意展示这一种可能的图形。我立马拿起他们所画的也是符合要求的小三角形和同学们所画的大三角形放在一起,向同学们说明,只要能举出一个这样的反例,就可以说明边边角对应相等的两个三角形不一定全等,更何况,居然有两个同学都画出了这种反例。

在13班刚讲到这里,就到下课时间了,练习巩固只有晚自习再来做了。晚自习在两个班都布置的是练习册上的用边角边定理证明三角形全等的题目,上台演板的同学都还做得不错。

今天在学校的QQ群里,有一位老师这样发表议论:“行为太规范后,会制约人的思维方式,从而变得循规蹈矩,久而久之变得没有创造力。”

联系到做数学解答题时,要求同学们规范书写格式,有部分同学及家长认为大可不必,他们怕格式规范后会让学生失去创造力。对于这一点,我想谈谈自己的一点想法:

行为规范与思维活跃并不矛盾,行为规范是外在的,思维活跃是内在的,循规蹈矩表现在行为方式上,创造活力体现在思想精神上,它们两者之间不仅没有矛盾,而且还可互相促进。如果真的要在行为规范和没有创造力之间强行划等号,那么,又怎么来解释“细节决定成败”这句话呢?

我们都知道,德国人的走路方式,穿衣习惯非常规范,甚至严谨到刻板的地步。但谁也不能否认,就是这样一个行为古板的民族,却创造出了巨大的物质财富和精神财富,宝马奔驰是世界上豪华的汽车品牌,德国足球激情澎湃,德国的诗歌优美含蓄,德国更是出现了很多伟大的思想家,比如马克思、恩格斯。

可是为什么这种观点在生活中颇有市场呢?因为有太多的生活事例提供了反面榜样,比如,撑死胆大的,饿死胆小的,比如一个仅小学毕业的大老板就敛聚了大量财富,而很多的大学毕业生却在为他打工,最典型的例子应该就是这几天在新闻里面大量出现的名人丁书苗了,丁书苗由于行贿高官正在接受审判,但更多的王书苗,张书苗,赵书苗呢?

确实是这样啊,行为规范,做事规矩的人没有得到回报,耍奸抹滑,剑走偏锋的人却大行其道。可你不觉得,这并不是做事规范的人的错误,而是整个社会处于转型期,种种分配制度不合理而造成的吗?我相信有一天,当知识和文化渐渐成为社会成员所共同追求的主流产品时,当西方流行的普世价值在国内慢慢生根时,当社会环境变得更加公平正义时,行为规范的人也一定是最具创造力的人。

上世纪六十年代,有一首诗非常流行:“当蜘蛛网无情地查封了我的炉台,当灰烬的余烟叹息着贫困的悲哀,我依然固执地铺平失望的灰烬,用美丽的雪花写下:相信未来;当我的紫葡萄化为深秋的露水,当我的鲜花依偎在别人的情怀,我依然固执地用凝霜的枯藤,在凄凉的大地上写下:相信未来。”

我们的思维可以立异,但我们的行为不应标新。当现今人们都在追求高曝光率、高回头率、高关注率时,孟非讲过一个笑话:“哪一天,当我走在大街上,而裤子拉链没有拉上的时候,回头率估计也是蛮高的。”

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9月25日  星期三  晴

三角形测试

今天每个班都有两节课,准备把三角形这一章来一次测验。

找了一份试卷,难度不大,基本上课堂上都讲过的,最后一个大题,更是在14班讲过两遍。试卷上规定了考试时间为40分钟,我准备根据具体情况再延长一点时间,反正今天是两节连堂课。对于掌握了知识点的同学来说,40分钟绰绰有余,相反,给他再多的时间也是枉然。

既然是考试,那肯定要摆出一副考试的架式。在14班,让同学们拉开桌椅后,就开考了。巡视了一遍,看同学们都在快速作答,我也坐在讲台上做起了这份试卷,这也是我从教多年来养成的习惯。一般,我对自己的要求是只用一半的时间完整而又规范地答完整张试卷。二十五分钟后,我完成了整张试卷,那么也就意味着,让同学们做五十分钟后就要交卷。

利用课间休息十分钟,凑足了五十分钟,我看到同学们都做得差不多了,就开始收卷。收卷完毕后,就让同学们呆在教室里补休了十分钟。

接下来还有大半节课的时间,我结合昨天晚自习所做的证明三角形全等出现的问题,在14班做了一个统一讲解。才开始证明全等,同学们总是出现各种各样的错误,虽然我在前几天上课时做出过更正,但还是有部分同学不以为然,屡做屡错。纠正完证明三角形全等的格式后,又给同学们讲解有些三角形,证明全等要做好准备工作,比如,要把题目所给的某两条线段相等转化为三角形的相应边相等。有一些同学喜欢这样写:

