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楼主: lqhmzp

[原创] 我这样教数学(日记连载) [复制链接]

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发表于 2013-11-5 11:15:27 |显示全部楼层
罗马不是一天建成的,以后只有再给他们反复强调示范了。

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发表于 2013-11-5 11:21:01 |显示全部楼层
我第一次感到学生的思维与我们老师的思维是多么的不一样,就算都是学生,成绩差一点的与成绩优秀的也有巨大的差距。这种差距是理解能力方面的,是思考层次方面的,是眼界见识方面的。看来,以后在教学时不仅不能高看他们,而且还要更多的站在他们的角度去想问题。

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发表于 2013-11-5 11:31:11 |显示全部楼层
:“这位同学的名字是叫赵昊昗吧,我好象记得你象这样随意插嘴已经是第三次了,你随意插嘴的内容如果是恰到好处,精彩无比,我当然会表扬你,但你所说的内容与课堂毫不相关,低级庸俗,我只好在这里对你严厉痛斥了。一个人要想学好数学,一定要有淡定、专注、深思、多悟的好习惯,

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发表于 2013-11-5 14:33:22 |显示全部楼层
人与人之间的差异就是从中学开始拉开距离的,这种差异不仅是学习上的,而首先是追求上的。有的人,追求志向高远,有的人,追求浅薄庸俗,有的人严以律己,有的人散漫放任。

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发表于 2013-11-5 14:47:15 |显示全部楼层
反复操练、多思多悟、熟能生巧始终都是学好数学的不变法宝。

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发表于 2013-11-5 15:52:03 |显示全部楼层
:“一个老师的教学成绩是由每个班级里面的后十名成绩落后的学生所决定的。”

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发表于 2013-11-5 16:06:43 |显示全部楼层
现在的每一个孩子其实都很聪明,但数学考试并不考察你在生活中聪不聪明,而是看你会不会做那些按照固定思路所设计出来的数学题,看你在做这些数学题时是不是细心。而且,这种考察有时候直接决定着你能进入什么样的大学去深造,直接决定着你将来参加工作时的起点和层面。面对中国的这种可能在五十年内都无法改变的教育现状,我也没有什么办法,只能随波逐流、服从现实。

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发表于 2013-11-6 07:59:26 |显示全部楼层
细心、有心,好样的。

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发表于 2013-11-10 11:25:44 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-11-10 11:27 编辑

10月27日星期日  晴



同学们的评论



      今天下午,我就宅在家里,看同学们在我的博客上所留的评论。以下一些同学的评论给我留下了较深的印象。

      10月20日苏雪欣同学说:“一次考试不代表什么,失败乃成功之母。我们必须实事求是,有不懂的问题一定要提出来,不能憋在心里。”

      苏雪欣同学上一次考试成绩不是很好,我专门看过她的试卷,跟她分析了她在数学学习上存在的问题,主要是几种证明三角形全等的方法,她还没有理解透,特别是HL定理和边角边定理的区别分辨的不是太清楚。这个只有她自己好好地去悟一悟了,如果在做题过程中,确实遇到悟不明白的问题,就一定不能憋在心里,而要主动地去问老师,相信老师会在数分钟内一语点醒梦中人的。

      还有唐靖莹同学说的也很好:“两个班里都有优秀的同学,也有差一点的同学,如果这些同学可以互相帮助的话,对于知识点的理解会更加深刻。不懂的就要问,这样对于知识点理解的透彻度更深。考试完再去看以前的知识点,再加上老师的讲解,下次再做这样的题目就能得心应手了,正如老师说的‘多悟’。”

      在数学学习上,同学们之间如果能做到互助学习那是最好的了。三人行,必有我师。每个同学都有自己在某个知识点上的领悟的最深的地方,与其他同学分享,积极主动地帮助别人,相信自己也会取得巨大的进步。

      10月21日邓霖琳同学评论说:“与老师相处了这么长的一段时间,在老师的身上发现了许多的优点,比如:有毅力,耐心,宽容和工作认真负责!我真是越来越喜欢上数学课了,老师加油哦!”

      我会加油的,希望每一位同学也都能加油,不要满足自己目前所取得的成绩,更不要对自己落后的成绩失去信心。每一个孩子的可朔性都很强,每一个同学的成绩都有很大的进步空间,关键是看你自己愿不愿意付出努力,自己能不能够找到合适的学习方法。特别是现在两个班里都有一两名同学正在准备放弃自己,老师看到后很焦心。这里不点名,希望看到这段文字的正在放弃自己的同学能够奋发雄起。

      我以前所带的班里有一位同学,理解能力很差,记忆力也不好,考试时经常出现低级错误,分数一直都在班级的最后徘徊,但她始终没有放弃自己。我对她提了一个要求,每节课都要把最基础的知识点背住。初三总复习时,我要求她把试卷中的基础题做对就行了。中考时,广东省的数学试卷前面的试题坡度很平,很简单,她稳扎稳打,将前面的100分左右的基础题全部做对,对于最后两道压轴题的第三问果断的放弃,而前两问能做多少就做多少。最后,中考成绩得到了106分的好成绩。不管她最后能进入什么样的高中去学习,不管最后她能取得什么样的成就,但至少,她用自己的三年初中经历证明:只要付出努力,自己的成绩就不会比别人差多少。

      10月22日陈龙翔同学说:“老师每天都写日记连载,带给我们的不单单是知识,还是一种坚持。值得学习。”

      成绩暂时落后的同学也要坚持,相信总有一天,你会弥补与别人的差距。蜗牛爬到山顶,靠的就是坚持。而且,蜗牛爬到山顶后所看到的风景与雄鹰飞到山顶所看到的风景是一样的。只有坚持,你才能取得比自己优秀很多的人一样的成绩。

      詹皓天同学评论说:“看完博文后感觉会做的数学题更多了,在对一个图形不理解时,要学会把图形‘转过来’看。”

      23日的评论中,张灿同学说:“做全等三角形的证明题时,看的懂的就做,看不懂的就拆,必要时剪纸来对比着分析。”

      这两位同学在14班,成绩都还有很大的提升空间,他们能发表这样的评论,说明,他们真是搞明白了有些几何题的思路是如何找到的。虽然,他们所总结的方法还处于一个低级阶段,但他们毕竟在进步。只要坚持下去,他们也能够赶上很多的优秀同学。

       姜云清同学说:“老师,我每次都是在你还没上那一课的时候先做练习册,虽然会有一两题不会做,但起码精神可嘉。”

      姜云清同学确实精神可嘉,每一节内容,她总是自己先行自学,然后尝试着做练习册上的习题,如果遇到不会的,马上问老师,这是一种非常好的学习方法。就算自己在预先做题的过程中出现了很多错误,但是第二天老师讲解时,她一定会针对性的听讲,她对课堂上知识点的领悟也一定会比很多同学都要深刻。希望更多的同学能像姜云清同学这样有一套适合自己的学习方法。

        10月24日张钦胜同学说:“30o的角所对的直角边等于斜边的一半,预习的时候觉得很抽象,课上听老师讲,觉得很好理解了。”

      张钦胜同学能在评论里这样说,我真地相信,他对这个知识点已经真正的理解。相信他在下一次考试时,一定会比上一次的成绩进步一点。

      10月25日王梓龙同学说:“老师很耿直!我们要好好学习,不辜负老师的一番苦心。即使老师真是一个丑角,我们也知道他是为了什么而充当这样一个丑角!要考试了,让我们一起努力!”

      我们一起努力,特别是期中考试即将临近的时候。数学家华罗庚曾经说过:“勤能补拙是良训,一份辛劳一份才。”

      晚自习时间,我布置了练习册上的等腰三角形这一部分的复习题让同学们做,同学们都做的很认真,还有很多同学遇到不会的数学题主动问我,他们是:梁梓航、张钦胜、蔡晓帆等。



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本帖最后由 lqhmzp 于 2013-11-10 11:35 编辑

10月28日星期一  晴



等腰三角形的复习



      预备铃响后,我在两个班都给了五分钟时间让同学们大声读背轴对称这一章的知识点。五分钟后,我找了这样一些重要的知识点让同学们背诵。

      1、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;与一条线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

      2、关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标不变,纵坐标相反。关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变,横坐标相反。

      3、等腰三角形的两个底角相等,简称等角对等边;等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,简称为三线合一。

      4、等边三角形的三个内角都相等,每一个内角都等于60o;三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形;30o的角所对的直角边等于斜边的一半。

      轴对称这一章的知识点很多,以上这些知识点在本章最为重要,正是因为这些知识点的综合运用,才为期中考试的数学试卷的难度提供了很大的拓展空间。要想在难题中少丢分,这里的每一个定理都要逐一理解过关。

      接下来的时间,让同学们做昨天晚自习没有完成的,练习册上等腰三角形专题训练的复习题。

      在对填空题答案时,有一道题是这样的:“等腰三角形的两个内角之比为2︰5,则顶角的度数是______________。”

      每一次的数学考试,等腰三角形都是一个用武之地。因为等腰三角形从边上来说,有腰和底,而且两条腰相等;从角上来说,有顶角和底角,两个底角也相等。很多关于等腰三角形的考题中,提到边的长度时,却不指明到底是腰还是底边,提到角的度数时,也不指明到底是顶角还是底角。这就需要做题的同学分两种情况去分类讨论,如果你不分两种情况去讨论,那么你与其他细心的同学之间的差距就通过考试分数体现出来了。

      比如上面的这道填空题,两个内角之比为2︰5,但到底是顶角与底角的比是2︰5呢,还是底角与顶角的比是2︰5呢?题目没有说明,就要分两种情况去讨论。如果你想当然的按照自己的理解只考虑一种情况,那么,你就丢分了。

      大的思路确定了,在小的计算细节上,可以设两个内角分别为2xo和5xo,第一种情况,当2xo是顶角,5xo是底角时;第二种情况,当5xo是顶角,2xo是底角时。这两种情况下,分别运用三角形内角和为180o来列方程求解,方便快捷,高效准确。

      说到这里,我知道,还有很多孩子并不能得分,因为还有很多小陷阱要注意:比如,等腰三角形有两个底角,如果你算内角和时只加一个底角那么就错了。再比如,你求出了x的值,千万不要洋洋得意,还没有完,你还要把2xo和5xo分别求出来,再去看顶角的度数是多少。

      另外,这种题只是等腰三角形角度的计算,如果是计算等腰三角形的腰和底边,在得出结果后,还有一个工序,就是要看两个腰的和是否大于底边,否则是构不成三角形的。

      一道数学题,要想做对得分,真是很不容易,你在任何一个环节上都不能失误。特别是那些做事马虎,做题粗心的同学。

      有一道解答题较难,问的同学较多,我在两个班里都讲解了思路。

      如图,DF⊥AC于F,BD=BE,求证:△ABC为等腰三角形。

1.gif

   

         在此题中,由BD=BE,可得到∠D=1,又因为∠2=1,所以可得∠D=2。但是怎么才能得到∠A=C,从而得到BA=BC呢?

      这里的思维要进入两个关键性的地方,一是因为DF⊥AC,可得∠C+2=90o,同时,再由DF⊥AC,可得∠A+D=90o,一个条件DF⊥AC,用了两遍,得到两个结论:∠C+2=90o,

A+D=90o,特别是第二个结论,是在直角三角形FAD中,得到两个锐角互余,这个结论,由于受到EB这条线段的干扰,很不好发现。

      再由于前面已经得到了∠D=2,因为等角的余角相等,所以可以得到∠C=A,再由等角对等边,得到BA=BC

      一个几何证明题,如果每个条件都用一遍,可以把最后的解题思路找到,这样的解答题算是比较简单的。有些证明题难就难在一个已知条件,可能要在不同的地方用两次,再加上一些相等的隐含条件,比如公共角、公共边、对顶角等,这些条件,题目是不会直接在已知条件中告诉你的,需要你去看图分析。只有多思多练多总结,你才会在做一些难一点的数学题时做到举重若轻。

      练习册上还有一道题,上周刚讲过,很多同学又忘了解题思路,没办法,只有在黑板上再讲一次了。

      如图,AB=20mAC=30m,∠BAC=150o,求△ABC的面积。

2.gif

      △ABC的面积,同学们都知道,底×高÷2即可算出,但问题的关键是把哪条边看做底边,这个底边上的高在哪儿。在上图中,大部分同学都把BC看做底边,然后过A点作BC边上的高。如果这样,思维立即陷入了沼泽,因为这里的BC不知道长度,BC边上的高也很难求出。这种思维,我上周曾经总结过的,属于直线性思维,大部分人都是这种直线性思维。

      这样思考本身并没有错,但问题在于,当你无法继续前行时,你的思维仍然在这条死胡同里绕圈就不对了。

      悲观者诅咒风向,乐观者调整风帆。聪明的同学此时发现:AB=20mAC=30m,没有用上,而且如果作BC边上的高作为辅助线,150o的∠BAC恰好被BC边上的高活活劈为不知大小的两部分,这种思路是绝对行不通的。

      怎么办呢?能不能不把BC看做底,而把AB看做底呢?这样思考的话,你的思维即将柳暗花明。

      把AB看做△ABC的底,过C点作AB边上的高CD,不过,此时的高CD在△ABC的外面。如图:

    3.gif

      这样一来,150o的∠BAC没有遭到丝毫破坏,而且还得到它旁边的外角∠1恰好等于30o,对,恰好就是30o。为什么会这么巧,恰好可以与“30o的角所对的直角边等于斜边的一半”联系起来呢?

       因为……,因为上帝早就安排好了,或者换句话来说,题目只能这样设计。孩子们,通过这道题,你们是否慢慢理解了数学题都是如何设置迷面的吗?

       最后△ABC的面积就等于AB×CD÷2,就可得到了。

       讲到此处,两个班里仍然有一部分人不太明白,因为,在他的印象里,一个三角形的底边怎么可能不在最下面呢,这条底边上的高怎么可能不是竖直向下的呢?

       呵呵,慢慢理解吧,如果实在悟不出,你可以把你的脑袋向右偏转一定的角度后再来看这个图。晚自习在14班辅导的时候,张灿同学就很不理解这道题的解法,我把他的练习册旋转一定的角度后,再让他观察,他才慢慢明白。

      记得本学期第一次做作业,是在一张纸上画纯角三角形的三条高,14班有两个同学不会画,其中就有张灿同学,难怪,他现在看不出来这种计算三角形面积的方法。数学知识总是环环相扣,缺少了任何一个知识环节,在理解后面的知识点时,总是捉襟见肘,所以,每一个基础知识点都要打牢实啊。

      第二次讲完这道题后,希望同学们真正能掌握这道题的解法。

      晚自习,让同学们做导学案上轴对称这一章的复习题,另外,我还补充了一道思考题在黑板上,让同学们抄在作业本上做。这道思考题是这样的:

      如图,AB=AC,CD⊥AB于D,E是BC边上任意一点,EF⊥AB于F,EG⊥AC于G。

      求证:EF+EG=CD。

4.gif

       在14班,很多同学做完导学案后都在苦苦思索,其中汪周宁潞和陈龙翔同学凭借他们强大的内力硬是通过作辅助线证明三角形全等的方法证明出来了,不过,这种方法还要用到没有学过的矩形的一些知识点。我并不是很鼓励和提倡这种方法。对他们表扬之后,我又说到,想一想,能不能利用三角形面积相等的思路来找到答案呢?

