搜索
楼主: lqhmzp

[原创] 我这样教数学(日记连载) [复制链接]

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-10-6 16:34:51 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-6 16:40 编辑

9月29日星期日  多云



角平分线的性质(1)



      今天上星期五的课,每个班都有两节。上午第一节,在13班上。

      首先,我公布了上周写博客评论的获奖同学名单,15日的获奖者是邓霖林,16日的是霍嘉琪,17日的是唐靖莹,18日的是陈彦彤,另外本周考试朱文韬同学得了满分。上述同学每人发了一个写有“奖”字的作业本,以示鼓励。

      接下来,先布置了假期任务,以免下课后忘记了。

      一是回家后到书店或者网上去购买数学导学案和配套试卷,也可以到课代表处登记后到我那里去拿。上一周,有一个书商专门在我那里放了100套。我对同学们是这样说的:“我的数学教学一般是两轮,第一轮在讲课时做学校发的资料,考试一套试卷,在期中考试前两周和期末考试前四周的复习时间里再做一本资料,考试一套试卷。两轮下来,两套资料交叉覆盖后,基本上可以囊括考试时的各个知识点。但现在市面上的很多资料良莠不齐,有很多资料根本就不是从事一线教学的老师编写的,而是东拼西凑,题目偏难偏怪,不适合复习。由广州出版社所编的这套数学导学案从题型到难度都很不错,我在以前的教学过程中经常用,反响很好,所以要求同学们都准备这套资料。而且东莞排名NO.1的一所学校的初二学生也在用这套资料。我们当然不能坐井观天,而是要将目光瞄向东莞最强大的对手,学习他,研究他,超越他。清人魏源已经知道“师夷之长以制夷”,更何况今天怀有远大目标的南开学子呢,知己知彼,百战不殆。

      二是下周返校时要带圆规、剪纸刀,上课要用,不能再没有。

      三是同学们都关心的家庭作业,本来,学校统一印制了一大一小两张试卷,我是这样布置的,小试卷每人都必须做,下周到校后上交检查,大试卷可以选择不做,但回家后必须看我写的博文,发评论署名,如果有同学既愿意看博文署名,又愿意做大试卷的,那当然要大肆表扬这样的学习积极的同学了。

      接下来,找同学回答了证明三角形全等的方法,共五种:1、边边边,2、边角边,3、角边角,4、角角边,5、HL。让同学们拿出练习册,挑选了几道典型题进行了讲解。有一个大题有5个小题,都是同一个图形,但是条件不同,让同学们说明应该用何种方法去证明三角形全等。这道题把证明三角形全等的五种方法都涉及到了,叫了五个同学起来回答,都回答的很好。三角形全等,只要认真观察,基本上是没有什么难度的,因为只有这五种证明三角形全等的方法,根据题目条件认真比对即可。

      练习册上有一道选择题,问能判定两个三角形全等的是哪一项,下面有四个选择项,每个选择项都有三个相等的元素。这个题目对于理解力强的同学来说没有什么问题,但总有一些同学,对几个判定定理理解的不透彻,四个选择项猛一看上去,似乎个个都对,因为每个选择项都是三个元素分别相等。

      我在黑板上画了两个三角形,选了一个错误的选择项,跟同学们一起分析,为什么这个选择项的三个条件是不能证明三角形全等的呢?在两个三角形中,第一个角是对应相等的,第二个角也是对应相等的,但前一个三角形的第一个角的对边与后一个三角形的第二个角的对边相等,这样可以说两个三角形全等吗?当然不能,因为不对应。什么叫对应相等呢,就是前一个三角形的第一个角的对边与后一个三角形的第一个角的对边相等,才能叫对应相等,而不是随便找两条线段相等,搞拉郎配。

      又在练习册上找了三个解答题,在13班找了谢扬波做第一题,后来,吴志、李怡康主动举手,要求到黑板上来做,我立马答应了,这两个同学本周学习非常积极,值得表扬。

      三个同学做完后,针对他们出现的一些细节上的小错误进行了点评更正,最普遍的细节错误就是用HL证明三角形全等时没有把斜边相等写在大括号里的第一行,还有部分同学在三角形全等后面没有注明运用的是何种判定定理。

      学生做数学解答题很有点像一个乡下农妇挑着两大筐鸡蛋到人群拥挤的城镇去买,她既要小心左侧的行人挤破了她的蛋筐,又要担心右侧的行人碰翻了她的竹篮,还要防备前面的行人贸然横穿马路,更要注意后面的行人偷拿她的鸡蛋。总之,要处处小心,步步为营,方可完整无误,正确得分。

      第二节课,讲解角平分线的性质。

      这一节课的内容,很不好理解,角平分线的性质更不好应用。而且这一节的课文编排也很不合理。

      其一,本来是两节课的内容,却搅合到一起,前面是角平分线的性质,后面是角平分线的判定及角平分线的作图应用,可是最后面又是一个利用角平分线的性质去解答的例题。学生不好去自学,老师也不好去讲解。

      其二,角平分线的性质是“角平分线上的点到角两边的距离相等”,这个性质在运用时,要强调三个条件:角平分线,点到一边的距离,点到另一边的距离;最后得到一个结论:两个距离相等。

      这个性质该如何用符号语言来表达呢?举例说明:

      如图:

clip_image002.gif

      ∵∠AOC=∠BOC

          PD⊥OA

          PE⊥OB

      ∴ PD=PE

      可我翻遍了整节课文,也没有找到这样一个规范的书写过程,就算是最后的一个例题,用到了角平分线的性质,也没有这样写,而是用了大量的文字语言,别说这样做不符合数学学习的特点,就是看一遍也觉得心里烦闷。很多时候,学生做数学题的书写格式不规范,有一个原因就是教材就没有一个规范的示例,可以让同学们好好模仿。可是,中考阅卷都是由那些一线教师进行的,他们对书写格式要求得很严,对于老师们之间约定俗成的一些规范的书写格式,如有不遵,立即扣分。真想向那些编写教材的教育专家们建议,让他们多组织一些一直在一线从事教学的数学老师去编写,这样,会更合理,更科学。

      其三,课文开篇由平分角的仪器引入,然后再类比得到角平分线的尺规作图,这个过程是非常好的,可这个平分角的仪器在画图时把那条角平分线摆放在垂直向下的方向上,与下面的尺规作图所画的角平分线斜向右上的方向不相一致,而且,这种角平分仪器恕我眼拙,我不知在哪里能够看到,能够买到,能够用到。生活中真的有这种仪器吗?现实中真的有这种坑爹的发明吗?

      其四,角平分线的性质,书上是这样说的:“角的平分线上的点到角的两边的距离相等。”我专门让同学们把其中的两个“的”删除,这样一来就变成:“角平分线上的点到角两边的距离相等。”删除两个“的”后,意思丝毫没变,但是读起来,顺利流畅,朗朗上口,利于理解。后面的角平分线的判定也是如此。

      真想向那些编写教材的教育专家们建议,不要以为把数学书里面的各章节内容调换一下位置就是更科学的新版本教材。我从读初中开始到现在为止,见过的各种版本的初中数学教材几乎有一打之多,而且可以预见,现在所使用的这本教材还会被新的不在一线从事教育教学的教育专家们继续更改。

      真希望那些教育专家们多去问问多年来一直在一线从事教学的数学老师,甚至去组织这样的数学老师们去编写,去修订。可惜自己人微言轻,无人理睬。

      牢骚发完后,还是言归正传吧。

      我给了三分钟时间让同学们认真看书,并将重点内容划下来。待同学们都看完后,我就开始讲解三个问题:

      1、平分角的仪器的原理是什么?

      由于同学们看得很认真,我又在黑板上专门画图说明了几条相等的线段,所以找了一个同学,马上能够回答出仪器的原理就是利用边边边定理可以证明三角形全等,然后再得到对应角相等。

      2、如何用尺规作图法画一个角的角平分线?

      用尺规作图画角平分线是中考数学试卷上必考的一个知识点,我先在黑板上分三个步骤分别详细讲解如何操作,然后再让同学们在草稿本上模仿去画,力求人人过关。画完后,我又找了一位同学,问他这样画角平分线的原理是什么?这位同学回答得很好,与上面平分角的仪器的原理是一样的,都是利用边边边定理得到三角形全等,再得到对应角相等的。

       3、角平分线的性质是什么?

       按照我的方法,让同学们删除两个“的”后,我把角平分线的性质写在了黑板上:“角平分线上的点到角两边的距离相等”,然后结合图形,分析题目的已知条件和结论。

      角平分线也就是说OC是∠AOB的角平分线,说明∠AOC=∠BOC,角平分线上的点有无数个,我们任意选择一个点P,这个点到两边的距离就是指P点到边OA的距离和P点到边OB的距离。在13班,我找的是曾晨和王中元同学来黑板上画这个距离,在14班上课时,我找的是陈龙翔和邓霖林同学到黑板上画点到边的距离,其他同学坐在下面认真观察。还好,这几位同学都知道点到直线的距离指的就是点到直线的垂线段的长度。他们一个个利用三角板的直角,把点到边的距离画的有模有样,我顺势在黑板上写下:

       已知:∠AOC=∠BOC

                PD⊥OA

                PE⊥OB

      最后的结论是距离相等,这是什么意思呢,如何证明呢?同学们都回答:“距离相等,就是说线段PD=PE”。接着,我在黑板上写下:

      求证:PD=PE

      如何证明呢?让同学们思考了一分钟后,马上就有同学举手了,可以用角角边定理来证明△POD ≌△POE,然后就可以得到PD=PE了,这个证明过程很简单,书上也有详细的证明过程,我就没有在黑板上板书这个证明过程。

      证明了角平分线的性质是正确的之后,我就对同学们讲:“我们今天既然证明了这个性质是正确的,那么以后在遇到类似的图形时,我们就可以直接利用这个性质来得到结论。标准过程如何写呢?”

      我把黑板上刚写的那四行擦去了四个字“已知、求证”,分别改为了“∵、∴”这就是角平分线的性质具体运用时的规范的书写格式,∵后面有三行,∴后面有一行,由三个条件得到一个结论。直接利用这个性质得到PD=PE,还是比证明三角形全等来的方便一点。让同学们将这个规范过程写在书上之后,就到了下课时间,做类似的习题也只有等到下周来再说了。

       在14班上课时,整个过程大同小异,但刚开始上课时,有一个情况让我在14班第一次发怒了。

       我在找同学总结证明三角形全等的方法时,问到边边角对应相等能不能证明三角形全等时,有一个同学在下面大声喊道:“不----能----证-----”。可惜,在WORD文档上只能打字,不能将那位同学阴阳怪气的语调完整地播放出来。这位同学的怪腔怪调刚脱口而出,就引起了同学们的巨笑。联想到14班总有几个同学在回答我的提问时喜欢说:“是----啊-----,是-----啊-----”,我心中的无名之火就在急速沸腾。气大丧肝,我决定发泄出来。

      等同学们笑声停止后,我边重重敲着讲台边对同学们说:“这位同学这样搞笑一下,觉得很有趣,是吗?你要是能搞出点大幽默、大智慧,我以前在博文里面曾经写过的,我也可以和同学们一起江山不要,开怀一笑,可你刚才的表现只是一种小伎俩,小滑稽,让同学们笑完之后只会嘲笑你的无知、庸俗、浅薄。前几周,我在你们教室后面的黑板报上看到一句话:‘有才无德的人是危险品。’我们14班的同学与13班的同学比起来,可能在成绩上确实略胜一筹。但是,我在13班上课时,没有这样搞笑课堂的事情发生,13班的同学在数学课上都是尊重老师,尊重课堂的,而不是象我们14班的这位同学一样。虽然只有一个同学这样表现,但是,老师会认为是14班的同学这样的,你给整个14班抹了黑,你让整个14班蒙了羞。而且,我还是一个很善于联想的人,由这位同学的这个举动,我不由地想,你背后的家长是如何教育自己的孩子的呢,你的爸爸难道教育你可以这样无视课堂纪律吗?你的妈妈难道教育你可以这样随意轻蔑老师吗?”

      停顿了片刻,我又接着说道:“我带13班和14班快一个月了,这是我第一次在教室里发怒,没想到,第一次发怒不是在13班,而是在14班这个被老师们寄予了太多厚望的重点班级,是对被老师们倾注了太多关注的尖子学生。耻辱!是这个学生的耻辱,也是整个班级的耻辱。不过,我相信,班级里大多数学生是有正气的,是有正义感的,针对这样的故意搞笑课堂的同学,是从心底深处深深鄙视的。如果这位同学只是一时好玩,或者习惯成自然,控制不住自己,那么,这次我原谅你。但你如果不怕遭到老师的臭骂,不怕同学们鄙视的目光,不惧大家往你的身上吐口水的话,你可以继续这样做。”

       同学们可能被我怒气冲冲的表情吓呆了,一个个正襟危坐,鸦雀无声。

       才带这两个班时,我曾经下过决心,不再发怒,但有时实在控制不住自己啊。我不是弥勒佛,我还没有修炼到能容天下难容之事,我只是一个普通的老师,我有自己的喜怒哀乐,我更是一个世俗的凡人,高兴时会喜形于色,愤怒时也会脸挂秋霜,我有自己的喜好标准,也有自己的憎恶原则。

      接下来的讲课,我生气得都不想找那些喜欢搞笑的同学回答问题。

      在找三位同学到黑板上做题时,我找了程思思、何少元、邓云龙同学,三位同学做得都很好,只是有几个小细节处理得有所欠缺,更正完毕后就下课了。

      下午第一节课,在14班上。这一节课,我的气顺多了,我也忘了那几个惹我生气的同学,回答问题时,该找谁就找谁,该叫谁到黑板上写解题过程,就叫谁上来写。整个过程与在13班没有太多的不同。





使用道具 举报

钻石会员

敬畏生命,好好活着

Rank: 6Rank: 6

威望
1228
注册时间
2003-11-30
积分
18092
精华
38
帖子
15234
发表于 2013-10-7 09:48:37 |显示全部楼层
真是一位非常用心的老师,学习中……

使用道具 举报

Rank: 2

威望
0
注册时间
2013-9-4
积分
74
精华
0
帖子
72
发表于 2013-10-9 20:16:24 |显示全部楼层
将会关注楼主的进展

使用道具 举报

Rank: 2

威望
0
注册时间
2013-9-26
积分
89
精华
0
帖子
86
发表于 2013-10-10 19:35:55 |显示全部楼层
楼主全手工输入,不顶不行啊

使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-10-12 18:25:03 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-12 18:27 编辑

10月6日星期日  晴



国庆假期后返校



      这几周,学生和老师都玩爆了,上一个星期课就休息一周的时间,以后的教学要是都象这样开展,那可就爽歪歪啰。

     七天的国庆长假今天结束。返校前,我又在家里认真细读同学们在我的博客里所发的评论。

      9月23日的博文,李怡康同学的评论最合我意:“很佩服老师这种坚持不懈的写作精神,值得我们去学习。 唉,这个星期我很伤心,因为这次数学考差了,不过我对这次考试做了分析,主要原因是做题速度太慢,最后一题基本上是乱写的,其次就是我做题效率不高,速度一快,错的就多。这些都是我的缺陷,我会努力改正的。现在我最大的心愿就是想快点再参加一次考试,来弥补我的这次失败。我知道这不属于评论内容,但是我想借此抒发一下自己的心情,也可以让老师更近一步的了解我。”

      有同学曾问过我,最佳评论的标准是什么?我认为,只要是你的真实所想,只要你言之有物,只要你内容丰富,只要你能引起我的共鸣,我都认为是好的评论。所谓嘻笑怒骂,源于心性,皆成文章。是也。

      上一次考试结束后,所有的同学又都处于同一起跑线上,你在上课时听讲的专注程度,你对老师所讲知识细节的领悟情况,你对作业完成的正确与否,所有的这一切,将决定着你下一次考试时的成绩。

       9月24日的博文,最佳评论是唐珉浩同学的:“这是台风放假后的第一节课,我都已经忘很多了。老师写的很形象,把当天上课的知识要点,全部一点点浮现在我的脑海里。在家又上了一节课,又巩固了一次,这样的作业真是又妙有好。记住了,这样的作业并不是免去那张试卷,也不是为了那个写有“奖”字的本子,而是为了更好地巩固知识。”

      唐珉浩同学对我所布置的作业理解地最为正确,也最为深刻。

        925日的最佳评论是张灿同学的:“不尽人意的考试分数不会摧毁我心中的理想,反而可以激发我的斗志,我还有时间,还有机会。虽然一次考试不能说明什么,考试成绩会被渐渐淡忘,但一次次考试让我学会了坚强。你自己都不相信自己,别人又怎么可能会相信你。我决定,要好好学习,认真对待每一次考试。”

      巴西的蝴蝶扇动一下翅膀,就会引出北美的一场飓风,更何况,直接对考试成绩起决定作用的学习状态呢?张灿同学在过去的一段时间里,学习状态出现了一些问题,这样的问题直接导致了他在考试时糟糕的成绩。幸运地是,他意识到这种问题,并努力地去改变它。现在离关健性的中考还很漫长,如果醒悟,如果努力,还是有很多的机会扭转局面,反败为胜的。关健是看自己。

       9月26日的最佳是唐靖莹同学的:“这次考得不好呢,我会继续努力的。说真的,我的数学不怎么好,我自己也有买资料做,可是不管做多少成绩就是上不去,每次一些知识点在考试过后才理解,思维也不懂得转弯。母亲说,如果再这样不开窍,中考就很危险了。老师,我要怎么做才能把成绩提上去呢?”

      唐靖莹同学能在评论里这样问,说明她已经认识到自己在数学学习上的问题。可惜我也没有那根点石成金的手指。我只能说,要想成绩好,只有上课认真听讲;遇到不懂就问;多思多悟多总结;牢记错题,不要再错等等。其实,都是一些老生常谈的学习方法。

      9月27日的最佳评论是陈晓桐同学的:“老师,有时看你在黑板上讲解,能明白,但轮到自己做同一种类型的题目时,又会乱了方寸,不知该怎么做。有什么办法可以改变这种状况吗?”

