搜索
楼主: lqhmzp

[原创] 我这样教数学(日记连载) [复制链接]

Rank: 2

威望
0
注册时间
2013-11-5
积分
33
精华
0
帖子
32
发表于 2013-11-29 11:02:55 |显示全部楼层
读后..............

使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-1 09:46:34 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-12-1 09:49 编辑

1117  星期日  


家长会和晚自习小测验


       今天下午,学校举行期中考试后例行召开的家长会,在两个班的家长会上,我就数学学习方面的问题与各位家长进行了交流。

        一、初二数学学习的重要性。

       初中数学知识进入初二后,突然加深变难,很多几何题由具体的形象思维变为抽象的逻辑思维,代数题也变得繁复难做,很多同学一下子没有适应过来,导致学习成绩进入初二后有一个下降,这是一种正常现象。一般来说,只要现阶段打好基础,力争不掉队,到了初三,现在所学的知识,每个人都是可以搞懂的,到了初三总复习时,每个同学都不会丧失冲刺备考的机会。

        二、提高孩子数学成绩的因素。

       这一点,各位家长最为关心,就我多年来的观察、分析,要想孩子的数学成绩好,影响因素有这样一些,从内因上来说,有以下四点:

        1、沉稳的性格。孩子如果具有一个沉稳的性格,学好数学无疑就具备一种先天的优势。因为数学中的很多计算,如果能够做到沉着镇定,细心计算,才能正确得分。如果孩子毛毛躁躁,做事匆忙,一道数学计算题,一般有十多处计算,只要有一处出错,就不能做对得分。

        2、灵活的思维。一个学生,如果大脑特别聪明、思维特别灵活,他的数学成绩一般不会差,就算他在某道计算题上出错,但他也能在其他数学题目中凭着自己的聪明机智和灵活思维将分数拿到,从而将成绩扳回。

        3、扎实的基础。现在的数学考试,大部分题目都是考基础,10%的数学题目有一定的难度,要考智力,要考以前在学习过程中是否练过。但这部分难题对所有的同学都一样,我难你也难,而且,一道题目,恰好以前练过的可能性非常低。这样一来,数学成绩的高低实际上就是比拚的数学基础,谁的数学基础好,谁就能在数学考试中取得比他人优异的成绩。

      前面三点如果都能具备的话,数学成绩一定会很好。如果恰好这三点都不具备,该怎么办呢?现在班级里就有一些这样的同学,特别是在13班这个普通班里。那就只有最后一个因素了。

       4、勤奋的努力。勤能补拙是良训,一份辛劳一份才。据科学研究表明,绝大部分孩子的智商都差不多,在100分左右,可为什么在学习成绩上,却有着巨大的差距呢,就是因为他们所付出的努力有着巨大的差距,有的同学遇到不懂的问题,马上去问老师,而有的同学,一到下课,就想着如何去玩,甚至上课也思想开着小差,更别说他能主动地去做题,主动去纠正自己的错误了。

      以下四点内因,是学生提高学习成绩的决定性因素。另外从外因上来说,也有三个方面的因素。

        1、家长的严厉要求。家长如果重视学生的成绩,看重孩子的分数,那就要明确无误地告诉他,而不是拿着现今社会上流行的各种素质教育理论去为孩子开脱辩解。再说,现今流行的很多素质教育理论也是处于一种争鸣状态,比如“快乐比分数重要,成长比成绩重要”象这样正确的废话我不想去争论,我只想说一句,难道分数高的孩子就不快乐吗?难道成绩好的学生就没有成长吗?而且恰好,这样的孩子就是以取得高的分数作为自己最大的快乐,获得好的成绩作为自己健康的成长。当然,一个孩子尽力了,但分数不高,又另当别论,但这种现象少之又少,就算有,也不能以偏概全。而现实的情况却是大部分孩子成绩不好,是因为他们没有努力。

        2、老师的严格要求。当现今各种新潮的教育理论充斥于各种教育市场的时候,还好,每一位一线的教师都还能保持清醒的头脑,他们知道,对孩子要严格要求,对学生要规范操作,要去培养孩子学习的能力,要去训练学生得分的能力。这种能力,就算多年之后,他们已经完全忘记了数学学习上的那些基础概念和基本运算,但是,这种能力却是可以伴随他们终身的。当他们遇到陌生的环境,当他们处于一个全新的局面,他们可以凭着自己高超的学习能力迅疾立稳脚跟,他们可以凭着自己良好的得分能力,马上迎面赶上。

        3、还有一个因素,可以短时间提高学生的成绩,尽管这个因素只是在治标,尽管这个因素只是在催肥学生,但是,多年来的实践也确实证明这是一种行之有效的办法,就是一对一的家教辅导,找一个有教学经验的老师,对自己的孩子在固定的时间里一对一的单独辅导必考知识点。让他对于这些必考知识点形成一种技能,一看到那道题,就知道如何去思考,怎样避开陷阱。现在的教育从很大的程度上来说,就是一种应试教育,那就从应试的角度上,采用时间加汗水的方式,去强化培训,去巩固提高。采用一对一的家教辅导,来提高孩子的数学成绩,这是一种没有办法的办法,不到最后关头,最好不启用。

       总之,老师和家长的心情是一样的,就是希望每个孩子都能进步,每个学生都能取得优异的成绩,让他们在我们的手上,在初中的这三年里,有一个好的积累,有一个好的基础,让他们在中考中能取得满意的成绩,能升入理想的高中,保留一份进入理想大学的期盼。

      今天的晚自习时间,每个班都只有二十分钟,上一周我就计划好了,这个时间进行一次单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的小测验。

      小测本上的题目,在考试之前,我都看过,非常的简单,题量也不大,我又补充了上一周曾经讲过的两个题型,看一看同学们是否都掌握了。

      在13班考试时,我点了六个成绩较为落后的同学直接把小测本交到我这里来,其他同学上交到课代表处。

      下课休息时,我当着这六个同学的面直接批改。情况很不乐观,尽管这些题非常的简单,补充的题目上一周也曾经讲过,但这六个同学没有一个全对。

       对于他们的错误,一个一个地当面给他指出来,再让他改错。其中方伟同学有一个错误非常的典型。有一个多项式乘以多项式,展开后,结果里面有这样两项:–y2+9y2。这两项是同类项,需要合并,可方伟同学居然不知道这两项是同类项,他忘记了初一所学的同类项的概念。

       什么是同类项呢?“所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。”

      在–y2+9y2两项中,所含字母都是yy的指数都是2,所以它们是同类项,需要合并起来。

      我问方伟,–y2+9y2应该如何合并。方伟同学看了片刻之后,说:“等于–9y2”。

      我望着他好一会儿,又低下头想了很久,不明白他这个答案是如何得来的,就问他,为什么等于–9y2?方伟同学说:“–y2+9y2就是–y2+9y2相乘,–1乘以+9不是–9吗?还有y2写在后面啊?”

      糟了,他完全搞混了。

      我对他这样说:“–y2+9y2是–y2+9y2的和的意思,也就是这两项相加,不是这两项相乘,如果是这两项相乘,不是这样写的。

      –y2+9y2相乘应该写成‘(–y2)·(+9y2)’的形式。”

      –y2+9y2是–y2+9y2这两个同类项的和,如何合并呢?我问道。方伟摇摇头。“就是把他们的系数相加作为新的系数,字母和字母的指数不变。”

      我接着问,–y2+9y2的系数是多少,他答道:“前面一项的系数是–1 后面一项的的系数是+9”。两个系数合并,就是–1+9,结果是多少呢?我又问。他马上回答:“-10”,我抬起头定定地望着他好几秒钟,他才改口说:“8”。

      我再一次地体会到了“任重道远”的含义是什么意思。我语气平静地对他说,这一次,你答对了。–y2+9y2的最后结果是+8y2

       他完全是把很多的知识点搞混了,就算我现在把他教明白了,过一段时间,他又会出现这样或者那样的错误。象这样的同学做简单的计算题能否做对得分,取决于他当时大脑里一瞬间的思维方向,完全是由运气控制着他能不能做对一道题。难怪这些同学再简单的试卷也只能考很低的分数。

      在上一周我的博文评论里,方伟同学评论:“学了这么多法则,说实话都搞乱了,一道题都不知道哪个跟哪个了,看来以后要多下点功夫 。”

      方伟同学能这样评论,说明他非常的坦诚和自知,现在要想提高成绩,真的是要多下点功夫了。要把自己搞混了的知识点和做错过的计算题及时理清楚和记录在小本子上,每隔一段时间,就拿出小本子出来翻看一下,不明白了更要立即去问老师,否则,这样的小问题,是会在考试里酿成大灾难的。

      希望和方伟一样的同学都能养成好的学习习惯和掌握一种好的学习方法,他人救你,只能救一时,唯有自救,才能救一世。



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-1 09:49:38 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-12-1 09:52 编辑

1118  星期一  



单项式除以单项式



       同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式在练习册上有三节课的习题,但是在课本上却只有一节课的内容。本节教学内容,类比前面所学的同底数幂的乘法和单项式乘以单项式、单项式乘以多项式的教学内容,比较容易掌握。我决定采用一个折中方案,用两节课的时间来教学这部分内容。

      课本上是用逆运算的方法讲解同底数幂的除法法则,我也打算用这种方法来讲。

      在14班上课时,首先,提问了同学们,同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。用字母表示:am·an=am+n.