        13班的霍嘉琪和方倩妮同学思考了很久不得要领,下课后来到办公室问我,我对她们说,这道题有一种非常巧妙的解法,就是利用三角形的面积相等来做。如图:

5.gif

      连结AE,△ABE的面积加上△ACE的面积等于△ABC的面积。而△ABE的面积就是AB×EF×0.5,△ACE的面积就是AC×EG×0.5,而△ABC的面积就是AB×CD×0.5。因为△ABE的面积加上△ACE的面积等于△ABC的面积,所以可以得到:

      AB×EF×0.5+ AC×EG×0.5= AB×CD×0.5

      等式两边同时除以0.5,可得:

      AB×EF+ AC×EG = AB×CD

      又由于AB=AC,所以,上式转化为

      AB×EF+ AB×EG= AB×CD

      两边同时除以AB,可得:

      EF+EG=CD。

      当我指点到这里时,这两位同学才恍然大悟。

      同学们看完后,不知你们是否明白。而且这道题还可以再变化一下,如果点E是BC延长线上的一点,其他条件都不变,如图:

6.gif

      那么,EF、EG、CD三条线段又是一种怎样的关系呢,你们能不能再次运用三角形面积之间的关系来得到一个正确的结论呢?试试看吧。



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1029  星期二  


轴对称单元测试


      今天每个班只有一节课,但由于明天学校所有的学生要一起外出参加社会实践活动(也就是秋游),本来定于明天进行的轴对称测试就移到了今天。

      只有一节课时间,让同学们删除了一道画图题,就开始考试了。如果基本功扎实,一节课的时间做这些题绰绰有余,如果知识点不过关,给再多的时间也没用。

      两个班的学生考完试卷后,我立即批阅起来。最后一题较难,又由于时间紧张,除了个别学生能够得两分之外,其余学生全部错误,这道题只有等到上课时间再去讲解了。倒数第二题,上一周,我在练习册上还讲过这道题的,如果查看我的博客,在1021日的博文里面,还能找到这道题的解题思路。

      批改完试卷后,我统计了一下,13班总参考人数48人,倒数第二题按照我讲解的思路基本做正确的有6人,自己创造另外一种思路做正确的有2人,其他做错的同学有40人。14班总参考人数50人,按照我讲解的思路基本做正确的有15人,按照另一种思路做正确的有3人,其他全错的同学有32人。面对一个曾经讲过的中等难度的几何证明题,这些令人难堪的数据真是一种残酷的现实。没办法,只有在讲评试卷时把这道题重新讲解一遍了。当同学们的理解和记忆能力不尽如人意时,只有运用时间加汗水的万灵法则来予以弥补了。

      我又统计了其他一些典型题的正确率,比如,“角平分线上的点到角两边的距离相等”这个知识点,不会应用的同学13班有13人,14班有8人;等腰三角形的“三线合一”的性质,不会用的同学13班有28人,14班有14人;钝角三角形的面积,不会计算的13班有25人,14班有3人。

      惨不忍睹!不,是相当的惨不忍睹。还有些同学的几何证明过程写得很长,但没有一句能够抓住重点,其过程,有点象故弄玄虚的武术表演者开场的亮相姿势,一连串的令人眼花撩乱的动作就是打不倒一个敌人。相反,数学功底深厚的同学短短数行,却能做对得分。可能就是一招简单的黑虎掏心,在有内功的人使来,就具有一锤定音的效果。

      同学们还要多领悟,多学习模仿,我也要在以后的教学过程中,力求这些知识点每个同学都逐个过关。

      还有一些同学的错误更是让我哭笑不得,有一个选择题,将一个长方形纸片折叠,有一个角应该是平角的一半,答案是90o,但两个班里有很多同学选择的是95o这个答案。我觉得很奇怪,就找了一个做错的同学来问他是怎么思考的。他告诉我,考试时,试卷上配了有图形,图形中要求的那个角比直角大一点,就用量角器量了一下那个角的度数,恰好是95o,所以就选了这个答案。

      我晕。试卷上的图形画得不是很准确,看上去比90o略微大一点,但怎么能通过量角器来量出答案呢?数学家华罗庚曾说过:“数无形,少直观;形无数,难入微。”要想入微,要想准确,必须利用题目给的数据去计算,这样才能得到正确答案。

      同学们这次考试的失误一方面是课本上的知识点理解得不深,运用的不熟,另一方面是考试经验不足,解题技巧不精。

      现在,好盼望快到周四数学课上,能给同学们好好讲讲这次考试所暴露出来的问题。



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1030  星期三  


到深圳华侨城游玩


      今天一大早,全校师生在学校领导的严密组织下,由旅行社带领着,到深圳华侨城游玩。如果站的角度更高一点的话,那就是全校师生到华侨城景区参加社会实践活动,以培养同学们与人相处的能力,互助协作的能力,鉴赏自然的能力,感悟生活的能力。

      用手机的全景摄影功能照了两张华侨城景区的图片:

1.jpg


2.jpg

      回到学校后,由于同学们玩得都很辛苦,所以,晚自习只上两节,两个班的数学学习时间都只有20分钟。

      把轴对称考试的试卷发给同学们后,在14班,我针对试卷上的4道题,把做错的同学按照我统计的名单一个一个的叫到讲台上当面讲解,直到每个同学都明白自己错在哪里,应该如此更正后,我才罢休。在13班就不能采取这种办法了,因为这4道题,13班同学错的太多了,要是一个一个地叫在讲台上来逐个纠正,可能40分钟时间都不够,只好在黑板上做一个统一讲解了。

      有一题,先要用等腰三角形的三线合一的性质,再用角平分线上的点到角两边距离相等的性质经过短短七行就可以得到答案。我在13班教室的黑板上做了一个详细的解答,对这两个性质应用不熟练的同学一定要好好理解一下。

      如图,AB=ACDBC的中点,PAB上任意一点,PM⊥AB于M,PN⊥AC于N。求证:PM=PN。

3.gif

      此题的详细证明过程如下,特别是这道题答案做的有所欠缺的同学更要注意。为了加深这些同学的印象,特把这些同学的名字写在这里,绝对没有批评的意思,只是希望每一个同学都能过关。13班做错的同学有:王世豪,张成彬,张钦胜,方伟,彭天池,苏雪欣,赵可晴,柳明珠,张翊洋,严晨洋,王咏珊,张友诚,谢扬波,王志钊,刘淑月,赵懿琳,黄淑清,陈晓桐,苏芷晴,邓晓炜,陈雨婷,王雪慧,蔡晓帆,欧奕锋,孙辰,饶佳,共28人。14班做错的同学有:程思思,曾耀豪,刘万芊,程浩龙,汪周宁潞,陈立烨,王钟会,吴怡萱,张富如,张艺,汤韩琪,吴泳仪,连家乐,何少元,共14人。

       此题的详细证明过程如下:

       证明:∵AB=AC

                         DBC的中点

                     ∴∠1=∠2

                 ∵∠1=∠2

                     PM⊥AB

                     PN⊥AC

                 ∴PM=PN.

       这样就证明完了。前三行是运用等腰三角形的三线合一的性质得到的,后四行是运用角平分线的性质得到的,不用证明三角形全等,完全可以运用等腰三角形和角平分线的性质去走一条捷径。在批改数学试卷时,我看到一些同学弯弯绕,绕绕弯,写了一长串无关痛痒的证明过程后,我真恨不能亲自帮他执笔,写下言简意赅的短短七行,就把此题搞掂。同学们,几何证明过程并不是写得越多越好,而是要抓住要害,一语中的。

       在14班讲题时,还有10分钟时间,我就讲了试卷上最难的一题,也就是最后一题。这道题,由于图形复杂,我在做这道题时,花了三分钟的时间,也没有找到思路。这道题是这样的:

       两个全等的含30o,60o, 90o的△ADE和△BAC,如图所示放置,E、A、C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME、MC,试判断△EMC的形状,并说明理由。

4.gif

      这道题目的图形中,由于干扰思维的线段很多,我一下子没有找到思路。这种情况下,我的思考一般进入第二个程序,就是重新细读一遍题目,并按照题目所给出的已知条件把图形重新在草稿纸上画一遍,看一看有没有什么遗漏了的关键条件和忽视了的重要思路。

       我边给同学们讲解我做这道题时的具体经过和感受,边在黑板上画图形,当我画到此处时:

5.gif

   

        因为这两个三角形是全等的,三个角分别为30o,60o, 90o的三角形,同学们都发现了,AD=AB,∠DAB=90o的结论。我又连接了DB,并找到BD的中点M,如图:

6.gif

        此时,同学们才突然发现这里可以运用等腰三角形的三线合一的性质,因为AD=ABMD=MB,所以AM⊥BD,∠DAM=∠BAM=45o,从而又得到∠ADM=∠ABM=45o,而这几个重要结论是同学们看原图时由于受到其他线段的干扰一直没有发现的,我在做题的前三分钟时间里,竟然也没有发现。

      又连接了ME和MC之后,初步可以感觉到应该证明△MDE≌△MAC,因为这两个三角形是绕点M旋转变换后得到的,如下图:

      7.gif

        一旦找到了正确的思路,在△MDE和△MAC中,要找三个全等条件就很简单了,有DE=AC,有∠MDE=∠MAC=60o+45o=105o,再加上MD=MA,于是可证得△MDE≌△MAC,这两个三角形全等后,就可以得到ME=MC了,再加上∠EMC=90o,就可以得到△EMC是一个等腰直角三角形。

       什么,不知道怎样证明∠EMC=90o?

       那我就只有帮人帮到底,送佛送到西了。前面得到了△MDE≌△MAC,可得∠DME=∠AMC,则∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90o。

       ∠DMA为什么等于90o,呵呵,回到前面去看看,前面不是利用三线合一得到过AM⊥BD的吗?

       再好好悟悟,是不是有一种醍醐灌顶的感觉,我也需要好好总结这道题目的解题思路。同学们,当你们想了好久都没有找到证明题的解题思路时,不妨也象我这样,在草稿本上重新画图,看有没有什么遗忘了的重要线索。电视连续剧《神探狄仁杰》里面,狄公总是经常到现场去复查,看有没有什么忽视了的破案线索。同学们,当你们做题遇到困惑时,不妨也这样来思考。



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10月31日星期四  晴



轴对称试卷讲评



      讲评周二考试的轴对称试卷前,我给了四分钟时间,让同学们背诵三角形这一章的知识点。同学们背完后,我通过提问的方式让大家一起回忆三角形这章里面主要的知识点:

      1、  三角形的第三边大于另外两边之差,小于另外两边之和。

      2、  三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和。

      3、  N边形的内角和为(n-2)×180o,外角和为360o,对角线总条数为0.5n(n-3).

      本章里面,关于三角形的其他知识点还有很多,由于时间关系,不能一一提问,同学们只有在课外时间再去背诵过关了,在期中考试即将到来的时候,可不能带着疑惑上考场哦。

      接下来,开始讲评前天考试的轴对称试卷。13班的最高分是郑子凯同学的,110分,14班最高分是郭瑞平和肖写意同学,两人都是110分。

      试卷上有些试题,昨天晚自习已经讲过了。今天,在两个班里,我针对同学们错的较多的,还未讲过的几道题进行了讲解。

      有这样一道题,一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC、BD为折痕,则∠CBD的度数是多少。

1.gif

      两个班的同学里面,有很多人选择的答案是95o,我问过一个同学,他回答,是因为试卷中的图形画得不准确,∠CBD看上去比直角稍微大一点,就用量角器去量,发现是95o,所以就选择了95o这个错误答案。

      这样做题当然是不行的。这个题该如何思考呢?我找了一张长方形的纸,按照试卷上的操作方法折叠了一遍,同学们看得很清楚,∠1与∠2重合在一起,也就是说∠1=∠2,同样的道理,∠3=∠4,那么∠2+∠3=∠1+∠4,又因为∠1、∠2、∠3、∠4这四个角合起来就一个平角,是180o,那么,∠2+∠3和∠1+∠4度数相等,自然各占180o的一半,也就是∠2+∠3=90o了。所以,这里的∠CBD是等于90o的。

      讲完这道题后,我不禁想,象这种涉及到某个量的一半的几何题,在初中数学里简直太多了,而恰好就是这样的题目,很多同学一直都没有真正的明白,可能他们对“一半”这个词也没有真正的领悟过。而且这里还有一个理解难点,就是∠1、∠2、∠3、∠4这四个角都不知道度数,但∠2+∠3却知道度数,这是很多思维一直停留在小学阶段的同学苦苦思索而不得其解的。

      同学们,此题中,虽然不知道∠2和∠3是多少度,但是,却可以求出∠2与∠3的和,这个和是90o,这个道理,你们理解了吗?

      试卷上还有一道题,以前讲过,但由于错的同学太多,我仍然在两个班里再讲了一遍。

      如图,AB=AC,AE=AF,求证:EF⊥BC。

2.gif

      在这道证明题中,因为AE=AF,可得∠1=∠2,又因为∠1+∠2=∠BAC,所以可以得到∠1=∠2=0.5∠BAC.这里又涉及到了“一半”这个词。

      要证EF垂直于BC,当然要将EF延长,与BC相交于点G,只要能证明∠EGC=90o就可以了。很自然地,要作等腰三角形ABC的底边BC上的高AD,根据三线合一的性质,可以得到∠3=∠4=0.5∠BAC。即然∠1=∠2=0.5∠BAC,∠3=∠4=0.5∠BAC,那么就可以得到∠2=∠3,从而得到EG∥AD,最后可以得到∠EGC=∠ADC=90o,所以EF⊥BC了。

      讲完试卷上的几个难题后,就留了一点时间让同学们好好改错。

      有一题是求钝角三角形的面积,我已经讲过了,想看看几个做错的同学是否真正明白。下课后,我在13班找了几个做错的同学,问他们该如何求这个钝角三角形的面积。

      如图,AB=AC=2,∠ABC=15o,CD⊥BA交BA的延长线于点D,求△ABC的面积。

3.gif

      因为AB=AC,可得∠ABC=∠ACB=15o,那么∠DAC=∠ABC+∠ACB =30o,在直角三角形ACD中,30o的角所对的直角边CD等于斜边AC的一半,就得到了CD=0.5AC=0.5×2=1。

      到了这里,△ABC的面积几乎就呼之欲出了,但在我问这几个做错的同学时,他们仍然回答几种错误的解法。

      比如:错误1:把BC看做底,过A作BC边上的高,求出BC与BC边上的高,再算面积。

      这种思路是做不出来的,因为BC和BC边上的高都求不出来。

      错误2,CD是底,BD是高。相乘除以2.

      这样求出来的是△BCD的面积,而不是△ABC的面积。

      错误3:求三角形的面积时,只用底×高,而不除以2.

      三角形的面积公式都记不住,我不知道该说什么好。

      对于这样的顽固性错误的同学,实在没办法的情况下,我只好一个一个地对他们单独辅导,时而在草稿本上画一个钝角三角形,让他们说各边上的高在哪里,时而把试卷倒转过来,让他们仔细理解△ABC的边AB相当于底,线段CD就是AB边上的高,用AB×CD÷2就可得到△ABC的面积。不亦乐乎的一通忙乎之后,看着他们都会做此题了,我才罢休。

      这几个同学,他们在小学里的时候,对于钝角三角形的高,就不会画,也不明白钝角三角形的面积是怎样算出来的,长时间以来,他们总是不停地听老师讲,但他们却从来就没有直正理解和明白过。

      现在,这几个同学在我的强行催逼下,好象人人都会做这道题了,但我估计,过不了多久,还是这些同学,又不会求钝角三角形的面积了,因为他们会象这次考试一样,仍然不知道要把哪条边看做三角形的底,哪条线段看作底上的高。

      这样的同学,就是老师胸口最永远的痛。实在没招的情况下,我也只有凄然慘笑,举手认输了。



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11月1日星期五  晴



数学期中模拟考试


      今天每个班都有两节课,所以就找了一套和期中考数学试卷的题型、难度差不多的试卷,来了一次模拟考试。

      在考试之前,还是给了四分钟时间,让同学们读背课本第二个章节《全等三角形》的有关知识点。同学们是否读完,是否记住了,我都管不着了,至少从理论上来说,前三个章节的主要内容,我都给了课堂上的时间让同学们去看,去背。同学们,如果实在还没有完全记住,那就一定要找课外时间去翻看课本,识记主要知识点。

      接下来,用了八十分钟的时间做这套试卷。到了下午的时候,我已经全部批阅完。满分100分的试卷,13班的最高分是郑子凯同学,92分;14班的最高分是郭瑞平、何子仪、梁梓航,都是94分。

      试卷上错的最多的一道题是最后一题,俗称压轴题。对于这样的难题,一方面是同学们要按照正确的思维去思考,另一方面要总结归类记住正确解法。

      如图,在等腰RT△ABC中,∠ACB=90o,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线一点F,连接CF。

      (1)       求证:AD⊥CF;

      (2)       连接AF,试判断△ACF是否为等腰三角形,并说明理由。

1.gif

      这道题首先根据题目所给的已知条件,把外围的准备工作做好。比如,由BF∥AC,∠ACB=90o,可以得到∠DBF=90o;再由等腰RT△ABC得到CA=CB,∠CAB=∠CBA=45o,由此,可以得到∠DBE=∠EBF=45o,又由于DE⊥AB,可以得到∠BDE=∠BFE=∠DBE=∠EBF=45o,所以就得到了DE=BE=FE,BD=BF;又由于已知里面说明了D为BC的中点,就可以得到BF=BD=DC。

      准备工作做好后,就可以发起一次进攻了,进攻的目标就是证明△ACD和△CBF全等。

      是怎么发现这两个三角形全等的呢?因为这两个三角形是旋转后再平移得到的,而且只有证明了这两个三角形全等,才能去得到AD⊥CF,另外,之所以知道要证明这两个三角形全等,也是题目做多了之后的一种感觉,就是爱迪生所说的九十九份的汗水才培育出的一份灵感。

      在这两个三角形中,三个全等条件很好找,因为前面已经做好了充分的准备工作了,这三个全等条件是:CA=CB,∠ACB=∠CBF=90o,CD=BF,根据边角边定理去证明三角形全等。

      △ACD≌△CBF后,就可以得到∠1=∠3,又因为∠1+∠2=90o,所以可得∠3+∠2=90o,也就可以得到∠CGA=90o,即AD⊥CF。最后这个过程,有点象我们以前总结过的“双垂直,尖角等”,不过是反过来得到的,同学们是否心有所悟?