      陈晓桐同学写数学解答题的过程已经非常完美了,在以前的博文里,我曾多次表扬过她。现在陈晓桐同学意识到自己存在着不足之处,相比别的自我感觉良好的同学来说,已经是有天壤之别了。爱因斯坦有一句名言:“知识就象一个圆,圆内是学到的知识,圆外是尚未学到的知识。当学到的知识越多时,也就是圆越大的时候,跟外界的接触面就越大,反而发现自己不懂的就更多,要学的也更多。”

       9月28日的最佳评论是姜云清同学的:“老师,下次我一定会注意细节,尽量把题目做到完美。”

按照我的欣赏口味,这样的评论根本是不可能入我的法眼的。但这是姜云清同学在评论里第一次直视自己的错误,并想去改正。我当然相信她所说的完全是出自她的真心。姜云清同学就我一个月的观察了解,她是一个心气很高,不轻易承认别人比自己强的人。而且,她有自己独立的思想,对于周遭的一切,总是怀着挑剔、怀疑的目光。这样的女同学,我总是格外高看一眼。可以预见,她的未来一定会取得很大的成就,如果能在挑剔、怀疑的性格里面增加一些包容、欣赏的基因,我相信她的未来不仅在事业上能取得很大的成绩,而且在生活中也能过得诸事如意。呵呵,搞得有点像红楼梦里太虚幻境里面的预言了。请同学们不必太在意,就当我是胡诌吧。

      9月29日的最佳是柳明珠同学的:“老师,是教我们学习的,而不是闹着玩,搞笑的。希望同学都要在课堂上尊重老师。”

      评论虽短,但柳明珠同学有这种认识,我非常高兴。柳明珠同学在13班,由于学习基础不是很扎实,学习成绩不是很好,但她在班级里却非常阳光,向上,用现在流行的一句话来说,就是充满了“正能量”。通过她,我再一次觉得,一个人的成绩好坏与品质高低没有什么必然的联系。好在孩子们现在都很小,未来都有很大的发展变化空间,在成绩和人品方面都是可以改进的。

      有一位同学的评论虽然没有被我选为最佳,但我非常喜欢她所说的这句话:“在我的心里,我对李老师您的教学能力以及为人处事的方式给予了一百分的肯定,我以后一定会端正自己的学习态度,好好学习,不辜负老师的期望。”

      这句话是邓霖林同学说的。在第一周的博文里,我曾用“秀外彗中”形容过她。到目前为止,我仍然觉得这个词用的挺准的。

      老师和学生,就象一个房间里的两颗灯泡,即要彼此沾光,又要互相照耀。呵呵。

       晚自习每班都只有二十分钟的时间,任务就是角平分线的性质所对应的练习册上的习题。角平分线的性质是“角平分线上的点到角两边的距离相等”,但这个性质,同学们在刚开始应用的时候,不知道该如何用符号语言来表达。尽管上周我已经讲过了这个格式书写的要点,也就是∵后面有三行,∴后面有一行,但我仍然不放心同学们的书写过程。

       14班同学在做题时,我发现姜云清和梁梓航同学在家里就已经完成了练习册上的题目,就叫了他们两人到黑板上去做其中的两道解答题。

      姜云清同学率先做完,我看了一下,果然在运用角平分线的性质时出现了漏洞。她刚在第一行写明了角平分线的条件,就在第二行得到了两条线段相等。我在下面巡视的时候,发现很多同学都是这样写的。

      我对同学们讲道:“角平分线上的点到角两边的距离相等,这里的距离两字该如何体现呢?点到直线的距离就是点到直线的垂线段的长度,要表达清楚距离的含义,就必须写清楚垂直的条件。”我在姜云清同学所写的第一行后面插入了两行,也就是两个垂直条件,然后再得到两条线段相等就顺理成章了。

      评梁梓航同学的答案时,我发现他的过程在运用角平分线的性质时写得很好,与我所要求的完全一样。可是几分钟前,我看他的答案时,发现他是通过证明两次三角形全等而得到两条线段相等的。

      我这样对同学们说:“梁梓航同学最开始的方法是证明两次三角形全等,后来,可能是在听我点评姜云清同学的答案时,受到启发,立即擦掉第二次证明三角形全等的步骤,换上用角平分线的性质去证明两条线段相等的方法,这一方面说明梁梓航同学非常机警,有错即改,另一方面也说明,运用角平分线性质得到两条线段相等与证明三角形全等得到两条线段相等可以达到同样的效果,但是过程与方法却显得更为简练一些。角平分线的性质其实是避开证三角形全等所走的一条捷径。”

      我心里是想清楚了,但不知同学们听完我的这番话后,是更清楚呢还是更糊涂。

        13班的晚自习,我只选了一道题,让一个同学来黑板上写过程。黄文伟同学主动举手。尽管他也做错了,但我相信,听完我的点评后,全班同学里面,对于角平分线的性质到底该如何运用,他应该是感悟最为深刻的同学。

      下一次,如果再有上台演板的机会,同学们可要积极举手哦。不管你做得对还是错,至少,能够让你对所做题型和相关知识点掌握的比别的同学更为深刻。



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-10-12 18:31:45 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-12 18:34 编辑

107  星期一  


角平分线的判定



      今天是国庆长假结束后的第一天上班,同学们上课时的精神状态很差,在一个班上课时,甚至出现了有一位同学连续打瞌睡三次的现象。我自己也感觉到很累,本节课的教学内容完全是照本宣科,没有什么创造。

       预备铃响后,到14班上课,有几位同学迟迟没有把课本拿出来读背知识点,好在大多数同学还是在大声的读背。即要见树木,更要见森林,我没有去指责那几位读背不及时的同学,而是看着大多数认真读背知识点的同学露出满意的神情。

      在点人回答角平分线的性质时,我专门撇开了大部分的森林,而是揪住了一个读背最不认真的同学。点他起来回答时,他凭着自己的理解结结巴巴的答完后,我针对他的答案的漏洞又对同学们强调了一遍角平分线的性质:“角平分线上的点到角两边的距离相等。”

       这个性质在应用时,要注意强调两点:一是强调角平分线,二是强调点到两边的距离。只有强调了这两点,才能得到表示距离的两条线段相等。我又从练习册上找了一个要应用角平分线性质的证明题,给同学们进行了详细的讲解。特别是应用角平分线性质去证明的书写过程。∵的后面有三行,第一行要标明角平分线的条件,第二行和第三行要表达清楚距离的内涵,也就是写清楚两个垂直。∴的后面有一行,就是得到表示距离的两条线段相等。

      讲完性质的应用后,我又让同学们看到课本,有一个角平分线的判定定理:“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。”这个定理与角平分线的性质定理互为逆定理。在应用的时候有一点细微的差别。举例说明,如图:

1.gif

      ∵ PD⊥OA

          PE⊥OB

          PD=PE

      ∴ ∠AOP=∠BOP

      这个过程也是四行,∵后面的第一行和第二行写明两个垂直,这两个垂直暗示着PD和PE分别是点P到∠AOB两边的距离,因为点到直线的距离指的是点到直线的垂线段的长度,而这里的两个垂直就有力地说明了PD和PE就是垂线段的长度,从而进一步理解为PD和PE就是点P到OA和OB的距离。

      第三行写清楚这两个距离是相等的,最后就得到点P在∠AOB的角平分线上的结论,写符号语言的时候,可以直接在∴后面写∠AOP=∠BOP,因为∠AOP=∠BOP与点P在∠AOB的角平分线上所表达的意思是完全一样的。

      整个书写过程,应用角平分线的判定定理,契合紧密,无懈可击。

      讲解完角平分线的判定定理及应用方法后,14班有一个同学说:“应用判定定理和应用性质定理只是有一个条件和结论互换了位置,其他格式相同。”我立即肯定了他的说法。这位同学就是观察仔细,领悟能力超强的人。

       接下来,我把书本上的例题略作修改,变成了这样一道题:

       在△ABC中,∠ABC的平分线和∠ACB的平分线相交于点O,求证:OA平分∠BAC。

       结合图形说明如下:

2.gif

      这道题目需要综合应用角平分线的性质定理和判定定理,对于同学们理解性质定理和判定定理,是一道不可多得的好题,以前的老教材上,是有这样一道题的,但新教材却将这道题阉割了,只剩下应用性质定理去证明三条垂线段相等的简单证明。

       当我把图形在黑板上画好后,陈龙翔同学率先举手:“过O点分别作三条边的垂线段,然后就可以证明这三条垂线段相等,最后就可以得到点O在∠BAC的平分线上。”

      陈龙翔同学边回答我边在黑板上写:

      证明:过O点作OD⊥AB于D,过O点作OE⊥BC于E,过O点作OF⊥AC于F,

      ∵∠ABO=∠OBC

         OD⊥BA

         OE⊥BC

     ∴ OD=OE

        同理:OE=OF,

     ∴ OD=OF

     ∵ OD⊥AB

         OF⊥AC

         OD=OF

     ∴OA平分∠BAC。

       写完这个过程后,我重点强调了三个地方,1、作完辅助线后,前面的四行是应用角平分线的性质得到的。2、“同理”后面所得到的结论与前面四行所应用的定理,书写的格式完全一样,可以用“同理”得到结论。3、最后面的四行是应用角平分线的判定得到的。

      练习册上有一道类似的题,要求证明三角形两个外角的平分线的交点也在另一个内角的角平分线上。这个题的证明思路与证明过程与我所讲例题一样,只不过图形略有不同,上课认真听讲了,理解能力强的同学应该是没有什么问题的。本想在课堂上解决此题,但由于时间不够了,只有等到晚自习再让同学们去做了。

      在13班上课时,整个过程大同小异,微有不同的是预备时间,13班的同学读背知识点时仍然非常投入,我点了邓晓炜同学回答角平分线的性质,他答得很好。

      后面上课时,吴志和唐靖莹同学在课堂上积极举手,踊跃到黑板上做题,表现的很出色。

      周一晚自习,学校初中部召开全体教师大会,等到散会后,我来到教室,看了几个同学的练习册,做的很不好。有老师在和没老师在,作业效果差距太大了。我常听到优秀老师介绍带班经验,说自己的班级总是能做到:老师在与不在一个样,课堂内与课堂外一个样,检查与不检查一个样。我就纳闷了,难道他们班就没有懒惰的学生?他们班就没有贪玩的孩子?不过,还是要想办法让同学们做到老师在与不在一个样,哪怕这只是一种理想状态,但仍然要向着理想前进。

      练习册上同学们不会做的题,也只有等到明天上课时再评讲了。



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-10-12 18:53:08 |显示全部楼层

10月8日  星期二  晴

角平分线的复习

角平分线的性质定理和判定定理,搅合在一块,很不好理解,也不好应用。今天每个班都各有一节课,准备停下来好好复习这一节的内容。

与以往相比,14班今天的预备时间,同学们都利用的很好,没有贪玩的,没有磨蹭的,没有装蒜的,个个都在大声读背课本上的关于角平分线的两个知识点。我找了汪周宁潞同学来背诵角平分线的性质和判定,她一站起来就脱口而出:“角平分线上的点到角两边的距离相等;角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。”前一句是角平分线的性质,后一句是角平分线的判定。

接下来,我讲解了课本上两道利用尺规作图做角平分线的作图题,这两道题都是要找到一个点P,让这个点P到一个角的两边的距离相等。这种题需要用尺规作图做角的平分线,上一周讲过的,本以为全班同学都没有什么问题了,但在14班找了黄泽滨同学上来画角的平分线,他居然不会用尺规作图的方法来画。在13班上课时,找得是欧奕锋同学,他也不会用尺规作图法画角的平分线。对于这个考试时必考的知识点,我只好再讲一遍了。

画完角平分线后,再与题目所给的另一个条件结合起来,找到唯一的那个点P。找到点P后,必须要交待一句话:“点P即为所求”。我在黑板上写完这句话后,又重点强调了考试时如果不写这句话,是要被扣分的。我观察了一下同学们,有好几个同学对我的强调无动于衷。算了,我也不想再强调第二次了,就让他们到考试中去接受教训吧。

针对昨天所布置的练习册上的一道题目,我进行了讲解。这道题是要证明三角形的两个外角的平分线的交点也在另一个内角的平分线上。此题与昨天课堂上所讲的一道例题是一种类型,只是图形略有不同。我在黑板上画好图形后,让同学们思考。

一瞬间,14班的同学都陷入了沉思,陈龙翔同学率先举手回答:“先过交点分别作三角形三条边所在直线的垂线段。然后应用角平分线的性质定理和判定定理来证明。”

他边说,我边在黑板上写过程。我们两个精诚合作,顺利证完此题。

昨天,我在课堂上讲另一个差不多类型的例题,在同学们茫然无措找不到思路时,就是陈龙翔同学第一个站起来力挽狂澜,脱口而出整个证明思路和书写过程。他现在学习数学已经渐入佳境了,我对他也越来越赏识喜爱了。面对这样一个数学学习进步巨大的榜样,有些积极思考不足,搞笑课堂有余的同学真是要好好反思了。

接着,我在练习册上找了两道几何证明题,第一题要应用角平分线的性质来做,第二题要应用角平分线的判定来写。如果能把这两道题做对,那么角平分线这一节的基本要求算是达到了。邓霖林和陈龙翔主动举手要求到黑板上来写过程,我扫视了一遍教室里的另外的学生,发现没有其他的同学愿意举手了,就只好叫他们两人来写过程。虽然我想更多的照顾到全体同学,但是当没有人愿意主动举手时,我也实在无法拒绝积极主动要求演板的同学。

会叫的鸟儿有虫吃,真希望有更多的同学愿意主动举手到黑板上展示自己的答案,即使做错又有什么关系呢。你用一个错误的答案从我这里换取一个正确的答案,就象你用一张假钞从我这里换取一张真币,这是多么划算的事情啊。

上午第二节,在13班上课,我找了黄淑清同学来背角平分线的性质和判定,她背得非常流利。在用尺规作图法画角平分线时,第一个同学欧奕锋不会画,又找了余锐风同学来画,他用圆规和直尺把角的平分线画的很规范。

接下来的教学过程与在14班差不多,在讲解练习册上一道综合应用角平分线的性质和判定的解答题时,大多数同学陷入了沉思,吴志同学主动站起来,说出必须要作的三条辅助线。当他说完这三条辅助线时,我就知道,他是完全掌握了这道题的解法。后来,我又将整个证明过程分解为三段,分别找了主动举手的李怡康、唐靖莹、陈晓桐同学来回答,他们回答得都很好。我在教室里对全班同学说:“上一周,我就发现吴志和李怡康同学学习特别积极主动,这一周,仍然是这几位同学们在学习时奋勇争先。其他同学要向他们看齐。”

在做练习册上另外两道习题时,霍嘉琪和方倩妮同学主动要求到黑板上演板,我检查之后,发现她们做的都非常正确。这些同学应该是把角平分线的知识点完全掌握好了。

晚自习时间,两个班布置的任务都是练习册上关于全等三角形这一章的章节复习题。在做题过程中,两个班都有部分同学跑来问我一道几何证明题,这个题在证明两个直角三角形全等时怎么找都找不到第三个全等的条件。我接到图形只看了一眼,就对他们说,这个图形里面有两个垂直,那么,就可以找到两个直角三角形中的较小的锐角相等,上一周我曾在课堂上总结过:“双垂直,尖角等”。听到这儿,有几个同学恍然大悟,另外还有几个同学依然疑惑。我只好对着图形,对不太理解的同学说:

如图,

3.gif

在这个几何图形中,因为∠BCA是直角,所以∠1+∠2=90o,又因为∠CDA是直角,所以∠3+∠2=90o,既然∠1和∠3加上∠2后都是90o,那不就说明∠1=∠3吗?

看着这几个同学弄懂之后慢慢地离开,我心里想,一个知识点或者一个变形过程,不要指望老师讲一遍,就能让所有的同学全部搞懂,特别是几何推理中关键性的变化过程,孩子们总是在边思考边领悟边记忆的过程中螺旋式上升,反复中掌握。

使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-10-12 18:55:41 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-12 18:57 编辑

10月8日星期二  晴


角平分线的复习


      角平分线的性质定理和判定定理,搅合在一块,很不好理解,也不好应用。今天每个班都各有一节课,准备停下来好好复习这一节的内容。

      与以往相比,14班今天的预备时间,同学们都利用的很好,没有贪玩的,没有磨蹭的,没有装蒜的,个个都在大声读背课本上的关于角平分线的两个知识点。我找了汪周宁潞同学来背诵角平分线的性质和判定,她一站起来就脱口而出:“角平分线上的点到角两边的距离相等;角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。”前一句是角平分线的性质,后一句是角平分线的判定。

      接下来,我讲解了课本上两道利用尺规作图做角平分线的作图题,这两道题都是要找到一个点P,让这个点P到一个角的两边的距离相等。这种题需要用尺规作图做角的平分线,上一周讲过的,本以为全班同学都没有什么问题了,但在14班找了黄泽滨同学上来画角的平分线,他居然不会用尺规作图的方法来画。在13班上课时,找得是欧奕锋同学,他也不会用尺规作图法画角的平分线。对于这个考试时必考的知识点,我只好再讲一遍了。

       画完角平分线后,再与题目所给的另一个条件结合起来,找到唯一的那个点P。找到点P后,必须要交待一句话:“点P即为所求”。我在黑板上写完这句话后,又重点强调了考试时如果不写这句话,是要被扣分的。我观察了一下同学们,有好几个同学对我的强调无动于衷。算了,我也不想再强调第二次了,就让他们到考试中去接受教训吧。

      针对昨天所布置的练习册上的一道题目,我进行了讲解。这道题是要证明三角形的两个外角的平分线的交点也在另一个内角的平分线上。此题与昨天课堂上所讲的一道例题是一种类型,只是图形略有不同。我在黑板上画好图形后,让同学们思考。

      一瞬间,14班的同学都陷入了沉思,陈龙翔同学率先举手回答:“先过交点分别作三角形三条边所在直线的垂线段。然后应用角平分线的性质定理和判定定理来证明。”

      他边说,我边在黑板上写过程。我们两个精诚合作,顺利证完此题。

      昨天,我在课堂上讲另一个差不多类型的例题,在同学们茫然无措找不到思路时,就是陈龙翔同学第一个站起来力挽狂澜,脱口而出整个证明思路和书写过程。他现在学习数学已经渐入佳境了,我对他也越来越赏识喜爱了。面对这样一个数学学习进步巨大的榜样,有些积极思考不足,搞笑课堂有余的同学真是要好好反思了。

      接着,我在练习册上找了两道几何证明题,第一题要应用角平分线的性质来做,第二题要应用角平分线的判定来写。如果能把这两道题做对,那么角平分线这一节的基本要求算是达到了。邓霖林和陈龙翔主动举手要求到黑板上来写过程,我扫视了一遍教室里的另外的学生,发现没有其他的同学愿意举手了,就只好叫他们两人来写过程。虽然我想更多的照顾到全体同学,但是当没有人愿意主动举手时,我也实在无法拒绝积极主动要求演板的同学。

      会叫的鸟儿有虫吃,真希望有更多的同学愿意主动举手到黑板上展示自己的答案,即使做错又有什么关系呢。你用一个错误的答案从我这里换取一个正确的答案,就象你用一张假钞从我这里换取一张真币,这是多么划算的事情啊。

      上午第二节,在13班上课,我找了黄淑清同学来背角平分线的性质和判定,她背得非常流利。在用尺规作图法画角平分线时,第一个同学欧奕锋不会画,又找了余锐风同学来画,他用圆规和直尺把角的平分线画的很规范。

      接下来的教学过程与在14班差不多,在讲解练习册上一道综合应用角平分线的性质和判定的解答题时,大多数同学陷入了沉思,吴志同学主动站起来,说出必须要作的三条辅助线。当他说完这三条辅助线时,我就知道,他是完全掌握了这道题的解法。后来,我又将整个证明过程分解为三段,分别找了主动举手的李怡康、唐靖莹、陈晓桐同学来回答,他们回答得都很好。我在教室里对全班同学说:“上一周,我就发现吴志和李怡康同学学习特别积极主动,这一周,仍然是这几位同学们在学习时奋勇争先。其他同学要向他们看齐。”

      在做练习册上另外两道习题时,霍嘉琪和方倩妮同学主动要求到黑板上演板,我检查之后,发现她们做的都非常正确。这些同学应该是把角平分线的知识点完全掌握好了。

      晚自习时间,两个班布置的任务都是练习册上关于全等三角形这一章的章节复习题。在做题过程中,两个班都有部分同学跑来问我一道几何证明题,这个题在证明两个直角三角形全等时怎么找都找不到第三个全等的条件。我接到图形只看了一眼,就对他们说,这个图形里面有两个垂直,那么,就可以找到两个直角三角形中的较小的锐角相等,上一周我曾在课堂上总结过:“双垂直,尖角等”。听到这儿,有几个同学恍然大悟,另外还有几个同学依然疑惑。我只好对着图形,对不太理解的同学说:

      如图,

3.gif


      在这个几何图形中,因为∠BCA是直角,所以∠1+∠2=90o,又因为∠CDA是直角,所以∠3+∠2=90o,既然∠1和∠3加上∠2后都是90o,那不就说明∠1=∠3吗?

      看着这几个同学弄懂之后慢慢地离开,我心里想,一个知识点或者一个变形过程,不要指望老师讲一遍,就能让所有的同学全部搞懂,特别是几何推理中关键性的变化过程,孩子们总是在边思考边领悟边记忆的过程中螺旋式上升,反复中掌握。



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-10-19 13:21:09 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-19 13:25 编辑

10月9日星期三  晴



轴对称



      下周三,学校要举行建校以来的第一次教学开放日,东莞市很多兄弟学校的老师都要来听课交流。受学校领导信任,由我来承担初二数学公开课的教学任务。

      我已选定公开课的教学内容为等腰三角形的性质,为了如约赶到这个地点,对全等三角形这一章就不能进行系统的复习和规范的考试了。

      今天每个班都有两节课,14班打算上一节轴对称的新课,再讲解全等三角形里面的几道经典习题。13班也上一节轴对称的新课,还有一节课则试讲一下等腰三角形的性质。虽然轴对称和等腰三角形之间隔着好几节内容,但这几节内容与等腰三角形的知识点联系并不大,有了轴对称的知识打底,同学们学习等腰三角形的性质应该是没什么问题的。在13班之所以采取非常规方法跳跃式前进,是因为明天按照学校领导要求,要在另外一个兄弟班级先行试讲一回,看看我所设计的教学过程还存在哪些瑕疵,周末回家后,还可以修改弥补。

      凡是举办过教学开放日或者优质课比武的老师都知道,为了拿出一节最高水平的课,几乎是集全校所有老师之力,反复设计,精心打造,力争光灿夺目,务必大获成功。为了对整个教学环节做到心中有数,在另外的班里适当试讲一两次,我觉得是应该的,中央电视台的春节联欢晚会还要彩排好几次呢。但如果试讲次数太多,则大可不必,一方面是耗费大量的人力物力,另一方面也与实际教学相距太远,试想,任何一位老师哪有可能做到每节课都是优质课的水准,况且,那些优质课可能起承转合设计的美仑美奂,双边活动搞得高潮迭起,但学生的学习效果到底如何,那就只有天知道了。因为学生对知识的掌握决不靠一节精彩的课就OK了的,他们更多的是在反复中领悟,在螺旋中上升。另外,我个人认为,一节课是否精彩,更多时候是看授课老师的内功如何,他是否会随机应变,他是否会左右逢源,他是否会妙语如珠,他是否会处理突发事件。

      轴对称这一节,知识点较乱较杂,很多知识点凭借生活经验就可以悟透,如果老师在那里喋喋不休,反而会让同学们越来越糊涂。

      我首先给了五分钟时间让同学们认真看书,并将书上的重点内容划下来,一会儿提问。

      五分钟后,我结合书上的六副生活中常见的轴对称的图片进行了一个归纳,从而引出轴对称的定义:“如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。”

      这个教学教程本来是可以很顺利的通过的,但课本上有一副天安门的图片,14班有几个同学说这个图片不是轴对称图形。我一楞,揉揉眼睛,再细细看,天安门图片确实是轴对称图形啊,沿着最中间的那条直线折叠,两边的部分可以互相重合啊。我就问那几位同学:“天安门图片为什么不是轴对称图形?”