∵AB=CD,

AC=AB+BC,

BD=DC+BC,

∴AC=BD。

我让同学们以后再写这个过程时,统一改为:

∵AB=CD,

∴AB+BC=CD+BC,

∴AC=BD。

之所以要这样写,是因为这三行,步步有据。第一步是已知,第二步是根据等式的基本性质1在上一个等式两边同时加上一个相等的量,第三步是结合图形对第二步作出的一个解释。这也符合我在做几何推理题时所追求的层层推进,无懈可击的答题原则。

在讲课时,14班的黄nq同学与旁边的同学不停地在“讨论”,因为我无法听明白他是不是在与旁边的同学讲闲话,所以,我姑且用“讨论”这个词。我对他说:“这位同学是黄nq吧,你能不能少讲一点,上课认真听一听,先把你的做题习惯和数学成绩提高了再讲话,好不好啊?”下课后,我复想了一下,觉得当着全班同学这样说他,确实有点过份。一方面,不应该直接批评他上课讲话,另一方面,就算数学成绩提高了,也不能成为上课讲话的理由。有时候,心里一急,口不择言的老毛病又犯了,还是要多控制自己啊。好的是,黄nq同学还是很懂事的,我提醒了他之后,他立马就改正了,这种孩子也就是没有养成一种好的听讲习惯。我们都一起,慢慢地改进吧。

回到办公室,就开始批阅试卷。有一道填空题,很多人出错。“一个三角形的两边长分别是2和7,且第三边为奇数,则三角形的周长是_______。”这道题要先把第三边x的取值范围求出来,为5<x<9,接着在这个范围内再把奇数挑出来,恰好只有一个7,最后再去求周长为2+7+7=16,答案应该填16.

我找了几个出错的同学,问他们为什么把这道题做错了,他们看到我打的“×”之后,才开始认真审视这道题,看完题目后,一个个张大了嘴巴,欲言又止。我想起了范伟在小品《卖车》里面的一个经典的段子:赵本山问他,一加一在什么情况下等于二,憨憨的范大厨师立即梗着脖子喊了一句:“在算错的情况下等于二。”当本山大叔告诉他又错了时,他才想明白:“啊,这一次是等于2啊,你刚才不是说等于3的吗?”

我对他们说:“接下来的话,我来帮你们说吧:‘啊,这一题是求周长啊,上一次课堂上所讲的,不是求第三边的长吗?’”可惜我模仿范伟的声音不太象,否则,应该能让这些粗心的孩子印象更加深刻一点。这些常出低级错误的同学,我觉得已经不能光用粗心来形容了,他们是没有养成好的审题习惯和做题习惯,看到一道数学题的前半句后,没有马上去联想到与之相关的好几种题目问题和易错答案。不过,要是能达到这种境界,他们可能就都是学习上的佼佼者了,名牌大学的大门也应该就是向这些佼佼者敞开的吧。

试卷上还是一种错误是邓霖林同学的,题目说完了已知条件后,问直线AB与CD是否平行。邓霖林同学的答案与别人的都不一样,她是采用的验证法:她先假设AB与CD是平行的,然后经过一系列的推理,得到题目中的一个已知条件,从而再回过头来证实AB平行于CD。这种方法去做数学推理题当然是不行的,我们应该是从已知条件出发,经过一系列的推理,得到最后的结论。如果邓霖林同学看到我写的这一段,能够悟明白这个道理,我就觉得很值了。

连家乐、邓云龙同学在表示由两个单角组成的一个大角时,仍然是画弧线用数字表示的错误方法。跟他们两人一一指出来了,希望他们以后能够注意。

还有几种计算错误,现列举出来,不用点评。一是汤韩琪同学的:180-70-90=10.二是何少元同学的:180-60=130.希望其他同学与这两位同学一起,引以为戒。

13班同学是下午考试的,过程与时间和在14班差不多,我在阅卷的时候,发现一个怪现象,中间一些简单的解答题,13班同学的答题格式普遍比14班同学的好,当然,最后一个难题就比14班同学做的差多了。这是怎么回事呢?可能就是我以前曾说过的普通班的同学对新老师崇拜多,赞赏多,模仿多。重点班的孩子,对新老师质疑多,挑剔多,孤行多。