      同学们边答我边把这些内容写在黑板上,以便等会儿与我写的同底数幂的除法法则对比记忆。

      我在黑板上写了两道简单的同底数幂的乘法题,同学们立刻说出了答案。

      1、102×103=105

      2、am-n·an=am-n+n= am.

      这两道题非常的简单,但关键的是由这两道题运用逆运算的方法总结出同底数幂的除法法则。

      在第1题中,102与103相乘,得到积为105,根据乘法与除法互为逆运算的知识,就可以得到105÷103=102,最后的结果底数为10,指数为2,这个指数2可以看作是被除数的指数5减去除数的指数3得到的。即:105÷103=105-3=102,

      在第2小题中,am-n·an=am-n+n= am.根据逆运算的知识,积am除以因数an,结果就等于另一个因数am-n,即:am÷an=am-n.

      这样就得到了同底数幂除法的法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减。这个法则与同底数幂乘法的法则刚好相反。

      接下来,在黑板上举了三个例子。

      1、  x8÷x4=x8-4=x4.

      2、  (ab)6÷(ab)4=(ab)6-4=(ab)2=a2b2。

      3、  104÷104=104-4=100

      在第三个式子里,104÷104按照同底数幂相除,底数不变,指数相减的法则,应该等于100,可这里的指数为0是什么意思呢?

      我又接着讲,104÷104也就是10000÷10000的意思,最后结果为1,这就说明100与1表示的是同一个式子104÷104的结果,换句话说:100=1.

      推广到一般的例子,a4÷a4=a4-4=a0,又因为a4÷a4=1,所以可以得到a0=1。讲到这里,我问同学们,这里的a有一个值不能取,这个值是什么?为什么?

      同学们思考了一会儿,有一个同学说,a不能等于0,因为,一旦a=0,在a4÷a4这个式子里,除数a4就是0了,而除数为0是没有意义的,为了保证不出现这样的无意义的式子,必须在a0=1的后面加一个限制条件a≠0.

      这位同学解释的很好,已经不需要我做更多的解释了。我只是再黑板上写下了“a0=1(a≠0)。”

      讲完这个法则后,给了五分钟时间让同学们作练习册上的习题,这些题目都较简单,同学们做得很快。有一道解答题要逆用同底数幂的乘法法则和除法法则,同学们也做得很好。这道题是这样的:

      已知3m=6,3n=-3,求3m+n的3m-n的值。

      解答过程为:3m+n=3m·3n=6×(-3)=-18.

                         3m-n=3m÷3n=6÷(-3)=-2.

      离下课还有十分钟时间,我按照课本上单项式除以单项式的过程对同学们进行了讲解。

      因为4a2x3·3ab2=12a3b2x3,根据逆运算的知识,可以得到积12a3b2x3除以因式3ab2结果等于另一个因式4a2x3,即:12a3b2x3÷3ab2=4a2x3。观察这个单项式除以单项式的过程,最后的结果4a2x3是如何计算出来的呢?

      系数4可以看作是被除式的系数12除以除式的系数3得到的,a2可以看作是被除式中的a3除以除式的a得到的,被除式中的b2除以除式中的b2等于b0,也就是1,因数为1,省略不写。在被除式中还有一个因式x3,除式里没有含x的因式,就把只在被除式中含有的x3,作为商的一个因式。总结一下,可以得到单项式除以单项式的法则:单项式相除,把系数相除作为商的系数,把同底数幂相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。

       讲完单项式除以单项式的法则后,又举了一个具体的单项式除以单项式的例子,就让同学们开始做练习册上的习题。对比前面所学的单项式乘以单项式的习题,这部分习题只是运算方法上出现了一点变化,其他的没有什么特别的地方。同学们都做得很快。我在对答案时,只是讲解了两个小题:

      1、(6×108)÷(3×105)

      这个题是两个科学记数法的数相除,与单项式除以单项式是一样的,用6除以3的结果作为系数,108除以105的结果作为商的因式,最后结果为2×103.

      2、(3a2b)3·(-8a2b3)÷(-2a2b2)2

      在讲解这道题之前,我问同学们,这道题有个地方特别容易出错,有谁知道是什么地方吗?在13班上课时,王中元同学离黑板最近,他看了一会儿,立马就说,此题有两个陷阱,有两个式子是积的乘方的形式,没有化简,要先把这两个式子化简为普通的单项式,再去计算。

      我点了点头,如果能把这两个陷阱看清楚,这个题目应该就不会错了。

      解:原式=27a6b3·(-8a2b3)÷(-8a4b4)

                   =-216 a8b6÷(-8a4b4)

                   =27a4b2

      昨天晚自习做的小测本,我批改了之后,发现很多同学都做错了,14班同学和13班同学的错误又有一些不同,14班的同学大部分是因为计算粗心,书写马虎而出错,这只需要把小测本发给他,让他们自己去更正就行了,而13班同学的错误则是出在基本概念和以前的数学知识点没有搞清楚上面,问题比较大,需要一个一个地指点过关。我在叫这些做错的同学来改错的时候,发现谢扬波同学特别积极,主动帮我叫这些做错的同学来我的办公室里改错,可给我省了不少的力。我当即决定,聘请谢扬波同学担任我的助理,职责就是帮我叫那些小测本做错的同学来我办公室里改错,他非常高兴的答应了。我对他说:“以后,你就第一个来我这里改正错误,你改完后,按照顺序依次叫做错的同学来我办公室,以后可要辛苦你了。”

      我相信,随着我对他的重视,随着他自己主动的付出,他的数学成绩肯定也会随着他的辛苦而节节上升。

      晚自习,在14班,我问,有没有哪位同学愿意专门担任我的助理,职责就是帮我叫那些知识点没有搞懂的同学去我哪里改错。何子仪同学第一个举手,我立即聘请了她当我的助理。相信有了这两名助理,再加上几位课代表的协助,两个班的数学成绩一定会取得进步的。



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-1 09:52:39 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-12-1 09:54 编辑

11月19日星期二  晴



多项式除以多项式



      昨天一节课学习了同底数幂的除法和单项式除以单项式。今天在14班上课时,我找秦鹏同学背诵同底数幂的除法法则,他背得很好:“同底数幂相除,底数不变,指数相减。”

      我又找了两位同学背诵单项式除以单项式的法则,可能是这个法则比较长,也可能是这两位同学理解这个法则不透彻,她们背诵得不太好,我只好亲自背诵一遍:“单项式相除,把系数相除作为系数,同底数幂相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的因式。”

      和单项式乘以单项式一样,单项式除以单项式也非常重要,能够熟练地进行单项式除以单项式,既可以巩固同底数幂除法的法则,又为后面学习多项式除以单项式打下基础。接下来,我用了二十分钟时间让同学们作练习册上的单项式除以单项式的习题。

      14班的李雨馨同学到黑板上做一道题时,犯了一个经典错误,就是运算顺序的错误。这道题是这样的:24m5n4÷(-6m4n4)·(-3mn)2

      先把积的乘方化简后,得到:24m5n4÷(-6m4n4)·9m2n2,接下来这个式子该如何计算呢?李雨馨同学先算后面的乘法,再算除法,结果就错了。在这个式子里,除法和乘法是同级运算,应该按照从左到右的顺序去计算,即先算前面的除法,再算后面的乘法。过程如下:

      解:原式=24m5n4÷(-6m4n4)·9m2n2

                  =-4m·9m2n2

                  =-36m3n2

       还有二十分钟时,我给同学们讲解多项式除以单项式。前面所学的多项式乘以单项式,就是用多项式的每一项分别乘以单项式,现在要学的多项式除以单项式,法则差不多,就是用多项式的每一项分别除以单项式。只要单项式除以单项式熟练过关了,多项式除以单项式也是很好掌握的。