      第(2)小题,连结AF,问△ACF是否为等腰三角形。首先要肯定回答,△ACF是一个等腰三角形。答出这句话,就可得1分。

       因为DE=FE,DF⊥AB,也就是说AB是线段DF的垂直平分线,根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,可以得到AD=AF;又因为△ACD≌△CBF,可得到AD=CF。前面费尽九牛二虎之力证得的结论总要在第(2)小题里用一下的。

      这样一来,根据等量代换,可以得到AF=CF,这不就说明了△ACF是一个等腰三角形了吗。

      填空题的最后一题,两个班里只有苏忆同学做对了。这个题目是这样的:如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45o,那么它的顶角为________________度。

      绝大部分同学在草稿纸上画了一个这样的图去分析:

2.gif

      在等腰△ABC中,AB=AC,腰AB上的高CD与另一腰AC的夹角∠ACD=45o,显然,可得顶角∠A就是45o。可为什么这些同学填写的答案是45o而被判错了呢?

      那是因为这些同学只考虑到了这种情况,还有一种情况没有考虑到。如图:

3.gif

      在等腰△ABC中,AB=AC,腰AB上的高CD与另一腰AC的夹角∠ACD=45o,可这时的∠BAC就是135o,因为此时的∠CAD=45o。同学们,这种情况,你们可看明白了,此时,腰AB边上的高在等腰△ABC的外面,因为此时等腰△ABC是一个钝角三角形。腰AB上的高CD与另一腰AC的夹角为45o也没错啊,∠ACD不就是45o吗?

所以此题的正确答案应该是两种情况:45o135o   ,而且这两个答案还是互补的。

      此题是不是很坑爹。当你们做多了这种模拟试卷后,特别是到了初三中考总复习的时候,你会发现几乎每一张试卷的最后一道填空题都是要考虑两种情况的。现在的中考一方面是检测同学们在初中的数学学习是否达标,另一方面,也象高考一样还有一定的选拨功能,为了将同学们的学习情况予以适当的区分,试卷上总要有一些难度略大的题目。不过,只要我们考虑问题更全面一点,出现错误更铭记一些,我们完全可以把这样的难题做对,让我们的对手去悔恨、咒骂这种难题。

      我也希望试卷的命制者学习雷锋好榜样,出的每一道题都是简单得不能再简单的题目,人人都可以打100分,但这只是一种理想状态啊,在可以远眺的一百年内,永远都不可能实现。

      所以,同学们,当我们第一次做这种题出错的时候,不要紧,好好记住这种题目的叙述模式,就象好好记住曾让我们民族遭受不幸遭遇的惨痛经历,永远不要让它再次重演。

      还有一些同学的计算错误,让人觉得不可理解,现摘录如下,希望同学们有则改之,无则加勉。

      陈彦彤同学的错误:“0.5×70=15”,曾晨同学的错误:“95-45=55”,江蔚贞同学的错误:“95-45=40”,蒋明轩同学的错误:“180-85-45=40,180-45-40=85”。

      这样的计算错误可真要人的命啊,特别是一个解答题才开始的步骤就出现了这样的计算错误,然后又将这样的错误代入下面的计算过程中,结果就一错到底,连得步骤分的机会都没有。

      很多青少年,在他们刚踏入社会或者甚至还在学校念书时,犯了一个致命的错误,立即付出生命的代价,连后悔弥补的机会都没有,比如药家鑫,马加爵等等。

      同学们可一定要注意,不能犯计算方面的低级错误,特别是在关键考试中,如果不幸出现了,那就一定要牢牢记住,不可再犯。

      还有一位同学有一道选择题应该选A,但他写得“A”即不象英文风格,也不符美国标准,而且,我还敢断定, 绝不是俄罗斯文字,也不是日本文字,连传说中的火星文也没有半点相关。还有一位同学写“5”时,不知是跟哪位擅长草书的书法家学的,让我思虑很久也无法辨认出真实数字。

      无图不真相,下面我贴出他们写的答案,大家见识一下:



      在做数学题时,字母、数字一定要写好,不要求你写得有多规范,至少要让大家能看清,不会误解。我可不希望下一次,出现在这里的是另一个同学的图片。另外,第二位同学的卷面书写极不整洁,严厉批评。






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11月2日星期六  晴



三道思考题



      在这里写三道思考题,同学们先看看,然后思考一下,最后再看我的解题思路。

     1、如图,AB=AC,CD⊥AB于D,E是BC边上任意一点,EF⊥AB于F,EG⊥AC于G。

      求证:EF+EG=CD。

1.gif

      这道题有一种非常巧妙的解法,就是利用三角形的面积相等来做。如图:

2.gif

      连结AE,△ABE的面积加上△ACE的面积等于△ABC的面积。而△ABE的面积就是AB×EF×0.5,△ACE的面积就是AC×EG×0.5,而△ABC的面积就是AB×CD×0.5。因为△ABE的面积加上△ACE的面积等于△ABC的面积,所以可以得到:

       AB×EF×0.5+ AC×EG×0.5= AB×CD×0.5

       等式两边同时除以0.5,可得:

      AB×EF+ AC×EG = AB×CD

      又由于AB=AC,所以,上式转化为

      AB×EF+ AB×EG= AB×CD

      两边同时除以AB,可得:

      EF+EG=CD。

      看完后,同学们,你们明白了吗?而且这道题还可以再变化一下,如果点E是BC延长线上的一点,其他条件都不变,如图:

3.gif

      那么,EF、EG、CD三条线段又是一种怎样的关系呢,你们能不能再次运用三角形面积之间的关系来得到一个正确的结论呢?试试看吧。(提示,连结AE,△ABE的面积减去△ACE的面积等于△ABC的面积,可得EF-EG=CD)

      2、如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,E是AB上一点,F是AC边上一点,且∠EDF=

90o。求证:BE+CF>EF。

4.gif




      这道题,猛一看上去,好象无从下手,联想到点D是BC的中点,DF就是一条与中点有关的线段,延长FD到G,使DG=DF,连结BG,EG。如图:

5.gif

      这样一来,就可把已知条件和要求证的结论联系起来了,因为此时,很容易得到△BDG≌△CDF(DB=DC,对顶角∠BDG=∠CDF,DG=DF),可得CF=BG,同时,ED是线段GF的垂直平分线,所以EG=EF,这样,就相当于把CF转化到了BG位置,又由于ED是FG的垂直平分线,所以可得EF=EG,要证BE+CF>EF,实际上就是要证BE+BG>EG,这只需要在△BGE中运用三角形的两边之和大于第三边即可得到。

      这道题目所做的辅助线以及思路与以前所讲的倍长中线法(加倍延长与中点有关的线段的方法)有相似之处。

      3、  如图,AD是∠BAC的角平分线,∠B=2∠C.求证:AC=AB+BD。

6.gif

      这道题,有用的条件就是一个∠1=∠2,至于∠B=2∠C,好象怎么努力都联系不到一块去。

      联想到要证的结论是AC=AB+BD,我们可以用截取法作辅助线,具体过程是这样的:如图,用圆规在AC上截取AE=AB,连结DE。这个过程用尺规作图是可以作出来的。

    7.gif

      同学们,你们可以看出这里的哪两个三角形全等吗?

      对,就是△ABD≌△AED(AB=AE,∠1=∠2,AD=AD),那么就可以得到BD=ED,∠B=∠3;又因为∠3=∠4+∠C,而已知里面有∠B=2∠C,所以可得2∠C=∠4+∠C,经过一个移项变形,可以得到∠4=∠C,再根据等角对等边,可得ED=EC,再由于,前面刚得到BD=ED,所以就得到了BD=EC。

      综合起来,就可以得到AC=AE+EC=AB+BD了。

      这道题是在角平分线两边运用“截取法”作辅助线,强行营造两个三角形全等,从而把已知条件与要证结论联系起来,上一题里面,是用“倍长中线法”将与中点相关的线段延长一倍,强行制造两个三角形全等,然后将已知条件与要证结论联系起来,两道题既有相同的思维方向,又有不同的地方,请同学们注意总结感悟。

      有中点或者中线的证明难题,如果要作辅助线,可优先选择“倍长中线法”去思考。有三角形角平分线的证明难题,如果要作辅助线,可优先选择“截取法”去思考。总之,作辅助线的目的是为了制造三角形全等,然后把题目中的某些线段或者角进行迁移、转化,从而找到思路的。同学们若能认真思考,细心领悟,则数学功力必将大进。



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我见到十年后的名师了!
名师就是这样炼出来的!
坚持!坚持!坚持!.............

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113  星期日  



同学们的评论



      上一周的博文评论里,这些同学给我留下了较深的印象。

      10月27日的评论中,陈晓桐说:“快要期中考试了,真该多看看老师的博客!不管是现在的还是以前的,绝对不能敷衍了事。期中考才是真正检测自己的时候!”

      以前就有同学说过,老师所写的博客,就相当于是把数学课堂定格储存了,可以随时回看播放,特别是有不理解的地方或者遗忘了的知识点的时候。一个同学如能做到随时复习回忆,那么他的数学考试成绩是不会差的,因为考来考去,都是一些老师课堂上讲过了的知识点和重点题型。

      陈彦彤同学评论说:“不会的题目不要憋在心里,否则,到了考场也会带着许多问题进去,最后是考不好的,所以我们不懂就要问,不要怕别人笑。”

      陈彦彤同学每次在评论里面说的都挺好的,希望在不懂就问方面也做得如此好。

      10月28日张艺同学评论说:“老师,我发现你有一个地方打错了,“△ACE的面积就是AB×EG×0.5”,应该是“△ACE的面积就是AC×EG×0.5”。

      我对她的回复是:“你说的很对,我已经改正过来了,你是一个看博文很仔细的同学,特别表扬!”

      张艺同学在14班不显山露水,但是,她却是一个阳光开朗,积极认真学习的优秀同学。凭着她的这种刻苦钻研的学习态度和一丝不苟的求实精神,我想,她在数学学习上一定会取得优异的成绩。

      柳明珠同学说:“我会把老师说的这些题打印出来复习,并且学会,我还要努力把书本的知识背好!”

      我相信柳明珠同学一定可以做到,而且她的数学成绩目前正处于进步之中。刻苦的学习+正确的方法+少说空话=成功。

      10月29日霍嘉琪同学评论说:“老师也会总结还没有被同学们领悟的典型数学题,如果我们的学习也象老师一样善于总结、归纳,相信我们的成绩也会突飞猛进的。老师讲过的题目,再做一次还不会的话,那只能是课后没有好好消化。”

       在10月30日的评论里,霍嘉琪同学还说道:“我真开心,我也像老师一样养成了这个做题习惯,遇到不会的,思考不过来,我就再看过一次已知条件,在草稿纸上重新画图,这种方法的确很有用喔,大家都可以试试呢。”

       霍嘉琪同学每次上课时听讲最为专心,回家后阅读我的博客最为认真,发表评论最为积极。

       30日的评论里,汪周宁鹭同学说:“老师把我的名字打错了,还有,考试时有一道题没有思考出来,如果换一种思路,就会做对。希望自己期中考试时做题细心,考虑问题全面。”

      汪周宁鹭同学,我曾在以前的博文评论里多次赞扬,而且,她还是一个很淡定的同学,我在以前的博文里面总是先入为主的把她的名字打成了汪周宁潞,但她却从来就没有生气,而且就算是这次提醒我,也显得轻描淡写,对于她的这种大气、从容、淡定、豪爽,我很佩服。

      10月31日的评论里,还是汪周宁鹭同学,她这样说:“有一道涉及到垂直的数学题,在学校没怎么听懂,看了一遍博客,感觉醍醐灌顶!谢谢老师!

      有这样的学生,我也很高兴,谢谢你们。

      陈晓桐同学在评论里说:“一些常见的易错题,老师在博文里给我们罗列了出来,我们一定要好好记住,不能辜负老师的良苦用心。”

      在某次考试中,出现一些错误,问题不大,就怕出现的错误还在下次考试中再次出现,那可就要挨板子了。“不要在同样的地方犯同样的错误”,如果能做到这一点,那就一定是一个智者。

      11月1日,陈彦彤同学在评论里说:“老师给我指出了一些低级错误、我感到很后悔,这么简单的计算题都出错,太不应该了。以后在考试时要细心再细心,要不然真的会让自己肠子都悔青的。”

      11月2日,周焯坚同学在评论里说:“发现数学考试要做对难题,首先还是要基础好。”

      周焯坚同学的这句评论虽然短小,但确实精悍,因为他道出了数学难题的实质,就是由基础知识复合在一起组成的一道综合题。要想把一道较难的综合题做对,必须对数学里的各个基础知识点都掌握过关。一个优秀的足球运动员也是由于控球能力、过人能力、射门能力等各个基本动作过关,再加以熟练练习后才得以成功的。

      晚自习时间,每个同学发了一张期中考试的模拟试卷,让同学们在20分钟的时间里,只做正面的题目,有些同学表现的很好,不仅在有限的时间里,把正面的内容做完了,而且还把反面的解答题也做了几道。

      与此同时,针对上周五考试的试卷,有三道期中必考的填空题,我把两个班的做错的同学一一叫到办公室,逐个询问,确保过关。

      有一题是这样的,五边形的内角和是__________度。就这样一道简单的填空题,13班、14班各有5人错,我把这十个人叫到办公室,问他们这个题应该用什么知识点做。直到这10个同学都回答出应该用n边形的内角和公式(n-2)×180o来算,五边形,也就是(5-2)×180o=540o,才让他们回去。

       还有一道题,如图:AE=AD,要使△ABE ≌ △ACD,需添加的一个条件是___________________。

1.gif

      此题,由于有AE=AD这个已知条件,还有一个隐含条件----公共角∠A=∠A,添加一个条件,有好几种答案,如果填AB=AC,那就是用SAS来证明两个三角形全等的;如果填∠B=∠C,就可以用AAS来证明三角形全等的;如果填∠AEB=∠ADC,就可以用ASA来证明三角形全等,但是有一个条件是不能填的,就是BE=CD,因为在△ABE和△ACD中,由这三个条件AE=AD、∠A=∠A、BE=CD,是不能证明三角形全等的,因为边边角对应相等的两个三角形不一定全等。

      这个题,13班有9个人错,14班有4个人错,我对这些同学讲完后,有几个同学还是不太理解,我只好在他们的试卷上把△ABE和△ACD分开画,再在相等的边角上标上记号,接着让这几个同学细细观察,直到每个同学都搞清楚了边边角与边角边的区别后,我才让他们走。

      还有一道每次考试都必然考到的填空题。如图,DE是AB的垂直平分线,BC=32,AC=18,则△ACE的周长是_____________。

2.gif

      这道题,我要求每个同学都必须过关。在我的大力剿杀下,两个班的同学里面基本上都掌握了,但这次考试,13班还是有5个同学做错,14班有一个同学错。我把这些同学叫到办到室,问他们:“DE是AB的垂直平分线,说明了什么?”这几个同学想了一会儿,才回答:“EA=EB,因为线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。”还有一个同学说,DA=DB。对于这道题目来说,DA=DB虽然用不着,但我也没有否定他。

      我又问道,△ACE的周长是什么意思?经常被我叫来的这些同学总是一次又一次的把我对他们的认识底线不断下移,因为当真就有人不知道“三角形的周长”是什么意思。

      没办法,只有对他们说:“△ACE的周长,就是△ACE一周的长度之和,就是把△ACE的三条边长加起来,AC+CE+EA。”

      看到大家都理解后,我又接着往下讲,AC+CE+EA,可是这里的EA是等于EB的啊,所以就把EA转化为EB,如果不转化代换,那可就没有天理了。

      那么△ACE的周长= AC+CE+EA= AC+CE+EB,这里的CE+EB恰好就是CB,题目告诉我们了,CB=32,所以△ACE的周长= AC+CE+EA= AC+CE+EB=AC+CB=18+32=50.