      有一个同学这样回答:“天安门城楼上毛主席两侧的标语不对称,一句是‘中华人民共和国万岁’,另一句是‘世界人民大团结万岁’,而且,城楼上红旗飘扬的方向都是向右方,也不对称。

      我晕!我又揉揉眼睛,细细察看,确实如此。抬起头,望着这位同学好几秒后,我这样解释:“数学研究的是图形的形状、大小、位置,至于文字内容、意识形态、红旗指向,则不是数学所关心的。这个图片从形状上看,是轴对称图形。”

      让这位同学坐下后,我又看到另外几个同学露出狡黠的笑容,我突然觉得我傻的可以,这样的问题,有什么要去解释的呢,这几个同学口头上虽然说不是轴对称图形,可到了关键性的考试现场,你看他们敢不敢如此信口雌黄。以后再遇到这样的情况,一笑了之算了。

      接下来,我举了一些数学上常见的轴对称图形的例子,比如,等腰三角形,正方形,长方形,圆,线段,角等等。其中等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线,也可以说是底边上的中线所在的直线,还可以说是顶角的角平分线所在的直线。看着同学们点点头,我露出了会心的笑容,倒不是因为同学们对我所讲的知识都领悟了,而是我在此处,为下周三的数学公开课讲解等腰三角形的性质,做好了铺垫。

      线段的对称轴是线段的垂直平分线,这个定义是个重点,我强调了垂直和平分两个词的含义,平分说明过线段的中点,垂直表示对称轴与线段成90o的直角。线段的对称轴除了线段的垂直平分线外,还有一条同学们意想不到,就是线段本身所在的直线,沿这条直线折叠,线段两旁的部分也可以完全重合。13班有同学说,此时线段两旁什么都没有,怎么重合?

      我答道:“对,本来无一物,何处惹尘埃。”听完我的回答后,大部分同学睁着两只迷惑的眼睛,茫然的看着我。唉,还是算了吧,不要解释了,以后,如果有同学见到这句谶语,能想到我今天所讲的课,就算缘份造化了。

      第二个知识点是关于直线成轴对称,我在两个班里各找了一位同学,都只能对着课本读概念:“把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫对称点。

      这个概念不需要学生去背,只要能能够理解就可以了。这个定义与轴对称图形的定义非常相似,但有一个关键不同。我问同学们,这两个定义最大的不同在哪里。同学们认真看我写在黑板上的定义之后纷纷说,轴对称图形是一个图形,关于直线成轴对称是两个图形。同学们能这样细致观察分辨,我很满意。

      接着,我专门在黑板上画了一个三角形关于一条直线对称的另外一个三角形。边画,我边对同学们强调,对称点的连线被中间的对称轴垂直平分,对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。这样,就把后面两个知识点,垂直平分线的定义和轴对称的性质一起讲完了,而且,还让同学们看清楚了如何画一个图形关于某条直线的对称图形。下几节的内容,遇到这样的画图题,同学们应该没有什么问题了。

      轴对称图形是一个图形,关于直线成轴对称是两个图形,它们的共同点除了都有对称轴之外,还有一个内在联系:

      把关于直线成轴对称的两个图形看做一个整体,那么,它就是一个轴对称图形;把一个轴对称图形沿对称轴分割开来,看成两个图形,那么,这两个图形就是关于直线成轴对称的。这个联系课本上专门有说明,理解力强的同学能看懂,看不懂的同学即使我跟他讲了,他也可能还是不理解。我想了想,还是不要节外生枝了,我不想把简单的问题复杂化。

      14班的第二节课,让同学们做练习册上几道证明三角形全等的经典解答题。一道题是这几天常给同学讲的利用“双垂直,尖角等”来找全等条件的证明题。另一题是一道要证三次全等才能得到答案的证明题,这种题对于同学们综合复习三角形全等的方法非常有帮助。

       还有一道题比较典型,如图:

1.gif

      利用三个全等条件证明了△ADC ≌△BDE之后,题目问BE与AC有何关系,并证明。

      这一问,几乎所有的同学都回答BE=AC,再加以证明就结束了,但这样做是不能得全分的。因为线段与线段之间的关系要从两个方面来回答:1、从数量上来说,BE=AC,这个结论很好证明。2、从位置上来说,BE⊥AC。这个结论同学们料想不到,而且对于一些数学基础不是很好的同学来说,这个结论几乎会亮瞎他的双眼。这些同学会这样想,BE和AC根本就没有接触,怎么会垂直呢?难道能隔空打物,凌空点穴。

      金庸小说《天龙八部》里面,有一个反派人物丁春秋,他经常施展常人所不能理解的邪派武功,比如,在常人看来,他大手一挥,远在几十步开外的武林人物被他手到擒来,其实金庸先生在小说里说的很明白,他是将一条看不见的冰蚕玉丝网甩出去,将人装入网内再擒到手边的。此题要证BE与AC垂直,需要将BE延长,与AC相交于一点F,然后再证∠AFE=90o,从而可以说明BE⊥AC了。隔空打物,凌空点穴那是不可能的。如图:

2.gif

       因为△ADC ≌△BDE,可得到∠1=∠2,又由于对顶角∠3=∠4,所以及180o-∠1-∠3=180o-∠2-∠4,即∠AFE=∠BDE=90o,从而可得BE⊥AC。

      这个证明过程也要人人掌握过关,有些同学数学成绩好,就是因为这些数学基本功,这些基本的数学变形非常熟练,一看题目的已知条件,就知最后要证明的结论;一看试题提问的方式,就知该从哪几个方面去考虑问题。

      一道数学题,一看它屁股蹶起的角度,就知道它是要拉干的还是要拉稀的。数学学习如果能做到这一层,就相当于武侠小说里面的那些男主角,打通了任督两脉,想要不领先群雄都难。

      13班的第一节讲完了轴对称后,留了5分钟时间,让同学们先预习了一下等腰三角形的性质。第二节课上此节内容,相当于是明天试讲之前的走场。

     按照我预先设计的程序,讲完后,发现有好几个地方需要改进。

       1、用剪刀和白纸剪等腰三角形时,由于我没有事先展示课本上的剪纸方法,很多同学没有将纸对折后再剪,所剪出来的三角形要么是特殊的等腰直角三角形,要么是很小的后面的同学根本看不清楚的等腰三角形。张友成同学把一个手指头举到我的面前,说我剪好了。我问他,你剪的等腰三角形在哪里?他说:“在我的手指头上”。我凑近了仔细端详,才发现,他的一个手指头上有一个仅仅比标点符号大一点的等腰直角三角形。看了他几秒钟后,我什么也没说,就走了。

       2、在证明等腰三角形的性质1,即等边对等角时,一个同学站起来回答,作等腰三角形底边上的高,然后通过三角形全等来证明。可是我在课件上是按顺序先作底边上的中线证三角形全等,在下两张幻灯片上才有作底边上的高来证明三角形全等的图形。要是平时上课,直接将课件翻到那一页就可以了,但一节公开课,如果让同学们先看到其他的页面,再翻到那一张幻灯片,就不是很好了。下课后要好好设置一下链接,最好将三种辅助线的作法都设置好,不管站起来的同学回答得是哪一条辅助线,我都可以很巧妙的不被同学们发觉地链接到那一页。

       3、由于前面讲课时耗时太多,后面两道解答题就没有多少时间完成了,平时上课经常遇到这种情况,大不了下节课或者晚自习再来讲呗,但一节好的公开课要做到起承转合,有始有终,决不能留下尾巴,留下缺陷。课后要好好修改我的课件,力争前面讲知识点时更加简捷凝炼,快速通过,留下时间去解决本节课的重点,也就用运用等腰三角形的性质去做解答题。最后还要再留两分钟时间总结本节课所学的知识点。虎头豹尾猪肚子,这是公开课我所追求的目标。

       晚自习,在两个班都布置了做练习册上关于轴对称的习题。这一节习题很简单,但还是有个别同学搞错,比如: 14班的王钟会同学问:“平行四边形为什么不是轴对称图形?沿着中间的一条和边平行的直线折叠,两边不是可以重合吗?”

       他这种错误答案就是因为没有仔细的分析,我在他的草稿本上画了一个平行四边形,然后又斜着画了一条直线,沿这条直线折叠,两旁的部分恰好错位了,是不会重合的,所以平行四边形不是轴对称图形。

      这部分习题做完后,我在14班布置了做三角形全等这一节的综合习题,找了李雨馨做一道解答题,她的思维遇到了一点障碍,提示了一条辅助线后,马上领悟,做得很好。还有一道要证三次全等的解答题,陈龙翔同学愿意主动到黑板上来做,也做得很正确,证第一次全等得到一个对应角相等,又和另外两个条件结合起来,证第二次全等,再得到一组对应边相等,再和另两个条件配合起来,证明第三次三角形全等,整个过程环环相扣,层层推进,无懈可击。这道题在期末考试和中考里是不会考的,但学校自己组织的期中考试却是很可能考,而且能做对此题,对于复习巩固三角形全等极有帮助。

      现在我把此题转载如下,同学们可以试着予于证明:

      如图,OM=ON,OD=OE,EM和DN相交于C,求证:点C在∠MON的平分线上。

3.gif

       13班的晚自习,同学们做完练习册上的习题后,就做学案试卷上还未完成的题目,我找了苏雪欣来做其中一道解答题。他做得很好,就是在运用等腰三角形性质定理1时,准备工作做的不好,我在黑板上给大家一起做出了更正,在每一个等腰三角形中,分别写清楚因为两条边相等,所以两个底角相等,这样,在后面进行计算总进攻时就会顺理成章,得心应手。希望同学们能进一步领悟:做几何证明题一定要做好准备工作,兵马未动,粮草先行。

      第二道解答题可以用传统的证明三角形全等来做,与可以用等腰三角形的性质2,也就是用三线合一的知识点来做。有两个同学举手了,我看了第一个同学的答案,发现不是我所心仪的运用三线合一的方法来做的,就只是向她点了点头,又向下一个同学走去。第二个同学是郑子凯,他是运用三线合一的方法做的,整个过程即简洁,又规范,非常精彩,我尤如找到了至宝,立即命他到黑板上去写过程。很快,短短八行,顺利搞定。

      我对同学们大肆表扬,说郑子凯同学就是悟明白了三线合一用法的人,还有很多同学是用三角形全等来写的,虽然正确,但是太过繁琐,而三线合一为我们提供了一条捷径,虽然书写过程少但是答题效果却不差,事半功倍。要达到这一层水平,需要对课本上的这些性质深刻的理解。还有角平分线的性质,线段垂直平分线的性质,如能深刻的理解,都可以让我们避开证明三角形全等,经过一个简洁高效的过程而得到最终的答案。

       金庸先生曾经说过,在他的武侠小说里,他最喜欢的一个招式是降龙十八掌里面的亢龙有悔。我也最喜欢这个招式,因为萧峰大侠在少林寺大战群雄时,连续使用三招亢龙有悔,凭他充沛的内力,三招相加,连绵不绝,将不可一世的丁春秋打倒在地。郑子凯同学连续两次在两个等腰三角形中应用三线合一,顺利将最后答案证出,就是数学功力深厚的表现。希望两个班里象郑子凯这样的同学越来越多。



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-10-19 13:39:07 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-19 13:44 编辑

1010  星期四  


线段的垂直平分线


      今天每个班都只有一节数学课,教学内容是线段的垂直平分线的性质。

      上课后,找了两个同学分别背诵轴对称的定义和关于某条直线对称的定义。在14班找的是朱文韬和张艺,这两位同学按照自己的理解背的很好。

       在13班上课时,我找了柳明珠同学背诵昨天刚学的等腰三形的性质1,就一句话,“等腰三角形的两个底角相等,简写为等边对等角”,她背的很流利。柳明珠同学虽然成绩暂时落后,但是并没有放弃学习,而且,她还是一个心态积极、乐于助人的同学,我每次遇到特别简单的问题时,总是第一个想到找她来回答。如有可能,希望柳明珠同学能够回答我以后提出的略微难一点的问题。当然,这需要她以后要多花一点时间去提高一下自己的数学功力。我又让罗健慧同学背诵等腰三角形的性质2,和柳明珠同学一样,她也背诵的很熟练:“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。简写为三线合一。”肯定了她的答案后,我对全班同学强调:“在等腰三角形中,对称轴中间的一条折痕线段有三个身份,一是顶角的角平分线,二是底边上的中线,三是底边上的高。这三个身份只要确定了任何一个身份,马上就可以得到它也具有另外两个身份。这就是三线合一的实质。”

      接下来,在13班又找了苏芷晴同学和陈彦彤、赵懿琳同学,苏芷晴同学背诵轴对称的定义,背的不错,但陈彦彤同学和赵懿琳同学在背诵关于直线对称的定义时,一人只能说定义的一半内容,要合起来才算一个完整的定义。希望同学们以后在两分钟预备时间里要好好读背理解上一节课所讲到的知识点,力争人人都能背诵过关。

      背诵完上节课所学的知识点后,我问同学们,线段是不是轴对称图形。同学们都回答:“线段是轴对称图形”。我又问,线段的对称轴是什么?

      同学们都说:“线段的对称轴是线段的垂直平分线”,还有部分同学记得我昨天所讲的线段的另外一条对称轴,就是线段本身所在的直线。这两条对称轴中,我们这节课主要研究的是第一条,也就是线段的垂直平分线。

      我找了一位同学问,如何画一条线段的垂直平分线?他答道:“先用刻度尺找到线段的中点,然后再用三角板的直角顶点靠近中点画这条线段的垂线,就可以得到线段的垂直平分线。线段的垂直平分线本来是可以用尺规作图的方法画的,但这个尺规作图法是下一节课的教学内容。

      我按照这位同学的方法画了线段的垂直平分线后,就给了同学们4分钟时间认真看书,并把书上的重点内容划下来,一会儿提问。

      同学们认真看书的时候,我在黑板上写好了本节课的主要知识点:1、线段垂直平分线的性质;2、线段垂直平分线的判定。

      在14班上课时,我是对比角平分线的性质和判定来讲的,在13班上课时,由于前面花了点时间提问了昨天所学的等腰三角形的知识点,所以就没有对比角平分线的性质来讲。

      同学们看完课本后,我结合两个知识点开始了讲解。

      线段垂直平分线的性质是:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。画好了图形后,对照图形,这个性质很好证明,我在两个班分别找了一个成绩不是很好的同学,都能回答出利用三角形全等来得到最后的结论,而且,他们在找三个全等条件时非常轻松。

      有了线段垂直平分线的性质后,再要证明垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,就不必通过证明两个三角形全等来进行了,而是可以走一个捷径。书写过程如下:

      如图:

4.gif

      ∵PCAB的垂直平分线

      ∴PA = PB

      或者这样写也可以:

      ∵PC⊥ABAC=BC

      ∴PA = PB

      这个过程比证明△PAC ≌△PBC,再得到PA = PB可要简单多了,运用线段垂直平分线的性质去证明线段相等确实是一条捷径。

       还有一个知识点是线段垂直平分线的判定,书上是这样叙述的:“与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。”

       我记得多年前,老版本教材上关于这个判定是这样叙述的:“到线段两端距离相等的点,在线段的垂直平分线上。”两句话的意思差不多,同学们记那一句都行。

       这句话可以用来判断某条直线是否为某条线段的垂直平分线,但课本并没有用“判定”这个词,也没有什么规范的书写格式。我凭着自己的理解,教给同学们这样运用这个判定方法。

       如图,

5.gif

       ∵CA=CB

       ∴点CAB的垂直平分线上

       ∵DA=DB

       ∴点DAB的垂直平分线上

       ∴CDAB的垂直平分线。

       ∴AO=BO,∠AOC=90o

       讲完这个过程后,14班有同学问,为什么CA=CB后,要先得出点CAB的垂直平分线上,不能直接得出CD就是线段AB的垂直平分线吗?

      我这样解释:线段垂直平分线的判定,只是说,到线段两端距离相等的点,在线段的垂直平分线上。这里CA=CB,说明点C到线段AB的两个端点的距离相等,根据判定只能得到点CAB的垂直平分线上,只有再得到点D也在AB的垂直平分线上之后,才能说明过CD两点的直线是线段AB的垂直平分线。

       我又问同学们,为什么必须强调两个点都在AB的垂直平分线上,才能说过这两个点的直线是AB的垂直平分线呢?14班有一位聪明的同学回答:“因为过两个点才能确定一条直线,而过一个点,是可以画无数条直线的,所以必须得到点C、点D都在线段AB的垂直平分线上,才能说明过CD的直线是线段AB的垂直平分线,如果只得到一个点在AB的垂直平分线上,是不能得到过这个点的某条直线就是线段AB的垂直平分线的。”这位同学解释的非常完美。

      课本后的例1是一个作图题,要用尺规作图法过直线外一点画一条直线的垂线,按照课本上例题的方法,让同学们和我一起画了一遍后,就到了下课时间了。

      晚自习的任务布置的是练习册上的关于线段垂直平分线的习题。这些习题里面的线段以及线段的垂直平分线都不是象课本上那样画得方方正正的,而是歪着斜着、侧着扭着,再加上和三角形的周长结合在一起。一方面要做好准备工作,就是利用线段垂直平分线的性质先行得到垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;另一方面再把三角形的周长转化为三条线段的和,再把这三条线段不停的转化、代换,最后才能得到答案。

    孩子们第一次做这样的题,一下子找不到思路,是很正常的,两个班里,有很多同学纷纷跑来问我该如何做。一一指点之后,我决定,明天上课时再把这种必考题在黑板上好好讲一讲,力争每个人都能掌握过关。



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-10-19 13:48:22 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-19 13:53 编辑

1011  星期五  


画线段的垂直平分线


      今天真累。在两个班要上四节课,另外还有本来在昨天就应该试讲的一节公开课移到了今天,讲完后又用了一节课的时间评课。整整一天时间,连上厕所做蛋糕的时间都没有。

      上午第二节,在初二(4)班试讲了一遍等腰三角形的性质,由于自己水平有限,师生之间互相陌生,课件的交互链接还不熟练等种种原因,这一节试讲课出现了很多问题。

      第三节,同级组的数学老师在数学组长老于的带领下,对我这节课提出了很多中肯的意见和善意的指点。初二级组的数学老师个个都有自己独到的教育智慧和教学经验,以前与他们不在一个级组,接触的很少,有时初中数学组老师在一起喝酒娱乐,这个组的数学老师经常不参加,一度,我还以为,这个级组的数学老师都很平凡普通。

      但今天听了这些老师对我的这节课所做的分析评论,还有他们所提出的各条真心助人的合理化建议,我才真正感到山外有山、人外有人,每一个老师都不简单。鲁迅先生有一句名言:“哪里有天才,我只是把别人喝咖啡的时间都用在了学习上。”这个级组的数学老师可能就是把其他老师用在喝酒娱乐的时间都用在了教学工作上,所以才一个个的对数学教学见解深刻、不同凡响。

      我其实也很喜欢“君子之交淡若水”的生活态度,信奉“我醉欲眠君且去,明朝有意抱琴来”的处世方式。在这个级组工作,我相信,我会更加开心。对于这些老师提出的各条建议和合理措施,周末休息时我要在家里好好吸收调整。

      在13班、14班上完四节课后,我已经累的不行了。放学后回到家里,已经有不想做任何事情的念头。一位名人曾说过:“实在撑不住的时候,可以对自己说‘我好累’,但永远不要说‘我不行’。所以只好从床上爬起来,再接着写我的教学日记。

      上课后,我在14班找了何健森、刘子航同学背诵线段垂直平分线的性质和判定。这两位同学背的很好。在13班上课时,我找得是肖淼和赵可晴同学,也背的不错。

      但是,线段的垂直平分线的性质在应用的时候,却是出现了很多的问题。练习册上有一道典型习题,如图:AC=10DEAB的垂直平分线,△BDC的周长是17,求BC的长。

6.gif

      这道题,对于会做的同学来说,非常简单,但对于不会灵活应用线段垂直平分线性质的同学来说,就非常难了,他们往往不知从何处着手。昨天的晚自习时间,13班有一个同学跑来问我,DEAB的垂直平分线,怎么和课堂上所讲的不一样呢?我问他,怎么不一样?他说:“这里的AB和它的垂直平分线DE都是斜的,而课堂上和课本上所画的线段和它的垂直平分线都是直的,不一样。”

      听完他的问题后,我快要傻掉了。想了一会儿,我把课本中的一条线段和它的垂直平分线的图形找出来,然后把课本旋转一定的角度,再和练习册上的这个图放在一起对比,让他观察。他把头歪来歪去,看了好一会儿,才说:“哦,原来这里的线段和它的垂直平分线是斜着画的。”

      如图,DEAB的垂直平分线,就可以得到DA=DB

      得到DA=DB后,同学们又遇到第二个思维障碍,就是△BDC的周长是什么意思,很多同学不明白。我告诉他们,△BDC的周长就是△BDC的三条边的长度之和,也就是BC+CD+DB,而DB又是等于DA的,所以,要把这三边之和转化为BC+CD+DA

       前面的准备工作里做好了DA=DB的准备,那么,在后面的计算过程中,如果出现了DB,而又不把DB代换成DA,那简直是没有天理了。初中数学里,不管是几何证明题,还是代数计算题,都是这种转化、代换。有的转化、代换少一点,题目就简单,有的转化、代换多一点,题目就复杂。我在前面的博文里曾经总结过做初中数学常用的方法就是“转来转去、代来代去”,也就是这个意思。

         BC+CD+DA的和就是△BDC的周长17,这里,观察不仔细,理解能力差一点的同学又遇到第三个思维障碍,CD+DA结合图形看,就是等于CA的,再次转化,得到BC+CA=17,而这里的线段CA,题目已经告诉你了,是10,那么就得到BC+10=17。做到这里,最后答案呼之欲出。

      数学题里面的解题技巧都是这样的,你所需要的解题条件结合图形,结合已知条件都是可以得到的,因为上帝都已经事先安排好了,在解题过程中所需要的各种条件,在已知和图形里都可以找到,只看你会不会取己所需。

       对于部分数学成绩不是很好的同学,我有一个建议,好不容易弄懂一道题,一定要把它的解题方法悟透记牢。每天记一种题型的解法,到了初三中考,数学成绩就差不了。

       又讲了一道练习册上的习题后,我就跟同学们讲解本节课的内容,用尺规作图的方法作线段的垂直平分线。在讲线段的垂直平分线之前,先复习了作角的平分线和过直线外一点做直线的垂线的尺规作图方法,看同学们都能过关之后,我就在黑板上用规范的尺规作图的方法画了一条线段的垂直平分线。画线段垂直平分线要注意的是在线段的两边都要画弧,都要出现弧的交点,连接这两个交点,才能得到线段的垂直平分线。

        同学们会画线段的垂直平分线之后,有一道每次考试都要考到的经典作图题就成了一个必讲内容。有一个∠AOB,还有另外的两点MN,要求找一个点P,使P到∠AOB两边的距离相等,同时,使点PMN的距离也相等。

       因为到∠AOB两边的距离相等的点在∠AOB的角平分线上,所以必须用尺规作图的方法画出∠AOB的角平分线,可∠AOB的角平分线上有无数个点啊,点P到底在哪个位置呢?