为了赶进度,13班的第二节课,我把落后于14班的边角边定理讲解了一遍。两边和夹角对应相等的两个三角形全等,对于同学们来说没有什么问题。讲解本节课的难点,两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等时,我很担心13班的同学们所画的三角形都是那种大一点的,没有人能画出那个小一点的三角形时。结果,有两个同学画的就是小一点的那个三角形,她们是王雪慧和肖淼同学,可能她们已经读过我上一周所写的在14班上课时的教学过程,她们知道这一种情况,她们愿意展示这一种可能的图形。我立马拿起他们所画的也是符合要求的小三角形和同学们所画的大三角形放在一起,向同学们说明,只要能举出一个这样的反例,就可以说明边边角对应相等的两个三角形不一定全等,更何况,居然有两个同学都画出了这种反例。

在13班刚讲到这里,就到下课时间了,练习巩固只有晚自习再来做了。晚自习在两个班都布置的是练习册上的用边角边定理证明三角形全等的题目,上台演板的同学都还做得不错。

今天在学校的QQ群里,有一位老师这样发表议论:“行为太规范后,会制约人的思维方式,从而变得循规蹈矩,久而久之变得没有创造力。”

联系到做数学解答题时,要求同学们规范书写格式,有部分同学及家长认为大可不必,他们怕格式规范后会让学生失去创造力。对于这一点,我想谈谈自己的一点想法:

行为规范与思维活跃并不矛盾,行为规范是外在的,思维活跃是内在的,循规蹈矩表现在行为方式上,创造活力体现在思想精神上,它们两者之间不仅没有矛盾,而且还可互相促进。如果真的要在行为规范和没有创造力之间强行划等号,那么,又怎么来解释“细节决定成败”这句话呢?

我们都知道,德国人的走路方式,穿衣习惯非常规范,甚至严谨到刻板的地步。但谁也不能否认,就是这样一个行为古板的民族,却创造出了巨大的物质财富和精神财富,宝马奔驰是世界上豪华的汽车品牌,德国足球激情澎湃,德国的诗歌优美含蓄,德国更是出现了很多伟大的思想家,比如马克思、恩格斯。

可是为什么这种观点在生活中颇有市场呢?因为有太多的生活事例提供了反面榜样,比如,撑死胆大的,饿死胆小的,比如一个仅小学毕业的大老板就敛聚了大量财富,而很多的大学毕业生却在为他打工,最典型的例子应该就是这几天在新闻里面大量出现的名人丁书苗了,丁书苗由于行贿高官正在接受审判,但更多的王书苗,张书苗,赵书苗呢?

确实是这样啊,行为规范,做事规矩的人没有得到回报,耍奸抹滑,剑走偏锋的人却大行其道。可你不觉得,这并不是做事规范的人的错误,而是整个社会处于转型期,种种分配制度不合理而造成的吗?我相信有一天,当知识和文化渐渐成为社会成员所共同追求的主流产品时,当西方流行的普世价值在国内慢慢生根时,当社会环境变得更加公平正义时,行为规范的人也一定是最具创造力的人。

上世纪六十年代,有一首诗非常流行:“当蜘蛛网无情地查封了我的炉台,当灰烬的余烟叹息着贫困的悲哀,我依然固执地铺平失望的灰烬,用美丽的雪花写下:相信未来;当我的紫葡萄化为深秋的露水,当我的鲜花依偎在别人的情怀,我依然固执地用凝霜的枯藤,在凄凉的大地上写下:相信未来。”

我们的思维可以立异,但我们的行为不应标新。当现今人们都在追求高曝光率、高回头率、高关注率时,孟非讲过一个笑话:“哪一天,当我走在大街上,而裤子拉链没有拉上的时候,回头率估计也是蛮高的。”

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发表于 2013-10-6 16:18:32 |显示全部楼层
不好意思,发了两遍,而且,因为审核后才发出来,不能编辑修改格式了。

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本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-6 16:23 编辑

9月26日星期四  晴

三角形全等的判定之角边角定理、角角边推论

    今天,把两个班的三角形测试卷都批阅完了,14班的最高分是朱文韬同学,120分的试卷,他一分都没有扣,满分。13班的最高分是邓贺怡和余锐风同学,并列第一,分数都是114分。这三位同学值得两个班的同学好好学习。两个班的最低分分别是……,还是不说了,相信下次,他们会进步的。

    这个测试成绩只是反映了同学们过去几周的学习状态,考得好的,继续保持;考得不好的,努力改进。从现在开始,到下一次考试,每个同学又都处于同一起跑线上,好好努力吧,同学们。