      看着这5个同学都弄懂了,我才罢休。

     感谢他们啊,我的耐心、宽容、淡定就是这样锻炼出来的。同学们,不知你们有没有把上面的几段话一一看完,如果有,那你们也一定是一个耐心,细心,宽容,从容的优秀学生。


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本帖最后由 lqhmzp 于 2013-11-17 10:23 编辑

11月4日星期一  晴



期中考试前的最后一节数学课



       时间过得真快,明天就是学校进行期中考试的时间了,初二所有的学科都要来一次大检测,一方面是对学生的半学期以来的学习状态和学习情况进行一个总结,另一方面,也是对老师的教学进行一次评估和自查。

       临考之前,我和很多学生的感觉一样,就是觉得有很多知识点和很多重要题型、解题方法、注意事项都还没有讲透。书到用时方恨少,临到考时才悔迟。

      考前最后一节课,讲点什么呢?我想了一下,决定讲两个方面的题目。

      一、必考题。

      数学期中考试中,总有一些题目是在各种各样的考试试卷上必然出现的,不同的是字母的顺序和有关的数据不一样。我决定先花点时间讲一下这种题目。

      结合上周五测试的模拟试题,我在昨天晚自习时间就已经找了一些必考题做错的同学一个一个地在我办公室过关了。其实我也知道,这里我用“过关”这个词是不太准确的,因为表面上,这些同学是点着头离开的,但谁知道他们是否真的会在考试中不再出错了呢。还有一些同学,可能上次考试没有出错,可下次考试由于思维短路而又丢分,这样的情况是屡见不鲜。上一届我所带的普通班里,初三最后的一系列中考模拟考试中,没有一道题是能做到两个班的全体同学全对的。比如,试卷上经常考的最简单的一道题,“2的相反数是_______”,或者“2的倒数是_______”, “2的绝对值是_______”,就这样的数学题,总是有那么几个同学,不是他错就是你错,好不容易把一个同学教会了,过一段时间之后,可能又是他因为理解错题意,而做错丢分。看到一些同学在这样的题目上丢分,我常常想,到底是他们不理解基础概念还是读题不细致?要么就是他们大脑里面的沟沟回回比别人的少。

      言归正传。我讲解的必考题有这样几道:

      1、一块三角形的玻璃,不小心打破为三部分,如果要到玻璃店去重新划一块,最简单的方法是带哪一块去。

      答案是带那块角边角完好的部分去玻璃店重新划。以前做练习册时,有一些同学选择带只有一个尖角的部分去,认为这一部分小,带着方便。这样做当然是错误的,考试时,要是在这样的题目上丢分,那简直是太可惜了。这样的题得3分很容易,而最后的压轴题,要想得3分,实在太难。两相对比,你就知道,简单的题,一定不能丢分,否则,靠难题来弥补差距是多么的不划算啊。

      2、一条公路,同一侧有两个村庄A、B,要在公路上找一个点P,使点P到A、B的距离之和最短。这种题目,以前上课时讲过的,要让PA+PB最短,可以采用平面镜成像的画法,先画点A关于公路这条直线的对称点A’,然后连结A’B,与公路的交点就是点P的位置。

      此题,如果要求的是让PA=PB,虽然只有几个字不同,但思路就完全变了,要让PA=PB,点P必须在线段AB的垂直平分线上,因为只有线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。用尺规作图法画出线段AB的垂直平分线之后,这条垂直平分线与公路的交点就是点P的位置。

      在14班讲解时,我还额外补充了两个小题,一个三角形ABC,找一点P,使点P到点A、B、C的距离相等。因为要使点P到A点、B点的距离相等,那么P点在线段AB的垂直平分线上。同理,P点在线段BC的垂直平分线上,P点在线段CA的垂直平分线上,所以P 点应该就是△ABC三边垂直平分线的交点。

      如果要让点P到△ABC三条边的距离相等,情况又发生了变化。点P到AB边和AC边的距离相等,那么,点P就在∠BAC的角平分线上,因为只有∠BAC角平分线上的点到角两边AB和AC的距离才相等。同理,点P也在∠ACB的角平分线上,点P也在∠ABC的角平分线上。点P就是△ABC三个内角的平分线的交点。

      这两个小题,要求不一样,具体的画图方法也不一样,都是数学课本上基础的数学知识点的具体应用。

      3、还是一个经典作图题,有一个∠AOB,还有两个点M、N,求作一个点P,使P到OA、OB的距离相等,同时,还使点P到点M、N的距离相等。

1.gif

      P到OA、OB的距离相等,所以P点在∠AOB的角平分线上,P到点M、N的距离相等,所以P点要在线段MN的垂直平分线上。只好先画∠AOB的角平分线,再画线段MN的垂直平分线,交点就是点P的位置了。

      这种题目,有些同学不明白题意,很重要的一点就是他们不理解点到边的距离与点到点的距离有什么不同。

      必考题还有很多,由于时间关系,就没有再讲,只讲了这样几个一定会考却极容易丢分的作图题。

      二、难题。

      一次考试,一定会在试卷中出现几道难题,如果碰巧以前做过,或者听老师讲过思路,那么,考试时,你就会先声夺人,当别人还在苦苦思索解题思路时,你已经可以轻舟已过万重山了。所以,每次考试前隙,老师们总是爱压几道难题,如能遇到,自然很好,如考不到,至少也是锻炼了学生的思维。我每次考试前也总喜欢压宝,但多年来的考试实践已经证明,我的运气从来就没有好过。不过,压中一些中等难度必考题,却是屡见不鲜。

      结合上周考试的模拟试卷,我讲解了最后一题。这一题,在上一周的博客里面虽然讲解过了,但自己看与听老师讲,效果还是很不一样的,更何况,我还很怀疑同学们在家里看博文的自学性和效果性。

      这一题是这样的:如图,在等腰RT△ABC中,∠ACB=90o,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线一点F,连接CF。

      (1)求证:AD⊥CF;

      (2)连接AF,试判断△ACF是否为等腰三角形,并说明理由。

2.gif

      对于这样的难题,我还是采用边画图边讲解的方法,这样,可以让同学们看清以前所忽视了的一些重要条件。

      等腰RT△ABC中。画到此处时,同学们已经看出∠ACB=90o,CA=CB,而且∠CAB=∠CBA=45o,这里,特别是∠CBA=45o这个条件非常重要,而这,恰好就是同学们忽视了而找不到思路的一个重要条件。

      再由于DE⊥AB,BF∥AC,如图:

3.gif

      可得到∠FBD=∠ACB=90o,又由于∠CBA=45o,DE⊥AB,所以∠EDB=∠EBD=∠EBF=∠EFB=45o,从而可得到DE=EB=EF,BD=BF,再由于D为BC的中点,所以可得到BF=BD=CD,这就是题目一直在暗示我们,但我们从复杂的原图中很难发现的一个重要结论。就是因为差了这个结论,所以,一些同学苦苦思索而不得。

      做好这些准备工作后,再连上两条线段CF和AD,经验丰富的同学已经看出来了,要证△ACD ≌ △CBF,因为这两个三角形是先旋转再平移后得到的。

      得到△ACD ≌ △CBF后,要证明AD⊥CF,两个班里还是有很多同学遇到了思维障碍,我又对着原图讲,由于△ACD ≌ △CBF,对应角相等,可以得到∠1=∠3,又因为∠1+∠2=90o,所以可得∠3+∠2=90o,那么,∠AGC=90o,即AD⊥CF。

      直到此时,同学们才恍然大悟。

      第(2)小题里面,连结AF后,因为AE是DF的垂直平分线,所以AF=AD,又由于△ACD ≌ △CBF,得到AD=CF,所以可得AF=CF,那么,△ACF就是一个等腰三角形。只是这个过程,让有些欠缺折线性思维的同学把头偏转了好几次。

      接下来,给了将近十分钟的时间让同学们把这道题改正,并好好悟一悟这道题的解题思路。期中考试时,肯定不会考这个原题,但是类似的题型,类似的难度,类似的分析方法,类似的解题思路却是一定可以遇到的。



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11月5日星期二  晴



自由复习



      今天学校开始期中考试,数学考试按照这么多年的常规,都是第二天的上午进行。

      晚自习,每班都各有一节,到教室后,我把晚自习时间分成两部分,前二十分钟,由同学们将课本上的知识点和以前考试试卷上的错题看一看,记一记,背一背,有不理解的地方,私自向我询问。后二十分钟,就向同学们讲一讲以前曾讲过的几个重要题型。

      前二十分钟,两个班里都各有一些同学向我询问试卷上较难的几道题目,我一一向他们做出了解答。

      陈龙翔同学拿着一本数学资料,指着一道题问我应该如何思考,我看了一下图形,又看了最后要求证的结论,马上就告诉他思路。

4.gif

      如上图,求证AE=2AB,在这个图形中,肯定AD是BC的垂直平分线,连结AC,可得AB=AC,要证AE=2AB,实际上是要证AE=2AC,联想到30度的角所对的直角边等于斜边的一半,所以这里的∠E肯定是等于30o的,∠ACE肯定是等于90o的,如果我没猜错的话,这个题目的已知条件一定是∠BCE=120o,CB=CE,AD是BC的垂直平分线,最后求证AE=2AB。

      陈龙翔听完后,说:“老师真厉害,你未看题目,怎么就知道已知条件?”

      我回答说:“一看到这种图形和要求证的结论,就知道这个题目必须这样思考,因为上帝都已经安排好了,只能这样编排这道题。你多做多总结,也会达到我这样的水平。”

      接下来的后二十分钟,讲解了以前曾讲过的几个重点题目。如果以前上课时能做到认真听讲并能记住的,或者回家后认真看过我的博客并能记住解题思路的同学,根本就不需要在这二十分钟时间内还听我讲解了。只可惜,能做到自觉学习并学有所获的同学是少之又少,所以大部分同学还是在听我卖力的讲解。可能他们和我一样,也在担心明天考试的数学试卷上有这样几道题,要是自己不听,那可就亏大发了。临时抱佛脚总比完全不学习要好得多。

      本来,我在备课本已经找了近十道数学题,左看看,右看看,觉得个个重要,题题经典,到底会考哪个题,只有老天爷知道。由于时间关系,我只好讲了自认为最重要的几道题。到底同学们能记住多少,那就看他们的悟性和造化了,反正我是尽力而为。



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本帖最后由 lqhmzp 于 2013-11-17 10:34 编辑

11月6日星期三  晴



由一张期中数学考试卷所想到的



      上午8点钟,开考数学。我到考场里拿到一张多余的期中考试数学试卷,认真地做了起来。

      这些年来,学校期中考试数学试卷的命制都是由教导处交给不同年级的某位老师,然后,这位老师上网搜索几套试卷,加以拼凑组合,就成了考察学生学习和评价教师教学的一份期中考试卷。

      这种命题方式倒也没什么,平心而论,每一位老师接受这样一份命制任务,压力都是很大的,一方面要查找试题,一方面要钻研课本,一方面要控制难度,一方面又要注意区分度。学校以前所命制的期中考试数学试卷大多较难,有时还有好几道超越教授内容的数学题。每次期中考试下来,各年级老师和同学们总是牢骚满腹。但当自己接到教务处授与的命题任务时,自己也是这样操作。可能是命题老师站在自己的角度看所挑选的题目,觉得题题简单,又担心学生的思维得不到拔高,就在最后几道题上不断的拓展、加深。有些题目,不是在考学生,而是在考老师。如果这种命题方式不改变,我真想建议,学生考试时,也让老师同场测试,把老师的分数折算一定的比例加入到学生的平均成绩里去,以提高一下学生们的平均分。

      对于期中考试命卷,我所设想的过程是这样的:一份好的数学考试卷应该是先出解答题,可以从网上下载,也可以从资料上找,但是要进行调整,比如数据的调整,字母顺序的调整,要保证你所选编的每一道解答题在这个世界上都独一无二。解答题编完后,再翻看课本,看还有哪些知识点没有考察到,就在选择题和填空题里予以弥补,待课本上所有的知识点都得到全面覆盖后,再选择一道分类讨论的填空题和其他自己认为有必要考到的其他题型。组合成一份试卷之后,再看看,有哪些题目考察的知识点重复了,那就继续微调。直到一份试卷既有一定的难度,又有一定的梯度,既能使同学们有一个不错的成绩增强学习的信心,又让数学基础最扎实的同学把自己的最好成绩考出来,让其他同学佩服。

      每一学期市教研员所命制的试卷和每一年的中考试卷还真是不错,是我们老师命制试卷的榜样。

      此次期中考试,尽管我对学校老师自己命制的数学试卷有一定的心理准备,肯定有一些偏难怪的题目,但做完整张数学试卷后,我还是忍不住的强烈吐槽:

      一、课本上六大知识点未覆盖。

      做完考卷之后,我翻看课本,发现课本上有六个非常重要的知识点完全没有考察到。

      1、等腰三角形的三线合一的性质:“等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。”这个知识点一般应在解答题里面应用。

      2、角平分线的性质:“角平分线上的点到角两边的距离相等。”这个知识点一般也应在解答题里面应用。

      3、线段垂直平分线的性质:“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。”填空题中一定要出现一道这样的题目。

      4、“30o 的角所对的直角边等于斜边的一半。”在试卷上一定要出现一题是应用这个知识点的。

      5、角平分线和线段垂直平分线的尺规作图。

      6、关于方位角的解答题。

      一次期中考试命题,六个重要的知识点竟然全部回避了,怎么说也说不过去。我当然知道,现在要想命制一份难度适当,考察全面,有区分度的试卷真的很不容易,但是,也不能不看课本,直接从网上下载几份试卷,胡乱拼凑起来啊。

      二、难题太难。

      第23题:如图,E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE,求证:△ABC是等腰三角形。

1.gif

      这道题要做出来,必须过点D作DG∥AC,交BC于G,然后利用三角形全等和等腰三角形的等边对等角和等角对等边的知识点去做。但过点D作DG∥AC这条辅助线却如天外飞仙,一个学生如果没有听老师讲过这个题目,是很难想出来的。但是一个同学如果听老师讲过了这道题的思路,对于他来说,这道题就易如反掌。考这种题最后导致的结果是一个数学功底扎实但没有听老师讲过这道题的同学考试的成绩还赶不上数学功底一般却碰巧遇到过这道题目的学生。

      在期中考试中出这种题,就是暗示老师们和同学们去大量的做题,去投入到题海战术中去,这对重视基础的学生来说公平吗?