      上帝都安排好了,这时,一定会出现另外一个要求。点P还要满足到点MN的距离相等。到点MN距离相等的点不就是在线段MN的垂直平分线上吗?所以,连结线段MN,再用尺规作图的方法画出MN的垂直平分线。

      点P即要在∠AOB的角平分线上,又要在线段MN的垂直平分线上,那么只要一种可能,就是在∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线的交点上。这个交点就是点P的位置。

      练习册上本节内容其它的作图题基本上大同小异,让同学们画完图后,就下课了。

      两个班的第二节数学课,先给了15分钟继续让同学们做练习册上未做完的题。接下来,在作轴对称图形里面找了两道典型的作图题进行了讲解。

      第一题是作一个三角形关于一条直线对称的三角形。这个题简单,只需要把每一个顶点关于直线的对称点画出来,再依次连接起来就可以了。

      第二题是一个典型的距离之和最短的作图题。在一条直线l同侧有两个点AB,要在直线l上找一个点P,使PA+PB的和最小,请问点P如何选取。这种题目,在生活中也经常遇到,比如道路同侧有两个村庄,要在路边建一个输送站P,使点P到两个村庄的线路之和最短,请问,这个输送站P该如何选择。

      这道题课本里面本来是没有的,但是练习册里却有好几道类似的作图题,而且,此题的解法思想与轴对称的知识联系紧密,所在需要在这里做一个统一讲解。

      我问同学们应该如何找到点P的位置时,14班有一个同学说,作线段AB的垂直平分线,这个垂直平分线与直线l的交点就是点P的位置。我立即否定了他的这种方法,因为按照他的方法,只是找到了一个到AB两点距离相等的点P,而题目是要找一个让PA+PB最小的点P

      陈立烨同学举手了,他说:“在直线l上找一个点P,使∠APB=90o,我也立即否定了他,因为别说让∠APB=90o的点P不好找,就算找到了,也不能保证PA+PB最小。

      同学们又陷入了沉思。邓云龙同学站起来说:“和平面镜成像一样,先作点P关于直线l的对称点A,然后再把 A与点B连结起来,与直线l有一个交点,这个交点就是点P的位置。”

      邓云龙同学刚说完,14班的同学们都笑了起来。我立马对同学们说:“你们笑什么,是不是认为这种方法不对啊,我告诉你们,恰好这就是最正确的方法。”同学们立刻收起了笑声,开始认真思索起来,还有几个同学问,为什么P点在这个位置时,PA+PB就最小呢?

      我在黑板上画完图后,对照图形给同学们解释,如图:

7.gif

      因为点A A是关于直线l的对称点,也就是说直线l是线段AA的垂直平分线,而线段垂直平分线上的任何一点到线段两个端点的距离都是相等的。也就是说PA=P A,那么PA+PB=P A+PB。要想让P A+PB最小,只有让PAB这三点,处于同一直线上啰,即点P在线段AB上,此时,P A+PB的和就是线段AB的长度。P点即要在线段AB上,又要在直线l上,那么就只有在线段AB和直线l的交点上了。

       14班有一个同学问,最开始画对称点的时候,可不可以不画点A的对称点,而画点B关于直线l的对称点呢?我回答:“可以的,如果画的是点B的对称点B ,那么,连结A B,最后得到的点P还是在同一个位置。”

      我又问14班的同学,为什么我在黑板上画对称点的时候,不画点B的,而要画点A的呢?陈立烨同学率先回答:“因为点A离直线l近,画对称点时,容易一些。”我笑着对他说:“你懂我。”

      在13班讲这个内容时,我还担心没有一个同学在我讲之前能够回答出这种作图方法,结果却让我很是高兴。郑子凯同学在我提问后立即举手,说按照平面镜成像的方法,作出点A关于直线l的对称像点A,再连结AB,与直线l的交点就是点P的位置。

      我听到后,非常满意,真是不能小瞧两个班的任何一个同学。联想到郑子凯同学前几天的课堂表现,我觉得他可以无可辩驳的被评为本周最佳。

      让同学们做了练习册上几道类似的作图题之后,就到了下课时间。

     本周繁忙的教学工作又结束了。






使用道具 举报

Rank: 2

威望
6
注册时间
2013-10-11
积分
173
精华
0
帖子
159
发表于 2013-10-22 15:34:13 |显示全部楼层
相比高中,初中数学与实际生活联系更大、直观性更强,当然升学压力也小些,于是我们能否更多关注提高学生数学素养,如独立思考能力与习惯,少一点关注学习分数?
我身平凡,心向非凡;
数次奋发,学走天涯。

使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-10-26 17:45:09 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-26 17:47 编辑

10月13日星期日  晴



周日返校



      返校后,看了同学们在我的博客上留下的评论,这样一些同学的评论被我评为最佳。

      10月6日的最佳评论是霍嘉琪同学写的:“我们写评论就要写自己的真实所感,把老师当做朋友,与老师分享自己的心情和心中所悟。”

      我希望有更多的同学能够和大家一起分享自己的真实想法和内心感悟。唯有真实,最有价值。

      10月7日的最佳是方倩妮同学的:“作业真的好多啊,而且只有二十分钟,不提前写根本写不完。不过,想想还是老师累,批作业,备教案,还要发博客,佩服……”

      方倩妮很能理解老师,每当有同学抱怨作业真多或者又要考试时,请你想想,老师还要把每个人的作业批改一遍呢,这个工作量不会在你的十倍以下。

      10月8日的最佳评论是唐靖莹的:“老师对于我们来说,更是一个诤友,有批评有肯定,这么多个日子以来,我们学到不少知识,这都是老师的功劳。”

      13班的唐靖莹同学,我虽然只接触了一个多月的时间,但从她的身上,我发现了很多可贵的品质,比如:积极,感恩,善良,包容,勇敢,乐观等。这些可贵的品质希望她永远拥有。善者无敌,勇者无惧。

      10月9日的最佳评论是邓云龙同学的:“毛爷爷脸上的一颗痣也不是对称的。”

      我要解释一下,当天讲解轴对称时,14班有同学说天安门的图片不是轴对称图形,因为毛主度像两边的标语不对称,一边写得是“中华人民共和国万岁”,另一边写得是“世界人民大团结万岁”,我一笑了之。邓云龙同学在评论里提供了新证据,就是毛爷爷脸上的痣也不对称。作为一种幽默调侃,这当然无伤大雅。

      我甚至觉得,邓云龙同学的这句评论,就是我苦苦追求的那种大智慧,大幽默。要是在课堂上,有人能冒出这样一句,我真想与同学们一起“江山不要,开怀一笑”。笑过之后,我还想和同学们一起欢唱:“沧海一声笑,滔滔两岸潮,浮沉随浪,只记今朝。苍天笑,纷纷世上潮,谁负谁胜出,天知晓。苍生笑 不再寂寥,豪情仍在,痴痴笑笑。”

      邓云龙同学的评论虽然只有一句话,但就这一句,我心已许,当日最佳,毋庸置疑。

      10月10日的最佳评论是陈晓桐同学的:“这节课原本是不怎么理解的,但是,在做练习题的过程中渐渐懂得如何运用了,所以知识不能死记硬背,要活学活用啊。”

      当天上课的内容是线段垂直平分线的性质,这个性质本身比较容易懂,但是在具体运用时却是不太容易的,特别是与线段垂直平分线的判定揉合在一起时,更是难以理解。陈晓桐同学说,知识不能死记硬背,要活学活用,这确实就是学好数学的金玉良言。

      10月11日的最佳评论是梁梓航同学的:“老师真是值得敬佩,希望你的付出能像诺贝尔物理学奖得主希格斯那样获得巨大的成功”

      让我毫不犹豫的把当日最佳投给梁梓航同学,并不是因为他把我与希格斯放在一起相提并论。不过,我很有自知之明,就我这样的资质,再努力三百年,也不及希格斯之万一。

      之所以让我把当日最佳授与梁梓航同学,是因为他一方面学习认真,积极上进,另一方面,他志向高远,眼界非凡。言及诺贝尔奖,语及希格斯,他已经超越了好多同龄人,希望他永远保持这种前瞻的思想和领先的目光。

      若干年后,当我垂垂老矣,如果有人问我:“李老师,你这一辈子,所教的最有出息的学生是谁啊?”。我会列举出在各个行业里都最有出息的一长串名字,在这些名字里,有一个最为闪亮,那就是梁梓航。你可千万不要让我失望哦。

      陈晓桐同学还有一个评论虽然没有被评为最佳,但我觉得非常好,现完整记录如下:“老师把图片插入到博客里面,再一一重新讲解,就像回到了课堂一样。孔子说过:‘温故而知新,可以为师矣。’真好,周末又可以重新温习一下具体题型,明白老师让我们评论博客的真正意义了。 ”

      陈晓桐同学工作认真负责,课堂上回答问题积极,学习上对自己要求严格,领悟能力强,是一个不可多得的优秀学生。希望同学们都能向她学习。

      晚自习,布置同学们做练习册上没有做完的几个作图题。有一道题,我在两个班里都做了一个讲解:

      一个牧民,赶着他的羊群先要到河边饮水,再到草地吃草,最后返回起始地点羊圈P点。请问,牧民要怎样走,才能让所行走的距离最短。这个问题中,小河和草地是用两条形成一定夹角的直线代替的。

      这种问题,在现实生活中,根本就不用考虑,我曾在青藏高原上见过牧民,他们总是赶着羊群往水草丰茂的地方迁徙,日复一日,年复一年,向来如此。他们从不考虑怎样行走会最近的数学问题。

      但教育专家把这个问题提出来了,并且就摆在每个同学的面前,我就不得不考虑了。如何行走最近呢?

1.gif

      我是这样与同学们讲解的:“如图,先作出点P关于小河的对称点P1,再作出点P关于草地这条直线的对称点P2,然后,连结P1P2,与小河相交于点M,与草地相交于点N。

      答案就出来了,从羊圈P点开始出发,先到点M饮水,再到点N吃草,最后返回羊圈P点,这样行走就是最短的路程。

      下课后,13班的霍嘉琪同学来问我,为什么这样走的线路是最短的?我只好又拿起这道坑爹的数学题,对她讲道:“P 和P1关于小河对称,也就是说,小河是线段P P1的垂直平分线,又因为垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,所以点M到P 和P1的距离相等,同理,点N到P 和P2的距离也相等,换句话说,PM+MN+NP的和就相当于P1M+MN+NP2的和,这个和要想最短,就相当于从点P1到点P2,怎样走最近?当然就是沿直线从点P1走到点P2啰。

      霍嘉琪同学若有所悟地点点头,就回去了。我突然想,连霍嘉琪同学都不太理解这道题的道理,那剩下的大多数同学,他们能真正理解这样作图的原理吗?

      回到办公室,我尤如电影《大话西游》里面的至尊宝一样,在心里反复问自己:象这样变态的数学题,需要讲吗?不需要吗?需要吗?不需要吗?

      不过是研究研究嘛,干嘛那么认真。需要吗?

      在教室里,部分同学又问了一些其他的题该如何做,我一一解答之后,就下课了。



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-10-26 17:48:13 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-26 17:50 编辑

1014  星期一  


用坐标表示轴对称

   

        头两分钟的预备时间,同学们都在背前几节数学课所学的知识点。正式上课后,我问同学们:“线段垂直平分线的性质和判定分别是什么?”

      在14班上课时,我叫了汤韩琪与何子仪同学来背,这两位同学一站起来,就背的非常流利:“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”;“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。”

      我在黑板上画了一条线段,又用标准的尺规作图法画了它的垂直平分线。然后我对同学们说,线段的垂直平分线是由无数个点组成了,这无数个点有一个共同特征,就是每个点到线段两个端点的距离都相等。也就是说,线段的垂直平分线可以看作是到线段两端距离相等的所有点的集合。

      从点的集合的角度来理解线段的垂直平分线,课本第61页最下面有一句不起眼的话。这句话,十多年前的人教版老教材专门用加粗字体表示过,但现在的新教材为了降低难度,就一笔带过了。由于前面学习线段垂直平分线的时候,没有来得及讲这个内容,所以今天就专门花点时间补充讲解了。

      部分同学对集合这个词不太理解,我又对同学们说:“我们班的所有同学集合在一起, 就形成了14班这个班集体,到一条线段两端距离相等的所有点集合在一起,积少成多,集腋成裘,就形成了线段的垂直平分线。

      讲完了线段的垂直平分线可以看作是到线段两端距离相等的所有点的集合后,我又在黑板上画了一个角,然后用标准的尺规作图方法,作出了这个角的角平分线。作完后,我找了张艺和汪周宁潞同学来回答,角平分线的性质和判定分别是什么?

      这两位同学回答的很准确:“角平分线上的点到角两边的距离相等”;“到角两边距离相等的点在角的平分线上”。我又问同学们:“线段垂直平分线可以看作是到线段两端距离相等的所有点的集合,那么,角平分线可以看作是怎样的点的集合呢?

      先找了一个同学,站起来后不知如何去回答,我又找了刘万芊同学,她答得很对,按照她的答案,我在黑板上写下:“角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合。”刚写完,14班有几个同学说:“要强调‘在角的内部’几个字,否则,意思就不准。”

      我想了一下,觉得这几位同学说得有道理,又改成了“角平分线是角的内部到角两边距离相等的所有点的集合。”

      按照集合的定义重新理解了角平分线和线段的垂直平分线之后,就进入了这节课的新内容------用坐标表示轴对称。

      给了四分钟时间让同学们看书,并划出课本上重要的知识点后,我只举了一个例子。

      老北京城的示意图,以天安门为坐标原点,以长安街和中轴线为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,东直门的坐标为(3.54),那么,东直门关于x轴对称的点在哪里呢,坐标是什么?东直门关于y轴对称的点在哪里呢,坐标又是什么?

       对照坐标系,同学们很快就找到了(3.54)关于x轴对称的点在第四象限,坐标是(3.5,–4),(3.54)关于y轴对称的点在第二象限,坐标是(–3.54)。由此,我直接总结出课本上早已归纳出的结论:“点(xy)关于x轴对称的点的坐标是(x,–y);点(xy)关于y轴对称的点的坐标是(–x y)。

       担心同学们时间久了会搞混,我又在后面专门强调:“关于x轴对称的两个点横坐标不变,纵坐标相反;关于y轴对称的两个点纵坐标不变,横坐标相反。”反正就是关于哪个轴对称,就哪个坐标不变,另一个坐标相反。

      课本后面的几道练习题,只要小心分辨,细心做题,基本是不会弄错的。练习册上的题目可就具有挑战性了,但只要知识点掌握的扎实,计算认真,画图准确,本节习题基本上也是错不了的。

      在13班上课时,整个过程与在14班差不多,就看同学们对所讲知识点的理解能力和当堂记忆能力了以及综合运用能力了。普通班的优秀学生与重点班的大部分同学不相上下,而普通班的后进同学由于种种原因,在学习效果上就与其他同学有点差距了。这种差距只有靠自己去努力追赶了。

      晚自习时间,布置的任务是练习册上这一节的配套习题。14班有好几位同学问了这样一道题:已知点Ax,4–y)与点B1y2x)关于y轴对称,求xy的值。

      这两个点关于y轴对称,也就是说,这两个点的纵坐标不变,横坐标相反。于是很自然的得到两个方程:x=–(1–y),4–y=2x.把这两个方程联立起来组成一个方程组,刚好可以解出x和y的值。只要基础知识扎实,计算过关,这样的题目基本上就是送分题。但部分成绩落后的同学伤在伤在这两点上了。

       13班同学在做这节习题时,普遍做得很慢,我观察了几位同学,认真分析了一下,原因有这样几点:1、做题习惯不好。做一题,玩一会儿,或者东张西望,或者独自发呆。2、对知识点理解不深,如遇到两个点关于x轴对称,不能很快得出这两个点的横坐标不变,纵坐标相反,或者得到了,还再三犹豫,反复猜想。3、计算不过关。这部分习题,一般都是用方程思想来解的。有时还要列二元一次方程组来解。有些同学计算不过关,本来不难的题却计算很慢,更关键的是出现计算错误后,发现不了,又将这个错误答案找入到下一步去算,耗时很长,却不能得分。我就曾见到一位同学先算出x的值,是一个很少见的分数,然后,他又将这个分数代入到下一步去求y的值,当别的同学做了好多道题的时候,他还在那里作无谓的错误计算。在以前的教学经历中,我曾对计算不过关的学生说过:“计算题,做几个步骤后,停下来,回头看看,前面是否有错,特别是当算出来的一个中间结果比较怪异时,更要回过头去认真察看,而不是继续往后计算。要知道,南辕北辙比停步不前离真理更远。

      对于这样的计算不过关的同学,我有几句忠告:1、每做几步,回过头去看看,保证前面的步骤没有错误再往后计算。千金难买回头看。2、力争计算过关。现在的数学考试,不管是初中,还是高中,唯细心者得高分,得计算者得天下。3、计算暂时还不能做到又快又准的话,我们宁可牺牲速度,也要保证准确率。





使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-10-26 18:12:16 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-26 18:14 编辑

1015  星期二  


作业评讲


      上课后,在两个班各找了几位同学背诵昨天在课堂上所学的知识点。

      第一个知识点,按照点的集合的意义如何理解线段的垂直平分线。在14班找得是周思宇同学,在13班找得是方伟同学,这两位同学背得很好:“线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。”

      第二个知识点,按照点的集合的意义如何理解角平分线。在14班找得是周焯坚同学,在13班找得是陈雨婷同学,他们也背的很好:“角平分线是角的内部到角两边距离相等的点的集合。”

      第三个知识点,点(xy)关于x轴和y轴对称的点的坐标有何特点。14班,我找得是叶海英同学,13班找得是王志钊、饶佳同学,这几位同学一站起来,立即脱口而出:“关于x轴对称的点横坐标不变,纵坐标相反。关于y轴对称的点纵坐标不变,横坐标相反。用字母表示,点(xy)关于x轴对称的点为(x,–y),点(xy)关于y轴对称的点为(–x y)。”

      在回答问题的过程中,特别令我高兴的是13班的饶佳同学,在我问道“关于x轴和y轴对称的点的坐标特点用字母如何表示时,饶佳同学第一个主动举手。在我的印象里,这是饶佳同学第一次主动举手要求回答问题,我立刻点到她,她回答的非常正确,我对她大加表扬。

      两个班的孩子们现在已经知道我的上课规律,在刚上课的前两分钟时间里,我一定会提问昨天刚学过的知识点,所有两个班的同学都能在课前两分钟时间里大声读背,以免我找到他时,他回答不上来。我很高兴同学们已经养成了这样一个好的学习习惯。我甚至还建议,一些成绩暂时落后还未得到大家肯定的同学,可以在两分钟的预备时间里好好读背一下昨天所学的知识点,在我上课提问的时候,立即举手。尽管我每次提问的时候,都在思考该提问哪些同学,才能最大限度的起到检查激励的作用,但是当平常很少举手的同学一旦举手,我一定会优先选择他。希望更多的学习较为困难的同学,能用这种方式让自己的学习越来越主动,同时也让自己学得越来越自信。到那时,也只有到那时,这些同学才能真正体会到学习的乐趣,这种乐趣里面包含着进步、成功、自我肯定、他人赞扬。这种乐趣将会促使他越学越轻松,越学越有劲。

      昨天晚自习的练习册,我检查之后,发现错误还挺多的,两个班里,甚至有人都不知道平面直角坐标系里的四个象限是如何划分的。为了这少数几个同学,我不得不花上两分钟时间再次讲解,在平面直角坐标系里,右上角的部分是第一象限,坐标特点为(++),左上角的部分是第二象限,坐标特点为(–,+),左下角的部分是第三象限,坐标特点为(–,–),右下角的部分是第四象限,坐标特点为(+,–)。

      接下来,又讲了在坐标系的方格里,如何求不规则三角形的面积。在坐标系里,求三角形面积是必须掌握的,一个三角形,如果有一条边是平直的或者是竖直的,要求这个三角形的面积还比较简单,把平直的或者竖直的边看做底边,找出这条边上的高,底×高÷2即可。但是如果一个三角形的三条边都不是平直的或者竖直的,而全部是斜的,那又该如何求它的面积呢?