    最后一个大题最难,但以前在课堂上都讲过的,而且在14班还讲了两遍。就是三角形的两个内角的平分线,两个外角的平分线,一内角一外角的平分线所组成的夹角与第三个内角的关系。这个题是三角形这一章里面必须过关的一道解答题,在初二上学期的各种考试中,一个同学能否取得优异成绩,往往取决于这道题是否答得完整无误。

    在14班尽管讲过两遍,还让同学们都在作业本上做过了,但是只有三个人的解题过程完美无缺,他们是陈立烨、陈龙翔、朱文韬。大多数同学也做得正确,但总是在细节处理上欠缺一点。如何完美地写出一道解答题的规范过程,看来还任重道远啊。

    今天批改13班同学的考试试卷,出现的错误就更多了。还是这道填空题:“一个三角形的两边长分别是2和7,且第三边为奇数,则三角形的周长是_______。”13班黄文伟和邓竣升同学也粗心地以为是求第三边的长度。当他们来到我面前认真把题目重读一遍时,才意识到这个题目是求周长,正确答案应该是16.一道数学题,如果确实是不会做而丢分是情有可原的,但由于粗心,马虎而做错,则是最可惋惜的。

    象这样的粗心错误,13班同学里面还有很多,现摘录一部分。王中元同学的错误:180-70-70=30,曾晨同学的错误:180-70-35=85,还有一道计算题:540-150-145-60-120,张翊洋同学算成了165,曾晨算成了75,还有很多同学算成了其他错误答案。计算不过关的同学要想数学考试得高分几乎是不可能的。

    中午,把我做的标准答案试卷分别贴在两个班的教室里,先让同学们认真看看我写的标准格式,如果有人能得到一点启发,那就善莫大焉了。

    今天的课,分别在两个班讲三角形全等判定的第三种方法----角边角定理以及它的附属定理角角边推论。预备铃刚响,我还没有走近13班教室的时候,就听到一片热火朝天的读书声,原来同学们都在读背前几天所学的证明三角形全等的前两种方法。14班同学由于前两天的预备时间没有进行读背,有很多同学好象忘了这回事,而是呆呆地望着我,我也定定地看着他,好几秒后,他们才意识到要读背书上的知识点。在这一点上,14班同学反而要向13班同学看齐了。

    提问了几个同学,回答得都很好。接下来,承着这几位同学的回答,我开始了讲课。

    三角形各有三条边、三个角,共六个元素,从这六个元素里挑选三个元素,有这样几种组合。一是三条边,二是两边一角,这种组合又细分为边角边和边边角,边角边是可以证明三角形全等的,但边边角对应相等的两个三角形不一定全等。

    第三种组合是一边两角,这种组合又分为两种情况:1、两角及夹边,2、两角及第一个角的对边。说到这里,有同学问我:“什么叫夹边?”

    我正好在黑板上画了一个三角形,有两个角分别为30o和45o,这两个角的公共边,我用红色粉笔划了出来,向同学们解释,这条公共边就叫30o和45o角的夹边。待同学们都弄懂了夹边的含义之后,我就问同学们:“怎样在硬纸片上画出角边角分别为30o、8cm、45o的三角形呢?”同学们立刻拿出硬纸片,在上面画了起来,有一些动作迅捷的同学已经把画好的三角形剪下来交到了我的手上。收到十几个这样的小三角形后,我向同学们展示,按照角边角的这三个数据所画出来的三角形放在一起,它们能完全重合,这说明什么呢?

    由于已经学过了前两个判定三角形全等的定理,同学们很快就能答出:“两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等,简称为角边角或ASA。”

    这句重要定理是一定要在黑板上板书出来的,我在写的时候,要求同学们在书上标记出来,并在理解的基础上快速记忆。待我写完后,在13班,我专门试验了一次,让同学们读出这句定理,能够背诵的同学就不看书。同学们大声读背的时候,我站在第一大组前面,仔细的观察每一个人的脸,有三个同学在一分钟的时间里可以做到不需要看书就可以完全的背出这个判定定理了,他们是:李怡康、霍嘉琪、曾楚涵。希望其他同学都向他们学习这种高效的背记方法。

    接下来,用角边角定理讲解了课本上的例3。这个例题非常的简单,证明三角形全等的三个条件刚读完题目就呼之欲出,整个答题过程不需要做任何准备工作就可以开始证明了。我对同学们开玩笑说:“这个题目非常的善良。”不过,唯一不善良的是两个全等三角形扭在了一起,不便于观察。我拿出了我的杀手锏,把其中一个三角形用彩色粉笔勾勒出来,再把另一个三角形平移到旁边,让这两个三角形不再缠绵在一起。很快,同学们都迅速找出了证明三角形全等的三个条件。晚自习做练习册上的证明题时,有几个同学遇到较为复杂扭曲的全等三角形,也象我那样,用彩笔勾勒出其中的一个三角形,再进行分析。我看了之后非常高兴,因为我的解题习惯慢慢地感染了部分学生。

    后来,我又画了两个三角形,分别标明了两个角对应相等,还有第一个角的对边也对应相等。然后问同学们,能不能根据刚才所讲的角边角定理来证明这两个三角形全等呢?