      第24题,是一道经典好题,我在近几年的中考数学试卷和期中、期末考试中遇到过不下于十次。

      如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE的同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BC相交于点P,BE与CD相交于点Q,连接PQ。求证:△PCQ为等边三角形。

2.gif

      这道题在我以前所遇到的十多次里,每一次都是三个小题,第(1)小题是求证:△ACD≌△BCE,第(2)小题是求证:△ACP≌△BCQ,第(3)小题才是求证:△PCQ为等边三角形。

      经过三个小题的层层分解,难度逐步降低。可试卷上的这道题,一上来就求证△PCQ为等边三角形。一棒子就把学生给打死了,真以为每个学生都会“梯云纵”的轻功啊,这样出题如果让负责中考数学命题的教研员们看见了,还不惊呆了。

      试卷上好的数学题的标准是什么?我认为,要让从未见过此题的学生也可以开动大脑思考,并凭借自己扎实的基本功在一定的时间里找到思路。如果一道题,学生只有在以前听老师讲过或者自己看过答案才会做的话,这对于运气不好碰巧没有见过此题的学生来说是多么的不公平啊。一道较难的题,也要逐层分解,就象为学生架设一个梯子一样,学生凭借自己的努力能够爬上去。

      三、有两道试题超范围。

      第15题,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O的直线交AB、CD于E、F,AB=6,BC=10,则图中△AOE加△BOC加△DOF的面积之和为____________

3.gif

      此题中出现了矩形这个词,可矩形这个知识点是下个学期才学的内容。而且现在只学习了轴对称,还没有学中心对称。幸好这道题目并不难,同学们根据生活经验把△DOF旋转到△BOE就能做对,因为这两个三角形是全等的,但要从理论上解释清楚,还真是不易。

      上面这道题超范围,问题不大,因为学生可以做。第25题超范围,就显得有点可怕了,因为浪费学生的宝贵考试时间,学生却无人能做出来。

      第25题是这样的:“如图,正方形ABCD中,AC是对角线,今有较大的直角三角板,一边始终经过点B,直角顶点P在射线AC上移动,另一边交DC于Q。(1)如图一,当点Q在DC边上时,猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系,并加以证明;(2)如图二,当点Q落在DC的延长线上,其它条件不变,猜想并写出PB与PQ满足的数量关系,请证明你的猜想。

4.gif

图一

    5.gif

                  

             图二

      这道题在学习了初二下学期正方形的内容后才能做,因为在图形中做了两条辅助线后(过点P作PF⊥DC于F,过点P作PE⊥BC于E),要用到正方形的性质才能去证三角形全等,现在迫不及待的拿出来,就算老师跟同学们讲明白了,也是一种拔苗助长。

      四、偏题太多。

      第13题,四边形ABCD的外角之比为1︰2︰3︰4,那么∠A︰∠B︰∠C︰∠D=____________________。

      这道题用我们所学过的知识虽然是可以做,但是这里出现了连比,而且从外角之比入手,把每个外角度数先求出来,再求出每个内角的度数,再来算每个内角的度数之比是多少,显得很偏。

       第15题,观察一组由小星星组成的图形,第一个图有4个小星星,第二个图有7个小星星,第三个图有10个小星星,第四个图有13个小星星,按照这种规律,第n个图应该有(3n+1)个小星星,题目问第2012个图形里有___________个小星星。

       这道题,很明显是从网上下载的去年的一道找数字规律的填空题。先不说此题不符合今年是2013年这个时间,最新广东中考考纲上已经明确指出了,中考不再考找数字规律的题了,而我们的期中考试还在考这种试题,而且,更关键的是我们初二上半学期所学的内容是三角形、全等三角形、轴对称,不知所考的这道试题与我们所学的这三章内容有何联系。

      五、在一张试卷上,出现好几处雷同题。

      1、第1题和第12题,都是轴对称图形的辨认问题,不同的是第1题是一道选择题,要从四个选择项里选择一个轴对称图形,第12题是告诉你镜子里面的电子钟示数,要你说出真实时间。

       这两道题都是根据轴对称的知识去认识轴对称图形,而且第12题还带有一种低级的解题技巧,要知道镜子里面电子钟所显示的真实时间,只需要将试卷拿起来,反过来看就可以了,除了应试技巧外,没有一点考察意义。

       2、第2题和第4题考察的都是三角形的三边关系。

      第2题是这样的:“以下列各组线段为边,能组成三角形的是(      )

          A. 2cm,3cm,5cm       B.  5cm,6cm,10cm   

          C.  1cm,1cm,3cm       D.  3cm,4cm,9cm   

       第4题是这样的:“已知三角形的两边长分别为4cm和9cm,则下列长度的四条线段中能作为第三边的是(       )

          A.13cm    B. 6cm    C. 5cm   D. 4cm

       这两道数学题很基础,任选一道题放在这里,都恰到好处,但两道题放在一张试卷上,就不太好了,因为这两道题考察的是同一个知识点:“三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。”相隔不远的两道选择题却是考察的同一个知识点,至少让人觉得效率低下。

       3、第5题、第9题、第14题都需要进行分类讨论,也就是要分两种情况去考虑,最后有两个答案。

        第5题是这样的:“等腰三角形的一个角为50o,则这个等腰三角形的顶角可能为(      )

            A、50o,   B、65o    C、80o   D、50o或80o

         第9题是这样的:“一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,那么这两个角之间的关系是(        )

            A、相等    B、互补    C、相等或互补    D、无法确定

        第14题是这样的:“等腰三角形的周长是20cm,一边长是6cm,则底边长为______________________。

        这三道题都要分两种情况去考虑,这样的题目在期中考试里面出现,本来是非常好的,但是,一张试卷出现了三次分类讨论的题目,就有点显太多了,还有很多的知识点都没有来得及考察,却不惜篇幅地反复考察分类讨论思想,就有点不太合适。

      网络上有几句有名的调侃:“一手字,让键盘给废了;电视剧,让广告给废了;书信,让电话给废了;国足,让足协给废了;景点,让黄金周给废了。”看到这里,我不禁想说:“复习备考,让一张试卷给废了。”

      考试是一根指挥棒,这根指挥棒往哪里挥舞,老师们的教学就会往哪里调整。要想真正贯彻素质教育,使学生重视基础知识和基本概念,编排试卷时就一定要以课本为本,以考纲为纲。

      我自认为,我与学校里所有的数学老师相处得都很好,我之所以发表这些议论,绝没有讨伐命题老师的意思。我只觉得一位老师要想命制好一份试卷,至少要拿到学生的课本,翻看主要的知识点是什么,绝对不能出超越知识范围的题目,偏题更要少出,难题要控制数量,切不可随意从网上下载几套试题胡拼乱凑。学校统一组织一次考试,耗费的人力、物力非常巨大,真希望每次考试之后,能真正地起到考察学生学习情况和指导老师课堂教学的目的。



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11月7日星期四  晴



同底数幂的乘法



      初二上学期前三章的内容都是几何知识,期中考试之后,终于不用再上了。接下来就是代数知识了,今天要学习的内容是整式的乘法中的第一节,同底数幂的乘法。

      几何几何,挤破脑壳,代数代数,代破屁股。自古有云,几何难,代数繁。要想把代数学好,也一定要有专心听讲,用心理解,细心做题的好习惯。

      首先给了三分钟时间,让同学们把课本上的同底数幂的内容看一遍,将重要的知识点划下来。

      三分钟后,我开始了讲解。先从课题中的“幂”这个字说起,在初一时,就接触到这个词,但很多同学搞忘了。我问同学们:“‘幂’这个字认识吗?是什么意思?”

      有同学在下面回答“不知道” ,还有学生说:“杨幂的幂” 。这个字确实是影视明星杨幂的名字,我在读初中时,这个字可难住我好一段时间,现在出现了一个影视明星杨幂,至少,让同学们记住了这个字怎么读。不过,这个字在数学中的含义可与电影电视没有半毛钱的关系。

      我这样对同学们说:“小学学过四则混合运算----加减乘除,加法运算的结果叫和,减法运算的结果叫差,乘法运算的结果叫积,除法运算的结果叫商。到了初中,学习了第五种运算----乘方,也就是求多个相同因数的积的运算,乘方运算的结果就叫幂。”

      看到同学们逐步回忆起这些知识点,我又对同学们举例一些常见的幂:

      102=100,103=1000,104=10000,105=100000,106=1000000(1百万),107=10000000(1千万),108=100000000(1亿),(对不起,指数在贴子里显示不出来,可能是我的技术力量不够,sorry.以下同)

      说到这里,我又问同学们,一个单独的数字10,可以看作幂的形式吗?有个同学说,可以看作是101,只不过,指数是1时,1通常省略不写。

      说完这样常见的幂时,我又补充举例了另外一些常见的幂:

      22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,29=512,210=1024.这些以2为底数的幂不仅在做数学题时非常常用,在科技生活中,也时常出现,特别是在电脑知识方面,同学们以后肯定用得着。

      同底数幂的乘法法则非常简单,也很好理解,我举了一个具体的例子:102×103=100×1000=100000=105=102+3,接着,从特殊到一般,我按照课本上的示例,进行讲解,最后得到:

      am·an=am+n.用文字语言叙述,就是“同底数幂相乘,底数不变,指数相加。”

      这个法则很好理解,也很好背诵,同学们运用这个法则做课本上的例题是手到擒来。接下来,就做练习册上的习题。

      要是每道数学题都象课本上的例题那样简单单纯该多好啊,要是每个敌人都站在那里蚊丝不动让我们瞄准该多棒啊。可是,理想很丰满,现实却骨感,练习册上有很多极易搞错的题目,还有一些难题。接下来,我针对同学们做的情况,分两类进行了讲解。

      一、易错题。

      1、x3·x+x2·x2

      在这个题目中,x3·x等于x4, x2·x2也等于x4,这个过程用“同底数幂相乘,底数不变,指数相加。”就可以解决。但是下面一步是x4+ x4,很多同学就是错误百出,有等于x8的,有等于2x8的,我只好对同学们说,x4+ x4其实就是两个同类项进行合并,一个苹果加上一个苹果等于两个苹果,x4+ x4等于 2x4,这就是最后答案。一些同学学习了新知识后,就把以前学的一些知识点给搞忘了。

      2、–a2·a5

      在这道题中,最前面的“–”该如何理解,这个“–”与后面a2中的指数2有关系吗?这个问题,班级里面的很多同学在理解上都模棱两可,他们在做题时,往往不愿问老师,随意做题,就导致最后的错误,这种错误是最为可惜的。

      在这里,a2中,指数2,底数是a,最前面的“–”与指数2没有关系,计算时,照写就可以了,最后的答数是–a7.

      有些同学之所以在这里不理解,是因为他们没有把–a2与(–a)2分辨清楚,前者的指数2是管不到“–”的,后面的指数2却是指的是(–a)的平方,(–a)2= a2。

      代数里面,就这一个“–”,不知让多少同学魂断数学。以后的教学过程中,我至少还要举100个这样的例子反复说明。希望同学们一定要理解这个问题。

      二、难题。

      1、已知x3=3, x6=9,求x9的值。

      这个题,要把课本上所学的同底数幂的运算法则反过来用。x9可以理解为x3·x6,讲到这里时,我问同学们,x9也可以理解为x5·x4,可为什么我没有写成x9=x5·x4呢,同学们回答,因为题目给出的已知条件是x3和x6的值,要向已知条件靠近。这种想法是完全正确的,初中数学就是这样思考的。

最后的答案就是x9=x3·x6=3×9=27.

      2、若2n+2·22=64,求n的值。

       这里,左边的式子运用同底数幂的运算法则可以变为2n+4,右边是64,恰好可以转化为26,那么原来的等式就变成了2n+4=26。在这个等式里,底数都是2,自然,指数就必须相等,也就是说:n+4=6,从而n=2.

       这种题目,左边是2n+4,右边必须是底数为2的幂所表示的数字,否则是做不出来的,同学们,你们做多了这种题,就可以总结出这种规律。

       晚自习,布置同学们做练习册上未做完的习题。我在课室里巡视的时候,发现有两个题,基本上都算错了。我只好在黑板上进行讲解。

       1、103×(–102)

        这道题,很多同学把(–102)理解为(–10)2了,同学们,好好看看这两个式子的区别,(–102)中,表示的意思是102的相反数,里面的“–”是没有2次方的,结果就是–102,也就是–100。而(–10)2中,2次方的底数是(–10),表示两个(–10)相乘,结果是100,也就是102。

        总结一下:(–102)就是–102,而(–10)2=102。

        回到原题中,103×(–102)=–103×102,也就是将括号里面的“–”拿到乘法运算的最前面去。最后的结果是–105.

       2、(x-y)3(y–x)2

       在这道题中,把括号里面的式子看作一个整体,当做一个底数,但是(x-y)3与(y–x)2里面的底数不一样,如何同底数幂相乘呢。

      底数不一样,当然不能用同底数幂乘法的法则去算,但是,此题中的x - y与y–x恰好有内在联系,这两个式子互为相反数。

       我举例说明,比如5–2与2–5,它们运算的结果就是互为相反数的,y–x可以看作是–(x – y),因为–(x – y)去括号后是–x + y,用加法交换律调换一下两个式子的位置,不就是y–x 吗?

      明白了x - y与y–x互为相反数之后,还要明白,相反数的平方是相等的。比如:(5–2)2与(2–5)2是相等的,那么,(y–x)2与(x–y)2是相等的,也就是(y–x)2=(x–y)2。相反数的平方是相等的,其根源就在于“两个负数相乘,负负得正。”

      其实,相反数的平方不仅是相等的,相反数的偶数次方都是相等的。

      但要注意的是相反数的三次方仍然是相反数,(x-y)3与(y-x)3是不相等的,它们是互为相反数的,也就是说(y-x)3=–(x-y)3。

      相反数的三次方不仅是相反数,相反数的奇数次方都是相反数,其根源是因为奇数个负数相乘,还是负数。

      还是回到原题中来,(x-y)3(y–x)2可以先变形为(x-y)3(x–y)2,也就是把(y–x)2变为了(x–y)2,然后,就可以用同底数幂相乘,底数不变,指数相加来做了。只不过,要把这里的(x–y) 看做一个整体,当做一个底数。最后的结果就是(x–y)3+2,等于(x–y)5.

       (x–y)5,这个式子就是最后结果了,千万不要化为x5–y5,否则,就大错特错了。

       把以上的这些知识点和做题细节搞清楚了,代数题就很好做,这些细节知识糊里糊涂,代数题也不好做啊。



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11月8日星期五  晴



幂的乘方和积的乘方



      昨天所学的知识点很简单,就一句话:“同底数幂相乘,底数不变,指数相加。”用字母表示,就是“am·an=am+n” 。这个知识点难就难在逆运用和符号问题上。这只有在以后做题的过程中反复讲解和领悟了。

      第一节课,先让同学们用三分钟的时间阅读课本上幂的乘方的内容。三分钟后,我开始了讲解。

      幂的乘方,是什么意思呢?就是把一个幂当作底数,括起来再乘方,也就是乘方的乘方。比如:(32)3,在这里,32本来就是一个幂,可现在要把这个幂一起当作底数,加上括号后再乘方。这个式子应该等于多少呢?

    (32)3相当于3个(32)连续相乘,也就是(32)×(32)×(32),可变形为32×32×32,应用同底数幂的乘法法则,底数不变,指数相加,可得32+2+2,也就是32×3,最后答案是36.

      接下来,由特殊数字到一般字母,我按照课本上的叙述方法,讲解了(am)n=amn.用文字语言表示,就是“幂的乘方,底数不变,指数相乘。”

      讲完幂的运算法则后,我又举了两个例子让同学们仔细辨认它们的区别。

      a2·a3与(a2)3,在这两个式子里,前面的一个式子是同底数幂相乘,底数不变,指数相加,最后结果是a5,后一个式子是幂的乘方,底数不变,指数相乘,最后结果是a6。

      课本上的例题都很简单,很快讲完后,就做练习册上的题目。

      练习册上有3道题较难,我进行了讲解:

      1、若mx=5, my=3,求m3x+2y的值。

      这道题要把同底数幂乘法的法则和幂的乘方法则倒过来用。

      首先,把m3x+2y转化为m3x·m2y,为什么可以这样转化呢?是因为m3x·m2y=m3x+2y,那么把这个式子反过来,就得到:m3x+2y=m3x·m2y,然后,再把m3x变形为(mx)3,把m2y变形为(my)2,为什么可以这样变呢?是因为根据幂的乘方法则,可得:(mx)3=m3x,(my)2=m2y,把这两个式子反过来,就得到m3x=(mx)3, m2y=(my)2,从而整个题的思路找到。详细过程就是:

       解:m3x+2y =m3x·m2y

                           =(mx)3·(my)2

                           =53×32

                           =125×9

                           =1125.