      在黑板上我举了一个简单的例子:(12a3-6a2+3a)÷3a

      在这个式子里,括号中的多项式有三项,先用第一项12a3除以单项式3a得4a2,再用第二项-6a2除以单项式3a得-2a,最后用第三项+3a除以单项式3a得+1,这里要特别强调的是+3a÷3a是等于+1的,而不是等于0,解题过程为:

      解:原式=4a2-2a+1

      接下来,就做练习册上的相应习题。有一题是这样的:

      计算:[y2-y(2x+y)-8x]÷2x

      在做这道题时,两个班里都有几个同学问我,中括号里的第一项y2怎么除以2x.我对他们说,中括号里的式子还有含小括号的部分,需要先去小括号,再合并同类项化简,这里的y2一定是可以抵消掉的,否则,现在的知识就不能做了。

      这几个同学在草稿纸上计算了一下,发现中括号里面的式子去掉小括号后,合并同类项,化简之后就是-2xy-8x,果然不含y2了,然后再用-2xy-8x这个多项式除以2x,最后答案是-y-4.

      代数计算题和几何证明题一样,上帝都是安排好了的,只能那样命题,否则就做不出来。

      晚自习时间,同学们继续做练习册上的习题。13班的张钦胜问了我一个问题:“a-a2等于什么,怎么合并化简。”

      我对他说:“a与-a2不是同类项,不能合并,比如一头猪减去一只羊能合并吗?”刚举完这个例子,我就发现用动物来打比方很不合适,立马改口:“一个苹果减一个梨,能合并吗?不是同类项,是不能合并的。”

      张钦胜同学问:“a-a2不能合并,还是等于a-a2的,对吗?”我点了点头。



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-1 12:02:53 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-12-1 12:05 编辑

1120  星期三  


平方差公式


      正式上课前,看到同学们都在认真读背昨天所学的多项式除以单项式的法则,我就在两个班各找了一个同学来背这个法则,这两个同学都背诵的很好:“多项式除以单项式,等于多项式的每一项分别除以这个单项式。”

这个法则与今天所要学的内容无关。为了给今天所学的内容做好铺垫,我又提问了以前学过的多项式乘以多项式的法则是什么?

      站起来的同学都能够熟练回答:“多项式与多项式相乘,就是用第一个多项式的每一顶乘以第二个多项式的每一项。”

      我在黑板上举了两个简单的例子,让同学们在草稿纸上快速写出答案。

1、(a+b(p + q)

2、(a+b(m–n)

      这两个式子按照多项式乘以多项式的法则很快就可以算出答案,第一个式子的答案是ap+aq+bp+bq.第二个式子略微复杂一点,因为后面一个多项式中有一项有“–”,但只要认真去算,也可以得到正确答案:am-am+bm-bn.

      接下来,我这样对同学们说:“这两个式子是普通的多项式乘以多项式的例子,在我们的数学学习中,经常会遇到一些特殊的多项式乘以多项式的题目,比如:(a+b(a-b),在这个多项式乘以多项式的题目中,第一个式子是a、b两数的和,第二个式子是a、b两数的差。两个数的和乘以两个数的差这种式子,在我们的生活中恰好出现的可能性很小,但是在数学学习里,却是经常可以遇到。其实,数学知识就是这样设计出来的,课本编者和试卷命制者总是设计这样一些特殊形式的式子相乘,然后把它们乘得的结果作为公式要求大家牢记,在考试时就对这些公式翻来复去的考查,然后看一个学生是否能够做对得分,分数高的,我们就认为他头脑聪明,其实在现实生活中他到底聪不聪明,只有天知道。”

      看到同学们的注意力都吸引到我的讲话里来了,我又接着说:“对于这种判断一个人是否优秀的评价标准,我们每个人都觉得不合适却又无力改变,我们所要做的就是去适应这个游戏规则,在一定的范围内尽可能地去利用这个游戏规则,力争能做对按照这种游戏规则所设计出来的各道或脱离实际,或变态离谱的数学题,得到高分,考入理想大学,进入一个高端平台来发展自己、成就自己。”

      我们先来看这个式子:(a+b(a-b),按照多项式乘以多项式的法则展开化简是什么呢?

a+b(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

      接顺序依次乘开后,刚好可以得到-ab+ab这两项,而这两项恰好是可以抵消掉的,最后的答案显得很简单:a2-b2,也就是说可以得到:(a+b(a-b)= a2-b2.用文字语言表示:“两个数的和乘以这两个数的差,等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式。以后,如果再遇到这种式子相乘,我们可以直接根据这个公式写出最后的结果。当然,绝大部分是在数学学习中而非在实际生活里。

      给了一分钟时间,让同学们把这个法则与公式都记熟后,我从易到难设计了一系列的题组,让同学们用平方差公式来做。

1、(m+n)(m-n)=m2-n2

2、(x+1)(x-1)=x2-12=x2-1

3、(x+2)(x-2)=x2-22=x2-4

4、(x+3)(x-3)=x2-32=x2-9

5、(x+4)(x-4)=x2-42=x2-16

      这些题目都非常的单纯、善良,排列好后,让我们来观察,来套用平方差公式。但是我们以后在做题时,在考试时所遇到的平方差公式的形式不可能像这样排列好后,让我们直接写答案,很多时候,我们需要仔细的分辨,我们需要拥有一双慧眼。

      我又写了一组复杂一点的题目,让同学们观察能否用平方差公式来做,最后答案是什么?

1、(a-b(a+b),

2、(3x+2y)(3x-2y)

3、(-x-2y)(-x+2y)

4、(-1-xy)(xy-1)

5、(a2-b2)(b2+a2)

      第1小题,只不过是把(a-b)这个因式写在这(a+b)的前面,完全可以用平方差公式算得结果为a2-b2.

      第2小题,出现了系数,仔细观察,也不难,3x相当于平方差公式里的第一个数a,2y相当于公式里的每二个数b,最后结果就等于(3x)2-(2y)2=9x2-4y2.这道题要注意的是:3x、2y在平方的时候,要先括起来,然后再化简。

      第3小题,要特别看清楚,两个数的和乘以这两个数的差,其中第一个数a相当于-x,第二个数b相当于2y,根据平方差公式可得:(-x-2y)(-x+2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2

      第4小题,就更加隐蔽狡猾了,仔细观察,在(-1-xy)和(xy-1)两个多项式里,各有两项,其中有一项-1是完全相同的,还有另外一项-xy与xy是完全相反的,这种形式的多项式乘以多项式是可以用平方差公式去计算的。过程如下:

      解:(-1-xy)(xy-1)= (xy-1)(-1-xy)= (-1+xy)(-1-xy)=(-1)2-(xy)2=1-x2y2

      在这个式子里,两个多项式里的项都被打乱了,但不管怎么变化,只要你仔细观察,分辨出在这两个多项式里,含有一个相同的项-1,另外的项刚好相反,那么就可以变形为两数和乘以两数差的形式,相同的项-1就相当于平方差公式(a+b(a-b)= a2-b2里面的a.完全相反的项就相当于公式里面+b与-b,最后结果就等于1-x2y2.

第5小题,出现了指数,稍加留意,也应该不会错。(a2-b2)(b2+a2)= (a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4.

      在讲这两大组题目时,14班的同学已经迫不及待了,个个摩拳擦掌、跃跃欲试。讲完后,我就立即让他们做练习册上的习题。

      练习册上的习题与我列举的例子都差不多,只要刚才认真听讲的同学,应该都不会做错,不过,有几道题目类型,刚才没有列举到,在同学们做完后,我分别进行了讲解。

      1、观察图形的面积变化,总结一个公式。练习册上和课本上都有平方差公式的几何图形表示。它们有一个共同点,都有一个图形是一个边长为a的正方形去掉一个边长为b的正方形,剩下的面积为a2-b2,再把这个剩下的面积重新组合,拼接,组成一个长为a+b,宽为a-b的长方形,根据面积相等,就可以得到平方差面积公式:(a+b(a-b)= a2-b2.