    思考了将近一分钟,两个班都各有一个同学站起来回答:“可以的,因为这两个三角形分别有两个角相等,再由于三个角的内角和都是180o,所以第三个角也是相等的,这样一来,第二个角,第三个角,还有相等的那条边正好构成了角边角对应相等,根据角边角定理,这两个三角形是全等的。”

    回答得非常好,这就是我马上要总结的一个新结论,根据角边角定理所引导出来的一个推论:“两角与第一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等,简写为角角边或者AAS。”

    这虽然是三角形判定定理3的一个推论,但它也可以用来判定三角形全等。13班有一个同学小声地问:“既然角角边可以用来证明三角形全等,那为什么不就叫判定定理4呢?推论和定理是什么关系呢?”

    我一楞,是啊,推论和定理到底是什么关系呢?我想了一会儿,这样对同学们说:“推论是由定理所推导出来的,虽然地位上略逊一筹,但功能上是一样的,都可以用来证明三角形全等,而且,用角角边推论证明三角形全等是非常常见的。”

    看着部分同学还是睁着一双迷惑的眼睛,我又接着说道:“全等三角形的三个判定定理和这个推论就相当于小学部校长,初中部校长,高中部校长,高中部副校长。虽然是副校长,但也同样且有行政管理的权力。”

    对于刚才这个不恰当的比喻,虽然我觉得很不合适,但当同学们都在哈哈大笑时,我也露出了得意的神色。总算没有人再去纠缠我也解释不清楚的问题了。

    课本后面的第一个练习题,需要用角角边推论去证明,但很多同学在写三个元素对应相等时,并不是按照角、角、边分别相等的顺序写的,也就是用大括号括起来的第一行应该写第一个角对应相等,第二行应该写第二个角对应相等,第三行才写第一个角所对的边也对应相等,这是用角角边推论证明三角形全等时必须遵守的书写格式。还没来得及给同学们完全更正,下课铃声就响了,也只有待到明天再统一讲解证明三角形全等时,具体该如何书写过程了。

    晚自习,两个班的同学做数学题时都非常安静,有些同学遇到不懂的问题,也是轻轻地举手,小声地询问,其他的同学也没有交头接耳、轻声讨论的情况。这是第一次数学晚自习如此地安静,我很欣慰。同学们可一定要保持住哦!


点评

东方中华  “三角形全等的判定之角边角定理、角角边推论lor]”,不对,应该改为“角边角基本事实和它的推论‘角角边定理’”,只有AAS算定理。  发表于 2013-10-13 13:03:22

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本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-6 16:28 编辑

9月27日星期五  晴

证明三角形全等的阶段复习

    今天是星期五,但由于国庆节放长假,所以今天改上周一的课,明天上周二的课,后天才上周五的课。

    今天,每个班都只有一节课,我打算稍作停留,把前面所学的证明三角形全等的方法复习巩固一下,一方面是同学们积累了太多的知识点需要消化,另一方面,有几个典型证明题的推理过程和书写格式要再次强化。

    一上课,我就找了几个同学提问,到目前为止,我们学习的证明三角形全等的方法有哪几种?所找的几个同都回答的很好,共有四种,三个判定定理和一个推论。定理1:边边边,定理2:边角边,定理3:角边角,定理3的推论:角角边。

    我在黑板上边写这些内容边重点强调两个关键点:1、边角边证明三角形全等时,一定要注意,相等的角必须是两条对应边的夹角,如果相等的角不是夹角,而是一条边的对角,那么,是不能证明这两个三角形全等的,也就是说,“边边角”不能证明三角形全等。2、两角一边分别对应相等有两种情况,角边角和角角边,这两种组合都可以证明三角形全等,在应用的时候,一定要仔细分辨,如果相等的边是两个对应角的夹边,那么就要用角边角定理,在书写解题过程时,括在大括号里的三个全等条件一定要按照角边角对应相等的顺序来写,也就是说,对应边相等一定要写在中间位置;如果相等的边是第一个角的对边,那么就要用角角边推论,在书写证明过程的时候,要按照角角边相等的顺序来写,也就是说,第一个角相等要写在最上一行,第二个角相等要写在中间,第一个角的对边相等要写在最后一行,这样才符合用角角边推论来证明三角形全等的格式。

    讲完这些知识点后,我就从练习册上找了四道典型习题,让同学们先做,做得快的同学举手,然后,点到黑板上来写自己的解题过程。14班率先做完的同学很多,我从举手的同学里面找了这样几位同学:江蔚桢、邓霖林、梁梓航、曾耀豪。还有一些同学也很早就做完了这四道题,纷纷举手,最积极的就是邓云龙了,我对他说:“你先在座位上做做其他的题目,给别的同学一个到黑板上演板的机会,好吗?”

