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[求助求解] 这是一道美国初中生竞赛题 [复制链接]

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发表于 2017-11-13 07:47:36 |显示全部楼层
这是美国初中生竞赛题:

a,b,c,d,e.符合a+b+c+d+e=8

                     a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16

求e的最大值.

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发表于 2017-11-13 10:10:59 |显示全部楼层
由柯西不等式得 (1+1+1+1)(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2
即4(16-e2)≥(8-e)2
解得0≤e≤ 16/5.故e的最大值是16/5.

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发表于 2017-11-13 11:17:34 |显示全部楼层
LS方法简单!我怎么没想到柯西不等式!?

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发表于 2017-11-13 15:27:37 |显示全部楼层
不知美国初中生有否学过柯西不等式?这种对称式一般方法也可解。
k12-a.jpg

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发表于 2017-11-13 18:19:00 |显示全部楼层
本帖最后由 liangchuxu 于 2017-11-13 18:20 编辑

对不起,叫学生帮打字,不等号反向了,未核对。纠正如下。
k12-b.jpg

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发表于 2017-11-14 07:42:16 |显示全部楼层
我把两种方法如下:
as.jpg

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发表于 2017-11-14 14:28:40 |显示全部楼层
第二种方法仍源于均值不等式,好似“兜了一圈”。第一种方法:其中“f(x)=4x^2-2x(8-e)+(16-e^2)>=0”,有唯一解?没看懂。

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发表于 2017-11-15 07:38:23 |显示全部楼层
上式我也写错了,应当是:

f(x)=(x-a)^2+(x-b)^2+(x-c)^2+(x-d)^2 >0

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发表于 2017-11-16 10:32:18 |显示全部楼层
提供此题方程解法。须指出:题意隐含e存在最大值,就表明方程解不是唯一的。也即a,b,c,d不是唯一的。
k12-3.jpg

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