      这种题目难就难在要逆用我们所学习的法则。练习册上其他章节的难题也都是要逆用法则进行变形的。谁最先理解运算法则,谁最先学会逆用运算法则,谁最先知道哪种情况下要逆用哪个运算法则,谁就会在这一章的学习里面先声夺人。

       2、已知:2·4n·8n=211,求正整数n值。

        此题中,左边三个幂相乘,但是底数都不相同,第一个可以看做是21,底数是2,后两个幂,底数分别是4和8,底数不相同,当然不能运用同底数幂的乘法法则计算。但是,要特别留意的是,4可以看作22,8可以看作23,运用一下幂的乘方法则,就可以把它们的底数都变为2,详细过程如下:

       解:2·4n·8n=2·(22)n·(23)n

                         =2·22n·23n

                         =21+2n+3n

                         =21+5n=211.

                        ∴1+2n=11

                           n=5

      在这个过程中,4n转化为(22)n时,要把(22)用括号括起来,一般地,负数、分数、幂、一个整体多项式在做底数时,都要用括号把它括起来。在21+5n=211这个等式中,因为底数都是2,所以指数必须相等,也就是1+2n=11,从而解出n=5.

       3、已知5m=8,求25m值。

      和上题一样,这里的25转化为52,那么25m就变为了(52)m=52m,然后,再把52m变形为(5m)2,把5m整体换做8,就可得到题目的结果为82,最后的结果为64.

       初中代数的计算题,就是要从正反两个方面灵活运用所学的法则,在不改变原式的值的情况下,象孙悟空一样,学会七十二般变化,最后得出正确答案。要想知道往哪个方向去变化,那就要多做题,多总结,或者象孙悟空一样,练成一双火眼金睛。

       除了上述的三道难题外,还有一道易错题,我在14班教室里也进行了讲解。

      (-32)3,这个式子里,括号前面的“-”与3的指数2有没有关系呢?仔细辨认,在(-32)中,2次方的底数是3,不含“-” ,这里的“-”只是被括号外面的3次方管辖着,结果为“-” ,所以,此题的计算过程为(-32)3=-(32)3=-36。

       今天星期五,每个班都有两节课,第二节课,在两分钟的预备时间里,同学们大声读背同底数幂乘法和幂的乘方的运算法则。我在点同学提问时,铙佳同学主动举手了,我问她,同底数幂的乘法法则是什么?

       她站起来回答:“同底数幂相乘,底数不变,指数相乘。”这个答案当然是错的,饶佳同学把昨天学的同底数幂乘法的法则和上节课刚学的幂的乘方法则搞混了。有一些同学总是在学习了新知识后,就忘记了老知识,他们在回答问题时,也不听清老师问的是什么,就按照自己记忆最深的一个答案去回答,这样,当然错误率就高了。

       又找了一位同学,才回答正确:“同底数幂相乘,底数不变,指数相加;幂的乘方,底数不变,指数相乘。”

      接下来,开始学习这节课的知识----积的乘方。先还是给了三分钟时间,让同学们认真看书,并把课本上的重要知识点划下来。

       关于这一节,我这样强调:积,就是几个因式相乘的积,积的乘方,也就是把几个因式相乘的积一起作为底数,再乘方。比如:

      (ab)3,就是把a与b的积括起来作为底数,然后再3次方。表示有3个相同的(ab)连续相乘,运用乘法的交换率和结合率,可以得到最后的结果为a3b3.

      运用同样的分析方法,可以得到(ab)n= anbn.用文字语言叙述,就是积的乘方,等于积里的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。

      这个法则理解起来也不难,课本上的例题做起来也很简单,就是有时候用积的乘方法则变形之后,又会遇到幂的乘方的运算,那就需要再用幂的乘方法则去化简。比如:(-2x3)4=(-2)4·(x3)4=16x12.

      在做练习册上的题目时,有两道题又要逆用积的乘方法则,有一定的难度,我在黑板上进行了讲解,下面把第二道题的过程叙述如下:

      (三分之二 )288×(二分之三 )290 =( )288×( )288 ×( )2    (分数显示不出来,sorry.以下同)

                                    =(×)288 ×( )2

                                    =1288×

                                    =

      在这个过程中,( )290 变形为( )288 ×( )2, ( )288×( )288变形为(×)288,这个过程,同学们好好领悟。

      同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则,这三个法则是单项式乘以单项式的基础,只有熟练地掌握了这三个乘法法则,后面我们在学习单项式乘以单项式时,才能非常精准。而单项式乘以单项式又是整式乘法的基础。同学们好好努力。




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11月10日星期日  晴



晚自习做练习册



      11月3日我的博文里面,14班的邓霖琳同学和13班的罗健慧同学发表了相似的评论,邓霖林同学说:“期中考试的最后几题有点难,以后老师应该多给我们讲一些难题,让我们在做同类型的题时能够如鱼得水。”罗健慧说:“以后老师给我们多做些难题吧,这样有助于提高我们的解题能力。”

       期中考试的最后三道难题,给所有的同学一个沉重的打击,有的同学身受打击之后,及时反思,要求在以后的学习过程中,多布置一些思考题,让同学们做,让同学们开阔眼界,比如上述两位同学,这样的同学就是知道自己需要什么的同学,他们知道自己努力的目标和奋斗的方向。与其他同学相比,这两位同学的认识无疑已经走在前面了。

      关于难题,其实我们在课堂上已经做过一些了,当然还不够,因为初中数学里面的难题,只要想出题,那简直是浩如烟海。我们以后肯定会多做一些开拓同学们思维的题目,一方面是为初二下学期的期中考试做准备。另一方面,也是为学校每年都要组织的数学竞赛作准备。当然,最关键的是要把课堂上已经讲过的难题真正搞懂,比如,期中考试卷上的倒数第二题,在课堂是讲过原题的,但还是很多同学不会做。另外,要多钻研难题,还要自己主动去努力,自己主动去做资料上的一些综合性强的数学题,经过艰难思考之后,如果还是找不到思路,就可以来问老师。

      11月5日的博文评论里,汪周宁鹭同学这样说:“不怪天,不怪地,就怪自己太粗心,练习册上讲过的一道大题,我没有按照正确的思路来做,不知道给不给分呢?希望阅卷老师心情好,不要扣分。”

      把希望寄托在阅卷老师照顾上,还不如把希望寄托在自己的考前努力上。

      11月8日的评论里,彭曦盈同学说:“本周所学的新知识不是很难,但是要细心,加油!”

      彭曦盈同学是一个外表文静,内心沉静,性格冷静的同学,略微还有一点内向。这种个性本来是非常适合于学好数学的,如果能做到认真地听讲,踊跃地发言,主动地问询,那么,她的数学成绩会更加优秀。在我的博客评论里,能够大胆发表自己的意见和想法,她已经迈出了可喜的第一步。

      彭曦盈同学,我相信你会在以后的数学学习里更加地积极向上,多与同学交流,多与老师沟通,好成绩一定会属于你。加油!

      晚自习时间,布置同学们做练习册上未做完的幂的乘方和积的乘方的习题。这部分习题中,大部分非常简单,但也有一些有一定的思维技巧。

      在14班,很多同学问了这样一道题:

      已知a=255,b=344,c=433,(指数不能正常显示,对不起)则a、b、c的大小关系是什么?

      在这道题里,a、b、c分别代表的是三个幂,而且这三个幂的底数与指数都不一样,也不可能通过计算器去算,因为,普通的计算器进行这样的乘方计算,就算是算爆也不会得到最终结果的。

      仔细观察这三个幂的指数,发现55、44、33,分别含有一个公因数11,也就是说,55=5×11,44=4×11,33=3×11,所以,255可以变形为25×11 ,再逆用幂的乘方法则,变形为(25)11,而25=32,所以,a的值可以这样变形:

      a=255=25×11 =(25)11=3211 ,

      同样的方法,可以得到:

      b=344=34×11 =(34)11=8111 ,

      c=433=43×11 =(43)11=6411 ,

      这样一来,虽然a、b、c的具体值算不出来,但是它们变形的最后结果都是一个幂,而且这个幂的指数相同,都是11,指数既然相同,那么,我们比较底数就可以得到a、b、c的大小关系了。因为3211 <6411 <8111 ,所以a<c<b。

      这种比较大小的题,属于数学竞赛题的范畴了,市教研室命题的期未考试卷是绝对不会考的,但同学们既然想锻炼自己的思维,想知道解题思路,我还是很乐意地告诉他们。这种题目的思路就是,想办法让这些个幂的指数相同,少数题目是让幂的底数相同,总之要有一个相同,再去比较另外一个。

      受刚才这道题的思路启发,同学们能否思考出下面这道题的答案呢?试一试吧。

      已知a=2555,b=3444,c=4333,则a、b、c的大小关系是什么?

      还有部分同学指着练习册上的几道题目,问我应该如何做,我一一进行了提示:

     1、  已知44×83=2x,求x的值。

      在44×83=2x中,右边的幂的底数是2,但左边的幂的底数,一个是4,一个是8,不一样,但是4和8都可以化为底数是2的幂,从而找到思路。

      解题过程是这样的:

      解:44×83=2x

          (22)4×(23)3=2x

           28×29=2x

           28+9=2x

          ∴ 8+9=x

           x=17.

      这种题目就是让等式两边的幂的底数相同,然后得到幂的指数相等,从而得到x的值的。

      2、  已知xn=3,yn=5,求(x2y)n的值。

      这道题要运用积的乘方和逆用幂的乘方法则。在(x2y)n中,括号里面的x2y是两个因式的积,这个积的n次方,就等于积里面的每一个因式分别乘方。所以,就把(x2y)n化为x2nyn,又由于x2n,可以逆用幂的乘方法则,变形为(xn)2,从而把原式变形为(xn)2yn。

     接下来,只需要把xn=3,yn=5整体代入进行计算即可。

     我在离开14班教室的时候,王钟会同学拿来一个式子问我应该如何化简:

      “(-2x2y3z)3  ”

      他既然问到了我,就说明他还不会化简这种积的乘方。

      我问他,括号里面的式子是一个积吗?这个积里有几个因式,分别是什么?

      他答道:“-2x2y3z是一个积,有四个因式,分别是-2、x2、y3、z”

      我又问,按照积的乘方法则,积的乘方,等于积里的每一个因式分别乘方,那么(-2x2y3z)3  就应该等于-2、x2、y3、z这四个因式分别3次方,也就是:(-2)3(x2)3(y3)3z3.

      在这里,-2、x2、y3在3次方时,应该分别把它们加上括号,z只是一个单字母,它在3次方时,就不用加括号了。

      (-2)3(x2)3(y3)3z3再运用幂的乘方法则化简得-8x6y9z3.

      其他的同学,如果有和王钟会一样不懂的问题,千万不要怕同学们笑话,更不要怕老师批评,一定要来问老师。只有自己真正搞明白了,到了考试的时候,才会得到一个优秀的成绩,要不然,那才是会让同学们真正笑话的。



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11月11日星期一  晴



复习幂的三个运算法则



      上一周用三节课的时间把幂的三个运算性质讲完了,今天早上第一节课和第二节课,在办公室里检查同学们做的练习册,发现很多错误。今天这节课就不想讲新课了,就把幂的三个运算法则好好复习一下,要不然,到了后面的新知识点,同学们也会错漏百出的。

      上课前的两分钟预备时间,在14班上课时,让同学们大声读背幂的三个运算法则。当同学们都在用心记忆的时候,我看到后面坐着的一位同学心不在焉,甚至还在左顾右盼,偶尔还有下位的倾向。对于这样的同学,我总喜欢第一个就找他来背课本上的知识点。

      这位同学象这样被我叫起来背诵已经不知道是第几次了,能够流利的背出知识点的次数也屈指可数。这一次叫起来后,嗫嚅着嘴巴说出几句话又文不对题。让他坐下后,我这样对同学们说:“想得到好成绩,又不付出努力,甚至连背课本上的知识点都不愿意读背,这样怎么能进步呢?空手套白狼永远是不可能的。”

      也不管他是否听懂了,又找了三位同学来背诵,这三位同学背得很好。

      同底数幂乘法的法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。

      幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。

      积的乘方法则:积的乘方,等于积里的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。

     分别用字母表示为:am·an=am+n

                              (am)n=amn

                              (ab)n= anbn

      接下来,围绕这三个法则的运用,我讲了这样几点:

      一、正向运用:

      1、a4·a4= a4+4=a8。这里用的是同底数幂相乘,底数不变,指数相加的法则。

      2、(a4)4= a4×4= a16。这里用得是幂的乘方,底数不变,指数相乘的法则。

      3、(ab)4= a4 b4。这里用得是积的乘方,等于积里的每一个因式分别乘方的法则。

      4、a4+ a4=2a4.这里用得就不是上面的三个法则了,而是合并同类项法则,因为a4与a4是同类项,合并后为2a4.

      二、逆向运用:

      1、若am=2, an=3,求a2m+3n的值。(指数不能正常显示,sorry.以下同)

        解:a2m+3n =a2m·a3n

                            =(am)2·(an)3

                            =22×33

                            =4×27

                            =108.

       这种法则的逆运算,上周是讲过了的,但同学们在做练习册时又忘了,只有反复讲解、训练、记忆,才能让同学们最终形成技能。

       讲完这道题时,我特别强调了33是等于27的,而不是等于9.这一点,很多同学犯低级错误。

        2、计算:( 0.125)2012× 82013 ×(-1)2014

        解:原式=( 0.125)2012× 82012 ×8×(-1)2014

                     =( 0.125×8)2012 ×8×(-1)2014

                     =12012 ×8×(-1)2014

                     =8.

       三、符号问题:

      符号问题在幂的计算里面是一个难点,很多同学理解不透彻或者观察不仔细,就出现很多错误,还有的同学不能确定最后的答案到底带不带“-” ,就随便选择一种情况,这样做的话,当然错误率就高了。我举了两个例子:

       1、-(a2)7=-a14.这个答案就是最后结果了,因为在-a14中,14次方的底数只是a,而不包含前面的“-” ,前面的“-”照写就可以了。

       2、(-x6)2=x12.在这个计算里面,括号里面的-x6,这一部分里,6次方本来是管不到前面的“-”号的,但是括号外面还有一个2次方,这个2次方的底数是(-x6),也就是两个(-x6)连续相乘,两个“-”相乘,结果为正,再把两个x6相乘,结果为x12.

       四、变形技巧:

       1、已知44×83=2x,求x的值。

       在44×83=2x中,右边的幂的底数是2,但左边的幂的底数,一个是4,一个是8,不一样,但是4和8都可以化为底数是2的幂,从而找到思路。其实,这种题目都是这样设计的,看起来底数不相同,但是可以转化为底数相同的等式。

       解题过程是这样的:

       解:44×83=2x

           (22)4×(23)3=2x

             28×29=2x

             28+9=2x

            ∴ 8+9=x

             x=17.

       四、  书写规则:

          1、(3×102)3=33×(102)3=27×106=2.7×10×106=2.7×107.

       在这个计算过程中,最后的结果要用科学记数法来表示,如果写成27×106就不对,因为科学记数法,是把一些较大的数,表示为a×10n的形式,这里的a是一个大于等于1,而小于10的数,如果是27,那么再把27变为2.7×10,最后的结果为2.7×107.