    邓云龙同学,我在14班多次表扬过,他是一个对自己要求很高,学习数学很踏实,也很积极的同学,我曾多次点他到黑板上去演板。这一次,我没有点他去黑板上做题,他没有一点负面情绪,马上去做其他我还没有布置的习题。这种对老师的理解,这种对学习的态度值得所有的同学向他看齐。

    布置同学们做的四道题是我精心从练习册上挑选出来的。第一题是常规的三角形全等的证明题。江蔚桢同学在黑板上写完此题的解题过程后,回到了座位,过了几分钟,她发现了过程里面有一个小瑕疵,马上又上来更正,14班就有部分同学大声抗议。我对同学们说:“上来演板的同学如果出现了错误,其实对大家来说比这位同学做对了此题更有价值,因为我们可以一起纠正这种错误并在以后的解答过程中予以避免。这一次,就让江蔚桢同学更正完算了,下次如果有人写错了,回到座位后才发现,就不要再上来改了。考试时,你一旦交卷,哪还有修改的机会?所以,同学们,一定要把数学基本功打扎实,做题时争取一遍做对。”

    著名作家柳青曾说过,人的一生虽然漫长,但关键处就那么几步,我们必须每一步都小心翼翼,因为一旦走错,就没有修改的机会,更不可能再次重来。

    第二题要证明两次三角形全等,证第一次全等是为了得到一条对应边相等,从而为证明第二次全等做好准备。初中数学里较难一点的全等证明题就有这一种。

      第三题和第四题是一个重点,也是一个难点,就是已知条件里有两个垂直或者三个垂直,同学们在找三角形全等的条件时,往往只能找到两个条件,第三个全等条件怎么找也找不到。而这第三个全等条件却是远在天边,近在眼前,就是利用图形中的两个垂直得到两个锐角相等。还是结合图形来说明吧:

      如图,AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,AB=CD。求证:△ABC ≌△CDE。

1.gif

       这个题目,在找全等条件时,很多同学都只能找到两个,第三个全等条件怎么也找不到,我跟同学们讲,AC⊥CE不就说明∠ACE=90o吗,继而说明∠1+∠2=90o,很多同学点了点头,又由于AB⊥BD,说明∠A+∠2=90o,既然∠1和∠A都加上∠2是90o,那么,不就说明∠1=∠A吗?,这样证明三角形全等不就有了第三个条件了吗?同学们想了一会儿才恍然大悟。这个推理过程是几何证明题里经常会遇到的。

      在13班上课时,我担心部分同学过几天时间会遗忘了这个经典推理过程,就又对同学们总结道:“这里用到两个垂直,可以得到两个直角三角形里面的两个较小的锐角相等,简称为“双垂直,尖角等。”双垂直,就是利用两个垂直,尖角等,就是可以得到两个直角三角形中两个较小的锐角相等。让同学们看着这个经典图形又念了一遍“双垂直,尖角等”后,就让同学们开始做这个题了。

      第四题与第三题是一种类型,也是要利用“双垂直,尖角等”来找到第三个全等条件。希望同学们以后再做类似的有多个垂直的几何证明题,特别是证明三角形全等始终差一个条件时,能马上想起我今天给他们讲的口决:“双垂直,尖角等”。其实,如果同学们数学题做多了之后,就可以发现,对于有多个垂直的又需要证明三角形全等的几何解答题,几乎都是这种思维方式。因为要把多个垂直和三角形全等联系起来命题的话,所有的命题老师都只有这一种命题模式。

      在13班上课时,做得最快被我点到黑板上演板的四位同学是李怡康,霍嘉琪,黄文伟,曾晨。这四个同学的答案写完后,我用红色粉笔为他们进行了一些细节方面的修改,再让同学们仔细看一看整个过程,然后按照我所修改的标准答案再进行改正。

      有几个怎么讲也不太明白的同学,我只好叫他们下位到黑板前面,将整个标准解题过程先抄下来,以后再慢慢地悟吧。





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发表于 2013-10-6 16:29:39 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-6 16:32 编辑