      在13班讲这个内容时,有几位同学说用割补法。我听了之后,就知道这几位同学是会求这种三角形的面积的。对于其他的同学,我还是认真地讲解了一遍:“先画一个横平竖直的长方形的方框,恰好将这个三角形套在里面,也就是让三角形的三个顶点恰好落在长方形方框的两条边和一个顶点上,然后用长方形的面积减去旁边的三个小直角三角形的面积即可。根据我以前所教学生的情况,这里的长方形的面积和三个小直角三角形的面积在计算时都不会出现什么错误,丢分点会出现在减法计算上,也就是20以内的减法计算,特别是带小数点时,总是有一部分同学屡屡算错丢分,要是将这些同学的计算错误一一收集起来,拿到小学一年级去,对于一年级的小朋友来说,一定会是一份良好的错题集。

     讲完这道题后,我针对前天所做练习册上的一道作图题进行了讲解。这道题有两个小题。第(1)小题是直线m同侧有两个点AB,要在直线m上找一个点P,使PA+PB最短。这道题上课时讲过了的,同学们基本上不会做错,问题出在第(2)小题。还是一条直线m和同侧两点AB,要求在直线m上找一点P,使P点到AB两点的距离相等。

      一些同学不认真看题,以为这个题与上一小题是完全一样的作图方法,结果就错了,这个题的要求是点P到点AB的距离相等,这样的点P应该是在线段AB的垂直平分线上。因为线段垂直平分线上的点才到线段两端的距离相等。所以此题要先用尺规作图法作出线段AB的垂直平分线,这个垂直平分线与直线m有一个交点,这个交点即为所求作的点P

      每一个同学在做题时,一定要看清楚题目的具体要求。到底是让PA+PB最短,还是让PA=PB,不同的要求就意味着不同的作图方案。千万不要一看到相似的图形,就以为都是一样的方法。数学要学好,一方面是知识点要掌握的扎实,另一方面还要基本题型熟练,再加上仔细看题、慎之又慎。

      在14班上课时,还有二十分钟的时间,为了明天的公开课,我给了二十分钟的时间让同学们认真预习,并按课本上探究里面的剪纸方法剪了一个等腰三角形,以便明天上课时备用。

      在13班上课时,剩下的二十分钟的时间,我专门讲解了一道几何证明题。这种题型在14班已经讲过了,但在13班还没有讲过。

      如图,∠ACB=90o,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE,求证:AD=BE+DE。

2.gif

      在这道题里,很多同学都知道要去证明△ADC ≌△CEB,但是在找全等条件时,都只能找到两个非常明显的全等条件,第三个全等条件怎么也找不到。

      黄文伟和吴志同学马上回答:“∠1=∠3”,我问他们为什么?这两个同学异口同声:“双垂直,尖角等”。上一周,我曾在14班专门讲过这个问题,而且,在博文里面详细记录过这种方法。黄文伟和吴志同学回家后认真看了我上一周所写的博客,并真正理解了,所以,他们能够立即回答出来。

      看到13班其他的同学睁着两只迷惑的眼睛,我对他们讲道:“这里,∠BCA是直角,所以∠1+∠2=90o,又因为∠CDA是直角,所以∠3+∠2=90o,既然∠1和∠3加上∠2后都是90o,那不就说明∠1=∠3吗?图形里面有两个垂直,经过推理,就可以得到两个直角三角形中的两个较小的锐角相等,这就是‘双垂直,尖角等’的真正含义。”

      △ADC≌△CEB证完后,还要再得到两组对应边相等,也就是AD=CE,CD=BE。只有这些准备工作都做好后,才可以发起最后的进攻:AD=CE=CD+DE=BE+DE。畅通无阻,直捣黄龙。

      讲完后,我怕同学们不重视这道题的证明方法,对同学们透露了一个秘密:“本周要进行全等三角形的单元测试,就要考这个题,到时,看还有谁不会做。”

      听到我这样说后,立马有几个同学在练习册上写了起来。

      今天的数学课堂上,除了饶佳同学表现积极之外,彭天池同学也给我留下了深刻的印象,有近十道填空题和选择题,我找到她回答,她全部答对,没有一个错误,在以前,要想连续十道题无误,对于彭天池同学来说,几乎是不可想象的。

      其实,还是我曾经说过的,只要上课认真听讲了,把知识点都理解清楚了,做题再细心一点,没有学不好数学的。



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-10-26 18:20:33 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-26 18:25 编辑

1016  星期三  


教学开放日公开课


      今天两个班都有两节课,其中,14班的第二节数学课是本校的教学开放日公开课。

      上午第一节,14班有一节数学课,我布置了3道几何证明题让同学们做在作业本上,这三道数学题就是我要进行全等三角形单元考试试卷上的原题。考试时能把做过的原题全部做对,对于几何证明题来说,就已经非常不错了。以前,我曾经做过这方面的试验,但结果却总不尽如人意,总有一些同学并不能把我刚讲过的原题做得正确无误。

      对于讲过的原题,虽然总有人出错,不过,还是有多数的同学能够在考试中,做到正确无误。对于几何证明题,考试时再做一遍,再加深一次印象,待到期中考试或者期末考试时,这种证明题,就基本掌握了。

      三道题里面,前两道题比较简单,较难的是第三道题,在试卷上,也是最后一道压轴题。

      如图:AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:BC=AB+CD.

    1.gif

      这道证明题,乍一看,似乎简单,细分析,却是无从下手。同学们思考了一会儿,有几个同学提出自己的思路,被我逐个否决。同学们一下子陷入了沉思。

      我知道,该我粉墨登场了。我指着已知条件对同学们说:“AB∥CD,说明了什么?”

      同学们回答:“两直线平行,同旁内角互补,也就是∠A+∠D=180o.”另外有几个同学问,这个结论有什么用呢?

      我把这个结论写在了黑板上,读完另外两个已知条件后,就到了要求证的结论:BC=AB+CD.我对同学们说:“这个结论,要证BC这条长线段等于另外两条短线段的和,可这三条线段看起来好象风牛马不相及,怎么办呢?”待同学们进入了沉思状态后,我对同学们说:“这个结论本身其实给我们暗示了一种思路,可以先在BC这条长线段上截取一条线段等于AB,然后,再证剩下的那条线段等于第二条线段CD即可。”

      看到有几个同学点头,我问同学们,用什么工具在线段BC上截取一条线段等于AB呢?

      有几个同学说:“用圆规。”

      对,作一条线段等于已知线段就是一种基本的尺规作图。

      我用圆规在线段BC上截取了BF=BA,然后问道,这个点F难道让它孤零零地呆在线段BC上吗?有同学答道:“连结EF。”

      对,这样一来,看起来毫无联系的已知和求证之间就露出了一丝曙光。

2.gif

      根据已知条件∠1=∠2,再加上BE=BE这条公共边,和辅助线作法里面的BF=BA,刚好可以用SAS来证明△ABE ≌△FBE,再由全等三角形的对应角相等得到∠A=∠5.

      讲到此处后,我问同学们,接下来只要再证明CF=CD即可,可怎样证明CF=CD呢?

      思考了片刻,有同学说,只需要证明△CFE ≌△CDE。

      我立即肯定这位同学的思路,又问道:“现在已有两个条件∠3=∠4和公共边CE=CE,还差一个全等条件,该如何去找呢?”

       由于只能在△CFE 和△CDE中找相等的元素,很快,就有同学指出,可以找∠6=∠D.

       可是如何找到∠6=∠D呢?同学们再次陷入了沉思。

      我启发同学们说:“∠6+∠5=180o,∠D+∠A=180o,又由于前面刚证明了∠5=∠A,根据等角的补角相等,不就可以得到∠D=∠6吗?”

      同学们直到此时,才恍然大悟。整道题目的思路全部打通后,就由同学们按照这个思路去做了。

在13班上课时,我找了赵懿琳同学到黑板上按照我所讲的这个思路去做。赵懿琳同学做得非常完美,我立即表扬了她。

      赵懿琳同学刚才就是认真听讲并领悟了我所讲的这个截取法的思路。前一段时间,她的学习状态不是太好,直接导致了她在第一次单元测试中成绩不理想。我相信,只要一个同学认真听讲,细心领悟,不懂就问,下次考试是一定会取得进步的。

      在13班讲完这个题后,紧接着的一节课,我讲解练习册上一道类似的证明题。这道题是这样的:

      如图,AB∥CD,∠B=90o,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:MB=MC.

   3.gif

      我问同学们,这道题与刚才所讲的那道题是否一样,有什么区别。

       13班的同学看了一会儿,说:“完全一样,就是图形方向调换了一下。”

      我又问道:“再仔细观察一下,刚才的两个图形有一个本质的不同,看谁能最先找出来。”此时,同学们才开始仔细观察,有同学说字母标的顺序不一样,我摇了摇头。吴志同学举手了:“这个图形的两个同旁内角∠B与∠C都是90o,而上一个题的两个同旁内角∠A与∠D只是互补,但不是90o。

      我对吴志同学大加赞扬。在上一周里,吴志同学就曾多次受到我的表扬了,这一段时间,我发现他的学习状态渐入佳境。

      我又问同学们,由于这里的∠B与∠C都是90o,再加上∠1=∠2,∠3=∠4两个已知条件,那么,该如何证明MB=MC呢?

      同学们思考了一会儿,不得要领。我只好对同学们说:“可以过点M作ME⊥AD,垂足为E,如图:

4.gif

      然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可得到MB=ME,

      过程为:∵∠1=∠2

                      MB⊥AB

                      ME⊥AD

                   ∴MB=ME

      同理,MC=ME,这样一来,MB不就等于MC了吗?

      此时,13班的同学才发出“哦----”的一声惊叹。

      这两道题是全等三角形这一章里较难却又易于混淆的两道题。同学们可一定要仔细分辨哦。

      上午第三节,在14班上等腰三角形的性质这节公开课。

      后面坐满了来自东莞其他学校的数学老师,我没有仔细去看有没有我认识的,因为这么多年以来,每次讲公开课时,我都努力做到,我的眼里只有你-----学生。

       离上课还有5分钟时,几位男同学跟我说,我昨天答应过他们的,让他们看我曾花两天时间制作的一个《江南style》的中文字幕搞笑版视频。我对他们说:“公开课这种正式场合,看搞笑视频不太好,到晚自习再看吧。”可这几个学生说,到上课还有5分钟时间,来得及,再说,上一节课,已经紧绷着神经上了一节班会公开课了,想放松一下。我一想,有点道理,就点开了视频,和同学们一起观看《江南style》的中文字幕版(我怕蹲的实在累)。乐呵乐呵后,就开始了我的这节公开课,希望同学们带着轻松的心情学习这节课时不要太过于压抑。

     本节课的内容,我按照这样几个环节层层展开:1、见识生活中的等腰三角形。2、回忆等腰三角形的定义。3、剪等腰三角形,并结合所剪的等腰三角形小组讨论等腰三角形中相同的边和角。4、证明等腰三角形的性质。5、运用等腰三角形的性质讲解例题。6、总结本节课的知识点。7、如果还有时间,我在学案试卷上设计了几道垃圾题,也就是可做可不做的哪一种。做了,可以打发课堂上剩余的时间,不做,丝毫不影响本节课的教学效果。

      上课后,我对同学们说:“前面学习了全等三角形和轴对称的知识后,今天,我们以此为基础,来继续学习等腰三角形的性质。”开门见山,同时还暗示今天所学的内容与全等三角形和轴对称的知识点联系紧密,呆会提问,同学们就不至于答非所问,满嘴跑火车了。

      见识了生活中常见的等腰三角形的图片后,又回忆了等腰三角形的定义。我特别提问了同学们,等腰三角形与三角形是什么关系?

      伍洪瑞同学举手回答:“等腰三角形是一种特殊的三角形。”我又问道:“等腰三角形既然是一种特殊的三角形,那么它一定具有哪些性质。”伍洪瑞同学说:“等腰三角形具有普通三角形所具有的一切性质,比如:‘三个内角的和是180o,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。’”我点点头,开局很顺利。

由于昨天同学们就已经剪好了等腰三角形纸片,今天上课时,就直接让同学们四人一个小组讨论在所剪的等腰三角形纸片里,有哪些相等的边和相等的角。呆会儿挑选两位代表到黑板上去板书结论,看哪个小组所派的代表写的又多又对。

      同学们为了积极表现,马上四人一组开始热火朝天地讨论起来。一分钟后,我找了两位举手的同学,到黑板上就我所剪的一个标上字母了的等腰三角形纸片写相等的边和相等的角。

      两位同学不相上下,都写出了三组相等的边和三组相等的角,这正是我课堂上所需要的。我把两个同学所写的结论放在一起对比,挑出相同的结论,并用文字语言叙述在黑板上:

      1、  等腰三角形的两个底角相等。

      2、  等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

      在写第二句话之前,我专门分析了两位同学写在黑板上的结论,再由他们的结论分析出等腰三角形纸片里的折痕同时具有三个身份:顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高。这三个身份互相重合,合三为一。

      虽然得到了两个结论,但没有经过专门的数学证明,还只能是大胆猜测,接下来就要小心求证了。

      首先证明第一句话是正确的。在我问同学们要证明一个命题是正确的时,一般要经过哪些步骤。由于之前,我很少进行这样的练习,同学们一时回答不上来。在公开课上,我只好来一次包办代替了。上完课后,我自己反思了一下,这个环节,是我处理的不好的一个地方,原因就是在以前的课堂中,我回避了这个不重要而且也很难讲明白的知识点。

      我对同学们说,要想证明一个命题是正确的,首先要画出一个符合题意的图形,再结合命题里面的题设和结论写好已知和求证。

      在具体证明等腰三角形的两个底角相等时,我分别找了三位同学,按照不同的辅助线作法到黑板上进行证明,这三种不同的辅助线可以是作顶角的角平分线,也可以作底边上的中线,还可以作底边上的高。三种辅助线作法不同,证明的具体思路也有所不同,但实际上都是同一条线段,也就是等腰三角形的对称轴的一部分。而且,之所以要让三位同学都上黑板上写证明过程,也是为了后面证明等腰三角形的三线合一的性质埋下伏笔。

      三位同学在黑板上做的时候,我让其他同学在下面练习本上做,待同学们都做完后,我开始点评,三位同学的答案都是正确的,这样就证明了等腰三角形的性质1。我在黑板上所写的第一句话前面加上了“性质1”,又在后面写上了“简写为等边对等角”

      这三位同学里,第一位同学是作的底边上的中线,然后证明三角形全等,再得到两个底角相等的。我问同学们,这条辅助线是等腰三角形底边上的中线,那么,这条中线还有其它的身份吗?

      有同学就说了,这条底边上的中线同时还具有两个身份,一是顶角的平分线,二是底边上的高。这个证明过程很简单,我直接在第一个同学的证明过程后面添了两行就可以了。

      其他两位同学所作的辅助线除了本身所具有的身份外,也还具有另外两个身份。总之,就是等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这样就证明了性质2

      在第二句话前面写上“性质2”,又在最后面写上“简写为三线合一”之后,接下来,在课件里显示这两个性质如何结合图形用几何符号语言表达。本来准备在黑板上详细再写一遍的,我一看手表,前面由于三个同学证明等腰三角形的性质时耗费了大量的时间,后面的内容已经快来不及了。只好让同学们结合我课件上的图形,做了一下应用两个性质的填空训练。

      在应用等腰三角形的三线合一性质时,我通过一个小动画,向同学们强调,在等腰三角形ABC中,写了AB=AC后,在以下三个结论中:①∠BAD=CAD,②BD=CD,③AD⊥BC,只要任选一个与AB=AC搭配,就可以得到另外两个结论。这样做,比每次去证明三角形全等要简捷多了,相当于是走了一个捷径。

      角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质都是通过证明三角形全等得到的,以后,我们遇到能够运用这些性质的证明题时,可以避开去证三角形全等,从而让过程进一步简洁,高效。不过,这需要同学们好好理解这三个性质。

      还有十分钟时,才到例题精讲环节。本来,课本上只有一个例题,是应用性质1的,我为了让等腰三角形的两个性质都得到运用,擅自加了一个例题,但这样一来,时间确实显得有点紧张。在讲课过程中,我临时决定,对于这两个例题,只是引导同学们分析题意,得出思路,至于写详细解题过程,只有留到晚自习去做了。

      在回答第一个例题思路时,陈立烨同学率先举手。他把整个题目的解题思路回答得很详尽。其中,有一个小细节,在设一个角为xo时,他选择的是设一个较大的角为xo,这样一来,就需要设另一个较小的角为0.5xo,计算、书写都不太方便。我对同学们说:“在设一个角为xo时,一般选择最小的那个角设为xo,这样,其他较大的角就可以用xo的整数倍来表示,这样做的话,以下的计算、书写都很方便。

      每二个例题,是应用性质2去解的一道证明题。姜云清同学最先举手。我问她应该如何做。她回答,可以应用性质1得到一些内角相等,然后再利用三角形全等来证明,这种方法虽然不是我心仪的,但我还是肯定了他的思路。我又问同学们,还有没有其他的解法?伍洪瑞同学主动举手了:“利用三线合一的性质,等腰三角形底边上的高同时也是底边上的中线,再经过一些过程,最后可得到结论。我立马表扬了他。

      晚自习时,我分别找了姜云清同学和另外一个同学,用两种不同的方法来做同一道题。两相比较,证三角形全等和运用三线合一的方法去证虽然都可以得到最后结论,但解题过程却有很大区别,这两种方法对比就象清朝士兵穿着长袍大褂拿着大刀去和身着短装手执洋枪的英法侵略者搏斗。历史早就告诉我们,落后就要挨打啊,同学们可要深刻的记得。

      离下课还有三分钟时,我果断将课件切换到课堂小结环结。先找了一个同学总结了本节课所学的知识点后,又找了一个同学总结等腰三角形的性质是用全等三角形和轴对称的知识点综合得到的。最后我总结了,经过今天的学习,我们学会了在线段相等和角相等之间互相转化。其实,复杂纷芸的现实生活不就是一直这样处于永恒的互相转化之中吗?数学学习考察的就是同学们的这种转化思考能力,现实生活考察的不也就是这种个人在逆境和顺境之间的转化能力吗?