      让同学们改完练习册上的错误后,还有点时间,就给同学们讲了一下期中考试卷上的倒数第三题。这道题之所以难,就是因为有一条辅助线如同天外飞仙,很不容易想到,但是,一旦想到,此题又非常简单。

      试卷上的第23题:如图,E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE,求证:△ABC是等腰三角形。

1.gif

       这道题要做出来,必须过点D作DG∥AC,交BC于G,因为DG∥AC,所以可得到∠DGF=∠ECF,同时还可得∠DGB=∠ACB,第二个结论在后面的证明过程中还要发挥作用。

      再加上∠DFG=∠EFC和FD=FE,根据角角边定理可以证明△DFG≌△EFC,从而可以得到DG=EC,而已知条件里有EC=DB,经过一个等量代换,可以得到DB=DG,从而可得∠B=∠DGB,前面刚好得到了∠DGB=∠ACB,所以就有∠B=∠ACB,那么AB=AC了。

       此题的关键思路,就是过点D作DG∥AC,而且这个平行在证明过程中要用两遍,同学们细心体会一下。

      这道证明题,这一次不会做,不要紧,如果下次遇到,就一定要能想到这个思路,因为只有这样做辅助线,才能利用三角形全等起到将线段转化的目的,从而将其他已知条件和要证结论联系起来。



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11月12日星期二  小雨



单项式乘以单项式



      上课后,我在两个班分别找了刘梓朗和王世豪同学背诵幂的三个运算法则,他们都背的非常正确。有了这三个法则作基础,就可以进一步去学习新的知识----单项式乘以单项式。

      单项式乘以单项式是后面整式乘法的基础,要求每个同学都要能够熟练掌握。

      我给了三分钟时间,让同学们看书,并把重点内容划下来。本节课的重点内容就是一个,单项式乘以单项式的法则,课本上用加粗的黑体字标出来了:“单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。”

      为了让同学们对这个法则真正理解,我这样进行了讲解。

      首先让同学们回忆什么叫单项式,什么叫单项式的系数?果然,很多同学回答不上来。我对同学们说:“数学与字母的乘积叫单项式,单个的数字或者字母也是单项式。单项式中的数字因数叫单项式的系数。”比如:-3a2b3c这个单项式中,系数就是-3。

      接下来,我在黑板上写了这样一个式子:“(2x)3 ”然后问同学们,这个式子的系数是什么?有同学小声地说:“是2.”这样回答就错了,因为这个式子是一个没有化简的单项式,从形式上看,是积的乘方,要用积的乘方法则化简得到8x3,系数应该是8.这种情况要特别注意,单项式乘以单项式时,一个单项式,如果没有化简,一定要先化简后,再进行计算。等会做习题时,肯定会有很多的同学在这一点上出错,也只有到时再详细指点了。

      按照课本上的程序,我举了一个例子:光的速度是3×105km/s,太阳光照射到地球上需要5×102s,求地球到太阳的距离。

      距离等于速度乘以时间,所以列式:(3×105)×(5×102),去掉括号后,可得:3×105×5×102,运用乘法的交换律和结合律,得到:3×5×105×102=15×107=1.5×10×107=1.5×108km.

      仿照这个过程,两个单项式相乘:ac5·bc2= a·c5·b·c2= a·b ·c5·c2= abc7.

      也就是把这两个单项式的系数相乘做为新的系数,同底数幂相乘,作为积的一个因式,对于只在一个单项式中含有的字母,则连同它的指数一起作为积的一个因式。

      在上面所举的这个例子里,两个单项式的系数都是1,比较特殊。课本上两个例题出现得恰到好处。

      例1、(-5a2b)(-3a)

      在这个例题中,我严格按照课本上的示范进行板书。

      解:原式=[(-5)×(-3)](a2·a)·b

      边写过程,我边背诵单项式乘以单项式的法则:系数乘以系数,同底数幂相乘,单个的字母乘在后面。最后结果为15a3b.

      例2、(2x)3(-5xy2)

      在做这个题之前,一定要看清楚,(2x)3还没有化简,这还是一个积的乘方的形式,先要把它化简为8x3,然后再用8x3乘以(-5xy2),得到-40x4y2.

      这种题目本来并不难,但是,一个做事马虎,观察不仔细的同学却是经常出错。初中数学考察的往往并不是一个同学的智商有很高,而是看一个同学是否审题细致,是否理解题意,是否识破题目陷阱。

      讲到这里后,该讲的知识点和注意事项都讲完了,接下来就是让同学们到实践中去摔打、锤炼。

      还有近二十分钟时间,就由同学们做练习册上的习题。

      我在课堂上巡视的时候,发现有些同学做事效率高,很快就做完了,而有些同学却是慢慢吞吞、拖拖拉拉、磨磨蹭蹭,就象在地主家消极怠工的长工一样,还好,他们没有破坏劳动工具。

      14班,陈龙翔、黄泽滨、黄诺秋做得很快。而且,我还发现黄诺秋的练习册已经超前做得很远了。他能这样超前学习,当然应该大力表扬,但是联想到他课堂上的表现和糟糕的成绩,我真想对他建议,还是要专注课堂,要注重基础。在课堂上认真学习,如根底浇水,在课外时间花时补习,似叶上施肥。叶上施肥,虽有效果,但不长久,根底浇水,良性循环,才是王道。

      我找了他们三个做得快的同学到黑板上演板,在快下课的时候,我进行了点评。

      有一道题是这样的:(-t)·(-2t)2·(-3t)3.

      这道题,很多同学出现错误,一是符号上出现错误,在这个题目中,是三个单项式相乘,虽然只有三个“-”,但是(-2t)2中,一个“-”却是相当于两个,在(-3t)3中,一个“-”号却是相当于三个。实际上总共有6个“-”,最后结果为正。第二个错误是33,表示3个3连续相乘,3×3×3,为27,不是9,9是32.此题的最后结果为108t6.

      还有一道题是一个混合运算:

      5a3b·(-3b)2+(-6ab)2·(-ab)-ab3·(-4a2)

      在这个题目中,首先要把积的乘方进行化简,(-3b)2化为9b2, (-6ab)2化为36a2b2,然后再用单项式乘以单项式的法则去进行单项式乘法计算。

      过程如下:

      解:原式=5a3b·9b2+36a2b2·(-ab) -ab3·(-4a2)

                   =45a3b3-36a3b3+4a3b3

      在这一步计算时,要特别注意符号问题,+36a2b2·(-ab)计算后结果为-36a3b3,-ab3·(-4a2)计算后结果为+4a3b3.最后一步:45a3b3-36a3b3+4a3b3属于合并同类项,最后答案是13a3b3.

      在13班上课时,方倩妮、郑子凯、张友成三位同学做得很快。我让他们到黑板上做题,他们三个做得很好。特别是张友成同学,以前感觉他学习上不是很积极,但今天,他的表现让我刮目相看。

      同学们,乘着现在所学的知识点还比较基础、简单,只要用一点心去听讲,都是可以搞懂的,做题时,积极高效一点,把练习册上的习题看作是自己的一份责任田,收多收少全归自己,我相信,你也可以象张友成同学一样,快速完成,并且做对得分。

      晚自习前,秦鹏同学跑来问我:“为什么a-b与b-a是互为相反数的?”这个问题,其实不只秦鹏,还有很多同学并不是很明白,我以前给同学们讲过的,a-b的相反数可以记作-(a-b),去括号后为-a+b,运用加法的交换律,可以得到+b-a,不就是b-a吗。这就说明,a-b与b-a是互为相反数的。

      面对秦鹏同学的这个问题,我想,如果还是这样讲解,他肯定过一段时间又会模糊不清,我就想换一种方法来解释。我问他:“a-b与b-a的和是多少?”

     (a-b)+(b-a)=a-b+b-a=0,两个式子的和是0,那不就说明这两个式子是互为相反数的吗?因为只有两个互为相反数的数相加才等于0.他听完之后,若有所悟。同学们,你们弄明白了为什么a-b与b-a是互为相反数的吗?再进一步,你们明白为什么(a-b)2=(b-a)2,而(a-b)3=-(b-a)3的吗?这两个式子的变形,在我们后面学习因式分解和分式化简时经常用到。



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11月13日星期三  阴



单项式乘以单项式复习巩固



      单项式乘以单项式是整式乘法的基础,单项式乘以单项式如果能够熟练掌握,后面学习单项式乘以多项式、多项式乘以多项式就会非常容易。所以,今天的课准备稍做停留,好好复习巩固一下单项式乘以单项式,最好能够让同学们一看到单项式相乘就可以说出正确答案。

      上课后,我在两个班里各找了两名同学来背诵单项式乘以单项式的法则,尽管给了两分钟时间让同学们去背,但所找的同学站起来后,还是背诵的不太熟练。我只好替同学们背诵:“单项式和单项式相乘,把系数、同底数幂相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。”

      这个法则如果能够背诵最好,但是,看到同学们背诵的这种反馈状态,我只好退而求其次了,如果同学们能够理解这个法则,会按照这个法则去做题,那也就算是过关了。

      练习册上的四基训练题,我找了几个成绩中等的同学到黑板上来做,做得还算可以。有两个计算题,在13班上课时,发现有同学算错了,我特别在黑板上进行了指正。

      1、(2x2)3·(-4xy2)

      这道题本来不难,但是有几个同学没有看到(2x2)3这个式子外面的3次方,就直接把(2x2)与(-4xy2)相乘,乘完后,还洋洋得意的左顾右盼,我用手指点了点括号外面的3次方,那几个粗心的同学才意识到错误,还有一个同学说:“啊,这里还有一个3次方啊。”

      我不禁想起也是这个同学,在以前上课时,就因为没有看清题目而做错,当我指出他的错误后,他也是说的这句话。这种顽固性错误已经不是知识掌握上的了,而是心态、习惯、性格上的了。对于这种问题,至少在目前这种状况下,我没有什么好的扭转办法,只求关键性的考试中,这样的同学不要或者尽可能少的出现这种低级错误。

      这个题目应该是先把(2x2)3按照积的乘方法则进行化简,得到8x6,然后,再用8x6这个单项式和(-4xy2)这个单项式相乘,最后结果为-32x7y2.

      2、12ab·3a2b-a2b·(-3ab)

      在这个题目中,实际上是两组单项式相乘。12ab·3a2b,结果为36a3b2. -a2b·(-3ab),结果为+3 a3b2,然后再把36a3b2与+3 a3b2,连接起来。这里,有一个地方很不好理解,就是符号问题,在-a2b·(-3ab)中,前面的“-”到底是减号还是负号。

      “-”在初中数学里有两种含义,一种是运算符号----减号,另一种是性质符号----负号。我们读上面的题目是时,可以读着减去a2b乘以(-3ab),但是你如果只算a2b乘以(-3ab),得到-3 a3b2,就要用前面12ab·3a2b算出的结果36a3b2减去-3 a3b2,也就是:36a3b2-(-3 a3b2)化简为36a3b2+3 a3b2。这种思考方法很是繁琐,不如直接把a2b前面的“-”理解为负号,那么就是-a2b这个单项式与(-3ab)相乘,结果是+3 a3b2,这里,之所以要在前面添一个“+”,是为了把前面12ab·3a2b算出的结果36a3b2和+3 a3b2连接起来时方便而用的。

      可能很多同学看到这个段落后已经完全搞糊涂了,那就看看标准的解题过程吧。

      解:原式=36a3b2+3 a3b2

                   =39a3b2.

     搞定,结束,得分。好好体会一下,只强调一点:“-”在运算过程中,一号不能两用,也就是说,看做了负号,就不能再看作减号了。读完这句话后,如果又搞糊涂了,那就当我没说吧。

      练习册上的常规题讲完后,拓展升华里面有两道难题,我给同学们进行了讲解。难题能够搞懂,做对,对于同学们更好的理解幂的运算法则和单项式乘单项式有很大的好处。

      1、  已知(-5xm+1y2n+1)·(2xm-1yn)=-10x4y4,求m-n的值。

      等式左边是一个单项式乘以单项式,只不过,在两个单项式里,指数比较复杂,是用字母表示的。用单项式乘以单项式的法则来计算一下,可得:

      解:-10x(m+1)+(m-1)y(2n+1)+n=-10x4y4

             -10x2my3n+1=-10x4y4

      接下来,有一个关健的数学思维方法,在等式左边和右边的两个式子中,系数完全一样,底数也都是x和y,只是x和y的指数不一样,而这两个单项式是一定相等的,那么只有一种可能,就是x的指数与x的指数一定相等,y的指数与y的指数一定相等,所以,就得到:

      2m=4和3n+1=4,从而得到m=2和n=1.

       m-n=2-1=1.

       这种思维方法在以后多项式乘以多项式里的很多思考题里,都会应用到,用心领悟。

       2、  已知am=3,求(2a)m·(0.5a)m的值。

      (2a)m与(0.5a)m相乘,而这两个式子的指数都是m,所以,首先就要把积的乘方法则反过来用。(2a)m·(0.5a)m=(2a·0.5a)m=(a2)m=(am)2=32=9.

      在上述过程中,(a2)m=(am)2是成立的,因为两边都等于a2m.

      讲到这里后,让同学们把这几道题都做完了,还剩下十分钟时间。一时间,没有什么任务了。我就叫同学们拿出期中考试的试卷,把其中错的较多的又比较重要的几道题目进行了讲解。

      在选择题里,有一题错误率很高,达到50%,这道题是这样的:

       一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,那么这两个角之间的关系是(        )

         A、相等    B、互补    C、相等或互补    D、无法确定

       对于这道题,我从两个方面进行了讲解:

      一、从做选择题的技巧上来说,A、B、C、D四个选择项,除了D选择项属于是来打酱油的,没有什么实际价值之外,其它三个选择项,A是相等,B是互补,C综合了前两种情况,相等或互补。从答案的完整性和全面性上来说,C答案领先一筹。如果没有其他的证据,那么C答案应该被我们钟情心仪。我做了这么多年的初中数学选择题,基本上绝大多数情况下,都是选择两种情况都涉及到了的这种答案,除非有确凿的证据证明两个答案中,有一个答案确实不符合题意。但这种情况少之又少。

      二、从知识点上来说,两个角相等,可以很容易的画出这样一个示意图,比如:

2.gif

      在这个图形中,∠A的两条边AC和AD与∠B的两条边BF和BE分别垂直,垂足分别为点N和M,又由于∠1=∠2,所以可得∠A=∠B。

      这个图,说明,如果一个角的两边与另一个角的两边互相垂直,那么这两个角是相等的。那么有没有另外一种情况,一个角的两边与另一个角的两边互相垂直,而这两个角是互补的呢?

      如图:



    3.gif

  

      ∠A的两条边AC和AD与∠B的两条边BF和BE互相垂直,垂足分别为点N和M,由于四边形AMBN的内角和为360o,再由于∠ANB=∠AMB=90o,所以∠A+∠B=360o-90o-90o=180o,也就是说,∠A和∠B互补。

所以,这个选择题应该选择C,相等或互补。  

      接下来,我再来出一道选择题,同学们思考一下,答案应该选择哪一个。

      一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角之间的关系是(        )

         A、相等    B、互补    C、相等或互补    D、无法确定

      呵呵,能否在一秒钟之内告诉我,答案是什么吗?

      当然也要注意,这种选择题,并不是都去选两种情况的哪一个答案,比如:

      一个等腰三角形的周长是10,一条边是2,底边是(      )

        A、2    B、6   C、2或6    D  不能确定

      这里,就不能选择C,因为底边为6,腰为2不符合三角形的三边关系,是构不成三角形的,这道题目因为有确凿的证据证明选项C是错误的,所以不能选C,只能选A。除了这种类型的题目之外,其他类型的涉及到两种答案的选择题,几乎都是选择有两个答案的那一个选择项。同学们以后可以反复验证。

      又讲了试卷上另外几道重要的题目,就到了下课时间了。



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11月14日星期四  阴



单项式乘以多项式



      上课后,在13班、14班各找了两个同学背单项式乘以单项式的法则,这一次,背的比昨天要熟练多了。我又在黑板上随便写了两个单项式乘以单项式的计算题,点了两个同学,都能快速的说出答案。这种效果就是我想要的,因为单项式乘以单项式能够不假思索,就把正确答案脱口而出,那么,学习单项式乘以多项式和以后的多项式乘以多项式就容易多了。

      今天这节课,没有给时间让同学们去看书,因为我对课本上例题中的单项式乘以多项式的步骤书写不是很满意。课本上的例题是严格按照书上的单项式乘以多项式的法则进行的,也就是用单项式乘以多项式的每一项,再把这得的积相加。这样做本来没有什么问题,但是有些同学极容易在运算符号上出错误,为了让书写过程简捷,让同学们不要在运算符号上理解不清,我想按照自己的方式去讲授书写格式。当然,这需要同学们对单项式乘以单项式非常熟练。这也是我在前面花了三节课的时间反复训练单项式乘以单项式的原因。

      首先,我从一道简便运算题入手讲解。

      计算:12×( )

      同学们都知道,用乘法的分配律把12与括号里的每一个数相乘,这样可以简便计算,小学里,这种题目学生经常做。

      我按照同学们所说的方法开始计算:

      解:原式=12× -12× +12×

                   =6-4+3

                   =5

      单项式乘以多项式与乘法分配律差不多,我举了一个最简单的单项式乘以多项式的例子:m(a+b+c),问同学们,这道题该如何化简呢?