9月28日星期六  晴



斜边、直角边定理



      今天星期六,上周二的课。教学内容为斜边、直角边定理,这个定理只能用来证明直角三角形全等,简称为HL。

      上课后,我首先找了几个同学回忆前面所学的三角形的判定定理。在14班找了丁子涵、尹子洋、刘万芊等同学,在13班找的是艾奥杰、李怡康等同学,这几个同学把几个判定定理背得是滚瓜烂熟。

      “三边分别相等的两个三角形全等。”

      “两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。”

      “两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。”

      “两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角角全等。”

      我在黑板上依次写下:“边边边,边角边,角边角,角角边。”在写这几个定理的简称时,我专门在边角边的后面留下了一个很大的空。然后问同学们:“两边一角分别相等,除了边角边定理外,还有一种组合是不能证明三角形全等的,请问,是什么组合?”

      同学们马上大声回答:“是边边角组合,两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。”

      我在黑板上边角边后面用红色粉笔写下了“边边角”三个字,又在这三个字后面打了一个“×”,接着边在黑板上画图,边给同学们解释:“上一周,专门让同学们画过边边角分别为4cm,7cm,30o的一个三角形,其中,4cm的边是30o角所对的边,当时,几乎所有的同学都是画的那个大一点的三角形,但是有一个同学画了一个符合要求的小三角形,而这个小三角形与同学们所画的并不全等,同学们,你们还记得这位同学是谁吗?”

      14班的同学还记得很清楚:“是秦鹏同学”。在13班上课时,同学们也记得很清楚:“是王雪慧和肖淼同学”。我对同学们说:“哪怕只有一个同学画出符合要求的三角形,而这个三角形与同学们所画的不全等,我们就可以说边边角对应相等是不能证明三角形全等的。”

      接着,我话锋一转:“如果把这里的这个30o的锐角改为90o的直角,7cm的边就成了直角边,它所对的边自然不能再是4cm了,应该比旁边的7cm的直角边要长。”说到这里,我停了一下,找了一个同学来问,为什么这个时候,90o的直角所对的边要比旁边的7cm的边要长呢?这位同学马上就回答了:“因为此时90o的角所对的边是这个直角三角形的斜边,而斜边要比直角边长。”

      同学们能知道直角三角形的斜边比直角边长,我已经很满意了,至于斜边为什么要比直角边长,是因为直线外一点到直线上所有点的连线中,垂线段最短。我思考了片刻,没有问大家这个知识点,因为我不想把简单的问题弄得过于复杂。

      接下来,我把90o的直角所对的斜边定为9cm,这里,之所以要把斜边定为9cm,直角边定为7cm,是因为我在课前亲自画过,这样的直角三角形不大不小,恰好便于同学们观察。

       在13班上课时,有部分同学不知从何画起,我就在黑板上做出示范:第一步,利用三角板,先在黑板上画一个直角。第二步,在一条直角边上截取一条线段等于7cm,第三步最关键,我问同学们:“直角三角形的两个顶点确定了,如何确定第三个顶点,而且斜边恰好是9cm呢?有部分同学就说了,用圆规。

      对,当知道一个顶点,同时知道一条边的长度时,要确定另一个顶点时,圆规就是首选的工具。把圆规张开9cm的长度,以直角边的一个顶点为圆心,以9cm的长为半径,画弧,与另一条直角边有一个交点,这就是所画直角三角形的第三个顶点。

       同学们在用圆规画图的过程中,我看到坐在最前面的艾奥杰同学没有圆规,但他也画出了符合要求的直角三角形。我觉得很奇怪,就问他是如何做到的。

       艾奥杰答道:“用三角板上的刻度尺,把0刻度线对准直角边的一个顶点,摆弄三角板的位置,让9cm的刻度线恰好落在另一条直角边上,然后在这个直角边上作一个记号,这个记号就是直角三角形的另一个顶点。我听了后,觉得虽然这个办法不符合尺规作图的要求,但也确实算是一种好办法。看着艾奥杰同学,我在心里不由得点了点头。

      现在的每一个孩子其实都很聪明,但数学考试并不考察你在生活中聪不聪明,而是看你会不会做那些按照固定思路所设计出来的数学题,看你在做这些数学题时是不是细心。而且,这种考察有时候直接决定着你能进入什么样的大学去深造,直接决定着你将来参加工作时的起点和层面。面对中国的这种可能在五十年内都无法改变的教育现状,我也没有什么办法,只能随波逐流、服从现实。

      对于艾奥杰同学,以后肯定要跟他讲,他现在所用的这种方法是不行的,但这一次,我只是对他点了点头,就默默地走开了。

      有近二十个同学画完后,又用剪刀将直角三角形剪了下来,纷纷叫着:“老师,收我的,收我的。”虽然我事先说了只收十个人所剪下来的三角形,但看到同学们都这么积极,这么信赖我,我有什么理由不收后面同学交来的小三角形呢?