      2、98×102

      不知生活中是否恰好会遇到这种计算,如果遇到,我估计大部分人都是用计算器算得结果的,但既然在这里遇到了这种题目,我们也只好强行制造平方差公式,然后按照平方差公式的结果去计算。

      我正在担心同学们会不会做这道题时,没想到被我叫到黑板上做题的同学却是做得十分熟练。

      解:98×102=(100-2)(100+2)=1002-22=10000-4=9996

      多年的应该教育已经把这些孩子训练成一个按照数学思想、运用数学思维去做数学题的机器了。

      3、(x+2)(x-2)(x2+4)

      这道题本身并不难,把前面两个式子(x+2)(x-2)相乘,可得(x2-4),再把(x2-4)与(x2+4)相乘时,又可以运用平方差公式,得到(x2)2-42,化简后就是x4-16.

      这道题有一个特点,前面运用平方差公式算得的结果与后面的一个式子相乘时,恰好又是一个平方差公式,相当于一个连锁反应。这种连锁反应在做很多数学竞赛题时经常用到。比如:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(232+1)

      这道题要想计算,最前面的式子(2+1)只有再乘以一个(2-1)才能构成平方差公式,可是在乘以(2-1)时,会不会改变原式的值呢?

      答案是不会,因为2-1恰好是等于1的,在原式上乘以(2-1),就相当于乘以了一个1,并没有改变原式的结果,但是这个(2-1)与(2+1)相乘,结果是(22-1),再用(22-1)与(22+1)相乘,结果又是(24-1),再和后面的(24+1)相乘时,又是一个平方差公式,一系列的连锁反应直到最后。整个计算过程为:

解:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(232+1)

   =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(232+1)

   =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)……(232+1)

   =(24-1)(24+1)(28+1)……(232+1)

   ……

   =(232-1)(232+1)

   =264-1

      在13班上课时,部分同学在做下面这道题时犯了一个错误。

(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

      (y+2)(y-2)可以运用平方差公式直接写出结果y2-4,后面的(y-1)(y+5),13班里有一些同学居然等于y2-5,我想,这些同学肯定是学习了平方差公式后,以为(y-1)(y+5)是等于y2-5,这种理解就大错特错了。在(y-1)(y+5)中,不是两数和乘以两数差的形式,在(y-1)和(y+5)这两个多项式里,相同项都是y,但是-1与+5不是完全相反的项。同学们一定要注意,能用平方差公式计算的式子,一定是有一项完全相同,另外的项完全相反,否则是不能用平方差公式算的。

      那么,这里的(y-1)(y+5)该如何计算呢?只有用多项式乘以多项式的法则去依次展开了。能用平方差公式计算的式子不过是一种特殊的多项式乘以多项式而已。

      另外,要特别强调的是这里的(y-1)(y+5)展开后的结果要用括号括起来,因为前面有一个“-”,在去括号时,涉及到变号的问题。

      “-”相当于初中数学里面的狼,狼来了,同学们可一定要小心啊。



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-1 12:06:15 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-12-1 12:08 编辑

11月21日星期四  晴



完全平方公式



      上课后,在两个班各找了一名学生背诵昨天刚学的平方差公式。两个数的和乘以两个数的差,等于这两个数的平方差。两个数中,第一个数为a,第二个数为b,用字母表示就是:(a+b(a-b) =a2-b2.

      平方差公式是一种特殊的多项式乘以多项式,可能是教材的编写者和试卷的命制者们觉得特殊的多项式乘以多项式只有一个平方差公式不好玩,缺少变化,于是,又加入了两个新的公式----完全平方公式。呵呵。

      两个数的和乘以两个数的差,我们昨天已经学过了,两个数的和再乘以这两个数的和等于什么呢?比如:(a+b(a+b),在这个式子里,是两个(a+b)连续相乘,可以写作:(a+b)2

      这个式子也可以读作是(a+b)的完全平方,为什么叫完全平方呢?是因为把a+b这个和用括号完全括起来了,再平方,所以就叫完全平方。

      我在黑板上开始演算:(a+b)2=(a+b(a+b),用多项式乘以多项式的法则进行计算,可得a2+ab+ab+b2,合并化简后为a2+2ab+b2.这样一来,就得到(a+b)2= a2+2ab+b2.我们以后在做数学题时会遇到大量的人为设计的两数之和的完全平方,那么就可以利用这个结果快速地写出最后答案,也就是说,把(a+b)2= a2+2ab+b2当做一个公式去记。这个公式用文字语言表示就是:“两数和的完全平方,等于这两个数的平方和,再加上这两个数的积的2倍。”书写最后结果的时候,把这两个数的平方和a2+b2写在一头一尾的位置,把加上这两个数积的2倍+2ab写在中间的位置。

      讲完两数和的完全平方公式之后,我又问,两个数的差乘以两个数的差等于什么呢?(a-b(a-b),在这个式子里,是两个(a-b)连续相乘,可以写作:(a-b)2.

      在以前我所教过的学生里,很多同学以为(a-b)2=a2-b2,其实这是不对的,比如:(3-2)2≠32-22,等于a2-b2的是(a+b(a-b),而不是(a-b)2。那么(a-b)2等于什么呢?

      我在黑板上进行演算:(a-b)2=(a-b) (a-b)=a2-ab-ab+b2,合并化简后为a2-2ab+b2。这里,要特别注意的是,第二项,是-ab-ab合并以后得到的-2ab,第三项是第一个多项式中的-b乘以第二个多项式中的-b,得到+b2.公式(a-b)2=a2-2ab+b2是两数差的完全平方公式,用文字语言叙述:“两数差的完全平方,等于这两个数的平方和,再减去这两个数的积的2倍。”书写最后结果的时候,也把这两个数的平方和a2+b2写在一头一尾的位置,把减去这两个数积的2倍-2ab写在中间的位置。


      两数差的完全平方公式与两数和的完全平方公式的文字语言叙述,前半部分差不多,最后一句话不同,一个是减去积的2倍,一个是加上积的2倍。

      给了两分钟时间,让同学们背诵这两个完全平方公式的文字语言叙述和字母表示。两分钟后,我统计了一下,发现两个班里各有一半左右的人会背诵了。

      接下来,就是这两个完全平方公式的运用,看谁能够最先达到熟练的程度。

      首先,我在黑板上写了一组简单的运用两数和的完全平方公式来做的习题,同学们回答的很正确。

1、(m+n)2=m2+2mn+n2

2、(x+1)2=x2+2x+1

3、(x+2)2=x2+4x+4

4、(x+3)2=x2+6x+9

5、(x+4)2=x2+8x+16

6、(x+5)2=x2+10x+25

      这些题都非常简单,但数学学习里却不仅仅都是这样简单善良的数学题,我又在黑板上举了一组复杂的例子。

      1、(2x+3y)2,在这个题中,2x相当于公式里的a,3y相当于公式里的b,2x与3y的和的完全平方,等于2x与3y的平方和,再加上它们积的2倍。计算过程如下:

      (2x+3y)2=(2x)2+2·2x·3y+(3y)2=4x2+12xy+9y2,在这里,要特别注意的是2x与3y在平方时,要把2x与3y分别加上括号,再用积的乘方法则化简。

      2、 =

      3、(a2+2b2)2=(a2)2+2·a2·2b2+(2b2)2=a4+4a2b2+4b4

      举完这些两数和的完全平方的计算题后,我又举了两数差的完全平方的计算题。其实,我就是把上面这些例子中括号里面的“+”改成了“-”,上面这些式子一瞬间全变成了两数差的完全平方。

      让同学们回答的时候,他们比我还要懒惰,只是把后面结果里的第二项前面的加号改成了减号。我特别问同学们,结果的第三项的符号要不要改变,同学们都异口同声的回答,不要改。同学们一起齐答,都能够答对,等会做练习册上的习题,不知道是否都能做对。

      放眼望去,同学们似乎都学会了,搞懂了,一个个又按捺不住了,我对同学们说:“完全平方公式的计算题里面,除了这些常规的形式之外,还有一种敌人非常地凶残、狡猾。”我在说到这里的时候,14班的同学立即安静下来,叫我快出几道题,让他们见识一下。

      我在黑板上写了这样两道题:

      1、(-2a+1)2

      2、(-2a-b)2

      这两道题与前面做过的题目相比,就是括号里的两项中,第一项带一个负号,由于有了这个负号,很多同学就象第一次世界大战时,面对绰号“战场绞肉机”之称的马克沁重机枪的疯狂扫射一样,成批倒下。一位学生,要想在初中数学命题者所划定的圈子里做对乘法公式的计算题,这种题型必须过关。

      第1题(-2a+1)2,我问同学们,应该如何计算。有三位同学依次举手,说出了自己的方法。现转述如下:

王钟会同学说:“(-2a+1)2转化为(1-2a)2,实际上就是把括号里的两项-2a和+1利用加法的交换律调换了一下位置,+1换到最前面去之后,“+”省略不写,变成(1-2a)2之后,就成了1与2a的差的完全平方,套用两数差的完全平方公式就可以得到最后结果:(-2a+1)2=(1-2a)2=1-4a+4a2.这种算法是正确的。

      陈龙翔同学举手:“把(-2a+1)2看作是-2a与1的和的完全平方,套用两数和的完全平方公式计算出结果。在这种方法中,第一个数是-2a,在计算过程中,要把-2a当作一个整体,过程为:(-2a+1)2=(-2a)2+2·(-2a)·1+12=4a2-4a+1。这种方法是可行的。

      梁梓航同学回答:“把(-2a+1)2转化为(2a-1)2,然后计算(2a-1)2就可以了。过程为:(-2a+1)2=(2a-1)2=4a2-4a+1。这种思路是我最为心仪的,看到很多同学露出迷惑的表情,我让梁梓航同学解释一下,为什么(-2a+1)2是等于(2a-1)2的。

      梁梓航同学说:“因为-2a的相反数是2a,+1的相反数是-1,所以-2a+1与2a-1是互为相反数的,而相反数的平方是相等的,所以(-2a+1)2=(2a-1)2,接下来,只需要按照两数差的完全平方公式来计算2a与1的差的完全平方就可以了。

      梁梓航同学的这种方法无疑就是最优的方法,对于这种首项含“-”的完全平方,可以转化为相反数的平方,再按照相应的完全平方公式写出最后结果。需要特别注意的是在把括号里的式子变为相反数的时候,一定要把括号里的两项都变成相反数。

       在13班上课时,郑子凯同学发现了前两种方法,但第三种方法没有人发现,我只好跳出来亲自讲解了。

      第2小题(-2a-b)2运用梁梓航同学的这种方法,可以把(-2a-b)2转化为(2a+b)2,再去计算。过程如下:(-2a-b)2=(2a+b)2=4a2+4ab+b2.

      学会了这种方法,对于首项含有负号的完全平方,你就不会再出现符号错误了,从而避开了符号错误的疯狂杀戮。同学们,去试一试吧。



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-1 12:08:53 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-12-1 12:10 编辑

11月22日星期五  晴



完全平方公式的巩固



      通过本周的学习,三个乘法公式已经全部学完了,一个平方差公式和两个完全平方公式。

      上课后,我找了三个同学分别背出这三个公式:

      平方差公式:两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差。用字母表示为(a+b(a-b) =a2-b2.

      两数和的完全平方公式:两数和的完全平方等于这两个数的平方和,再加上这两个数的积的2倍。用字母表示为(a+b)2= a2+2ab+b2.

      两数差的完全平方公式:两数差的完全平方等于这两个数的平方和,再减去这两个数的积的2倍。用字母表示为(a-b)2= a2-2ab+b2.

      接下来,就是大量的练习和形成技能的过程,如果能达到一看到符合公式形式的式子,就能脱口说出最后结果,那就最好了。

      在同学们做练习册上的习题的过程中,我发现了一些经常强调的经典错误。

      1、错误一:(3m+n)2=9m2+n2.这个错误是没有加上3m与n的积的2倍。正确答案应该是(3m+n)2=9m2+6mn+n2.14班的王钟会同学在黑板上做这道题时,就犯了这样的错误,当他发现自己错了的时候,马上跑上讲台想去更正。我立即把他轰了下去,并对他说:“你犯的这个错误,对于同学们来说更有价值。”下面立马有同学随声附和:“对啊,给我们提供了反面教材。”

      2、错误二:多项式相乘减去多项式相乘时,多项式乘法的结果不加括号。这种错误是一种经典错误了,而且这种错误专门在进入初中时容易犯。小学阶段,两个数相乘减去另两个数相乘时,不需要加任何括号。比如:7×8-3×4=56-12=44,因为数字相乘的结果还是一个具体的数字,减去这个数字,不会出现计算顺序错误。但是到了初中阶段,出现了多项式,这些多项式是由一些松散的单项式合起来的,在减去这样的多项式时,一定要把多项式括起来。否则就会出现计算顺序错误。比如:在(x+2y)(x-2y)-(x-y)2中, (x-y)2计算后是x2-2xy+y2,前面是减号,在减去x2-2xy+y2时,就一定要把x2-2xy+y2括起来。

      过程为(x+2y)(x-2y)-(x-y)2=(x2-4y2)-( x2-2xy+y2)=x2-4y2-x2+2xy-y2=-5y2+2xy.

      如果这个计算过程不把x2-2xy+y2括起来,会怎么样呢?

      请看:(x+2y)(x-2y)-(x-y)2=x2-4y2-x2-2xy+y2,这样计算,最后结果是不可能等于-5y2+2xy的。因为(x-y)2前面的减号减的只是展开后的多项式x2-2xy+y2的第一项,而没有减去这个多项式的第二项和第三项。

把x2-2xy+y2括起来后再减,就不会出问题了,在去括号的时候,x2-2xy+y2中的每一项都要改变符号。

      有些同学之所以认为减去一个多项式不用加括号,是因为有时候,在计算加上一个多项式时不加括号也没有出错啊?那么这个原因在哪里呢?

      比如:+(x2-2xy+y2)与+x2-2xy+y2,是一样的,因为,括号前面是“+”,去括号后,括号里的各项都不变。但是-(x2-2xy+y2)与- x2-2xy+y2决不一样。前者化简,括号前是“-”,括号里的各项都要变号,化简后是- x2+2xy-y2,与- x2-2xy+y2不一样。

      本来很简单的问题,可能我越说,同学们越糊涂了,总之有一点十万火急----减去一个多项式时,一定要把这个多项式括起来。其余的倒不至于那么迫切。

      以上这些,都只是乘法公式章节里面的常规题,另外还有几个技巧题,我选了两道题进行了讲解。

      1、  已知(a+b)2=47,(a-b)2=15,求a2+b2与ab的值。

      2、  已知a+b=7,ab=12,求:a2+b2与(a-b)2的值。

      要会做这样两道题,必须对两个完全平方公式非常熟练,并且要对两个完全平方公式的一些变形技巧了如指掌。

      接下来,专门讲解一下四个式子a+b,a-b,ab,a2+b2之间的前世今生。

      a+b,a-b,ab,a2+b2这四个式子之间由于两个完全平方公式之间的因果联系而存在着错综复杂的密切关系。

      因为(a+b)2= a2+2ab+b2,把这个等式反过来,得到:a2+2ab+b2=(a+b)2,再把+2ab移项到等式的右边,就得:a2+b2=(a+b)2-2ab。

      因为(a-b)2= a2-2ab+b2,把这个等式反过来,得到:a2-2ab+b2=(a-b)2,再把-2ab移项到等式的右边,就得:a2+b2=(a-b)2+2ab。

      因为a2+b2=(a+b)2-2ab,同时a2+b2=(a-b)2+2ab,所以(a-b)2+2ab=(a+b)2-2ab。再把+2ab移项到等式的右边,得到(a-b)2=(a+b)2-2ab-2ab,合并一下,就得:(a-b)2=(a+b)2-4ab.

      综上,可得三个与完全平方公式有关的变形公式:

      (1)a2+b2=(a+b)2-2ab。

      (2)a2+b2=(a-b)2+2ab。

      (3)(a-b)2=(a+b)2-4ab.