      下课后,有一位听课老师走上前来,请我把上课的课件拷到他的U盘里,我很高兴,这至少说明了我所设计的课件还是得到了听课老师们的好评的。呵呵,我的劳动也需要得到他人的承认啊。



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-10-26 18:27:02 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-26 18:29 编辑

1017  星期四  


等腰三角形的判定

   

   

        上午第三节课,在14班上。预备的两分钟时间里,同学们都在读背昨天刚学的等腰三角形的性质。

      上课后,我首先表扬了昨天公开课主动举手回答问题的同学,这些同学每个人都得到了一个作业本做为奖品,其中,陈立烨同学表现最为出色,我额外给了他一个选择权,他可以选择要作业本,也可以选择要我从珠穆朗玛峰山脚下捡回来的小石头。陈立烨同学上来讲台后,毫不犹豫的拿走了小石头。刚开学的时候,我已经送出去两块小石头,家里剩下的珠峰小石头只有7个了,以后可要省着点用了。

      接着,我找了詹浩天同学背诵昨天刚学的等腰三角形的性质,他背诵的很流利:“等腰三角形的两个底角相等,简称为等边对等角;等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,简称为三线合一。”毕竟是刚学过的知识,而且还是在公开课上学习过的,同学们集中了高度的注意力,对这些知识点理解得也透彻,所以,随便找一个同学都背诵得非常好,我很满意。以后在做数学题时,同学们如果能对这些性质灵活自如的运用,那就更好了。

      这节课的主要知识点是讲解等腰三角形的判定。我给了四分钟时间,让同学们认真看书,并将重点内容划下来。在同学们看书的过程中, 我已经在黑板上写好了本节课要重点讲解的三个问题。

      一、等腰三角形的判定。由于刚看完课本,同学们都能立即回答:“如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。简称为等角对等边。”

      这个判定是用命题的形式给出的。而要证明一个命题是真命题,通过昨天的公开课,我已经发现,这对于同学们来说,是一个难点。

      结合这个命题的证明,我给同学们讲解了,要证明一个命题是真命题,要按下列步骤进行:1、根据命题的意思,先画出一个符合要求的图形。2、写出已知和求证,已知后面通常写命题的题设,求证后面写命题的结论,写的时候,要结合所画的图形中标明的字母,将这些题设和结论具体化。3、写出证明过程。

      证明一个命题是真命题,对于改版后的初中数学教材来说,不是重点内容,期末考试和中考,遇到的数学题一般都是画好图形,已知、求证都写好了的,学生只需要写出证明过程即可。但作为初中数学中的一个知识点,每一个同学还是要了解一下。

      如果要证明一个命题是假命题,那就简单多了,只需要举出一个反例,也就是举出一个例子,符合命题的题设,而不符合命题的结论即可。前不久,在说明边边角对应相等是不能证明三角形全等时,就是举出一个反例,从而将边边角组合永世打入冷宫的。

      如何证明等角对等边这个判定定理呢?同学们思考之后,纷纷举手。陈立烨同学说,作顶角的角平分线,然后通过角角边组合证明三角形全等,从而得到两条边相等。王钟会同学说,作底边上的高,通过角角边组合证明三角形全等,也可以得到最后结论。在他们两个说完后,我都点了点头。

      刘子航同学站起来说,做底边上的中线,然后证明中线两边的两个三角形全等。我对同学们说:“好好观察一下,刘子航同学说得对吗?”很快,有些心思慎密的同学指出,这种方法行不通,因为如果作的辅助线是底边上的中线,要证明三角形全等时,能够找到的条件只能凑成一个边边角组合,而边边角组合是不能证明三角形全等的。在13班上课时,黄文伟同学也曾这样思考过,不过,立马就被同学们否决掉了。

      我点了点头,确实是这样,要证等腰三角形的判定定理,只能作两种辅助线去完成,而证明等腰三角形的性质定理,却是三条辅助线都可以作。

      二、证明例1中的一个几何命题:“如果三角形一个外角的平分线平行于第三边,那么这个三角形是等腰三角形。”这个命题的证明过程比较简单,同学们按照我所说的证明一个命题是真命题的步骤依次进行,很快就完成了这个任务。

      这个结论,在初二下学期要学的平行四边形中,经常在一些难度较大的组合题里出现。角平分线加上平行,可以得到等腰三角形。具体例子就不举了,天机不可泄漏,到时你便自知。

      三、讲解尺规作图的例题。例题中的尺规作图不是基本尺规作图,而是利用基本尺规作图进行的一个组合作图。例题给出了两条长短不一的线段ah,要求作一个等腰三角形,使底边等于线段a,底边上的高等于线段h

      这种作图题首先要分析图形的结构,我对同学们说要“画图纸”,然后,分析图纸,定出尺规作图的步骤。

      和同学们一起画完图纸,并分析了图纸上的等腰三角形的结构之后,就在黑板上开始尺规作图了。首先,画一条线段AB等于已知线段a。因为等腰三角形底边上的高实际上就是底边上的垂直平分线。所以,就要用尺规作图法画出线段AB的垂直平分线,这也是一个基本作图。

      我在黑板上分别在线段两边画弧的交点时,14班肖写意同学问,画弧的两个交点时,在线段的同一侧,取两个不同的半径,分别画弧,得到两个交点,再连结起来,可以吗?我回答,这样画,也可以,但是不鼓励,最好还是按照标准的尺规作图来画。

      肖写意同学接着问:“那样做为什么就不行呢?”面对一个经常喜欢问为什么的同学,我这样回答:“期末考试卷或者中考试卷,要是我去批改你的卷子,我当然不会扣你的分,但是,你的试卷不可能由我去批阅,你能保证批阅你试卷的老师像我一样善良吗?要是他扣了你的分,你都不可能知道,更不可能去查卷补分,你连喊冤枉的机会都没有。”

      肖写意同学又问:“根据‘到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上’这个定理,这样画的两个点连起来,也应该就是线段AB的垂直平分线啊。”我对他说:“你说得很对,但一般不这样操作,如果你坚持这样做,最后的后果,请你自负。”

      接下来,只需要在垂直平分线上截取一条线段等于已知线段h,然后再连结两条腰就可以了,这里,在14班的教学过程中,又产生了分岐。我按照课本上的示例,向上画等腰三角形,有同学问,为什么不向下画呢?

      向下画等腰三角形,当然是可以的,但是一般不太符合我们的视觉习惯和审美习惯。有一个同学还在那里解释不休,我只好这样对他说:“向上画等腰三角形,说明积极向上,阳光开朗,你要是想阴暗堕落,你要是想生活在地狱之中,你可以向下画等腰三角形啊。”

      强行中止这场好笑的争论之后,回到办公室,我还在思考这个问题。确实,为什么就不可以向下画这种等腰三角形呢?一个学生能逆向思考,不正说明了他的思维求新求异吗?是些什么样的因素让书本,让家长,让老师将一个个的孩子引上了世俗标准? 思维求新求异与遵守常规准则到底要把握怎样的一个度?为什么一个孩子越是成长,就越要循规蹈矩,这一切在幕后操纵的那只手,到底在哪里?电影大话西游里面,至尊宝为什么必须戴上金项圈,才能变身为本领非凡的孙悟空?他为什么必须化身为孙悟空才能降妖伏魔,才能助唐僧到西天取得真经?当代教育把我们的孩子一个个地变成唐僧或者戴上金箍儿才算成功吗?

      我百思不得其解,恍恍然,尤如大梦一场。醒来后,感觉自己还是身处现实之中。

      第五节课,到13班教室上课。找蔡晓帆同学背诵了等腰三角形的性质之后,又专门画图讲解了这两个性质该如何运用。因为13班上等腰三角形的性质已经好几天了,由于担心同学们遗忘太多,所以就多花了几分钟时间去复习。

      接下来的过程与在14班差不多。在13班上课,就没有什么同学提出一些非主流的问题了,我的讲课进程也很快。孙辰和吴志同学举手积极,踊跃发言,令我印象深刻。



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-10-26 18:30:36 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-10-26 18:32 编辑

1018  星期五  


全等三角形的单元测试


      今天,每个班都有两节课,14班的两节课不在一起,经过调换,也首次相聚,就是为了在今天进行一次迟到很久的考试----全等三角形的单元测试。

      在测试之前,我花了十分钟时间,特意跟同学们讲解了全等三角形这一章里面需要搞清楚的三个易错问题。

        1、证明三角形全等的方法。共4+1种,有边边边,边角边,角边角,角角边,还有一种只能用来证明直角三角形全等的斜边、直角边。在这些方法中,两边一角的组合只有边角边组合才可以证明三角形全等,而边边角组合是不能证明三角形全等的。如果找到了两条边对应相等,还有一个角相等,那么这个角必须是夹角,否则,是不能证明三角形全等的。

         2、证明三角形全等的格式。用不同的方法去证明三角形全等,就要用不同的格式。比如,用角角边组合时,在大括号里所括的三项一定要把对应边相等写在第三行的位置。在用HL证明直角三角形全等时,大括号里虽然括的是两个条件,其实还是由三个元素对应相等得到的三角形全等,只不过,有一个直角相等的元素在证明直角三角形全等之前就已经写出来了。

         3、证明三角形全等时,要注意对应。证明三角形全等,并不是任意找三组元素相等就可以得到三角形全等的。比如同样找得是两角一边相等,但是两个三角形中相等的这条边所对的角并不是对应角,那么是不能得到这两个三角形全靠的。举例说明,在△ABC和△DEF中,知道∠A=∠D,∠B=∠E,同时还知道∠A的对边BC与∠E的对边DF相等,看上去符合两角一边相等,但是BC边所对的角∠A与DF所对的角∠E并不是对应角,所以这种情况是不能得到△ABC ≌△DEF的。

       我在讲这三个易错问题时,13班的同学个个睁着大大的眼睛专注的看着我,生怕漏掉我所讲的任何一个小细节。14班的同学相比较之下就没有那么专注了,有几个同学还催着我快点考试,连我看座位表上的同学名单,以便决定找哪个同学来回答问题更有效果时,有几个同学就等不及了,接连催我随便点一个同学回答完就马上开考,好象个个都急着要去拿属于自己的满分。我隐隐感到有点不妙。

       开考直到收卷,13班的同学一直在认真做题,仔细检查。14班有一些同学很快就说做完了,也检查完了,可不可以提前交卷。

       收完试卷后,立马就在办公室里批改起来,两个班里各有一些同学围在我的办公桌旁请我优先批阅他的试卷。当面批改,效果是最好的,我仔细统计了一下,虽然两个班里各有一些同学想让我先批他的试卷,但13班关心成绩的同学远远超过了14班的同学。

       改完试卷后,统计一下成绩,结果让我大跌眼镜。13班满分的有5人,14班有3人;13班110分以上的有29人,14班有22人;13班的平均分居然比14班高出了1分多。简直逆天了。我当然知道,一次考试的成绩不能说明问题,龟兔赛跑中,兔子还有睡大觉的时候呢。如果有下一次考试,14班一定会超越13班,但这一次为什么却出现了这么大的反常呢?

       我拿出两个班的试卷分析了起来。最后一道题,在两个班都讲过,13班基本正确的有42人,14班基本正确的有29人,这些基本正确的人中,13班正确的42人里,清一色都是我所讲得解题思路,14班里正确的29人中,有两个人是自己用其他作辅助线的方法做的,我仔细看过,做得很好,我没有扣分。这至少说明两点:一、14班聪明的孩子确实比13班多,那两个同学所做的辅助线可能13班的同学想破脑壳也想不出来。二、对于和我所讲的解题方法不一样的思路,只要你能够做正确,我是决对不会扣分的,而且还相当的鼓励,可不是有些同学所说的,老师不鼓励求异,扼杀创新。

       关键是你要做正确,14班有很多同学作了一条似是而非的辅助线,写了很长的过程,结果却全部错误,这只能说明,14班有很多同学对于老师所讲的解题思路是一知半解,更为要命的是,这些同学满足于一知半解。13班的同学里,除了完全不会做的同学外,其他能做对的同学全是理解清楚了老师所讲的解题思路,并按照这种解题思路做对得分。从正确率方面来说,13班做得好,至于创造力和将来的发展潜力方面,我不敢妄下判断。

      今天由于事务繁多,写这篇博文时,已经很晚了。我看到梁梓航同学在评论中对我的讨伐后,惊出了一身冷汗。梁梓航同学有些观点说得很对,有些观点目前整个教育界也处于争议之中,还有些观点也不免太过武断。不过,老师和学生的出发点是一样的,都要想让每一个同学学习进步,身心健康。我们可以求同存异,我坚持我的观点,你信奉你的原则。呵呵,就不要再争论了,因为我可不想与一位意见领袖观点相左。而且,我在课堂上所说的,在博文里面所写的,有时是为了幽默调侃,有时是为了孤芳自赏,作不得真的。

      另外13班有同学说想看我制作的江南style中文字幕版,你只要在百度里面搜索“江南style中文字幕版(我怕蹲的实在累)”,第一行就是,可以去看看,乐呵乐呵。看完后如果觉得好的话,不要忘了帮我顶一顶。



使用道具 举报

Rank: 2

威望
0
注册时间
2013-10-14
积分
21
精华
0
帖子
20
发表于 2013-10-27 18:20:04 |显示全部楼层
你这种教法很好,值得我学习。

使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-11-3 11:10:37 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-11-3 11:12 编辑

10月20日星期日  晴



评论回复



      今天下午,在家里看同学们在我的博客上留的评论,让我印象深刻的有这样一些同学。

      10月13日的博文评论中,苏雪欣同学说:“我必须笨鸟先飞”。

      苏雪欣同学平时在课堂上听讲是很认真的,回答问题是很积极的,但这一次全等三角形的考试,她的成绩并不好。有两个解答题由于思路错误,而导致全部丢分。一次考试发挥超常不能说明这位同学学习就一定优秀,一次考试发挥失常也不能说明这位同学学习一定不行,但“笨鸟先飞”这句话却是至理名言。据科学研究证实,绝大多数同学的智商都是正常水平,而这些同学的成绩却有天壤之别,其原因就在于是否勤奋与努力。对于理解能力弱,记忆力差的同学来说,要想跟上优秀同学的步伐,就要花更多的时间,付出更多的汗水,做更多的题目,让老师帮自己解开更多的疑惑,笨鸟先飞。

      10月14日的评论,张灿同学是这样说的:“兵不在多而在精,题不在快而在准,准确率高才是王道。”相同的表达还有霍嘉琪同学的:“我做题有时也会回过头去看看,保证没错了再往后做,老师说的对,宁可牺牲速度,也要保证准确率。

      张灿同学在认识上已经与霍嘉琪同学相齐了,甚至说的更好,但关键的是行动。如果张灿同学在学习态度上与霍嘉琪同学相仿,在付出努力上与霍嘉琪同学一样,那么,张灿同学也会与霍嘉琪同学一样,取得优异的成绩。其他同学如能做到,也可如此。

      10月15日的评论里邓霖琳说得很好:“希望老师能够多指出我的缺点与不足,在多年后的我看来,这将是一笔不小的财富。”

      邓霖琳同学的这种说法与另外几个同学的说法放在一起,就显得是多么温暖人心。有同学说:“老师,你可真会王婆买瓜,自卖自夸的。”还有同学指出我一大堆的“毛病”后,再加上一句:“好好学学吧”。

      确实,我不是全才,我现在写日记连载,只是一个有益的尝试,我根本不敢保证我说的每一句都是灵丹妙药、金玉良言。觉得有用,可以听从领悟,觉得无用,大可不用攻击。良言一句三冬暖,恶语一句六月寒,特别是现在写日记连载已步入瓶颈期的我,好几次,我几乎都坚持不下去了。就算得不到你的好评和鼓励,就算真有什么不同意见,完全可以当面沟通交流,给我一个为自己解释的机会,而不是先入为主地将不好词语强加于人。

      10月16日的评论里,汪周宁鹭写得很好:“老师的公开课从开头到结尾我都很认真的听进去了。不仅是因为后面有老师坐着,不仅是因为这是一堂公开课。我觉得,我们应该拿出十二分的精神对待老师上的所有的课。就像李老师说的,我们应该尊重老师的劳动成果。很多人在课堂上起哄,捣乱,殊不知老师此时站在讲台上的心情有多么糟糕。我很讨厌上课乱插嘴的人。因为那是一种十分没有家教的行为。你以为你能够哗众取宠,实际上你丢失了自己的脸面和尊严,包括你父母的脸面和尊严。我认为老师在课堂上应该严惩课堂捣乱之人,他浪费了老师和大家的时间,并影响了其他同学的听课效果。”

       两个班的同学里面,恶意起哄的同学几乎没有,只是一时好玩,或者习惯成自然,控制不住自己。对于这种不好的现象,我当然可以原谅,而且,我自认为,我还像一个优秀的足球裁判,面对足球场上各种突入其来的意外事件,自己还能很好的控制比赛节奏,大不了出示黄牌,最后,我还有红牌未用呢。

       汪周宁潞同学在14班是一个很有正义感的同学,她在课堂上发言虽然不多,但与老师之间非常亲近,有什么想法也能和老师在一起及时沟通,是一个非常优秀的学生。

      10月17日的评论里面,我反复把同学们的评论扒拉来,扒拉去,始终没有找到最佳。有一个同学的评论是这样的:“老师,你那几颗假石头是拿来‘用’的吗?”

      我给他的回复是这样的:“假石头,我不太明白是什么意思。我奖给同学们的每一块石头都是从珠峰山脚下捡回来的,如假包换。石头都很普通,但至少随我奔波上万公里才来到东莞。每个人都有自己的缘法,每一块石头也都有自己的经历,细细去端详它,什么东西都有故事。”

      10月18日的最佳评论是方倩妮同学的:“为什么平行班超过重点班一次就是逆天呢,难道老师就认为平行班的潜力比不过重点班,我希望13班的同学们都加油,在期中考试时证明给老师看。”

      我给她的回复是这样的:“方倩妮同学的评论说到我的心坎上去了。王候将相,宁有种乎?现在的数学考试就是看同学们是否上课听讲了,是否理解了各个知识点,是否在细心做题,是否在总结各种失误,13班的同学如能做到,将不会比任何人差。加油!”

      小升初的一次入学考试证明不了什么,每一个学生的可塑性都非常强,每一个学生的发展空间也非常大。希望13班的同学在接下来的时间里好好努力,等到中考成绩揭晓的时候,你们每一个人都能自信而又豪迈的喊出这句话:“王候将相,宁有种乎?”

      还有一些同学的评论写得也很好,再摘录如下:

      “学习的态度与考试所得到的成绩是紧密相连的,与其总去抱怨自己考试没有发挥好,还不如多反省一下自己。邓霖琳”

      “老师说的13班逆天了,其实我觉得不然。13班和14班是一样的。没有什么不平等的,我们两班老师一样,试卷也是一样,考的怎么样全靠个人。13班也有可以考出年级前几名的同学,14班也有考出很低成绩的同学。人各有异不能强求。但不能仅仅因为一次小升初考试成绩的高低来给两班同学扣上优秀或差等的帽子。汪周宁鹭”

“好伤心,虽然比上次有进步,但是,还是没有做到滴水不漏,看来我还要继续努力。期中考试就要到了,但我并不害怕,因为我始终相信只要做到上课认真听讲,下课努力做题悟透知识点的话,成绩不会不提高的。李怡康”

     “老师我爱死你了,本来这道题我还有些不明白,结果看了你的博客我就彻底懂了,我终于明白老师让我们看博客的真正用意了。加油,我和父母都很支持你这样做。李怡康”

      陈龙翔同学上周生病了,一周未上课。他在家里看完我的博客后,这样评论:“因为生病,所以没上课,有些失落。但,在这里上了一次,很好。”

      我的博客还有这样一个作用,就是让因为生病没有上课的同学在家里补上一遍课。不过,这种补课效果肯定有所欠缺,到校后,遇到不清楚的知识点,还是要到老师这里及时弄明白。另外,祝福陈龙翔同学身体尽快康复,早日回到我们中间。再加一句,难怪上周公开课,课堂气氛不太活跃,因为少了我的一员爱将陈龙翔。你可一定要快点归来哦。

      欧奕锋同学在博客里面这样说:“老师,说实话吧。我们这些同学大部分都不怎么敢去问的,就怕不懂露陷,被老师骂。”

      欧奕锋同学虽然成绩不是太好,但他是一个很坦诚的同学,有什么想法就直接在博客里面告诉老师,我很高兴。我只能这样说,自己多去努力钻研,如果是以前的基础知识欠缺或者未能理解课堂上所讲的知识点,未能掌握一些解题格式和技巧,一定要及时去问老师,丑媳妇也要见公婆,你说对吗?更重要的是,到目前为止,还没有一个同学因为来问我哪怕是最简单的问题而遭我骂的。只有那些对最简单的错误不问,也不改的同学才有可能被我骂哦。

      数学晚自习时间,我在14班找了四位同学:程思思、吴怡萱、何健森、程浩龙同学来办公室,除了程浩龙同学需要我亲自邀请外,其他三位同学立即就到了。他们四人还不会用HL定理去证明直角三角形全等,一个一个地跟他们讲解了正确的思路和方法后,就让他们去改错了。章回演义小说里,常用“十八般武艺样样精通”来形容一位好汉。我们班的学生要想成为别人仰慕的好汉,也得各个定理和公式,样样精通。

      接下来,我找来了梁梓航同学,因为他在我的博客评论里批评我不允许同学们用创新思维去做数学题,还说一位同学的思路只因与我所讲的不一样,而被我PASS掉,可他仔细看过那位同学的过程,尽管有点繁复,但却是正确的。

      我昨天看到他的评论后,几乎惊出了一身冷汗,一宿睡不着觉,生怕自己把一个新异的正确思路给扼杀掉了。让他找来那位同学的解题过程后,我和他一起认真的逐字逐句的看起来。思路与我在课堂上所讲的不一样,看上去好象没有问题,但是中间有一个过程,却不知从何而来,我又认真地细读一遍,确信中间有一个环节出了问题,后面的其它过程就象无源之水,无根之木,根本就立不住,总之,这个过程不对。

      我对梁梓航同学解释了之后,心里想:“我不敢保证自己的每一个判断都是正确的,但如果真地觉得我的某个批改是错误的,应该把解题过程拿来让我先看一看,再发评论也不迟。至少,这才是真正理性的负责任的态度。



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-11-3 11:17:37 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-11-3 11:21 编辑

10月21日星期一  晴



讲评试卷



      今天,在14班上课时,心情很不好。一方面是同样一张试卷14班的总体成绩比13班要差,另一方面,是14班同学一直以来的听讲状态不太好。

      课堂上,首先对同学们分析了这次考试的成绩。特别提到了最后一道题,在两个班都讲过,在以前的博文里面也写过。但这道题,13班同学里基本做对的有42人,每个同学都是用的我在课堂上所讲的思路。14班同学里面基本做对的有29人,其中,张艺和汪周宁潞同学凭借自己高超的数学功底用别的思路也做对了,剩下的只有27人是用我在课堂上所讲的思路去做的。

      分析了这些数据后,我对同学们发表这样几点感慨:“1、对于张艺和汪周宁潞同学另外的思路做对这道题,我非常赞赏,并不是象有些同学所说的不予承认,扼杀创新。不过,在都能做对得分的前提下,我还是觉得用最常用的最简捷的方法去做比较好。因为考试时,没有更多的时间让你去进行求异思维。2、在课堂上听讲时有很多同学心不在焉。比如,最后一题,有一些同学做了一条与我在课堂上所讲解的方法相似的辅助线,但差之毫厘,谬之千里,那条辅助线是做不出最后一道题的,这说明14班里有很多同学对老师所讲的知识点和解题方法一知半解,却还不想认真听课,细心领悟。相比13班,自以为是,自命不凡的同学大有人在。”

      由于心里确实比较生气,以至于对有些同学的违纪在批评时严重技术变形。比如,伍洪瑞同学在课堂上不停的耸动双肩,要是放以往,我会盯住他看半分钟时间,当他意识到了也就算了。但在今天,烦乱之下,口不择言,直接骂道:“伍洪瑞,你的羊角疯发了,是不是?”