      有了上面那道简便运算题做铺垫,同学们都能立即答出结果应该等于ma+mb+mc,就是用m这个单项式分别与多项式里的三项依次相乘,m与a相乘,得ma,m与+b相乘,得+mb,m与+c相乘,得+mc,然后把ma,+mb,+mc连接在一起就可以了。

      过程为:m(a+b+c)= ma+mb+mc。讲到这里后,我又画了一个长方形,利用面积进行验证。

      一个长方形,长为(a+b+c),宽为m,这个长方形的面积有两种计算方法,从整体上看,等于长(a+b+c)乘以宽m,即:m(a+b+c),从局部来看,面积为三个小长方形面积的和,第一块长方形的面积为ma,第一块长方形的面积为mb,第一块长方形的面积为mc,合起来就是ma+mb+mc,这样就从几何意义上解释了m(a+b+c)= ma+mb+mc。

      通过这个过程,可以总结出单项式乘以多项式的法则:单项式与多项式相乘,用单项式与多项式中的每一项分别相乘。在黑板上写到这里的时候,我就打上了句号,并且,让所有的同学把课本上法则的最后一句话删除了。删除的这句话是:“再把所得的积相加。”课本上有了这句话后,当然显得更加准确,但是,一些理解能力不是很强的同学和悟性不是很高的同学在做题的时候,会由于这句话而糊里糊涂,无所适从。象身体内部的阑尾一样,当它影响到身体健康的时候,不如切掉。

      我先在黑板上举了一个简单的例子:3x(5x2+2x-1)让同学们做。对照黑板上我总结的法则,先用单项式3x分别与多项式中的每一项相乘。在5x2+2x-1这个多项式里,共有三项:5x2,+2x,-1,先用3x乘以5x2,由于前面对单项式乘以单项式训练了很长时间,同学们都能立即说出答案为15x3,再用3x乘以+2x得+6x2,用3x乘以-1,得-3x.

      在黑板上写过程时,我没有象课本上的例题那样,写单项式3x与多项式里的每一项相乘的详细过程,而是直接写出他们乘得的结果。

      解:原式=15x3+6x2-3x.

      直接搞掂,一点儿也不拖泥带水。

      讲完这个简单的单项式乘以多项式的例子后,我对同学们说:“我们在练习册上遇到的,在试卷上考试的题目,并不都是象刚才这样的题目一样单纯、善良,而是象凶残的敌人一样,很狡猾,很隐蔽。要想战胜这样的敌人,我们要具备一双慧眼,知道该怎么正确地去做。我又在黑板上举了两个例子。

      1、(3a2b-2ab2+5a)·(-2ab)

      这道题,也属于单项式乘以多项式,只不过,多项式在前面,单项式在后面,我问同学们,这种题目该如何处理。同学们都说,用乘法的交换律将(3a2b-2ab2+5a)与(-2ab)调换一下位置,就可以按照前面所讲的方法去算了。

      解:原式=(-2ab)·(3a2b-2ab2+5a)

                   =-6a3b2+4a2b3-10a2b

      在算(-2ab)与(3a2b-2ab2+5a)的每一项分别相乘时,担心同学们一时不能直接写出答案,我还在题目的旁边专门写出了(-2ab)·3a2b,(-2ab)·(-2ab2),(-2ab)·5a,同学们对单项式乘以单项式非常过关了,这些计算没有什么问题。

      2、(-2x)3·(3x2-2x+1)

      这道题目倒没有什么难的,只不过有一个小陷阱,我问13班的同学,这个小陷阱设在哪里?同学们都能立即回答,要先把(-2x)3按照积的乘方法则化简为-8x3,再用-8x3分别与多项式中的每一项相乘,千万不能用-2x与多项式中的每一项相乘。同学们能够这样回答,已经不需要我做出任何强调了。

      接下来,就让同学们做练习册上的习题。

      练习册上的习题与我在黑板上所讲的例题都差不多,没有什么难的,只是有一个题需要注意。

      (-2a)(3a2-4a-1)-a(-6a2+5a-4)

      这道题实际上是两组单项式乘以多项式,先算出(-2a)(3a2-4a-1),得-6a3+8a2+2a,再算出-a(-6a2+5a-4),这个地方在计算的时候要特别注意,最后的方法是把单项式-a与多项式(-6a2+5a-4)中的每一项分别相乘,乘出的结果依次写下来即可,即+6a3-5a2+4a。过程如下:

      解:原式=-6a3+8a2+2a+6a3-5a2+4a

      接下来,合并同类项即可。在这里,我知道很多同学的小脑袋瓜里在想一个问题,(-2a)(3a2-4a-1)与a(-6a2+5a-4)不是相减的关系吗?可减号到哪里去了呢?

      对啊,减号到哪里去了呢?

      同学们,这里的减号“-”被我们看作是负号,也就是-a中的“-”,然后用-a与-6a2+5a-4中的每一项相乘,将所得结果依次写下来就可以了。相信我,这样做是绝对没错的。

      在14班讲完这道题后,还有多余的时间,我又举了一道更容易出错的例子:

      (-2a)(3a2-4a-1)-(-6a2+5a-4)(-3a)

      在此题中,(-2a)(3a2-4a-1),这里的计算没有什么问题,但关健的是-(-6a2+5a-4)(-3a)该如何理解计算呢?

      在-(-6a2+5a-4)(-3a)这一部分里,我对同学们讲,这里也是单项式乘以多项式,只不过单项式(-3a)跑到多项式(-6a2+5a-4)的后面去了,而且,前面还有一个“-”,怎么处理最好呢?

      我这样讲道:“可以将-(-6a2+5a-4)(-3a)利用乘法的交换律变形为-(-3a) (-6a2+5a-4),再把-(-3a)变为+3a,那么,原题就可以这样变形:

      解:原式=(-2a)(3a2-4a-1)-(-3a) (-6a2+5a-4)

                   =(-2a)(3a2-4a-1)+3a(-6a2+5a-4)

                   =-6a3+8a2+2a-18a3+15a2-12a

                   =-24a3+23a2-10a

       在+3a(-6a2+5a-4)里,实际就是用+3a分别与多项式(-6a2+5a-4)里面的每一项相乘,得到结果-18a3+15a2-12a写在后面即可,最后合并同类项得到答案为-24a3+23a2-10a。

      这道题,如果不这样做,很多同学会在符号上面死跷跷的。以前我所教过的学生里面,每次考试几乎都有一半的同学中招。

      同学们,你们可一定要注意模仿啊。要想另辟蹊径、固执己见,可以放在平时作业中,考试时,可一定要按照我所讲的这种方法去处理。

      唉,如果不这样处理,后果自负的话,我也不想多说了,自己看着办吧。

      14班的同学把练习册做得很快,在拓展升华里面有一道思考题,同学们怎么思考都找不到思路。这道题是这样的:

      已知代数式(-2x2)(3x2-ax-6)-3x3+x2中不含x的三次项,求a的值。

      代数式不含x的三次项,是指化简后的结果里不含x的三次项,而不是题目所给的式子里不含x的三次项。那就把代数式化简吧。

      解:原式=-6x4+2ax3+12x2-3x3+x2,

      在这里,不含x的三次项,我们来看一下,与x的三次项有关的只有两项:+2ax3和-3x3,这两项如果合并一下,就是(2a-3)x3。这里又要特别注意,+2ax3和-3x3要想合并,需要把a看作是已知数,+2ax3的系数就是2a,-3x3的系数是-3,把系数相加为(2a-3),x3写在后面。至于其他x的四次项和x的二次项都是来打酱油的,不关他们的屁事,不过还是要把它们中的同类项合并一下。

      原式=-6x4+2ax3+12x2-3x3+x2,

            =-6x4+(2a-3)x3+13x2

      因为题目说了代数式不含x的三次项,所以(2a-3)x3必须消失,那怎样做才能让(2a-3)x3凭空消失呢?只有让(2a-3)等于0,那么(2a-3)x3就等于0了,也就是不含x的三次项了。

      所以,由题意可得:2a-3=0,解出这个方程,得a=1.5。

      在后面学习多项式乘以多项式的时候,还会遇到很多这样的思考题,都是运用这种思考方法得到思路的。

      晚自习时间,做得快的同学把练习册做完后,就开始做导学案上拓展提升部分的思考题。这些思考题与课本知识契合紧密,又有一定的技巧性,对于开阔思路,启发智力非常有好处。建议学有余力的同学可以去做一下导学案上拓展提升部分的思考题。

      有几个同学遇到这样一道题目,问我应该如何思考。

      1、  若m2+m-1=0,求m3+2m2+2013的值。

      由m2+m-1=0移项可得:m2=1-m,那么,只需要把m3+2m2+2013里面的m2化为1-m即可,在计算过程中,如果出现了新的m2,继续化为1-m,一直不停的化下去,降低次数,最后,只剩下m的一次项,可想而知,这些m的一次项一定可以合并抵消掉。

      什么?不能合并抵消掉?那一定是你计算错了。

      m3如何处理?

      m3不是可以变形为m2·m的吗?

      解:∵m2+m-1=0,

            ∴m2=1-m,

            ∴ m3+2m2+2013=m2·m+2m2+2013

                                       =(1-m)·m+2m2+2013

                                       =m- m2+2m2+2013

                                       =m+m2+2013

                                       =m+(1-m)+2013

                                       =1+2013

                                       =2014



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发表于 2013-11-23 18:04:38 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-11-23 18:07 编辑

11月15日星期五  晴



多项式乘以多项式


      上课后,继续找同学背诵昨天所学的单项式乘以多项式的法则。在13班上课时,找得是邓竣升同学,他背的很好:“单项式与多项式相乘,就是用单项式与多项式的每一项相乘。”在14班找了连家乐同学来背,他背的吱吱唔唔,很不熟练,直到又找了何少元同学来背,才非常流利的背出来了。

       接下来,我仍然没有给时间让同学们看书,而是直接开讲。因为我想让同学们学会我所教的那种多项式乘以多项式的方法。

      在所找的同学把单项式乘以多项式的法则完整地背出来后,我在黑板上写了一个简单的计算:m(a+b),同学们马上脱口而出:m(a+b)=ma+mb.

      我把m换成一个多项式(p+q),就得到(p+q)(a+b),仿照前面单项式乘以多项式的方法,把(p+q)看作一个整体,相当于m,然后用(p+q)分别与a+b中的两项a和b相乘,得到(p+q)a+(p+q)b。接下来,再用单项式乘以多项式的法则展开化简得到ap+aq+bp+bq.

      整个过程为:(p+q)(a+b)= (p+q)a+(p+q)b= ap+aq+bp+bq.

      课本上是用一个几何图形引入的。一个长方形的长为a+b,宽为p+q,从整体上看,长方形的面积可以表示为(p+q)(a+b),从局部来看,这个长方形的面积可以分为四个小长方形,这四个小长方形的面积分别为ap、aq、bp、bq.也就是说,大长方形的面积有两种表示方法,它们是相等的。即:(p+q)(a+b) = ap+aq+bp+bq.

      从代数的角度和从几何的角度都可以得到(p+q)(a+b) = ap+aq+bp+bq.分析、归纳、总结一下,就可以得到多项式乘以多项式的法则:多项式与多项式相乘,把第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项分别相乘。

      课本上的法则最后还有一句话, “再把所得的积相加”,被我删除了。删除了这句话,但法则里面的精华部分仍然保留着,做题时,只需把多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘,将所乘得的结果依次写下来即可,简洁迅速、方便高效。

       我举了三个例子说明这个法则该如何运用。

       1、(m+n)(a+b)

      这是最简单的一个例子,我在这个式子的上下两边分别画上箭头,让同学们看清楚第一个多项式的每一项是怎样与第二个多项式的每一项分别相乘的。在式子的上面,我将箭头从m分别画到a和+b,在下面,我将箭头从+n分别画到a和+b,分别相乘就得到答案am+bm+an+bn.过程与课本上的过程差不多,后面再做其他多项式与多项式相乘时,我都是这样处理的。第一次做多项式乘以多项式的计算题,还是讲清楚计算过程更好一点,扎实基础就是这样练成的。

       2、(x2y-xy)(xy2-x)

      数学里总是有很多题目,并不都象第一小题那样单纯、简单,比如这一小题,多项式里的每一项都较复杂,而且,还涉及到“-”的问题。

      这种题还是按照多项式乘以多项式的法则进行,先用第一个多项式里的第一项x2y乘以第二个多项式里的每一项,x2y乘以xy2得x3y3,x2y乘以-x得-x3y,再用第一个多项式里的第二项-xy乘以第二个多项式里的每一项,-xy乘以xy2得-x2y3, -xy乘以-x得+x2y,合起来就是:

      解:原式= x3y3-x3y-x2y3+x2y

      只要单项式乘以单项式过关了,象这样的多项式乘以多项式可以一步搞定。

       3、(x-y)(x2+xy+y2)

      这道题与前两道题不同的地方在于,用多项式乘以多项式的法则展开后,会出现同类项,需要把同类项合并,进一步化简。过程如下:

      解:原式=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3

                   = x3 -y3

      讲完这三个例题后,就让同学们做练习册上的习题。

      同学们做完我所指定的题目后,我重点讲解了两道题。

       1、  计算:5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5)

      在这个题中,有两组乘法运算,而且,中间是用“-”号连接的,这种情况需要特别注意。为了不出现常见的符号错误,在计算时一定要把两组乘法计算的结果用括号括起来,下一步再去括号。我以前所教过的学生,做这种题目,大部分同学出现的错误都是因为不按照规范操作而导致的。他们总是想图简便把几个步骤合在一起写,结果却是做错。不仅没有节约任何时间,而且还让自己的分数一下子少掉六、七分,在关键性的考试中少掉这些分,可是要人命的啊。

      同学们,做这种题目时,一定要注意把乘得的积为括号先括起来,退一万步来说,就算你最后的答案算错,也可以凭这一步得到2分的步骤分。孰优孰劣,同学们自己分辨。

      详细的解题过程为:

      解:原式=(5x3+10x2+5x)-(2x2-10x+3x-15)

                   =5x3+10x2+5x-2x2+10x-3x+15

                   =5x3+8x2+2x+15

       2、(x+3y)2

      这道题本来可以利用后面学习的完全平方公式直接写出结果,但是现在,在没有学习完全平方公式之前,我们可以把(x+3y)2转化为(x+3y)(x+3y),然后再用多项式乘以多项式的法则来算。后面要学的完全平方公式其实也是这样算出来的,只不过是把最后的结果强行记住了并且作为一个公式在用而已。

      这道题,我在两个班各找了一个同学到黑板上去做,不约而同地,两位同学都算错了,他们错误的结果为x2+9y2.那么正确结果到底是什么呢?请看详细过程:

      解:(x+3y)2=(x+3y)(x+3y)

                        = x2+3xy+3xy+9y2

                        = x2+6xy+9y2

      在黑板上演板的同学之所以错误,就是因为他们忽视了第一个多项式的x要与每二个多项式的+3y相乘,得+3xy, 第一个多项式的+3y要与每二个多项式的x相乘,也得+3xy,这两项合并后就为+6xy.

      同学们做完练习册上的习题后,我补充了一道思考题让同学们做。题目是这样的:

      补:已知(x+3)(x-a)不含x的一次项,求a的值。

      昨天在课堂上曾讲过一道类似的题目,也是象这样一个代数式,化简后的结果不含x的某一项,求a的值。

这种题在期末考试中经常在选择题里面出现,再复杂一点的类似题就喜欢在数学竞赛里面出现。

       由于这种题的思路已经讲过了,我想看看效果如何,就在两个班分别找了两位同学来做。在13班上课时,找的是王志钊,在14班上课时,找的是姜云清同学,这两位同学做得都很好。

      下面是该题详细的解答过程:

        解:(x+3)(x-a)=x2-ax+3x-3a

              ∵原式不含x的一次项

              ∴-ax+3x必须为0

              ∴-a+3=0

                  a=3

      为了便于理解,在这个解题过程中,我没有把x2-ax+3x-3a合并同类项,如果合并,就是x2+(-a+3)x-3a,一样可以象上面那样写。

      课堂上还有15分钟时,就让同学们做练习册上的四基训练题,当堂完成,下课后立即上交检查。

      这一周的教学工作就这样结束了。






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发表于 2013-11-25 08:55:23 |显示全部楼层
真是一位细心且风趣的老师,一定是位好的数学老师。

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发表于 2013-11-29 10:59:18 |显示全部楼层
大师级啊!
感受颇深,谢谢!

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