      本来还可以变出一些别的公式的,但是这三个公式是其中最重要的。有了这三个公式,基本上就可以解决一些难的数学题了。

      在上面的第1题中,知道(a+b)2=47,(a-b)2=15,可以先用变形公式(3)(a-b)2=(a+b)2-4ab,把(a+b)2代换为47,把(a-b)2代换为15,就可以求出ab的值。然后,再用公式(1)求出a2+b2的值。解题过程如下:

     1、  解:∵(a-b)2=(a+b)2-4ab

            ∴15=47-4ab

             4ab=47-15

             4ab=32

              ab=8

           又∵a2+b2=(a+b)2-2ab

                   =47-2×8

                   =47-16

                   =31

      在第2题中,可以先用变形公式(1)a2+b2=(a+b)2-2ab算出a2+b2的值,再去用公式(3)(a-b)2=(a+b)2-4ab算出(a-b)2的值。过程如下:

解:a2+b2=(a+b)2-2ab

        =72-2×12

        =49-24

        =25

    (a-b)2=(a+b)2-4ab

          =72-4×12

          =1

      根据两个完全平方公式之间的内在联系理解了a+b,a-b,ab,a2+b2之间的前世今生,再加上牢记三个变形公式,那么,对于本章节的任何计算难题,就不会再感到害怕了。

      在完全平方公式这一节里,还有考虑两种情况的题目来不及讲解了,只好留到下周再教给同学们了。







使用道具 举报

Rank: 2

威望
0
注册时间
2013-10-18
积分
92
精华
0
帖子
90
发表于 2013-12-5 08:41:09 |显示全部楼层
是个有心人

使用道具 举报

Rank: 2

威望
0
注册时间
2013-10-22
积分
62
精华
0
帖子
61
发表于 2013-12-5 09:16:56 |显示全部楼层
好、以后常来

使用道具 举报

Rank: 2

威望
0
注册时间
2013-11-29
积分
19
精华
0
帖子
19
发表于 2013-12-6 21:50:20 |显示全部楼层
在教学过程中,学生知识的获得,必须通过学生积极思考和实践活动,必须激发学生在学习过程中的积极性、主动性和独立性。因此,把课堂还给学生,把学习的主动权交给学生,让学生自主学习,给学生充分的学习时间,放手让学生自主学习,创设自学的“气氛”,让学生的学习主动性得到充分的发挥,这是培养学生自学能力的主渠道。
  一、提供给学生“学”的方法,培养学生的创新能力。
  提供给学生学的方法,犹如交给学生打开知识大门的钥匙。学生掌握了方法,才能真正把握学习的主动权,真正属于学习主体位置。学生的创新意识,只有在自主探索问题与解决问题的过程中才能得到培养。因此,教学时应从学生的年龄特点和认知特点出发,留给学生足够的探索空间,让学生通过预习、质疑等具体活动提高创新能力。
  二、提供讨论交流的机会,培养交际能力。
  为学生提供畅所欲言,各抒己见的机会,能有效地培养学生的交际能力。引导学生自主学习,教师首先要给学生创设一个民主、平等、和谐的环境,让学生充满自信。我在教学中,经常设计小组讨论,全班交流的环节,让学生做学习的主人,充分表示自己的思维方法及过程,揭示知识规律和解决问题。这样,加强了学生之间的交往和沟通,促进相互了解,促进不断反思自己的思考过程,同时对其他同学的思路进行分析思考作出自己的判断,这种活动不仅锻炼同学们的交际能力,也增强了他的生活实践能力,这也是一种合作学习,这种合作学习给每个学生提供了表现自己的机会,不仅使自己对知识理解更丰富、全面,而且充分放飞了自己想象力,使能力得到提高,同时也培养了学生之间团结友爱,互助合作的精神。
  三、提供良好的学习氛围,激发自主学习的兴趣。
  教师在课堂上创造轻松、愉快的学习气氛,能使学生情绪高昂,思维活跃,学习兴趣和信心倍增,智力活跃,接受能力强。
教学中,教师应积极地为学生创设一种情趣盎然的学习气氛,使学生受到陶冶、感染和激励从而主动学习:①设疑布难,激发学生好奇心理;②巧设悬念,激发学生探知的迫切欲望;③创设情境,使学生自然产生求知的心理冲动。
生动的表演能营造愉悦的学习气氛,激励学生主动参与,激发浓厚的学习兴趣。。
  四、提供动手操作的机会,发挥学生的主体作用。
把课堂还给学生,就要让学生在课堂上有独立思考的时间,在教学过程中,放手让学生通过自己操作、实验、想象,可以让学生在主动的探索过程中发挥学生的主体作用。
总之,在课堂上,善于利用教材,灵活用各种有效的教学方法,激发学生的学习兴趣,把自主权交给学生,真正达到培养学生自主学习的能力。

使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-8 12:27:36 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-12-8 12:32 编辑

11月25日星期一  晴



三项式乘以三项式



       在运用乘法公式的计算题里,综合性最强的、最容易出错的是三项式与另一个三项式相乘的计算题。比如:(x+y-3)(x+y+3),(a+b+c)2等。第二个式子是三个数a、b、c的和的完全平方,相当于两个三项式相乘,即(a+b+c) (a+b+c)。

       象这样的三项式乘以三项式,有一种最笨的方法,就是用第一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,这样乘开以后就会出现九项,最后再把同类项合并化简即可。班级里有个别同学超前做题,就是采用的这种方法。

       我也试着用这种最落后的方法来做一道题:

(x+y-3)(x+y+3)=x2+xy+3x+xy+y2+3y-3x-3y-9

                = x2+2xy +y2-9

       确实是够麻烦的。我们这节课就来学习一种先进的方法,不过,这种先进的方法,如果不能掌握好,错误率将会更高。

       在讲解先进的方法之前,我复习了三个乘法公式:

        1、(a+b(a-b) =a2-b2.

        2、 (a+b)2= a2+2ab+b2.

        3、 (a-b)2= a2-2ab+b2.

      接着,又讲解了一个预备知识----添括号法则。

      解铃还需系铃人,要学会添括号法则,就必须先复习去括号法则:“去括号时,括号前面是‘+’号的,去掉‘+’和括号,括号里的各项都不改变符号,括号前面是‘-’号的,去掉‘-’和括号,括号里的各项都要改变符号。”

      比如:a+(b-c)=a+b-c

                a-(b-c)=a-b+c

      去括号过程还有一种理解方法,就是把括号前的“+”看做是+1,然后用“+1”与括号里的每一项相乘,乘得的结果依次写下来即可。如果括号前是“-”号的,则把“-”看做是-1,然后用“-1”与括号里的每一项相乘,乘得的结果自然就会变号,接着把这些乘得的结果依次写下来即可。

      上面的两个式子反过来即得:

        a+b-c= a+(b-c)

        a-b+c= a-(b-c)

      这就是添括号的过程,它与去括号的过程是相反的,要看添括号是否正确,可以用去括号法则来验算一下,把这两个式子的右边在草稿纸上去掉括号,看能否得到左边的式子。如果不能得到,那就说明添括号的过程是错误的。

      仔细分析这两个式子,对比去括号法则,可以总结出添括号法则:“添括号时,如果括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变符号,如果括号前面是“-”号,括到括号里的各项都改变符号。”

      这个法则需要同学们有一定的悟性,我针对所举的例子,略做解释了一下,就用课本上常用的两句话----“显然可得”和“也就是说”,直接得到了添括号法则。

      我当然知道,两个班里面,特别是13班这个普通班里面,肯定有个别同学不能理解象绕口令一样的添括号法则的,这也只能让同学们到实际做题过程中再去总结领悟了。

      可能还有很多同学想问,计算就是一种化简,可添上括号后,不是变复杂了吗?

      这个问题问得好,因为很多题目,为了把复杂题目化归为以前所学的简单知识,需要把某几项用括号括起来,括起来的目的就是为了便于观察、便于理解。

      比如:在(x+y-3)(x+y+3)中,两个多项式里面,x+y是完全相同的,另外一项-3与+3完全相反,这种情况符合平方差公式的特征,可是,平方差公式是两个数的和乘以两个数的差啊,而这里是x、y、3三个数之间的关系,怎么把它们之间的关系变身为两个数之间的关系呢?

      请看:(x+y-3)可以看作是[(x+y)-3],这不就是两个数的差吗?第一个数是(x+y),对,就是把(x+y)看作一个整体,当做一个数,后面(x+y+3)可以看作[(x+y)+3],这样一来,原式(x+y-3)(x+y+3)就用添括号法则变身为[(x+y)-3][(x+y)+3],这不就是(x+y)与3的差再乘以(x+y)与3的和吗?这样就可以用平方差公式来简便计算了。过程如下:

      解:(x+y-3)(x+y+3)= [(x+y)-3][(x+y)+3]

                                        =(x+y)2-32

                                        = x2+2xy +y2-9

      这种方法比前面用的前三项硬乘后三项再合并同类项要简单的多。

       刚才这道题,是一道最简单的三项式乘以三项式的计算题。

       再来看一道狡猾一点的。

         1、(x+2y-3)(x-2y+3)

       这道题中,两个三项式里,完全相同的项只有一项x,另外两项+2y与-2y,-3与+3互为相反数,这种情况也是可以用平方差公式简便计算的。不过,需要把两个互为相反数的项分别装在不同的括号里。在第一个三项式中,(x+2y-3)可以变为[x+(2y-3)],也就是把+2y-3装入了前面是“+”的括号里,这两项括进去的时候,不用变号;在第二个三项式中,(x-2y+3)可以变为[x-(2y-3)],也就是把-2y+3装入了前面是“-”的括号里,这两项括进去的时候,要改变符号。

       在两个三项式里,+2y-3与-2y+3本来是互为相反数的,但一个装入前面带“+”号的括号里,另一个装入前面带“-”号的括号里,刚好一个不改变符号,另一个改变符号,从而保证装入括号里的部分完全一样。同学们,好好想想,理解了吗?