      当伍洪瑞同学望着我准备反驳时,我更大声地说:“你两个肩膀动来动去,不是羊角疯发了是什么,要坐就坐端正。”直到他保持沉默了,我才放过他。细想一下,觉得这样处理不是太合适。

       给了几分钟时间,让同学们改完试卷上的错误,就从练习册上挑选了同学们问的较多的两道题予以了讲解。

       第一题中,有一个变形过程比较关键。列举如下:如图,

1.gif

       ∵AE=AF

       ∴∠1=∠2

       ∵∠1+∠2=∠BAC

       ∴∠1=∠2=0.5∠BAC

       ∵∠3=∠4=0.5∠BAC

       ∴∠2=∠4

       ∴AD∥EG

      这个推理过程希望同学们看明白后,能够记住,特别是

      ∵∠1=∠2,∠1+∠2=∠BAC

      ∴∠1=∠2=0.5∠BAC。

       以后再做其它证明题时,这样的推理过程比比皆是。

       第二个题是一个非常典型的避开证明三角形全等,只用角平分线的知识、线段垂直平分线的知识和等腰三角形的知识就能解决的几何证明题。同学们认真领悟,对于你理解这些知识点,提升数学功力极有好处。

       如图,已知:DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF,AB=AC,求证:∠1=∠2。

2.gif

       证明过程如下:

      ∵DE⊥AB

         DF⊥AC

         DE=DF

      ∴∠3=∠4

      这四行是用角平分线的判定“到角两边距离相等的点在角的平分线上”而得到的,同学们可以好好体会一下这种几何符号语言的叙述。

      接下来:

      ∵AB=AC

         ∠3=∠4

      ∴BD=CD

         AD⊥BC

       这四行,是运用等腰三角形“三线合一”的性质得到的,“等腰三角形顶角平分线同时也是底边上的中线,还是底边上的高。”用符号语言仅仅四行就表达的淋漓尽致。同学们细心体会。

       接下来:

       ∴GB=GC

       因为前面刚得出了BD=DC,AD⊥BC,也就是说AD是线段BC的垂直平分线,从图中又可以看出,点G是AD上的一点,根据“线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等”得到GB=GC。短短一行,但承上启下,言简意赅,无懈可击。同学们,当你的数学功力达到一定的程度,就会发现解题过程并不是写得越多越好,而是要写得恰到好处。增加一字则太多,减少一字则太少。

       最后一行:

       ∴∠1=∠2

      由前面所得的GB=GC,根据等腰三角形的性质“等边对等角”得到∠1=∠2。

      整个过程如果用证三角形全等也可以做,但过程繁复,冗长。而灵活运用角平分线的性质,等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,可以完全避开证明三角形全等,整个过程简捷、高效。

      在向同学们提问这个解答题的证明过程时,14班的陈立烨、伍洪瑞、邓霖林回答正确。13班的霍嘉琪、黄文伟、陈晓桐回答正确。

      下课后,苏雪欣把自己在其他数学资料上做的三个题拿给我看,并让我帮她批改一下。对于这样积极学习的同学所提出的要求,我总是十分高兴的答应。这一次考试,苏雪欣同学成绩不太好,她自己也很着急,而她又是一个对自己要求很高的同学。

      我看完她做得三个题后,发现都是错的,而且这三个错题有一个共同点,都是两个全等三角形扭在一起,有一部分重合在一起,这种图形,如果没有掌握它的解题规律,将很难看清楚对应边、对应角。我教她把两个扭在一起的三角形分开画在旁边,再把相等的边和相等的角标上记号,一一对比,就发现了可以用哪种方法去证明三角形全等,而且三角形全等后又可以很快找到另外的对应角相等。

      总有一些孩子,他们对复杂的图形欠缺一点空间想象能力。他们想象不出来两个全等三角形是怎样变换到一起的。这种时候,就只有用最笨的方法把两个全等三角形分开画,仔细观察,找到解题规律,逐渐熟练,到时候,一看到图形,就知道该如何去找对应元素相等去证明三角形全等。只是希望这个逐步熟练的过程不要太长。

晚自习,在两个班各讲了两道题。

      第一题是练习册上一道习题,这道习题与课本上一道例题相似,不过要显得更加复杂一些。课本上的例题是这样的。

      如图,AB=AC,BD=BC=AD.求△ABC各角的度数。

3.gif

      在这个图中,有三个等腰三角形。因为AB=AC,所以∠ABC=∠C,因为BD=BC,所以∠C=∠2,因为DA=DB,所以∠A=∠1,这些角之间的关系错综复杂,用设未知数的方法来理解这些角的关系最方便。设∠A=∠1= xo,那么∠2=∠A+∠1=2xo,∠C=∠2=2xo,∠ABC=∠C=2xo,最后在△ABC中,利用三角形内角和为180o来列方程。

      练习册上的习题是这样的:

      如图,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB,求△ABC各角的度数。

4.gif

      这个题实际上是课本上例题的升级加难版,但解题思路都是一样的。这里有四个等腰三角形,因为AB=AC,所以∠ABC=∠C,因为DA=DE,所以∠A=∠3,因为ED=EB,所以∠1=∠2,因为BC=BD,所以∠4=∠C,设最小的∠1为xo,那么,其他各角都可以用含x的代数式表达出来,最后,在△ABC中,利用三角形内角和为180o来列方程求解。

      这种题目部分同学觉得很难,原因有以下几点:1、AD=DE=EB,这个连等式不好理解,分解开来就是,AD=DE,DE=EB,有两个等腰三角形,等边对等角,分别得到对应的角相等。2、要用到“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”这个结论,比如,这里的∠4=∠A+∠2.如果设了∠1为xo,那么∠2为xo,∠A=∠3=∠1+∠2=2xo,∠4=∠A+∠2=3xo。3、这种图形里面,一个角的度数都没有告诉我们,怎么去求其他角的度数呢?特别是有些思维一直停留在小学生水平上的初二学生,始终想不透,为什么一个题目,没有告知我们任何一个数据,居然可以凭空取物,把角度求出来。这些同学之所以有这样的疑惑,还是因为做题太少,或者没有总结领悟。因为这种题目里面,一定会有一个隐含条件,比如,上面这两道题目,都要用到三角形内角和为180o,这不就是一个最为重要的数据吗?然后利用其他角的关系,设未知数列方程求解,可得最后答案。

      同学们可以好好去做一下这两道题,多悟一悟我所说的这些道理。他人说来终觉浅,绝知此事要躬行。

      第二道题是一道我写在黑板上要求同学们做到作业本上的思考题。这个思考题的解题思路和辅助线作法很具代表性,同学们在学完全等三角形之后要拓展思维,这种题目是必须过关的。

      如图,D点是BC的中点,求证:AB+AC>2AD。

5.gif

      这种题目,第一次看到,几乎无从下手。初中数学里面,总有些数学题,完全依靠同学们自己的思考,很难找到思路,。此时,就需要老师依据自己的做题经验予以点拨了。

      其实题目已经暗示了解题思路,就是求证结论里面的2AD,怎样才能得到2AD呢,很自然的联想到将AD延长一倍,这个过程用尺规作图可以做到。

      如图:

6.gif

      延长AD到E,使DE=DA,此时,不可能将点E孤零零地放在那里啊,就要把点E与点B连结起来,由于点D是BC的中点,再加上对顶角相等的隐含条件,就可以得到△BED ≌△CAD,从而得到CA=BE,最后,在△ABE中,两边之和大于第三边,可得AB+BE>AE,再代换一下,就得到了最后答案AB+AC>2AD。

      这种题目,涉及到初中数学里面的一种常见的作辅助线的思路:倍长中线法。加倍延长与中点相关的线段,然后得到全等三角形,就可以将某两条看似远隔千山万水的线段来一个乾坤大挪移,从而将解题思路打开的。同学们好好体会一下,认真做一做,仔细悟一悟,以后,我们还会用这种解题思路做一些更难的证明题。





使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-11-3 11:23:05 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-11-3 11:24 编辑

10月22日星期二  晴



等边三角形



      等边三角形是一种特殊的等腰三角形,特殊之处在于一方面,每条边都相等,每个内角都等于60o,另一方面,等边三角形的每条边都可以看作是底边,另外两边看作是腰,等腰三角形的三线合一的性质也可以用在等边三角形身上。

      有很多同学在等腰三角形中用三线合一的性质都不过关。要在等边三角形中用三线合一的性质,特别是很多时候,要把等边三角形斜着的一条线段看作底边,就更不容易理解了。再加上加入了等边三角形之后,三角形全等的知识点就有了用武之地。有大量的的证明题都是以等边三角形为背景,在图形里面找全等三角形,而这些全等三角形几乎都是旋转的全等变换。所以,等边三角形是综合性很强的一节内容,容不得有半点马虎。

      首先给了两分钟时间让同学们看书。本节课的知识点很容易理解,但课本上没有分类叙述。在同学们看完课本后,我在黑板上依次写下:

      1、等边三角形的定义:三边都相等的三角形是等边三角形。

      2、等边三角形的性质:等边三角形的三个内角相等,都等于60o。

      3、等边三角形的判定:①三个角都相等的三角形是等边三角形;②有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形。

      在第二种判定方法里,一个等腰三角形再加上有一个角是60o,不管这个60o的角是顶角还是底角,都可以得到这个三角形是等边三角形。

      我又问了一个问题:“有两个角是60o的三角形是等边三角形吗?为什么?”同学们马上回答:“有两个角是60o,那么第三个角也必然是60o,所以这样的三角形是等边三角形。”

      十多年前,老人教版教材上是有这个判定方法的,但后来删除了,变身为“三个角相等的三角形是等边三角形。”

      课本上的例题很简单。略微讲了一下就开始做练习册上的习题。

      我找了三道题,第一道是角度的简单计算,第二道是等边三角形的性质与判定的综合运用,第三道是证明旋转变换的两个三角形全等。

      第二道题很典型,在这里再次讲解一遍。

      如图,△ABC是等边三角形,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,求证:BD=DE。

1.gif

      这个题的证明过程有两个地方不好理解:

      首先,因为BA=BC,AD=CD,所以得到∠1=∠2=0.5∠ABC=0.5×60o=30o,这个过程运用的是等腰三角形的三线合一的性质,只不过底边AC是斜着放的。同学们如果觉得不太好看,可以将头向左偏转120o,或者把你的电脑屏幕向右偏转120o,你将会看得更加清楚。呵呵。

     第二,因为CD=CE,得到∠3=∠E,又由于∠3+∠E=∠ACB,所以就得到 ∠3=∠E=0.5∠ACB=0.5×60o=30o。这个过程可能很多同学一下子看不明白,因为在课堂上讲完这个过程后,13班的霍嘉琪同学就来问这个过程是怎么变形得来。正因为霍嘉琪同学不放过任何一个疑惑点,所以,她才能在强手如林的初二取得优异的成绩。希望其它同学多向霍嘉琪同学学习,一旦遇到自己不懂的推理变形,必须马上搞懂,根本就不用担心老师会责罚你在课堂上没有听讲。而且,我也从来没有责罚过这样主动去问的同学,相反,那些不懂装懂,自以为是,自命不凡的同学却是屡次遭到我的批评。

      在这个推理过程中,∠3=∠E,又由于∠3+∠E=∠ACB,所以……,同学们好好想想,是不是∠3和∠E都刚好占∠ACB的一半,也就是∠3=∠E=0.5∠ACB。

      得到了∠2=30o,又得到了∠E=30o,那么就得到了∠2=∠E,从而可得BD=DE。

      练习册上另外的证明题几乎都要去证三角形全等,而且全等的两个三角形都属于旋转变换后所形成的。在一个几何图形里,不管是只有一个等边三角形还是有两个等边三角形,只要有三角形全等,几乎都是旋转变换后所形成的,因为命题老师只能这样去编题。

      看准了要证哪两个三角形全等,只要仔细观察,一定可以找到三个全等的条件,因为以等边三角形为背景的证明题,相等的线段,相等的角简直是太多了,就看你会不会找。



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-11-3 11:31:47 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-11-3 11:34 编辑

10月23日星期三   晴



在以等边三角形为背景的图形里找三角形全等



      两分钟预备时间,在我的提醒下,14班的同学才想起来要去读背昨天刚学的等边三角形的有关知识点。

      正式上课后,我找了丁子涵、连家乐、何建森同学背诵等边三角形的定义、性质、判定。三位同学都背诵的非常熟练。在13班,我找得是王中元、张钦胜、张成彬同学,他们也背得很熟练。

      定义:三边都相等的三角形是等边三角形。

      性质:等边三角形的三个内角都相等,都等于60o。

      判定:1、三个角都相等的三角形是等边三角形。

                2、有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形。

       这些知识点都很简单,但是,要想灵活应用却有一定的难度。特别是在以等边三角形为背景的图形里去找三角形全等,更是非常的困难。这一类题目都有一个共同点,就是要去寻找旋转变换后的全等。

      接下来,我用两节课的课堂时间,从练习册上找了四道这样的典型证明题让同学们去做、去悟,又从课本上找了一道类似的证明题让同学们做在作业本上。能把这五道证明题搞懂并逐题过关,那么,这一节就没有什么问题了。这五道题是这样的:

      1、  如图,△ABC和△BDE都是等边三角形。求证AD=CE。

1.gif

                    

      这道题昨天课堂上讲过的,要证△ABD ≌ △CBE,这两个三角形是绕着点B旋转后得到的。但总有些同学缺乏一种空间想像能力,我只好剪了一个和△ABD差不多的纸片,来模拟旋转的过程。旋转的过程看清楚后,又有一些同学不知道如何找三组全等条件。特别是有些边和角搅和在一起的情况下,更是难找。我把这两个三角形分别用红色粉笔和蓝色粉笔勾勒出来,再让同学们观察,这时,大部分同学才看清楚:BA=BC,∠ABD=∠CBE=60o,BD=BE,边角边对应相等,所以△ABD和△CBE就全等了,从而顺利得出AD=CE。

      2、  如图,△ABC是等边三角形,∠ACE=60o,BD=CE。求证:△ADE是等边三角形。

2.gif

        此题已知△ABC是等边三角形,可以得到AB=AC,∠B=∠BAC=60o ,又因为题目告诉我们∠ACE=∠B=60o,BD=CE。所以就可以得到△ABD与△ACE的边角边对应相等,那么也就可以得到这两个三角形全等了。讲到这里,班级里有一些同学还看不出来,我只好在旁边单独把这两个三角形平移出来,再一一标上记号,如图:

3.gif

4.gif

      此时,同学们才看得比较清楚了。在这一节里,之所以有些同学觉得很难,原因就在于这些同学在找两个经过旋转变换所得到的全等三角形时缺少经验,辨别不出。

      接下来还有一个难以理解的地方,就是怎么证明△ADE是等边三角形呢?

      因为已经得到了△ABD≌△ACE,就可以得到对应边AD=AE,这就说明△ADE是等腰三角形,要从等腰三角形升级到等边三角形,需要一个条件,有一个内角是60o 。那么如何找到△ADE中有一个内角是60o 呢?

      回到原图中去,因为△ABD≌△ACE,可以得到∠CAE=∠BAD,那么∠CAE-∠1=∠BAD-∠1,也就是∠DAE=∠BAC=60o 。从而可以得到△ADE是等边三角形。

      3、  如图,在等边△ABC中,BD=CE,AD与BE交于点P,求∠APE的度数。

    5.gif

      这里,只有一个等边三角形ABC,但由于有BD=CE,根据边角边对应相等可以得到△ABD ≌ △BCE,这两个三角形全等后就可以得到对应角∠1=∠2,由于∠APE是△ABP的一个外角,所以∠APE=∠3+∠2,再转化为∠3+∠1,即等于∠ABC,所以∠APE不就等于60o 了吗?

      4、如图,△ABC和△DCE都是等边三角形,且B、C、E在一条直线上,连结BD、AE分别交AC、DC于F、G。(1)求证:AE=BD;(2)求证:CF=CG;(3)连结FG,求证:△CFG为等边三角形。

6.gif

      这道题是初中数学三角形全等里面最为经典的一道证明题,最近十年来,我在各种各样的期中、期未考试,还有中考数学试卷里面遇到过不下于十次。总之,这道题一定要人人过关,而且整个题目的思路就一条道。逐题解答,步步为营,一定可以顺利证完。

      首先,因为△ABC和△DCE都是等边三角形,那么就可以得到很多条线段相等,很多个角都等于60o ,而且图形中的∠3也等于60o 。

      作好准备工作后,就需要证第一次全等。在14班上课时,我找得是邓云龙同学回答思路,在13班上课时,找得是艾奥杰同学回答思路。同于前面好几道类似的证明题的铺垫,这两位同学一站起来,就能回答要证△ACE≌△BCD,这两个三角形是绕点C旋转变换后得到的。在这两个三角形中找三个全等条件非常容易。班级里有个别同学不太明白,我专门在课堂上剪了一个三角形纸片,模拟了旋转的过程,然后让还是不太明白的同学在草稿纸上分开画这两个三角形,去观察相等的边和相等的角。

      提示到这里,如果还是有同学不能理解,那我也就没有办法了。可能这样的同学天生就没有学好数学的潜质。

      第(1)小题解决后,我问同学们,第(2)小题中,如何去证明CF=CG呢?思考了一会儿,有同学回答:“要证CF=CG,可以先证明△BFC≌△AGC,因为这两个三角形也是绕点C旋转变换后得到的。我表扬了同学们敏锐的观察力之后,就问道怎样去找三个全等条件呢?

      有BC=AC,还有∠1=∠3=60o,还差一个条件。同学们又陷入了沉思。有同学又快速地找到思路了,因为在第(1)小题里面,证明了△ACE≌△BCD,就可以得到∠4=∠5,刚好凑足三个全等条件可以证明△BFC≌△AGC。

      象这样的一个大题中有3个小题的,一般都是第1小题里面证出的结论是为第2小题做好准备的。

      下课后,13班的霍嘉琪同学问我,可不可以不证△BFC≌△AGC,而去证△DFC≌△EGC,我马上告诉她,可以的,这实际上就是沿另一个方向上去找三角形全等。

      第3小题就简单多了,前面两小题中证明了CF=CG,再加上∠3=60o,立即就可以得到△FGC是等边三角形,因为有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形。

      如果愿意设计,还可以让同学们证明FG∥BE。

      记得有一年的中考试卷上,最后的压轴题里面,还把这个图形作了一个变化,把△CDE绕点C旋转一定的角度后,问:上述几个小题的答案还成立吗?请画图说明理由。

      这些题目,同学们可以在课外时间予以思考,看自己是否能找到思路。

      讲完这道题后,就给了充足的时间让同学们好好将此题做在练习册上,并认真体会整个题目的解题过程是如何环环扣、层层推进的。

      还有十分钟时间里,让同学们在作业本上做课本上的一道差不多类型的解答题:

      5、如图,△ABD、△AEC都是等边三角形。求证BE=DC。

7.gif

      如果前面所讲的几道题都能搞明白,那么,这道题就非常的简单,因为两个经过旋转变换后得到的全等三角形△DAC和△BAE就呼之欲出了。知道了要去证哪两个三角形全等,就只需要在这两个三角形中顽强地去寻找全等条件就可以了。

      任何一个三角形,都只有三个角,三条边,共六个元素,一个元素一个元素地去试,总可以找到三组相等的边或角,最后,看是什么样的全等组合就基本上可以找到正确思路了。

      以上五道证明题,如果都能做到搞懂过关,那么,与等边三角形相结合的证明三角形全等的解答题将不会再难住你。同学们,加油吧!