      收来的小直角三角形叠放在一起后,让同学们观察,所有的直角三角形都重合。由此,我得到一个结论,并板书到黑板上:“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写为“斜边、直角边”或“HL”。我又对同学们说:“这里的H和L,居我分析,应该是斜边和直角边的英文单词的第一个字母,同学们可以下课查一查英文字典,看我猜测的对不对。

      让同学们将这个定理齐读一遍后,我对同学们发表感慨:“边边角组合本来是不能证明三角形全等的,但是,当这个角由锐角变身为直角后,情况发生了巨变,原来被打入冷宫的边边角组合一下子来了个咸鱼翻身,得道成仙,修成正果了,成了斜边直角边定理,从而让我们刮目相看。我们在坐的每一个同学,特别是一些学习较差的同学,可能在以前,你的成绩很少引起老师和同学们的注意,但是,只要你也象边边角组合那样,改变一个因素,也就是在你的学习过程中,变懒散为勤奋,变消极为积极,那么,你也可以象边边角组合一样,来一个咸鱼翻身,让所有的同学都对你刮目相看。”

      下课后,我还在思考边边角组合与斜边直角边定理之间的关系。确实,只因为一个角由锐角变成了直角,那么,本来被打入另册的谬误一下子变身为真理。生活中,这样的事例不胜枚举。一个人,他如果能把身上的某一个锐角改变成一个直角,也就是把尖锐、尖刻的毛病变为直率、正直的性格,再加上扩大自己的一条边的长度,也就是让自己拥有某种擅长、特长,那么,可能他以前被人冷落,从未成功过,但假以时日,他也会由庸才变身为精英。史玉柱、俞敏洪,乔布斯不都是这样取得巨大成功的吗?

      课堂上,把斜边直角边定理讲完后,我专门给了两分钟时间,让同学们认真看课本上一道用斜边直角边定理证明直角三角形全等的例题,看完后,让同学们回答,用斜边直角边定理证明三角形全等的过程与我们以前的证明三角形全等的过程有什么相同点和不同点。

      有同学就说了,用大括号括起来的条件只有两个,第一行写的是两个直角三角形的斜边对应相等,第二行写得是一组直角边对应相等。又有同学说了,过程里面也写了第三个条件,就是有两个角都是直角,不过,这个条件是做为准备工作写在最前面。我立刻表扬了这个善于观察的同学。又有同学说:“与以前的证明三角形全等相比,在△的符号前都有两个大写字母“RT”,我让同学们猜测一下,这个“RT”大概会是什么意思。同学们立即回答:“是直角英文单词的简写。我虽然没有去查字典,但估计差不多吧。

      表扬了同学们观察仔细后,我又按照课本上例题的证明过程在黑板上重写了一遍,强调了几个与以前用其它方法证明三角形全等不同的地方,之后,就让同学们做练习册上的两道习题,看看同学们是否真正掌握了用HL定理证明三角形全等的格式。

      在14班找的是张祺、姜云清同学,在13班找得是陈晓桐、郑子凯同学,他们做得都很好,只是有几个细节问题没有注意,比如,用斜边直角边定理证明直角三角形全等时,要把斜边相等写在大括号里面的第一行,而很多同学在写过程的时候,没有注意这一点。

       晚自习时间,让同学们就做这一节练习册上剩余的习题。有几个题要证两次三角形全等,而且有的全等三角形互相咬合在一起,很不好观察,有些全等条件非常隐蔽,比如公共边,公共角,对顶角等,还有些题目所给的条件是不能直接作为证明三角形全等的条件的,还需要对这些条件进行改造,也就是做好准备工作,然后再去证三角形全等。在13班上课时,王中元同学给这些条件取了一个名字,叫辅助条件,我想了一下,觉得还蛮合适的,表扬了王中元同学后,我也把这样的条件称为辅助条件了。

      这一章的有些证明题之所以难,就是因为在这些证明题里面,要综合用到这些知识点,要随时调用头脑里面还不熟练的解题技巧,这对于悟性好,脑袋瓜子灵活的同学来说,可能很快就能掌握,但对于另外一些同学来说,就会感到力不从心了。希望同学们都能睁大慧眼,打开心眼,多练多见识,多悟多总结。如能做到,则每一个同学都是可以取得进步的。



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