      请看详细解题过程。

       解:(x+2y-3)(x-2y+3)= [x+(2y-3)][x-(2y-3)]

                                           =x2-(2y-3)2

                                           =x2-(4y2-12y+9)

                                           =x2-4y2+12y-9

      还有些题目更为狡猾,它把两个三项式中的某几项调整了一下位置,颠倒了一下顺序,比如:(2y+x-3)(x+3-2y),仔细观察,在这两个三项式中,完全相同的项只有x,其余两项则完全相反,那么这个题也可以变形为平方差公式的形式。调整顺序变形后,实际上就是刚才所讲的这道题目。

      这样的题目,大家多做一些,多纠正一些错误,多总结一些,就会熟能生巧。比如,我以前的学生,做这样的题目到了一定的程度后,就总结出了一种终极必杀技----用相同项的平方减去相反项的平方。呵呵,不知道你们做多少遍这种题目之后,也可以总结出这样的终极必杀技。

       可能有同学想问,假如两个三项式相乘,有的项是相同的,但其余的项却不是相反的,怎么办?同学们,这种情况是不能用平方差公式来做的,只能用多项式乘多项式的法则去硬乘了。

      老师做了近二十年的初中数学题,在初二上学期的期未考试中,百分百会遇到两个三项式相乘的试题,但从来就没有遇到过不能用平方差公式去做的题目。我们现在试卷上的数学试题都是人为设计出来的,命题老师只能这样设计成两个三项式相乘,某几项是完全相同的,某几项是完全相反的。一个命题老师如果不这样设计,那他几乎就是冒天下之大不韪,这种政治后果,是谁也无法承受的。尽管部分数学专家一再呼吁,数学试题要来源于生活,数学教学要生活化,但理想很丰满,现实却骨感,在可以预见的一百年内,这种人为设计的数学题是不可能予以改变的,我们只有让自己的思维尽量契合这种数学学习现状。

      三项式乘以三项式的数学题里,还有一种就是(a+b+c)2,如果看作是两个(a+b+c)相乘,用多项式乘以多项式的法则来展开,也可以得到最后结果,即:(a+b+c)2=(a+b+c)(a+b+c)

=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

      对于这个过程,我想说,比课本上例题的过程和思路要……,要……,要简单的多,可以吗?

      一位数学教育专家扔过来一块板砖,又一个资深数学教授扔过来一柄斧头,我闪,我快闪。

      还是按照课本上例题的格式讲一遍吧,考试时,如果你不按照这种方法去做,后果自负。

      解:(a+b+c)2=[(a+b)+c]2

                          =(a+b)2+2(a+b)c+c2

                          =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2

                          =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

       面对这个结果,我给同学们总结了一个法则:“三个数的和的完全平方,等于这三个数的平方和,再加上任意两个数积的2倍。”

       晚自习,做练习册时,有一道类似的习题:(2x-y-3)2,在13班,我找的是孙辰同学,在14班,我找得是詹浩天同学,这两位同学们直接在(2x-y-3)2后面写上答案:4x2+y2+9-4xy-12x+6y,我问他们是如何思考的,他们告诉我,是用我在课堂上所总结的法则“三个数和的完全平方,等于这三个数的平方和,再加上任意两个数积的2倍”,直接写出答案的。在(2x-y-3)2中,是三个数和的完全平方,第一个数是2x,第二个数是-y,第三个数是-3,然后把这三个数的平方加起来,再加上任意两个数积的2倍,加的时候,特别注意符号和系数不要出错就可以了。

       我问了一下其他的同学,几乎有一多半的同学都是用这种方法,这些同学都在课堂上把我总结的那句法则写在了课本上。看着这些能够主动学习的同学,我欣慰的点了点头。当然,我也知道,肯定有人没有把我总结的这个法则记在课本上,他对于这样的题目,也肯定做不出来,对于这样的同学,我会最大限度地给他提醒,如果他实在朽木不可雕,我也没辙了。如果把自己的注意力光集中在这样的同学身上,那不是自己给自己找罪受吗?

       同学们,知道了三数和的完全平方公式如何展开后,你们能算出下面这个题吗?

      (a+b+c+d)2,计算出来后,你们能用文字语言把它的最后结果也作为一个法则叙述出来吗?聪明的同学可以去试一试。

      晚自习,同学们在做练习册时,我又给大家纠正了一些常见的错误。

      练习册上有一道经典的数学题,我对全班同学进行了统一讲解。

       1.jpg

使用道具 举报

Rank: 2

威望
6
注册时间
2013-12-7
积分
35
精华
0
帖子
23
发表于 2013-12-8 12:32:03 |显示全部楼层

读后很有收获,谢谢分享!

使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-8 12:34:18 |显示全部楼层
本帖最后由 lqhmzp 于 2013-12-8 12:37 编辑

11月26日星期二  晴



讲解练习册上的几道难题



       练习册上关于乘法公式的习题中,有几道题的技巧性很强,这样的题目,如果跟学生讲过,学生一般都会做,但是如果没有跟同学们讲解的话,在考试的时候十有八九会做错。

       具体的题目有这样一些:

       1、  如果x2-y2=4,求(x-y)2(x+y)2

       此题,如果把(x-y)2和(x+y)2运用完全平方公式展开,再相乘,将会很难做,而且与唯一的已知条件x2-y2=4建立不了任何联系。此题的已知条件里已经告诉我们了x2-y2是等于4的,而(x-y)2与(x+y)2的两个底数x-y与x+y相乘,结果恰好就是x2-y2,特别是(x-y)2与(x+y)2的两个指数相同,都是2,所以可以逆用积的乘方法则变形。解题过程如下:

        解:(x-y)2(x+y)2=[(x-y)(x+y)]2 =[ x2-y2]2=42=16

       2、  若x2+mx+4是一个完全平方式,则m=______________

       在式子x2+mx+4中,第一项是x2,第三项是4,即22,如果这个式子是一个完全平方式的话,只可能是(x+2)2或者(x-2)2,因为不管是(x+2)2或者(x-2)2,都含有一个公共的部分,那就是x2+4,不同的只是中间的部分。那么到底是前者还是后者呢?这里就要留一个心眼了,因为这两种情况都可以,如果是(x+2)2,化简后的结果是x2+4x+4,对比x2+mx+4,m的值为4;如果是(x-2)2,化简后的结果是x2-4x+4,对比x2+mx+4,m的值为-4。综上所述,m的值是±4。此题有两种答案。

       3、  若25a2+ma+9是一个完全平方公式,则m=______________

       这道题与前面的一道题的思路差不多,只是数字系数略微复杂一点。25a2+ma+9可以化为(5a)2+ma+32,如果这个式子是一个完全平方式,只可能是5a加3的和的完全平方,或者5a减3的差的完全平方。考虑到(5a+3)2=25a2+30a+9,(5a-3)2=25a2-30a+9,对比原式25a2+ma+9,m的值可以是30,也可以是-30.所以此题最后的答案为m=±30.

       4、  加上___________________后,能使4x2+1成为一个完全平方式。

       4x2+1加上一个式子后变身为一个完全平方式,我们来观察分析一下,4x2可以看作是(2x)2,1就是12, 4x2+_________+1=(2x)2+_________+12的,横线上只有再添加上一个什么样的式子,才可以构成a2+2ab+b2或者a2-2ab+b2这种完全平方式呢?在(2x)2+_________+12里,2x就相当于a,1相当于b,横线上要么填+2·2x·1,要么填-2·2x·1,也就是填+4x或者-4x,如果填+4x的话,就构成了(2x+1)2,如果填-4x的话,那么就构成了(2x-1)2。

      此题讲解到这里本来是可以结束的,但14班有一位同学又说出了一种答案,横线上还可以添加4x4。这种答案也是可以的,因为这样一来,原式就变成了4x4+4x2+1,这个式子实际上就是(2x2+1)的完全平方,因为(2x2+1)2就是等于4x4+4x2+1的。能想出这种答案的同学思维是非常开阔的,因为他把原式中的4x2+1看作了_______+2·2x2·1+12,只需要在前面添加一个(2x2)2就可以了,也就是添加4x4。



2.jpg

      5、  要使x2-6x+a成为形如(x-b)2的完全平方式,求a与b的值。

      根据题意,要让x2-6x+a =(x-b)2,这个等式的左边已经不可能变形了,右边化简一下,可得:x2-6x+a =x2-2bx+b2,等号两边对比一下,发现两边的两次项已经相等了,都是x2,只有让x的一次项也相等,剩下的不含x的常数项也相等。所以-6=-2b,a=b2.计算一下,可得:b=3,a=9.