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-11-3 11:36:51 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-11-3 11:38 编辑

10月24日星期四  晴



30o的角所对的直角边等于斜边的一半



      上课后,我用了三分钟时间,在两个班里分别找了几位同学背诵等边三角形的定义、性质和判定。

      在14班找得是段汝岚、彭曦盈、张灿,在13班找得是罗健慧、陈彦彤、王志钊,这几位同学背诵得都非常好。

      接下来,给了两分钟时间让同学看课本P80-81页内容。这节内容是等边三角形性质的一个推论,不过,这个推论非常重要,在做数学题时经常要用到。这个推论的具体内容是:“在直角三角形中,如果一个锐角等于30o ,那么它所对的直角边等于斜边的一半。”

      在初中数学的几何定理里,有三个很重要的定理涉及到“一半”这个词。在初三数学总复习中,这三个“一半”定理都非常重要和常用,但很多同学却经常搞混,或者在关键的时候想不起来。今天就遇到第一个“一半”定理。

      课堂上的教学过程,我是这样进行的。

      让同学们看了两分钟的课本后,我找一个同学回答,本节课最重要的一个知识点是什么?

      本节课的新课内容很少,唯一的知识点非常醒目,在两个班各叫了一个同学回答,都回答的很好,14班叫的是汪周宁潞同学,她站起来后,不用看书,直接就背:“在直角三角形中,如果一个锐角等于30o ,那么它所对的直角边等于斜边的一半。”

      我在黑板上写下:“30o 的角所对的直角边等于斜边的一半。”写完后,我对同学们说:“我在黑板上所写的这句话与课本上的定理有一些不同,但意思一样。课本上‘如果一个锐角等于30o’,我在黑板上用‘30o 的角’这几个字来表达,课本上‘在直角三角形中’,我在黑板上有没有表达出来呢?”我问同学们。

      同学们都说:“黑板上所写得这句话表达清楚了,是用‘所对的直角边’来说明了,因为既然说到了直角边,那么一定就是在直角三角形中。”我赞赏的点了点头。“等于斜边的一半”,课本上的定理与我写在黑板上的话里都有。

      我又对同学们解释,为什么我要把课本上的那句话改写为这一句呢?那是因为一方面,这一句要比课本上的定理更加简练精悍,但意思未变;另一方面,时间久了以后,同学们在做数学题时,会经常忘记这个重要的定理,如果你拿着一道数学题来问我,我只需要快速告诉你:“30o 的角所对的直角边等于斜边的一半”,像打机关枪一样,说话效率可就老高了。但是如果我向你说:“在直角三角形中,如果一个锐角等于30o ,那么它所对的直角边等于斜边的一半。”当我把这三个短句说完时,可能你就没有那种瞬间豁然开朗、拨云见日的感觉了,而且也体现不出我为同学们点拨的乐趣和看到同学们在我的点拨下恍然大悟的成功感。

      定理写在了黑板上,但肯定有很多同学并不明白这个定理是如何得到的。和课本上一样,我向同学们借了两个角度分别为30o、60o、90o的,大小一样的三角板,把它们的长直角边拼在一起,就得到了一个大三角形。因为这个大三角形的每一个内角都等于60o,所以这个大三角形是一个等边三角形。那么,每一块小三角板的短直角边,也就是30o的角所对的直角边就等于这个等边三角形的底边长的一半,自然,也就等于这个等边三角形另外两条边的一半了,也就是等于斜边的一半了。

      当我讲到这里的时候,我听到13班有一个同学在下面发出“哦…”的一声。我当时暗自庆幸,幸好我把这个定理的来历讲了一遍,要不然,有些同学死记硬背但并不理解,时间久了可能也会忘记。

      初中学生的数学思维分为两个层次,第一层是直线型思维。你告诉他,某条线段等于与它平行的另一条线段的一半,他很容易理解,但你告诉他,一条线段等于与它不平行的另一条斜线段的一半,他就要想很久才能弄得明白。第二层是折线型思维。一个三角形,旋转一定的角度,他能够立马辨出;线段和它的垂直平分线是斜着画的,也难不住他的火眼金晴。这样的同学学习数学总是特别轻松。希望班级里的同学经过一段时间的努力和训练,都能够从直线型思维上升到折线型思维。

      我在黑板上画了一个有一个角是30o的直角三角形,对同学们讲道,这个定理如何用呢,如果只写∠A=30o,能马上就得出BC=0.5AB吗?同学们立即回答:“不能,还要再加一个条件,‘∠B=90o’,才可以,因为,一方面要强调有一个锐角是30o,另一方面还要强调,直角三角形。”同学们能这样理解,我很满意。

     接下来,我在练习册上找了三个解答题让同学们作。这三个解答题都要用到这节课所学的知识点,而且,第一题实际就是课本上的例题。能把这三个题做对,本节课就算达到了最低要求。

     第一题和第三题比较简单,但第二个题,同学们在做的时候,遇到了一点问题。

     如图,AB=AC,∠C=30o,DA⊥BA于A,BC=4,求AD的长。

1.gif

      此题中,AB=AC,∠C=30o,DA⊥BA,可以得到∠B=30o,∠2=60o,根据今天所学的知识点,不难得出AD=0.5BD。但是,到了这个地方后,很多同学的思维开始受阻,他心里想,每一个已知条件都用了一遍了,可为什么得不到AD与BC的关系呢?

      接下来,同学们一定要看清楚下面的推理过程:因为∠2=∠1+∠C,所以∠1=∠2-∠C=60o–30o=30o,而恰好∠C=30o,也就是得到∠1=∠C=30o,从而得到AD=CD,那么BC不就等于BD+DC,再等于2AD+AD,也就是3AD=BC=4,最后就能把AD的长求出来了。

      在这个题目的思考过程中,本来好象是山重水复疑无路了,但是通过计算得到∠1=∠C=30o,从而峰回路转,柳暗花明的。其实,同学们做多了这种数学题之后,就会发现,当你觉得找不到任何思路的时候,不妨仔细算算那些角的度数,有没有恰好相等的角,再得到另外的线段相等。

      初中数学题几乎都是这种设计模式,因为上帝都已经安排好了,或者换句话来说,命题老师只能这样去设计数学题,以便让我们走出这个数学迷宫。命题老师如果不这样设计,那么所有的数学题都会成为一个死结,谁来也解不开。

      同学们做完这三道题后,就下课了,但我还是拖堂了一分钟,因为练习册后面有一道题,很不容易找到思路。为了晚自习时间,同学们不要太多的去问我,我决定,把这个题的思路点拨一下,也就一分钟的事情。

      如图,AB=AC=8,∠A=30o,求△ABC的面积。

2.gif

      同学们看完题目后,都在大声回答:“作底边上的高AD,然后,底边BC×底边上的高AD,再除以2,就可得求△ABC的面积。”

      我笑着摇了摇头,说:“这种思维就属于典型的直线型思维,这种思路是做不出这道题的,因为BC不知道长度,BC边上的高AD也不知道长度。再好好想想,看谁能最先找到正确思路。”

      下课后,几个爱思考的同学围在黑板前,跟我说了好几种思路,我一一否定,当我正准备要离开的时候,14班的陈龙翔同学拉住我:“做腰AB上的高CD,那么CD就应该等于AC的一半4,然后,用AB×CD÷2就得到△ABC的面积了。”

      听完他的思路后,我对他竖了竖大拇指:“你这种思维就属于折线型思维。”

      离开讲台后,我听见其他没有搞懂的同学围着陈龙翔同学询问为什么要这样做时,我愉悦地走出了教室。

      在13班上课时,我还担心,这道题没有一个同学能够思考出来,但吴志同学给了我一个惊喜。他的方法与陈龙翔同学的一模一样,他也是一个具备了折线型思维的同学。

      同学们,你们可以在草稿本上画画图,想一想,为什么要作腰AB上的高CD,才能最终求出这个等腰三角形的面积呢?



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-11-3 11:44:36 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-11-3 11:47 编辑

10月25日星期五  晴



练习册评讲



      轴对称这一章的内容基本上都讲完了,接下来就是好好的复习,准备这一章的单元测试。而且,现在也上到了期中考试的备考范围,接下来两周的时间,就是复习备考,巩固所学知识点。

      上课后,我在13班找了张翊洋同学背诵昨天所学的知识点,他背诵得很流利:“在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,那么它所对的直角边等于斜边的一半。”

      表扬了张翊洋同学后,我又问同学们,昨天,我在黑板上写了另外一句话,和课本上的定理是相同的意思,谁还记得?饶佳同学主动举手站起来:“30o的角所对的直角边等于斜边的一半。”

      饶佳同学现在主动举手的次数越来越多了,我相信,随着她学习数学的态度越来越积极,她的数学成绩也一定会越来越好。

      讲解练习册上的题目时,我贯彻的原则是“伤其十指,不如断其一指”,所以,在13班的两节课的时间里,我只选了5道题,和同学们一起读已知条件,去寻找思路,再让同学们在练习册上做,下课时上交检查。

      1、一艘轮船以15海里/时的速度由南向北航行,如下图,在A处望小岛P,测得∠PAN=15o,两小时后,轮船到达B处,测得∠PBN=30o,在小岛P周围18海里的范围内有暗礁,若轮船继续向北航行,试分析它有无触礁的危险。

1.gif

      这道题首先要读懂题意,轮船两个小时从A航行到B,共航行了30海里,也就是说AB=30海里,又因为∠PAN=15o,∠PBN=30o,这里的15o和30o可不是随便安排的数据,而是精心设计的,因为此时恰好可以得到∠APB=15o=∠PAB,再由等角对等边,得到BP=BA=30海里。

      做多了这种数学题之后,同学们可以总结出几乎所有的数学题都是这样设计出来的,因为上帝已经都安排好了。同学们在做题时,就要要多总结、多归类、多识记。

      接下来,题目说P点周围18海里的范围有暗礁,实际上是要你去求P点到直线AN最近的距离是多少,也就是求点P到直线AN的垂线段PC的长度,然后把PC的长度与18海里进行比较。如果垂线段PC的长度比18海里大,那么,轮船继续航行,就会太平无事,因为垂线段PC的长度是P点到航线AN的最短距离,如果这个最短距离都比18海里大,当然就不会遇到危险了。那么求出来的垂线段PC的长度到底是比18海里大,还是比18海里小呢?

      这就要回到△PBC中,∠PBC=30o,∠PCB=90o,PB=30海里,由“30o的角所对的直角边等于斜边的一半”可以得到PC=0.5PB=0.5×30=15海里<18海里。既然点P到航线AN的最近距离比18海里小,就说明轮船一定会航行到小岛周围18海里的危险区域里去。

      这个题,现在是用等腰三角形的知识点来解的,到了初二和初三,还会遇到这道数学题,不过,那时,要用初二和初三的知识点勾股定理和三角函数来求了,当然,解题思路还是这样的。今天立此存照,到时你便自知。

      2、如图,△ABC中,∠A=30o,AC⊥BC,CD是斜边上的高,CE是中线,若AB=8,求DE的长。

2.gif

      这个题目由CE是中线,得到BE=AE=0.5AB=0.5×8=4,再由∠A=30o,AC⊥BC得到BC=0.5AB=0.5×8=4和∠B=60o,这样一来,BC=BE=4,再加上∠B=60o,由“有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形”得到△BCE是等边三角形,所以CE=CB,再由于CD⊥EB,由等腰三角形的三线合一的性质,得到ED=DB=0.5EB=0.5×4=2.

      在13班上课时,我问道,由∠A=30o可以得到什么结论。很多同学回答,因为∠A=30o,在直角三角形ACD中,可以得到CD=0.5AC。

      这个结论当然正确,但是在结论CD=0.5AC中,CD和AC与题目中的已知线段没有半毛钱的关系,沿着这个思路进行下去,是根本不可能找到正确思路的。这样的同学就是典型的直线型思维,在他们的眼里,看到的只有横平的或者竖直的线段。

      在14班上课时,我特意在这个地方做了一个停留,问他们由∠A=30o可以得到什么结论。同学们都能回答,可以得到BC=0.5AB。

      14班的同学在思维层次和准确性方面,确实比13班的同学们要高一点,我问了14班的同学,为什么要得到BC=0.5AB,而不得到CD=0.5AC呢?有同学说:“因为得到BC=0.5AB后,可以与AB=8这个已知条件联系起来,而得到CD=0.5AC,不能与任何已知条件联系起来,就不能可持续发展了。”我心里暗暗的点了点头。

      讲完这道题后,我问同学们,这道题的解题过程中,运用了哪些数学定理。有同学总结,用到了这样几个定理:1、30o的角所对的直角边等于斜边的一半。2、有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形。3、等腰三角形底边上的高同时也是底边上的中线。

       一道数学题要想做对,所有的定理、定义、法则都要掌握。十八般武艺,只有样样精通,才能笑傲天下。

       3、如图,∠AOB=30o,OC平分∠AOB,P为OC上的一点,PD∥OA交OB于D,PE⊥OA于E,若OD=4,求PE的长。

3.gif

       这个题的思路是这样的:由PD∥OA可得∠3=∠2,又因为∠2=∠1,这样就得到了∠3=∠1,根据等角对等边,得到DP=DO=4.

       讲到这里时,我给同学们强调一个规律,当角平分线遇到平行线时,一般会出现一个等腰三角形。比如这个图形中的△DOP就是一个等腰三角形。

      得到了DP=4有什么用呢?由于DP∥OA,还可以得到∠4=∠BOA=30o,因为“30o的角所对的直角边等于斜边的一半。”所以,如果过P点作出PF⊥OB于点F时,就很自然的得出PF=0.5PD=0.5×4=2,做到这里后,如果让你来出题,你会求什么呢?

      只要对数学命题略微精通一点的人就会知道,要求点P到OA的垂线段PE的长。因为“角平分线上的点到角两边的距离相等”,所以PE=PF=2。如果最后不是求PE的长,那简直就是没有天理了。数学题中的转化思想就是这样运用的。一道数学题的最后结论就象你的母亲在和你捉迷藏,她总是躲在你必经的某个地方等着你的到来。你只需要沿着正确的思路逐步前行即可。当然,前提条件就是你必须思路正确、知识点熟练、计算准确、细节规范,你就一定可以找到那个和你捉迷藏的最终结论。

       这道题讲完后,我又找同学来总结这个题目的解题过程中,用到了哪些知识点。

       同学们总结出了这些知识点:1、两直线平行,同位角相等,内错角相等。2、等角对等边。3、30o的角所对的直角边等于斜边的一半。4、角平分线上的点到角两边的距离相等。

       同学们,对照这些知识点,你们可以回到原图中去看看这些知识点分别是在哪里运用的吗?

      讲完这三个题后,我又讲了一道练习册上的题目,昨天在每个班里都提问过,两个班里有陈龙翔同学和吴志同学最快找到正确的思路。

      题目是这样的。

      如图,AB=AC=8,∠A=30o,求△ABC的面积。

4.gif

       如果作BC边上的高,那么将做不出来,正确思路应该是作AB边上的高CD,也就是过C点作CD⊥AB于D。如图:

5.gif

      在RT△ACD中,因为∠A=30o,所以可得CD=0.5AC=0.5×8=4。则S△ABC=AB×CD÷2=8×4÷2=16。这种思路就是我所说的第二重思维----折线型思维,把腰AB看作是△ABC的底,底上的高就是CD。那么就可以求出△ABC的面积了。

      讲完这道题后,我在黑板上出了这样一道题让同学们思考:如图,AB=AC=8,∠BAC=150o,求△ABC的面积。

6.gif

      面对这个题目,同学们都学乖了,没有人冒然地说作底边BC上的高了,因为即使作出了这条高,也无法知道这条高是多少,BC也不知是多少,所以这条思路是走不通的。

      在同学们都陷入苦苦沉思的时候,两个班里各有一个同学主动站出。

      13班的吴志同学走到黑板前,作了这样的辅助线,如下图:

7.gif

        延长CA到E,过B作BD⊥CE于D。因为∠BAC=150o,那么,它旁边的外角∠BAD=30o,在直角△ABD中,30o的角∠BAD所对的直角边BD等于斜边AB的一半,也就是4。最后,△ABC的面积就等于腰AC乘以AC边上的高BD,也就是S△ABC=AC×BD÷2=8×4÷2=16.

       吴志同学近几周表现的非常优秀,不管是回答问题,还是到黑板上演板,还是积极思考高难度的数学题,他总是表现得一马当先。他是一个已经具备了折线性思维的优秀同学,希望更多的同学能够修炼到他这个水平。

       在14班上课时,伍洪瑞同学最先找到思路,但他在黑板上计算时,连续出现好几次低级错误,比如,他会算出8×4÷2=12的答案,这是他唯一让人感到美中不足的地方。

      还有同学对于△ABC的面积看作AC×BD÷2很不理解,在他们的思维里,好象只有BC才能看作是△ABC的底边。对于这样的只具备第一重思维----直线型思维的同学,可惜我没有魔力,能将黑板上的图旋转一定的角度后再让他观察。我只好对这样的同学说,可以试着把自己的头尽可能的偏转,让AC这条腰处于视线最下面的位置。看能否理解。边说我边把头夸张的放肆偏转,直逗的有些同学哈哈大笑。看着他们开心的笑容,我心里想,只要你们能够明白这点道理,老师就算再像一个丑角,也觉得值。





使用道具 举报

Rank: 2

威望
6
注册时间
2013-11-2
积分
14
精华
0
帖子
2
发表于 2013-11-3 12:17:46 |显示全部楼层
您是数学老师,如果在线,请回复一下微雨落花的帖子

使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-11-3 18:06:02 |显示全部楼层
微雨落花 发表于 2013-11-3 12:17
您是数学老师,如果在线,请回复一下微雨落花的帖子

你好,谢谢你的参与评论,几年来,一直想做这件事情,但不知道这样做是否有意义。欢迎你为我提出更多的宝贵意见。

使用道具 举报

Rank: 2

威望
0
注册时间
2013-7-15
积分
64
精华
0
帖子
63
发表于 2013-11-5 10:56:38 |显示全部楼层
在以后的数学教学中,不管讲到什么地方,我都力争不再拖堂。就让我从今天开始做起吧。

使用道具 举报

Rank: 2

威望
0
注册时间
2013-7-15
积分
64
精华
0
帖子
63
发表于 2013-11-5 11:03:34 |显示全部楼层
第一个字“看”,昨天晚上对13班学生讲过了。
      第二个字“听”,看完了书上的内容后,有些不理解的地方,有些自己忽视的重点内容,有些例题的简约而又规范的书写格式,都需要听老师在课堂上认真讲解。现在的初中学生,学习数学首要的就是对老师亦步亦趋的模仿,而不是盲目的别出心裁的创造。唉,可惜这些,很多自诩为精通基础教育的伪专家们并不明白。
      第三个字“悟”,就是对自己所看的课本,对老师所讲的内容理解的一个过程。悟的快,数学就学的高效,悟的慢,在数学学习上就要多花时间和功夫。
      第四个字“记”,悟明白了那些基本的知识点、数学思想和解题方法后,就要把它记住,背熟,一看到某种题型,就知道如何正确思考,就知道它的扣分陷阱在哪里。熟能生巧向来就是至理名言,做题少却想得分高恐怕更多只是一厢情愿。
      第五个字“问”,同学们在学习数学的过程中肯定会遇到许许多多不懂的问题,千万不要畏惧问题,更不要怕麻烦,一定要把遇到的问题赶快拿去问老师,更何况,我们两个班的教室离我的办公室是那么的近。豁然开朗、拨云见日对于一个学生来说千金不换。
      第六个字“慎”,上课要慎重、稳重,做题要谨慎、细心,学习数学需要课堂活跃,但这种活跃决不是身体的移动,四肢的晃动,更不是随意脱口而出的搞笑,而是思维的集中、大脑的沸腾,这种活跃是看不见的,但是能被感觉到。说到这里,我又看了看那个坐在角落里的男生。

使用道具 举报

Rank: 2

威望
0
注册时间
2013-7-15
积分
64
精华
0
帖子
63
发表于 2013-11-5 11:12:17 |显示全部楼层
只要一个学生有良好的学习习惯和答题习惯,有坚强的毅力和高远的目标,都是可以在成绩上取得巨大进步的。

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

手机版|K12中国中小学教育教学网 ( [京公网安备1101140073号][京ICP证050308号] )

GMT+8, 2018-2-21 07:25 , Processed in 0.082246 second(s), 0 queries , Memcache On.

Powered by Discuz! X2

© 2001-2011 Comsenz Inc.

回顶部