      6、  若(x-y)2=(x+y)2+_____________

      我在课堂上曾经专门讲过一个关于完全平方公式的变形技巧,其中有一个技巧是(a-b)2=(a+b)2-4ab,这道题目里面只不过是把a换作了x,把b换作了y,所以横线上必须填上-4xy才能成立。

      如果上述变形技巧一下子想不起来,不要紧,我们还可以现场进行计算:

     (x-y)2=(x+y)2+_____________

       x2-2xy+y2= x2+2xy+y2+____________

      右边的横线保留,其余的所有项都移项到等式的左边,x2-2xy+y2-x2-2xy-y2=+____________

      化简一下,可得:-4xy=__________ .

      所以最后也可以得出横线上应该填-4xy,只不过,横线前面已经有了一个“+”, -4xy填上去的时候,需要加上括号。

      当你实在想不起来一些变形技巧时,不妨用这种方法来细心计算,只要基本公式记得准确,计算耐心、细心一点,最后也是可以得出正确答案的,只是费的时间要比别人久一点。

      7、  计算:

       (1) (x-1)(x+1)=___________________

       (2) (x-1)(x2+x+1)=___________________

       (3) (x-1)(x3+x2+x+1)=___________________

           …………

     (n)(x-1)( xn+xn-1+ …… +x2+x+1)=___________________

      这是一个根据算出的答案找规律的题目,而且,这种题目的答案一定有一种内在的规律,我们要通过前面几道题的具体而又准确的计算,发现规律,并能根据这个规律直接写出最后一个式子的答案。

      第(1)个式子是一个平方差公式,化简后的答案是x2-1.

      第(2)个式子是一个两项式乘以三项式,用多项式乘以多项式的法则慢慢去乘,乘完以后再合并同类项化简。计算过程如下:

       (x-1)(x2+x+1)=x3+x2+x-x2-x-1= x3-1.

      在十几年前人教版的老教材里面,(x-1)(x2+x+1)= x3-1也是一个公式,叫做立方差公式。另外还有一个立方和公式:(x+1)(x2-x+1)= x3+1。现在为了降低难度,减少计算量,把这两个公式删除了。所以,同学们,你们现在真是赶上了好时候啊,原来五个乘法公式,现在只剩下三个了,就这三个简单的公式还一错再错,可真有点说不过去。

      第(3)个式子是一个两项式乘以四项式,同学们可以自己在草稿本上依次相乘展开,再合并同类项化简,看最后答案是什么。

      我现在把前三个式子的最后答案写在一起,同学们观察一下,有什么规律吗?

      (1) (x-1)(x+1)=  x2-1  .

      (2) (x-1)(x2+x+1)=  x3-1  

      (3) (x-1)(x3+x2+x+1)=   x4-1  

      根据这个规律,你可以猜想到第(n)个式子

      (x-1)( xn+xn-1+ …… +x2+x+1)=_____________ 是等于什么的吗?

      同学们自己好好想一想吧,我就不告诉你们这个式子的最后答案是等于  xn+1-1   的了。

      明天、后天、大后天,学校初中部举行一年一度的运动会。课堂教学、作业批改、日记连载全部暂停,我们大家就一起来享受这种纯净而又幸福的教育生活吧。呵呵。



使用道具 举报

Rank: 2

威望
-5
注册时间
2013-12-7
积分
45
精华
0
帖子
54
发表于 2013-12-8 12:57:01 |显示全部楼层
看了您的日志我受益匪浅,作为新教师,我会注重教学的点滴,多向前辈学习,希望能把每个孩子都教好,希望他们能成为对社会有益的人才!

使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-16 09:30:19 |显示全部楼层
1.gif

2.gif

3.gif

4.gif

5.gif



使用道具 举报

Rank: 2

威望
0
注册时间
2013-12-12
积分
58
精华
0
帖子
57
发表于 2013-12-16 13:53:47 |显示全部楼层
有了爱,你才能教好书。

使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-16 15:26:05 |显示全部楼层
1.gif

2.gif

3.gif

4.gif

5.gif






使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-16 15:32:41 |显示全部楼层
1.gif

2.gif

3.gif

4.gif

5.gif



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-16 15:44:31 |显示全部楼层
1.gif

2.gif

3.gif

4.gif

5.gif

6.gif

7.gif

8.gif

9.gif



使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-16 15:50:54 |显示全部楼层
1.gif
2.gif
3.gif
4.gif

使用道具 举报

Rank: 2

威望
0
注册时间
2013-10-14
积分
21
精华
0
帖子
20
发表于 2013-12-16 16:18:31 |显示全部楼层
您做的好,非常到位。我真佩服的为人和做法。

使用道具 举报

Rank: 2

威望
0
注册时间
2013-10-23
积分
76
精华
0
帖子
75
发表于 2013-12-20 09:07:53 |显示全部楼层
如今这样坚持写日记的老师真的是太少了

使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-23 08:36:59 |显示全部楼层
本帖最后由 chenjun 于 2013-12-23 14:35 编辑

1.gif

2.gif

3.gif

4.gif

5.gif

6.gif

7.gif

8.gif

9.gif




使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-23 08:52:09 |显示全部楼层
1.gif

2.gif

3.gif

4.gif

5.gif

6.gif

7.gif

8.gif

9.gif

10.gif




使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-23 09:09:04 |显示全部楼层
1.gif

2.gif

3.gif

4.gif

5.gif

6.gif

7.gif




使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-23 09:14:41 |显示全部楼层
1.gif

2.gif

3.gif

4.gif

5.gif



使用道具 举报

Rank: 7Rank: 7Rank: 7

威望
977
注册时间
2013-10-14
积分
3811
精华
6
帖子
1748
发表于 2013-12-23 09:16:30 |显示全部楼层
lqhmzp 发表于 2013-12-23 08:52

为你的执着而鼓掌!
你现在以图片的形式上传,是可以节约许多时间。但你的图片是gif格式,一次又那么多,很难全部显示出来,给老师阅读造成一定的困难。建议你处理好这个问题。

使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-23 09:23:14 |显示全部楼层
1.gif

2.gif

3.gif

4.gif

5.gif

6.gif

7.gif

8.gif

使用道具 举报

Rank: 2

威望
39
注册时间
2012-5-8
积分
277
精华
3
帖子
166
发表于 2013-12-23 09:36:07 |显示全部楼层
踏雪无痕5175 发表于 2013-12-23 09:16
为你的执着而鼓掌!
你现在以图片的形式上传,是可以节约许多时间。但你的图片是gif格式,一次又那么多, ...

谢谢这位朋友的好心提醒,可我的技术力量不够,不知如何操作才能达到最佳。若用纯文字的话,我在word上打好了的内容,特别是字母的指数和分式,到了贴子上就不能正常显示。各位大侠,有什么高招吗?

点评

踏雪无痕5175  你的847k的gif格式图片,转换成jpg格式后只有52.8k。  发表于 2013-12-23 15:02:49

使用道具 举报

Rank: 7Rank: 7Rank: 7

威望
977
注册时间
2013-10-14
积分
3811
精华
6
帖子
1748
发表于 2013-12-23 14:51:26 |显示全部楼层
lqhmzp 发表于 2013-12-23 09:36
谢谢这位朋友的好心提醒,可我的技术力量不够,不知如何操作才能达到最佳。若用纯文字的话,我在word上打 ...

你把图片转换成jpg格式,试一试效果如何。转换成jpg格式后,图片可能会小很多。

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

手机版|K12中国中小学教育教学网 ( [京公网安备1101140073号][京ICP证050308号] )

GMT+8, 2018-2-21 07:24 , Processed in 0.072532 second(s), 0 queries , Memcache On.

Powered by Discuz! X2

© 2001-2011 Comsenz Inc.

回顶部